2.7 角动量 角动量守恒定律
2.7 角动量 角动量守恒定律
牛顿定律具有时间反演对称性
例：时间平移对称性——能量守恒定律
如果物理定律不具有时间平 移对称性
设重力势能 E p mgh 随时 间变化
例如：白天 g 大，晚上 g 小，则可晚上抽水贮存于h 高度处，白天利用水的落差作功，可获得能量赢余.
(3) 空间反演对称性
左右对称与平移、旋转不同：（例如手套、鞋）
2. 时间对称性
“周期”、“节奏”、“季节”等，这类出现在我 们面前的重复现象，其实就是时间的对称。
生活中的事件总是以不同的节奏循环往复地交替着 人类又何尝不是按一定“节奏”世代交迭着。
年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。
3. 物理学与对称性 对称性与物理学之间有什么关系呢？这里包含 两层含义： (1)物理理论自身追求一种对称，并将其作为物理 学美学三大标准(简单、对称、和谐)的主要内容 之一。 形象对称、抽象对称、数学对称三类 (2)物理规律的内容是自然界对称性的反映，“对称 性”是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本 规律。
v2 r2
v1r1 v2 r2
mv1r1 mv2 r 2
等式两边同乘m
L1 L2
角动量的定义
如果一个质点在某一位置的动量为p，从某一固
定点到该位置的位矢为r， p与r之间的夹角为θ，那
么质点对此固定点的角动量L可以表示为：
L r p r mv
角动量的大小： L L prsin mvrsin 角动量的方向： 右手螺旋法则
“优胜劣汰”的自然选择过程，使得对称性固化在基因中，保存了下来。
力矩的大小：
M M rFsin
力矩的方向：
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
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第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
角动量守恒定律_概述及解释说明
角动量守恒定律概述及解释说明1. 引言1.1 概述角动量守恒定律是物理学中一个重要的基本原理，它描述了在不受外力或转矩作用下，系统的总角动量将保持不变。
这一定律有着广泛的应用，在自然界和工程领域中都扮演着至关重要的角色。
1.2 文章结构本文将首先介绍角动量守恒定律的基本概念，包括角动量的定义和性质，以及角动量守恒的原理和在自然界中的应用。
接着我们会详细解释数学原理，包括刚体系统和非刚体系统中角动量守恒的推导过程，并探讨转矩与角动量之间的关系。
然后，我们将通过经典实例分析实验来验证角动量守恒定律，并探讨其应用和验证方法。
最后，我们会对角动量守恒定律的重要性进行总结，并回顾其在物理领域中的广泛应用，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍角动量守恒定律，并深入探讨其数学原理、实验验证以及在实际应用中的案例。
通过对角动量守恒定律的深入理解，能够帮助读者更好地理解物理学中的基本原理，同时也有助于激发读者对未来研究方向的思考。
2. 角动量守恒定律的基本概念2.1 角动量的定义和性质角动量是刻画旋转运动的物理量，它与物体的质量、速度以及距离有关。
角动量的定义为一个物体在给定参考点周围旋转时所具有的动力学特性。
其数学表达式为L = r x p，其中L表示角动量，r表示从参考点到物体质心位置矢量，p表示物体的线性动量。
根据右手法则，可以确定角动量的方向与线性动量和半径之间的关系。
角动量具有以下几个重要性质：1) 角动量是矢量，在运算中需要考虑其方向；2) 角动量大小与速度、质量及距离之间的积相关；3) 在封闭系统中，总角动量守恒。
2.2 角动量守恒的原理角动量守恒指在一个封闭系统中，如果没有外力或外力矩作用于该系统，则系统总角动量将保持不变。
这意味着在不受外界干扰的情况下，系统内各个部分相对于共同参考点的角动量之和保持不变。
这一原理可以通过牛顿第二定律和牛顿第三定律的推导来解释。
根据牛顿第二定律，一个物体的角动量变化率等于作用在该物体上的转矩。
两个物体的角动量守恒定律
两个物体的角动量守恒定律以两个物体的角动量守恒定律为题目，我们来探讨一下这个定律的原理和应用。
角动量是物体在旋转运动中的物理量，它与物体的转动惯量和角速度有关。
在物理学中，有一个重要的定律，即两个物体的角动量守恒定律。
这个定律可以用来描述两个物体之间的相互作用，以及它们在运动过程中角动量的变化情况。
让我们来了解一下角动量的定义。
角动量的大小等于物体的质量乘以物体的角速度，并与物体的位置和运动方向有关。
当一个物体在旋转运动时，它的角动量会随着角速度的变化而变化。
当物体的角速度增大时，它的角动量也会增大；当角速度减小时，角动量也会减小。
这种变化与物体的转动惯量有关，转动惯量越大，角动量的变化越慢。
在物理学中，角动量守恒定律指的是，在没有外力作用下，两个物体之间的角动量总和保持不变。
这意味着，当两个物体发生相互作用时，它们的角动量的总和保持不变。
换句话说，一个物体的角动量增加了，另一个物体的角动量就会减小，使得它们的总和保持不变。
这个定律可以通过一个简单的例子来说明。
假设有两个物体A和B，它们分别具有角动量L1和L2。
当它们接触并发生相互作用时，根据角动量守恒定律，它们的角动量的总和L1+L2保持不变。
如果物体A的角动量增加了，那么物体B的角动量就会相应减小，使得它们的总和保持不变。
角动量守恒定律在物理学中有着广泛的应用。
例如，在天体物理学中，当两个天体之间发生碰撞或相互作用时，它们的角动量守恒定律可以用来解释它们的运动轨迹。
在分子物理学中，当分子发生旋转运动时，根据角动量守恒定律可以推导出分子的结构和性质。
除了物体之间的相互作用，角动量守恒定律还可以应用在单个物体的旋转运动中。
当物体在空中旋转时，它的角动量也会保持不变。
这可以用来解释一些日常生活中的现象，例如滑冰运动员旋转时收臂加快旋转速度，或者花样滑冰选手在空中变换姿势时保持平衡。
两个物体的角动量守恒定律是物理学中一个重要的定律，可以用来描述物体之间的相互作用和旋转运动。
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
角动量定理及角动量守恒定律
精品文档，知识共享！！！角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示，定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。
二、力对转轴的力矩：力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M；2）刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩，用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角。
3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩M的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。
三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。
2-7 角动量定理 角动量守恒
10
三、质点的角动量定理和角动量守恒定理 由 L r p dr d p dL d 有： pr ( r p) dt dt dt dt
v mv r F r F M
11
于是有 或
与固定点有关 与内力矩无关 守恒条件 ri Fi 0
i
25
书59、72页例2-9、16
V0
解: 应用角动量定理
C
B
A
Rm Av0 RmB v0 Rm Av RmB v Rmc v
V0
m A mB mC
2 v v0 3
26
mB m A v B v A ,同时到达
21
例：重解上节例题
解： M：
m：
M合
M合
r T RT
r T RT
h m
m M
M外 0
角动量守恒
v
初始 m M 末时 m
L
m 2ghR
T mg , Mg
2gh
0
m 2gh mv Mv
（中心力）
v
· F r
O
（1） mv r sin =const.， （2）轨道在同一平面内。
13
若 M z 0 ，则 Lz 常量 — 质点对轴的角
动量守恒定律
角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系， 也适用于微观体系， 而且在高速低速范围均适用。
14
例
用角动量守恒定律导出开普勒第二定律 -- 行星单位时间内扫过的面积相等。 O
F引 F向 ， r 就不变了，
角动量 角动量守恒定律
r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
角动量守恒定律和动量守恒定律
角动量守恒定律和动量守恒定律角动量守恒定律和动量守恒定律是物理学中两个重要的守恒定律，它们在描述物体运动过程中起着关键作用。
我们来了解一下角动量守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的转动惯量和角速度有关。
当一个物体不受外力或外力矩的作用时，其角动量守恒。
简单来说，这意味着物体的角动量在运动过程中保持不变。
例如，在没有外力作用下，一个旋转的陀螺会保持自己的角动量，即使它的方向和速度发生改变。
接下来，我们来了解一下动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
当一个系统不受外力作用时，其总动量守恒。
简而言之，这意味着系统中各个物体的动量之和在运动过程中保持不变。
例如，在碰撞过程中，两个物体之间的动量可以相互转移，但总动量保持不变。
角动量守恒定律和动量守恒定律是基于牛顿力学的基本原理推导而来的。
牛顿第一定律指出，当一个物体受到的合力为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而牛顿第二定律则表明，物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
基于这两个定律，我们可以推导出角动量守恒定律和动量守恒定律。
在物理学中，守恒定律是描述自然界中一些重要物理量保持不变的规律。
角动量守恒定律和动量守恒定律是这些守恒定律中的两个重要的例子。
它们不仅在经典力学中有广泛应用，而且在其他领域，如量子力学和相对论中也有重要的意义。
角动量守恒定律和动量守恒定律的应用非常广泛。
在物理学中，它们被用于解释各种运动现象，如行星的运动、天体的自转、杠杆原理等。
在工程学中，它们被用于设计和优化各种机械系统，如汽车发动机、航天器姿态控制系统等。
在生物学中，它们被用于研究动物的运动机制和人体的运动生理学。
在化学和物理化学中，它们被用于解释分子反应和化学平衡等现象。
角动量守恒定律和动量守恒定律是描述物体运动过程中重要的守恒定律。
它们在物理学的各个领域都有广泛的应用。
通过研究和理解这两个定律，我们可以更好地理解和解释自然界中的各种现象。
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
角动量守恒
角动量守恒角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。
角动量守恒定律是物理和自然界的一条重要定律。
它在日常生活、天体物理、微观物理和工程中都有广泛的应用。
例如，角动量守恒定律可以很好地解释开普勒天体运行第二定律、陀螺效应等。
当一个质点绕原点运动时，它的角动量L=RP。
这里，R是质点相对于原点的位置向量；P是质点的线性动量；而表示矢量积。
具有一定质量的物体绕一固定轴转动，它的角动量L可表示为这个物体的惯性矩I和它的角速度向量w的乘积，即L=Iw。
角动量又称为动量矩，是一个矢量，是位矢叉乘于动量。
定理也称动量矩定理。
表述角动量与力矩之间关系的定理。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。
利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理：质点系对任一固定点O的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。
由此可见，描述质点系整体转动特性的角动量只与作用于质点系的外力有关，内力不能改变质点系的整体转动情况。
定理应用角动量守恒定律是物理和自然界的一个重要定律，它在日常生活、天体物理、微观物理和工程等许多方面都有广泛的应用。
例如：当滑冰者手臂收缩时，自我旋转滑冰者的转动速度就会加快。
用角动量守恒定律也可解析中子星有很高的转动速率等。
另外，角动量守恒定律也是陀螺效应的原因。
角动量守恒定律反映了质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。
如一质量为 m的质点受指向固定中心O的向心力F的作用，因力F对O点的力矩为零，根据牛顿第二定律可推得质点对O点的角动量守恒，Lo=rmv=常矢量，此常矢量决定于运动的起始条件，r为质点对于O点的矢径,v为质点的速度。
如将太阳看成固定中心，行星看成质点，则角动量守恒表明行星轨道必在一平面上。
矢径在相等的时间内扫过的面积相等，这就是开普勒行星运动三定律之一—开普勒第二定律角动量守恒也是微观物理学中的重要基本规律。
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
第5章-角动量角动量守恒定律
(2) 角动量 L r mv
MA 大小； M A mgd 1 MB MA MC 0
{
g
d2
B
d3
C
LA 0 方向：垂直图平面向里， LB 大小； LB mvd3
{
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
LC LB
例3、质量 m0 的质点固定不动，在它的万有引力的作用 下，质量 m 的质点作半径为 R的圆轨道运动。取圆周上 P 点为参考点，如图所示，试求：①质点 m在图中点1处所 受的力矩 M 1 和质点的角动量 m在图中点2处 L1 ；②质点 所受的力矩 M 2和质点的角动量 L2 。 解
（2） 卫星和地球视为系统，由角动量守恒，得
v 2ab 8.1 103 m / s r1mv1 r2 mv2 1 Tr1 dS 2ab 3 T ab v 6 . 3 10 m/s 2 dt Tr2
例8
一轻绳跨过轻定滑轮，一猴子抓住绳的一端，滑 轮另一侧的绳子则挂一质量与猴子相等的重物。若猴 子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升 的速度。 (复习题一、三. 19) v2 。 解 设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、 由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
将质点的角动量对时间求导
3. 角动量守恒定律 对某一固定点 o，若质点所受的合力矩为零， 则质点对该固定点的角动量守恒。 dL 即 M 0, 则 M 0 L 常矢量
dt
对于质点系，若系统所受的合外力矩为零， 则系统角动量的矢量和守恒。
即 M 外 0,
则
dL M外 0 dt
与连线垂直的等值反向初速度，如图所示。若在以后运 动过程中弹簧可达的最大长度 b 2a ，试求两球初速度 大小v0 。
角动量 角动量守恒定律
解 小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt dt d dL mgRcosdt mgR cos d 1 mgR cos d
dL m gRcosθdθ
dL m gRcosθdθ
z L
r
x
o
m y
v
L r p r mv 大小 L rmv sin L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg· 2·-1 m s
L
v
r
质点以 作半径为 r 的圆运动，相对圆心
L
p
L mr J
2
o
y
r
o
l0
v
A
mv0l0 mvl sin 1 2 1 2 1 2 mv0 mv k (l l0 ) , v 4m / s 2 2 2 得 0 30
3-3-4 质点的角动量守恒定律
*例2 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去 不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度．
2013-7-24
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[例2] :一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中 心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最初 人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)， 相对于地面，人和台各转了多少角度？
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
i
ri F i 外
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受 外力矩的矢量和 (合外力矩 )
dL dt
M外
i
ri F i 外
注意： 合外力矩 是质点系所受各外力矩 外 的矢量和，而非合力的力矩。 注意：质点系内力矩的作用
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
i
m i ri v c M
i
m i ri M
与 i 无关
vC
由
rc
i
m i ri M
rc
i
m i ri M
i
ri m i v c M rc v c 0
质心对自己的位矢
L rc m i v i
i
L
L自 旋
L轨道
3.定轴转动刚体的角动量 转轴 z 角速度 刚体上任一质点 m i
z
转动 平面
转轴与其转动平面交点Ｏ
m i 绕Ｏ 圆周运动半径为 ri
m i 对Ｏ的角动量： L io ri m i v i
ri o
mi
vi
大小： L io ri m i v i m i ri 2 L io 方向：沿 2 即 L io m i ri
M
z
xF y yF x
力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量
注意：力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
M
o
M 1o M
2o
矢量和 代数和
7角动量、角动量守恒定律
N
r′
o
o′
r
F θ ×M
C
θ
1. 力矩: M = r × F 方向： 右手螺旋法则确定 方向： 用右手螺旋法则确定 即：右手四指从 r 方向绕向F
则拇指指的就是 M 的方向
大小： 大小： M = r × F = r F sin θ = ON F
2. 角动量 L = r × p 角动量: ——力臂乘以力 力臂乘以力 o′ 方向: 右手螺旋法则确定 方向 用右手螺旋法则确定 r ′ α p B 大小： 大小： L = r × p A α ×L = r p sin α = OA p
v A = vB
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
v A绳 + v 绳地 = v B
u vB = vB
u vB = 2
可能出现的情况是
16
下列说法正确的是（ 例 下列说法正确的是（ ）。
A B F
（A）作用力和反作用力之和为零。 ）作用力和反作用力之和为零。 （B）作用力和反作用力对同一点的力矩之和必为零。 ）作用力和反作用力对同一点的力矩之和必为零。 （C）内力作功之和必为零。 ）内力作功之和必为零。 （D）内力能够改变系统的总动量。 ）内力能够改变系统的总动量。 （E）内力矩能够改变系统对定点的总角动量。 ）内力矩能够改变系统对定点的总角动量。 （F）内力能够改变系统的总动能。 ）内力能够改变系统的总动能。
v
F
r
与 F 反平行
M = r ×F = 0
故 角动量守恒
mr0 v 0 = mrv
解得： 解得：
r0 v 0 v= r
10
例：摆球对O和O’点的角动量是否守恒？ 摆球对 和 点的角动量是否守恒？
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3) 物理定律的间反射对称性
如果在镜象世界里的物理现象不违反已知的物理规律，则支 配该过程的物理规律具有空间反射对称性。
物理定律不因地而异 1) 物理定律的旋转对称性——空间各向同性
空间各方向对物理定律等价，没有哪一个方向具有特别优越 的地位。实验仪器方位旋转，实验结果不变。
2) 物理定律的平移对称性——空间均匀性
空间各位置对物理定律等价，没有哪一个位置具有特别优越 的地位。物理实验可以在不同地点重复，得出的规律不变。
力矩的大小：
M M rFsin
力矩的方向：
右手螺旋法则
动画
三、角动量守恒应用
一演员在台北101大厦(500m高)前表演
四、宇宙速度与轨道形状 从地球表面发射飞行器，飞行器环绕地球、脱离 地球和飞出太阳系所需要的最小速度，分别称为第一、 第二、第三宇宙速度。 第一宇宙速度：在地面上发射一航天器，使它能 绕地球的圆轨道运行所需的最小速度。 v1 = 7.9 km/s 第二宇宙速度：脱离地球的引力范围所需的最小 发射速度。 v2 = 11.2 km/s 第三宇宙速度：不但脱离地球引力范围还要脱离 太阳引力范围所需的最小发射速度。 v3 = 16.7 km/s
(3) 空间反演对称性
左右对称与平移、旋转不同：（例如手套、鞋）
2. 时间对称性
“周期”、“节奏”、“季节”等，这类出现在我 们面前的重复现象，其实就是时间的对称。
生活中的事件总是以不同的节奏循环往复地交替着 人类又何尝不是按一定“节奏”世代交迭着。
年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。
3. 物理学与对称性 对称性与物理学之间有什么关系呢？这里包含 两层含义： (1)物理理论自身追求一种对称，并将其作为物理 学美学三大标准(简单、对称、和谐)的主要内容 之一。 形象对称、抽象对称、数学对称三类 (2)物理规律的内容是自然界对称性的反映，“对称 性”是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本 规律。
诺特尔 (1883～1935)定理
对称性 —— 守恒量 —— 守恒定律
严格的对称性——严格的守恒定律 近似的对称性——近似的守恒定律
对应
对应
1. 空间对称性 如果物体上每一部分相对于任意一个假想的点、 一条假想的线、一个假想的面而和它另一部分相符 合的话，就可以说这个物体是对称的。或者说一切 物体只要它们是由任意个相同的部分构成的，就都 叫做是对称的。
对称意味着“有序”，意味着某种“重复”的东西 存在
(1) 空间旋转对称
o
o
o
对绕 O 轴旋 转任意角的操 作对称
对绕 O 轴旋 转 2 整数倍 的操作对称
对绕 O 轴旋 转 /2 整数倍 的操作对称
(2) 空间平移对称
一无限长直线：对沿直线移动任意步长的平移操作对称。 一无限大平面：对沿面内任何方向、移动任意步长的平 移操作对称。 平面网格： 对沿面内某些特定方向、移动特定步长的 平移操作对称。
r
L
p
行星运动到近日点与远日点时，行星的动量
与矢径均垂直 v2 r1 v1 即 因此有： r2
90
L1 mv1r1 L2 mv 2 r 2
设行星运动到Ａ点时，行星的速度为v，动量 与矢径的夹角为θ r1 v r
θ
Ａ
v2
r2
v1 则在△t时间内，矢径扫过的面积为： 1 S vtr sin 2 由 S S1 S 2 vr sin v1r1 v2 r 2
人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由 万有引力提供，即：
Mm v2 GM G 2 m v r r r
地球半径R=6400km，地球质量为约60万亿亿吨， 代入上式可得卫星的最大运行速度为：
v GM r 6.67 1011 6.00 1024 7.9km / s 6 6.4 10
例：某人造卫星沿一椭圆轨道绕地球运动，其近地 点离地面的高度 h1 300 千米，远地点离地面的高 度 h 1400 千米。试求卫星在近地点和远地点时的
2
运动速度 V1 和 V2。（设地球半径 R 6370 千米） e
五、对称性与守恒定律
镜里朱颜都变尽，只有丹心难灭。
物理学中存在着许多守恒定律,如能量守恒、动量守 恒、角动量守恒、电荷守恒、奇异数守恒、重子数守 恒、同位旋守恒……这些守恒定律的存在并不是偶然 的，它们是自然规律具有各种对称性的结果。
§2-7 角动量 角动量守恒定律
一、角动量 开普勒第二定律指出：
由太阳到行星的矢径，在相等的时间内扫过
相等的面积。 矢径: 太阳到行星的连线， 其方向指向行星。
问题:行星绕日运动中有没有守恒的物理量?
1 1 近日点: S1 v1tr1 S 2 v2 tr2 r1 2 2 v1 1 1 S1 远日点: S 2 v2 tr2 v1tr1 2 2 1 1 S1 v1tr1 S 2 v2 tr2 2 2
v2 r2
v1r1 v2 r2
mv1r1 mv2 r 2
等式两边同乘m
L1 L2
角动量的定义
如果一个质点在某一位置的动量为p，从某一固
定点到该位置的位矢为r， p与r之间的夹角为θ，那
么质点对此固定点的角动量L可以表示为：
L r p r mv
角动量的大小： L L prsin mvrsin 角动量的方向： 右手螺旋法则
即
mvr sin mv1r1 mv2 r 2
L L1 L2
二、角动量守恒定律 如果物体在运动过程中，受到外力相对于固定
点（或固定轴）的力矩为零，则物体相对该固定点
（或固定轴）的角动量守恒。
L r p r mv 力矩定义： M r F
轨道形状
角动量守恒
近地点加速
实现变轨
mv近r近 mv远r 远
v近 > v远
r
远
r近
卫星的变轨
v3
v4
v1
v2
航天器的动力
a
F
利用地球磁场
离子发动机
采用“太阳帆”
利用万有引力 行星和探测器相对于太阳的
速度分别为u0,v0，经引力助推后
探测器相对于太阳的速度增大为
2u0+v0
v u u0 v0