第七章 空间解析几何与向量代数

第六节 空间直线及其方程 <1> 空间直线的一般方程 L： <2> 点向式（对称式） 直线过点M0(x0、y0、z0)，为L方向向量 则 L： <3>参数式L： t为参数
L1∥L2 ∥ L1⊥L2 ⊥
50直线与平面关系
<1> L∥π ⊥
即
<2> L⊥π ∥
<3> 点P到直线L的距离，L的方向向量，M0为L上一点
<4>平面束方程 直线L： 则 为过直线L的除平面外的平面束方程
四．例题
例1：已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和 C（-1，3，1）。试证明A角为钝角。
证：=
=
= 可见，>+由余弦定理，就可知A角为钝角。 例2：在z轴上，求与A(-4,1,7)和B(3,5,-2)两点等距离的点。 解：设M为所求的点，因为M在z轴上，故可设M的坐标为：（0， 0，z） 根据题意，及= 去根号，整理得：z=14/9 ∴ M（0，0，14/9）。 例3：试在xoy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各 点的距离相等。
∴ ={4,-2,1}
又∵ 平面的法向量：{4，-2，1}
∴ 直线与平面垂直，故选（B）。
例13：求过点P（2，-1，3）且与直线1：垂直相交的直线的方程。
解：不妨设两直线交点为M（x0，y0，z0）,
由于M在1上，故：，其中t为参变量。
由于直线与直线1垂直：
பைடு நூலகம்
其中直线1的方向向量为，而直线的方向向量为：
又∵ Ax0+By0+Cz0=-D ∴ d= 如：P1(-1，1，2)到平面：3x-2y+z-1=0的距离为d= 例10 求直线l: 的点向式方程。
解：令x=1，得到，则y=-1，z=2。
所以：P0(1，-1，2)在所求直线l上。
又∵ 直线l要经过两个平面，
∴ 假设两平面的法向量依次记做：、，而直线l的方向向量为：
则：平面的方程：（x-1）-2（y-0）+z-1=0。 例8：设平面过原点以及点（6，-3，2），且与平面4x-y+2z=8垂直，求 平面的方程。
解：〖法一〗：由于平面过原点，所以可设平面的方程为： Ax+By+Cz=0。
则 ，上面两式相减得A=B，C=，任取B=2，A=B=2，C=-3 ∴ 平面的方程的为：2x+2y-3z=0 〖法二〗设平面的法向量为，而其余两平面的法向量依次记 做：，。且={6，-3，2}，={4，-1，2} ∴ ∴ 平面的方程的为2(x-0)+2(y-0)+3(z-0)=0. 例9：设点P1(x1，y1，z1)为平面：Ax+By+Cz+D=0外的一点。求点P1 到平面的距离d。 解 设P0(x0，y0，z0)为平面上的任意一点。又设设平面的法向量 为，而直线P0P1的方向向量为： ∵ d=
第七章 空间解析几何与向量代数
一．学习目的
1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌 握两个向量垂直和平行的条件。 3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练 掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会 求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平 面上的投影，并会求其方程 6、掌握平面方程和直线方程及其求法。 7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会 利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 8、会求点到直线以及点到平面的距离。
1、球面 ：设是球心，R是半径，是球面上任一点，则，即 2、椭球面 3、旋转曲面 设L是x0z平面上一条曲线
，L绕z旋转一周所得旋转曲面 得 称为旋转抛物面 旋转双曲面：，(单) 4、椭圆抛物面 5、单叶双曲面
6、双叶双曲面 7、二次锥面 圆锥面 8、柱面 抛物柱面
椭圆柱面 圆柱面
第四节 空间曲线及其方程 空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程
∴
∴ t=1
从而M点坐标为（3，-2，4），则
则直线的方程：。
例14：设平面过直线1：， 且平行直线2：，求平面的方程。
解：两直线的方向向量分别为：， 则平面的法向量。 故可假设平面的方程为：
代入（1，2，3），得D=2 所以：平面的方程为：
例15：求过点P0（1，2，1）和直线：的平面方程。 解：由于P0不在平面上，故平面不是所求平面。
解：设M为所求。故依题意可设M的坐标为（x，y，0），又由题意 知：
|MA| = |MB| = MC| ，即：
==
化简可得 ∴ 所求的点为M（16，-5，0）。 例4已知平行四边形两邻边向量，，其对角线交点为M，求 解：
如图7所示， 显然，又 ∴ 又∵ 即 ∴ 又 例5：设已知立方体三边上的向量a，b，c（大写表示向量），A、 B、C、D、E、F为各边的中点，求证：，，组成一个三角形。 证明。如图8
直线平行于z轴，交XOY平面于（x，y，0）。 从而可以得到，所以M点的坐标为： 所以由曲线的定义可知，曲线的方程：
1) 向量的加法、减法 满足：交换律、结合律。平行四边形、三角形法。
2) 向量的数乘，满足：结合律、分配律 3) 两向量平行的充要条件： 4) 空间直角坐标系(右手坐标系) 5) 利用坐标作向量的线性运算
1) 向量的坐标向量表示 2) 对应坐标运算。 6) 向量的模、方向角投影
向量的模与两点间的距离公式。
一般式
参数式: 在三坐标面上投影方程 在x0y面上投影曲线方程：在 中消去z，再与z=0联立。 其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。
第五节 平面及其方程 已知平面过点M0（x0、y0、z0），为的法矢量。 1> 点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零。 3> 截距式：，a，b，C分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距。 ⊥⊥ ∥∥ 点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
二．学习重点、难点
重点: 向量概念与运算， 旋转曲面方程,柱面方程 ，平面方程直 线方程
难点:向量的数量积与向量积 ，旋转曲面方程，平面束方程 ，有 关直线与平面的综合题
三．内容提要
第一节 向量及其线性运算 1、向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向。单位向 量、零向量 2、向量的坐标表达式及其运算
积 (点积)
第二节 数量积 向量积和混合积
性质： 应用：（i）
（ii） 2)向量积
右手定则 即 注意
应用（i） （ii） （iii）如 即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。 （iii） 3) 混合积 (1) (2) 混合积的几何意义 (3) 三向量共面的充分必要条件为混合积等于零.
第三节 曲面及其方程 常用二次曲面的方程及其图形
例6：已知平面上一点P1(a，0，0)，P2(0，b，0)，P3(0，0，c)。 若：，求平面的方程：
解：={-a，b，0}，={-a，0，c} 则=*== 则：bc（x-a）+ac（y-0）+ab（z-0）=0 同除以abc则 其中a，b，c称为平面方程在x轴，y轴，z轴上的截距。
例7设平面过P(1，0，1)，且垂直于直线，求平面的方程。 解：设平面的法向量为，而其余两平面的法向量依次记做：，
通过直线的全体平面可表示为：
由于直线在所求平面上，故代入上式可得t= -1 从而得所求平面为：。 例16：求螺旋曲线（动点M在圆柱面上以均匀角速度运动，同时以线 速度沿平行于z轴正向的方向上升，M点的运动轨迹就是螺旋曲线）方
程，图形如下：
解：设时间t刻，M点的坐标为（x，y，z）。显然， 而M点又落在曲面上，且做均匀角速度的旋转，转动的角度为，过M点做
则：
∴ 直线l的点向式方程为：
例11设直线l1 : ,直线l2 : 求两直线的夹角。
解：两直线的方向向量分别为：，
其中，分别为l2所对应的两平面的法向量。
∴ 两直线的夹角：，
∴
例12 设有直线 ：，且有平面：。
则直线（ ）
（A） 平行平面 （B） 垂直平面
（C）在平面上 （D） 与平面斜交
解：直线的方向向量是：