热力学与统计物理第六章章末总结
热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布
al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l
l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l
l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
统计物理第六章
d 2p dp
2m
体V 内 积能 ， 量 大在 小 到 d，自由粒子:的量
D ()d2V(2m )3212d
h3
D(表) 示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为能量态密度，简称为态密 度。
注意：
以上讨论没有考虑自旋，并且考虑到是非相对论性的粒子。 如果粒子的自旋不为零，比如电子自旋为1/2，光子自旋为1，由于自旋 角动量在动量方向上的投影有两个可能值（前面已提到，自旋角动量在空间 中的任意一个方向的投影有两个可能值），也就是说，有两个不同的状态， 因此上面的量子态数公式需乘以2：
由于自由由 粒动 子量 的p 的 x、 量 y、 p三 子 （ zp个 态 或 分 者 量 n 三 x、y、 n个 z） n量 表征， V 因 L3内 此 ， 容 p动 x到 器 px 量 dx， p在 yp到 pydyp ，zp到 pzdz的 p 范围
自由粒子:的量子态数为
dx d n y d n z n (2 L )3 dx d p y d p z p Vx h d d 3 y d p p zp
右边表示在μ空间中以h3为单位的相格的个数，左边表示量子态的数目。 一个相格h3 内只有一个量子态
进一步说明：
微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和 坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义 动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格）， 而不是一个点，这个体积元称为量子相格。
y r sc i n r o c s s o i r s s n c i n os
z r co r s sin
1m (r2r22r2si2 n 2)
热力学与物理统计第六章03
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
p p
由于不确定关系， xp h 。
第六章 近独立粒子的最概然分布
自由粒子的量子描述 首先讨论一维自由粒子，设粒子处于长度为L的一维 容器中，那么粒子可能的运动状态为 粒子运动应该满足周期性边界条件，粒子的德布罗 意波波长满足 那么，波矢满足 动量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
能量为
nx就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数
考虑三维自由粒子，设粒子处在边长为L的容器内
2
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在ε到ε+dε能量范围内自由粒子的量子 态数
D(ε)单位能量间隔内可能的状态数，称为态密度
第六章 近独立粒子的最概然分布
一维线性谐振子的经典描述及其μ 空间 质量为m的粒子在弹性力F=-Ax的作用下，将沿x轴 在原点附近做简谐振动，称为线性谐振子。振动 的圆频率为 粒子运动状态有坐标x和与之共轭的动量p来描述
第六章 近独立粒子的最概然分布
通常情况下，为了形象的描述粒子的运动状态，用 这2r个变量为直角坐标，建立一个2r维空间，我们 成为μ空间。粒子在某一时刻的运动状态与μ空间 中的一个点相对应。当粒子的运动状态随时间变化 时，粒子在μ空间的代表点发生相应的移动，描画 出一条轨迹。
第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
热学-统计物理6 第6章 热力学第二定律
热功转换
3. 热传导
两个温度不同的物体放在一起，热量将自动地由高温物体 传向低温物体，最后使它们处于热平衡，具有相同的温度。 温度是粒子无规热运动剧烈程度即平均平动动能大小的宏观 标志。初态温度较高的物体，粒子的平均平动动能较大，粒 子无规热运动比较剧烈，而温度较低的物体，粒子的平均平 动动能较小，粒子无规热运动不太剧烈。若用粒子平均平动 动能的大小来区分它们是不可能了，也就是说末态与初态比 较，两个物体的系统的无序度增大了，这种自发的热传导过 程是向着无规热运动更加无序的方向进行的。
热机Q2
A , A
E
Q1
Q1
T1
A Q2
Q1 可
逆 热 机
T2 E’
用反证法，假设
得到
A A Q1 Q1
Q1 Q1
Q1 Q2 Q1 Q2
Q2 Q2
两部热机一起工作，成为一部复合机，结果外界不对复合
机作功，而复合机却将热量 Q1 Q2 Q1 Q2 从低温热源送到高温热源，违反热力学第二定律。
自然界中的自发热传导具有方向性。
通过某一过程，一个系统从某一状态变为另一状态， 若存在另一过程，能使系统与外界同时复原，则原来的过 程就是一个可逆过程。否则，若系统与外界无论怎样都不 能同时复原，则称原过程为不可逆过程。单摆在不受空气 阻力和摩擦情况下的运动就是一个可逆过程。
注意：不可逆过程不是不能逆向进行，而是说当过程逆向 进行时，逆过程在外界留下的痕迹不能将原来正过程的痕 迹完全消除。
现在考虑4个分别染了不同颜色的分子。开始时，4个分 子都在A部，抽出隔板后分子将向B部扩散并在整个容器内无 规则运动。隔板被抽出后，4分子在容器中可能的分布情形如 下图所示：
热力学统计物理 第6章
p , kT
-
kT
所以上述平衡条件相当于
p1 p2 ,
1 2
（力学平衡条件） （相平衡条件） 四、由微正则分布求热力学函数的方法 1 先计算Ω 2 再求 —积分 { 经典的 量子的—求和（三种系统）
S k ln ( E , N ,V ) S 1 得E , 3 由 E N ,V T p ln ( N , E ,V ) S 由 k k V N ,E T V N ,E 得 p( N ,V , T , E ) 再将 E ( N ,V , T ) 代入，即得状态方程 p( N ,V , T )
E2 1 E1
两边除以 Ω1(E1) Ω2(E2),
得
2(E2) 1 1(E1) 1 1(E1) E1 2(E2) E2
ln 1 ( E1 ) E1
ln ( E ) 令 1 2 N ,V E 这是两子系统通过热接触(交换能量)达到平衡时需要满足 的条件(热平衡条件)：两子系统的β 相等。
( 0 ) ( E1，E2 ) 1 ( E1 ) 2 ( E2 ) ( 0) ( E1 , E ( 0) E1 ) 1 ( E1 ) 2 ( E ( 0) E1 )
A1
A2
即孤立系的Ω( 0) 取决于能量在两个子系统之间的分配。
总Ω( 0 ) 随能量E1 的变化而变化，故子系统 A1 必有一能量 值 E1 E 时，系统总微观状态数 Ω( 0) 有极大值. 1
d
微正则系综理论的热力学公式
三、熵与微观状态数Ω的关系
考虑由两个子系统 A1 和 A2 组成的复合孤立系统。
热力学统计物理第六章
l
l
l
N al 0 l
E lal 0 l
[lnlnBB.E.E
lNal[lEn(]l
精l 品a课la)件llnlnalla]l
al
l
0
33
…… ……
即：能级1上有a1个粒子， 能级2上有a2个粒
子，……。
精品课件
l
al
2
a2
1
a17 1
1、玻耳兹曼系统εl 上的ωl 个量子态时，第一个粒
子可以占据ω 个量子态中的任何一个态，有ωl 种可能的
占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制，在第 一个粒子占据了某一个量子态以后，第二个粒子仍然有ωl种
的占据方式，这样al 个编了号的粒子占据ωl个la量l 子态共有
种可能的占据方式，
精品课件
18
(2) 各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数:
al l
l
(3) 现在考虑将N个粒子互相交换，不管是否在同一能级上，交换
数是N!，在这个交换中应该除去在同一能级上al 个粒子的交换al !
因此得因子
N!/ al!
A
A AA
⑤⑥ A
A
AA
两个玻色子占据3个量子态有6种方式
精品课件
10
（2）费米系统：即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统
粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个 粒子（费米子遵从泡利原理）。
系统由两个粒子组成（定域子）。粒子的个体量子 态有3个, 讨论系统有那些可能的微观状态
量子态1 量子态2 量子态3
❖ 微观粒子的状态杂乱无章，一个系统的力学状态也是 杂乱无章的，有很多个可能的状态，那么，每个状态 出现的概率为多少呢，与什么因素有关
统计物理第六章
二、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为
n (n );
1 2
n 0,1,2,
所有能级等间距，均为 ,每一个能级都是非简并的，即简并度为1。
三、转子
转子的能量:
M2 2I
量子理论要求:
M 2 l (l 1) 2 l 0,1,2,
固定l，角动量在空间任意方向上（比如说 z 轴）的投影:
一、自旋
电子(质子、中子等)具有内禀角动量（自旋）和内禀磁矩,关系为：
e S m
自旋角动量在空间任意方向上的投影（比如说 z 轴）只能取两个值:
1 S z m S ; 2
mS 1 称为自旋 （磁） 量子数 2
在外磁场中的势能为
e e U B z Bz mS B B m 2m
二.粒子的运动状态的经典描述
设粒子的自由度数r（能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目），粒 子在任一时刻的力学运动状态（或者微观运动状态）由2r个广义坐标和广义 动量确定：
广义坐标 ：q1 , q2 , q3 ,qr 广义动量 ：p1 , p2 , p3 , pr
粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：
dnx dny dnz Vdp x dpy dpz h3 Vp 2 sin dpdd h3
对 : 0 , : 0 2 积分：0
坐标用球坐标表示:
x
y
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
r sin sin r sin cos r cos cos x
r sin cos r sin cos r cos sin y
热力学与统计物理第6章
自然现象与自然规律
现象分类 确定性现象 规律 动力学 规律 因果律 创始人 必然性 典型成果
伽利略 海王星 牛顿 彗星 拉普拉斯 随机性现象 统计规律 偶然性 玻耳兹曼 统计物理 吉布斯 量子力学 混沌现象 非线性 规律 非线性 庞加莱 混沌 分形 孤立子
4
第六章 近独立粒子的最概然分布
2
M 2 l (l 1) 2 l 0,1,2,
M Z m, m l ,l 1,, l
转子的自由度为2，一个量子态用(l, m)表示.
能级
l (l 1) l 2I
2
l 0,1,2,
基态非简并，激发态简并，简并度为 2l 1
第六章 近独立粒子的最概然分布 30
p1 p mr p2 p mr sin
2 2
1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( p 2 p 2 ) 能量： m(r r sin ) 2 2I sin
第六章 近独立粒子的最概然分布 20
根据经典力学，在没有外力作用的情形下， 转子的总角动量 M r p 是一个守恒量，其大小 和时间都不随时间改变。由于 r 垂直于 M ，质点 的运动是在垂直于 M 的平面内运动。如果选择 轴z平行于 M ，质点的运动必在 xy平面上，这时
确定性的理论——动力学规律 在一定的初始条件和边界条件下，某一系统在 任意时刻必然处于确定状态。 非确定性的理论（概率性的）——统计规律 统计规律告诉我们，在一定宏观条件下，某一时 刻系统处在某一状态的概率，但不能预言在某一时刻 处在何种状态。 统计规律的普遍表述是，在一定条件下，某个事 件以一定的概率发生。 不仅大量组成的系统服从统计规律，各种无规现象 组成的大量事件整体也服从统计规律。
热力学与统计物理学第六章 系综理论
3N2
1 H 1 2 e H 1 , 所以 E
3N2
D
2
(
E
1( p,
q
H1 )
) Ce
AE
H1
(
p
2 ,q
e
)
H
1
16
上式还存在两个待定常量β和C，由以下两个条件确定：
(i) 根据归一化条件定出C，即系统在Γ空间中的一个代表点
出现在（p,q）且能量为E处的相体积元的概率为
1 (p ,q ) D 2 (E D ( H E 1 ) (p ,q ) ) 2
总的态密度等于一个常量，那么需要计算大热源的态密度， 因为恒温正则系统的性质与大热源无关，为简单起见，假设 其由单原子分子构成。
粒子数为
N2,
能量为
E2
E
H
的大热源态密度为
1
3 N 2 1
3N2
D 2 (E H1) A(E H1) 2 A(E H1) 2
31
二、巨正则分布的推导
从微正则系综导出巨正 则系综的分布密度函数 , 一个系统 与大热源和大粒子源保 持接触。
E E1 E 2 常量 ， N N 1 N 2 常量， N 2 N 1 , E 2 E1 系统的分布密度函数为
（1 E 1 , N 1）
D2 (E E1, N D(E, N )
30
§6. 4 巨正则系综
一、巨正则系综的性质
巨正则系统：具有固定的温度T、体积V和化学势μ的 开放系统，也称T-V- μ系统。粒子数N和能量E变化，而 仅知道N和E的平均值。
三种系统的划分：
蒸气加液体是 封闭系统，为
正则系综
蒸气+液体 +热源
南京大学-热力学与统计物理第六章讲解学习
1)!
(五).经典极限条件下，玻色系统的微观状态数
经典极限条件：
al
l
1
（对所有的
）时：
B.E
l
(l
al
1)!/ al (l
1)! l
(l
al
1)(l al al !
2) l
l
al l al
M.B N!
(六).经典极限条件下，费米系统的微观状态数
F.D
l
l !/ al
(l
子 1/ N ! 上。
(二)、玻耳兹曼、玻色、费米分布的推导 （1）玻耳兹曼分布公式
等几率原理：
对于处于平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观状 态出现的概率是相等的；
最概然分布：
微观状态数最多的分布，出现在概率最大，称为最概然分 布(或最可几分布)。
Stirling公式 ln m! m(ln m 1)
式。因为粒子是不可分辨的，应除去粒子之间的相互交换数 al !
和量子态之间的相互交换数 (l 1)!
所以，al 个粒子占据能级 l 上的 l 个量子态，
有
(l al 1)!/ al (种l 可1)!能性。
所以玻色系统与分布 al 相应的系统的微观a状l ! 态数是：
B.E
l
(l
al
1)!/ al (l
全同
F .D.
l! l al!(l al )!
经典极限条件下
al
l
1
，玻色及费米系统的
微观状态数
B.E
M .B N!
F.D
在经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数
远小于1，粒子之间的关联可以忽略，这时 B.E 和 F.D
热力学统计物理第六章
sind d 4
0 0
2
在体积 V 内，在 p ~ p dp 的动量大小范围内 自由粒子可能的量子态（非相对论情况下）
p2 2m
代入上式，则有
2V 2m 3 h
3 2 1 2d
D d
统计物理学
统计物理学是从宏观物质系统是由大量微观粒子组 成这一事实出发，认为物质的宏观性质是大量微观粒子 行为的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计 平均值。因此，对于统计物理学来说，首要的问题是怎 样去描述组成热力学系统的微观粒子的运动状态。
运动状态是指粒子的力学运动状态，根据它遵从的是
经典的还是量子的运动规律，分为经典描述和量子描述。
三、系统微观运动状态的量子描述 量子的全同粒子一般来说是不可分辨的，在含有多个全同 粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系 统的微观状态，此为微观粒子的全同性原理。
但如果系统的微观粒子受到空间的限制（定域系统），那
么可用粒子的位置来分辨粒子。这时描述系统的微观运动状态 需要确定每一个粒子的量子态。 如果系统的微观粒子不受空间的限制（非定域统系统）， 必须考虑微观粒子的全同性原理。 如果全同粒子是不可以分辨，确定由全同近独立粒子组 成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。
p
h
2
一维自由粒子的能量
nx
2 2 p x 2 2 2 n x 2m m L2
nx 0,1,2,
（2）三维自由粒子
2 px nx L
边长为 L 的正方形空间
nx 0,1,2,
nx
2 n y 0,1,2, py ny L nz 0,1,2, 2 pz nz L n y nz 是表征三维自由粒子运动状态的量子数
(完整版)热力学与统计学总结
平衡时子系统与外界具有相同的温度和压强。子系统是整个系统中任意的一个小部分，因此达到平衡时整个孤立均匀系统的温度和压强是均匀的。
8开系的热力学基本微分方程
9单元复相系的平衡条件
单元两相系达到平衡时，两相的温度、压强和化学势必须分别相等。
热平衡条件;
力学平衡条件:
相变平衡条件:
10热力学第三定律
卡诺热机的效率：
卡诺制冷剂的制冷系数：
第4章热力学第二定律熵
1.可逆过程是什么？可逆过程的条件是什么？
可逆过程与不可逆过程：一个系统由某一状态出发，经历一过程达到另一状态，如果存在一个逆过程，该逆过程能使系统和外界同时完全复原(即系统回到原来状态，同时消除了原过程对外界引起的一切影响)，则原过程称为可逆过程；若用任何方法都不能使系统和外界同时完全复原，则原过程称为不可逆过程。
玻尔兹曼熵：
第6章均匀物质的热力学性质
1.最大功原理
最大功原理：系统自由能的减小是在等温过程中从系统所能获得的最大功。
2.自由能判据
等温等容过程系统的自由能永不增加：可逆等温等容过程自由能不变；不可逆等温等容过程总是向着自由能减少的方向进行。
3吉布斯函数判据
吉布斯函数判据：只有体积功的情况下，在等温等压过程中系统的吉布斯函数永不增加。不可逆等温等压过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行。
5.理想气体的熵公式
①以T/V为独立变量②以T/P为独立变量
6.热力学第二定律的数学表述
7.熵增加原理
①一切不可逆绝热过程中的熵总是增加的!
②一切可逆绝热过程中的熵是不变的。
③平衡态是熵最大的状态
8.温熵图
T-S图中任一可逆过程曲线下的面积就是在该过程中吸收的热量。
热力学统计物理各章总结
第一章1、与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；2、与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；3、与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；4、平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。
5、参量分类：几何参量、力学参量、化学参量、电磁参量6、温度：宏观上表征物体的冷热程度；微观上表示分子热运动的剧烈程度7、第零定律：如果物体A和物体B各自与处在同一状态的物体C达到热平衡，若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡，这个经验事实称为热平衡定律8、t=T-273.59、体胀系数、压强系数、等温压缩系数、三者关系10、理想气体满足：玻意耳定律、焦耳定律、阿氏定律、道尔11、顿分压12、准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
13、广义功14、热力学第一定律：系统在终态B和初态A的内能之差UB-UA 等于在过程中外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和，热力学第一定律就是能量守恒定律.UB-UA=W+Q.能量守恒定律的表述：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量保持不变。
15、等容过程的热容量；等压过程的热容量；状态函数H；P2116、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关。
P2317、理想气体准静态绝热过程的微分方程P2418、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程：等温膨胀过程、绝热膨胀过程、等温压缩过程、绝热压缩过程19、热功转化效率20、热力学第二定律：1、克氏表述-不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；2、开氏表述-不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其它变化,第二类永动机不可能造成21、如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能把它留下的后果完全消除而使一切恢复原状，这过程称为不可逆过程22、如果一个过程发生后，它所产生的影响可以完全消除而令一切恢复原状，则为可逆过程23、卡诺定理：所有工作于两个一定温度之间的热机，以可逆机的效率为最高24、卡诺定理推论：所有工作于两个一定温度之间的可逆热机，其效率相等25、克劳修斯等式和不等式26、热力学基本微分方程：27、理想气体的熵P4028、自由能：F=U-FS29、吉布斯函数：G=F+pV=U-TS+pV30、熵增加原理：经绝热过程后，系统的熵永不减少；孤立系的熵永不减少31、等温等容条件下系统的自由能永不增加；等温等压条件下，系统的吉布斯函数永不增加。
热力学与统计物理第六章(部分)
x dA v
vxdt
柱体的体积为: 柱体的体积为:vxdtdA,所以: ,所以:
dΓ dAdt = f dvx dv y dvz v x dAdt
dΓ = fv x dv x dv y dv z
Γ = ∫ dv y ∫ dv z ∫ v x f dv x
∞ ∞ 0
k BT 1 Γ = n = nv 2πm 4
由分步积分得到: 由分步积分得到:
+∞
=0
dp p1 e = 2β
1 a 1 p 12 e ∫ ∞ 2 1 2β
+∞ ∞
β
2
a 1 p 12
β
2
a 1 p 12
1
+ ∞ ∞
+
∫ e
β
2
a 1 p 12
dp
1
1 1 1 2 βε dq 1 ... dq r dp 1 ... dp r a1 p1 = ∫e 3 2 2β Z h0 1 = k BT 2
2,能量均分定理的应用之一:单原子分子 ,能量均分定理的应用之一:
单原子单原子分子只有平动,其能量地表达式如下: 单原子单原子分子只有平动,其能量地表达式如下:
1 ε = 2m
(p x2
2 + p2 + pz y
)
3 ε = k BT 2
3 U = Nk B T 2
式中有三个平方项,所以根据能量均分定理, 式中有三个平方项,所以根据能量均分定理, 在温度为T时 单原子分子的平均能量为: 在温度为 时,单原子分子的平均能量为:
U v + T V
U r + T V
V
t v r = CV + CV + CV
热力学统计物理——第6章(统计物理基础)
（2） ）
返回
3、概率的乘法定理 、
事件互为独立， 若A、B事件互为独立，则 、 事件互为独立
P ⋅B = P ⋅ P A A B
返回
4、随机变量的概率分布 、
以一定概率取各种可能值的变量叫随机变量. 以一定概率取各种可能值的变量叫随机变量 ①分离型随机变量的概率分布 ②连续型随机变量的概率分布
设粒子自由度为r， 个广义坐标 个广义坐标q 设粒子自由度为 ，以r个广义坐标 1，……，qr为横轴，以r ， 为横轴， 个广义动量p 维空间叫µ空间 个广义动量 1，……，pr为纵轴所构成的 维空间叫 空间。 ， 为纵轴所构成的2r维空间叫 空间。 空间中的一个点代表粒子的运动状态， 在µ空间中的一个点代表粒子的运动状态，这个点叫代表点。 空间中的一个点代表粒子的运动状态 这个点叫代表点。 粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道叫相轨道。 粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道叫相轨道。
返回
1、二项分布 、
N! n N−n P (n) = pq N n!(N − n)!
返回
2、泊松分布 、
(n)n −n P (n) = e N n!
返回
3、高斯分布 、
P(n) =
1 2π (∆n)2
e
−(n−n )2 / 2(∆n)2
返回
4.2 粒子运动状态的经典描述和量子描述
一、近独立粒子体系 二、粒子运动状态的经典描述 三、微观粒子运动状态的量子描述 四、常见粒子的量子态 粒子能态密度g(ε) 五、粒子能态密度
写为标准椭圆方程形式
2
（2） ）
2 mε
2ε / mω 2
x 0
p2 x2 + =1 2 2mε (2ε / mω )
热力学统计物理第六章
2 1
a2 a1
3 4
4
2
2 1
能级之间粒子交 换的方式数目为
a2 a1
6! 6! 4！ al ! 2！
l
34 42
(4) 系统分布 {al} 包含的总微观状态数为
M B
N! 6 ！ 4 2 al l 3 4 19440 4 ！ 2! al ! l
量子态1 量子态2 量子态3
④ ⑤ ⑥ A A A A A A
两个费米子占据3个量 子态有3种占据方式
对于不同统计性质的系统，即使它们有相同的粒子数、
相同的量子态，系统包含的微观状态数也是不同的。
上例仅为两个粒子组成的系统、三个量子态。对于大
量微观粒子组成的实际系统，其微观状态数目是大量的。
12
热统
6 热统
2、微观系统的量子描述 定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶体中的原子 或离子定域在其平衡位置附近作微振动、这些粒子就 量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根据 粒子的位置对其加以区分（可分辨）。所以晶体中的 原子或离子可看成是定域粒子。
不可分辨的全同粒子系统(非定域系）
7
热统
玻耳兹曼系统
斯特林近似公式
l l
ln m ! m ln m m
要求 m 1 要求 al 1
l
ln ln N ! lnal! al ln l
l l
N ln N N al ln al al al ln l
N ln N al lnal al ln l
dE l dal 0l31 Nhomakorabea统l
dN dal 0
热力学与统计物理课后习题答案第六章
第六章 近独立粒子的最概然分布6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d .VD m hπεεεε=解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3d d d .x y z Vp p p h （1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为234πd .V p p h（2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为2.2p mε= 因此d .p p p md ε==将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()132232π()d 2d .VD m hεεεε= （3）6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()122d d .2L m D h εεεε⎛⎫=⎪⎝⎭解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为d d .xx p h在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为2d .Lp h（1） 将能量动量关系22p mε= 代入，即得()122d d .2L m D h εεεε⎛⎫=⎪⎝⎭（2）6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222π.L D d md hεεε=解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为21d d d d .x y x y p p h（1） 用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin .x y p p p p θθ==用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d .p p θ在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为22d d .L p p hθ（2）对d θ积分，从0积分到2π，有20d 2π.πθ=⎰可得在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为222πd .L p p h（3） 将能量动量关系22p mε= 代入，即有()222πd d .L D m hεεε= （4）6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为.cp ε=试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（6.2.16）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d .V p p h π （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系cp ε=代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()234πd d .VD ch εεεε=（2）6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为l l l a e αβεω--=和,l l l a e αβεω''--''=其中l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V 时，两种粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件,,ll l l l lllllaN a N a a Eεε''==''+=∑∑∑∑ （1）才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布{}l a 和{}l a '时各自的微观状态数为!,!!.!l l a l ll la l ll lN Ωa N Ωa ωω'='''='∏∏∏∏ （2）系统的微观状态数()0Ω为()0.ΩΩΩ'=⋅ （3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使()0Ω或()0In Ω为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得()()In ln ln ln ln ln ln ln ,l l l l l l l l llllΩΩΩN N a a a N N a a a ωω'=⋅''''''=-++-+∑∑∑∑为求使()0ln Ω为极大的分布，令l a 和l a '各有l a δ和l a δ'的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化. 使()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}l a '必使()0δln 0,Ω=即()0δln ln δln δ0.lll l l l ll a a Ωa a ωω⎛⎫'⎛⎫'=-- ⎪=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭∑∑ 但这些δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件δδ0,δδ0,δδδ0.l ll ll l l l llN a N a E a a εε==''==''=+=∑∑∑∑用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得()0δln δδδln δln δ0.l ll l l l l l l l ΩN N Ea a a a ααβαβεαβεωω''---⎛⎫'⎛⎫'''=-++- ++⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭=∑∑根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得ln 0,ln 0,ll ll l l a a αβεωαβεω++='''++='即.ll l l l l a e a e αβεαβεωω--''--=''= （4）拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的α和α'可以不同，但有共同的β. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数,N N '和能量E 具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的β.6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？ 解: 当系统含有N 个玻色子，N '个费米子，总能量为E ，体积为V 时，粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件,,ll l laN a N =''=∑∑l llllla a E εε''+=∑∑ （1）才有可能实现.玻色子处在分布{}l a ，费米子处在分布{}l a '时，其微观状态数分别为()()()1!,!1!.!!l l ll l l ll l l a Ωa Ωa a ωωωω+-=-''='''-∏∏系统的微观状态数()0Ω为()0.ΩΩΩ'=⋅ （3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使()0Ω或()0ln Ω为极大的分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得()()()()()0ln ln ln ln ln ln ln .l l l l l l l l llllllllllΩa a a a a a a a ωωωωωωωω=++--+⎡⎤⎣⎦''''''''----⎡⎤⎣⎦∑∑令各l a 和l a '有δl a 和δl a '的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化，使用权()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}l a '必使()0δln 0,Ω=即()()()0ln δln δln δ0.l l l l l l l l l l a a Ωa a a a ωω''-+'=+'=∑∑ 但这此致δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件δδ0,δδ0,δδδ0.l ll ll l l l llN a N a E a a εε==''==''=+=∑∑∑∑用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得()()()δln δδδln δln δ0.l l l l l l l l l l l l ΩN N Ea a a a a a ααβωωαβεαβε''---⎛⎫''-+⎛⎫ ⎪'''=---+-- ⎪ ⎪'⎝⎭ ⎪⎝⎭=∑∑根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得ln 0,ln0,l ll ll l l l a a a ωαβεωαβεω+--=''-''--='即,1.1ll ll ll a ea e αβεαβεωω--''--=-''=+ （4） 拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中α和α'不同，但β相等.。
热力学统计第六章
0 项被弃去了.在温度足够高时可以忽略
但是在低温下情况有所不同,在绝对零度时,粒子将尽可能地占据 最低能态. 由于一个量子态所能容纳的玻色子的数目是不受限制的， 绝对零度下玻色粒子将全部处在的最低能级。在足够低的温度下, 处在能级
0
的粒子数也将是相当可观而不能忽略的，
1 2
在 T Tc
一、玻色系统
把 , 和y看作由实验确定的参量。系统的平均总粒子数为
N l
l l
e l 1
l
l
（6.1.1）
1、巨配分函数
l 1 e
l l
l
ln l ln 1 e l
l
(6.1.2) （6.1.3）
dU TdS Ydy dN （开系的热力学方程）
与化学势的关系
计算过程 巨配分函数的对数 ln 系统的全部平衡性质
kT
（6.1.11）
系统的基本热力学函数
T ,V , 为变量的特性函数
J F N U TS N
巨热力势J与配分函数的关系
（6.1.9）
将(6.1.2)式代人(6.1.9)式，与(6.1.4)式比较，得
S k ln
玻耳兹曼关系
第六章 玻色子统计和费米统计
(6.1.10)
第5页
扬州大学物理科学与技术学院
ˆ du Ydy d ln ln ln dN
n 0
3 2 d 3 2 2 2 x dx 2 T 3 2m 3 2mkT 2 x 0 n h 0 e 1 kT h e 1 Tc 1 2
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第1节粒子运动状态的经典描述
一．回顾
1.最概然分布
（1）分布：粒子在能级上的分布
（2）最概然分布：概率最大的分布
2.粒子运动状态描述--力学运动状态
(1)经典力学描述（2）量子力学描述
二．粒子向空间描述
1.运动状态确定
自由度为r的粒子，任意时刻的力学运动状态由r个广义坐标（q）和r个广义动量（p）的数值确定，则粒子的能量为
2. 向空间
（1）空间：由r个广义坐标和r个广义动量构成一个直角坐标系，这个2r维的空间，就称为空间。
（2）代表点（相点）
（3）相轨迹.
3．常见粒子的描述
1. 自由粒子
定义：不受力的作用而作自由运动的粒子。
描述：粒子能量为
2. 线性谐振子
3. 转子
第2节粒子运动状态的量子描述
1．波粒二象性与测不准关系
1.波粒二象性
德布罗意关系
2. 测不准关系
2．常见粒子的量子态描述
1线性谐振子
2. 转子
（1），
当L 确定时，可将角动量在其本征方向投影（z轴）
（2）能量
（3）简并与简并度
3. 自旋角动量
自旋角动量（）是基本粒子的内禀属性
4. 自由粒子
（1）一维
（2）三维
容器边长L,动量和能量分量
x: ,
y:
z;
总动量和总能量
（3）量子态数
第3节系统微观运动状态的描述
1、系统
1、对象：组成系统的粒子为全同近独立粒子
2、全同粒子系统具有完全相同的内禀属性的同类粒子的系统
3、近独立粒子系统：系统中的粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单粒子能量。
4、系统的能量
N个全同近独立粒子 .
2、系统的微观状态的经典描述
1、力学方法：。
2、可分辨全同粒子
系统中任意两个粒子交换位置，系统的力学运动状态就不同。
3、量子描述
1、全同性原理
2、状态的描述
（1）、定域系：全同粒子可辨
非定域系：全同粒子不可分辨
定域系需要要确定每个粒子的个体量子数；
非定域系确定每个个体量子态上的粒子数
（2）、微观粒子的分类
玻色子：自旋量子数位整数
费米子：自旋量子数为办整数
4、系统分类
1、玻色系统：玻色子不受泡利原理控制；
2、费米系统：费米子受泡利原理约束，不可分辨；
3、玻尔兹曼系统：粒子可分辨，同一个个体量子态上粒子数不受限制。