数值分析第二章

数值计算中的 误差分析初步
数值运算的误差估计 误差分析的方法 误差分析的原则
数值运算的误差估计
* * * * 两个近似数 x1 与 x2 ，其误差限分别为 ε ( x1 ) 及 ε ( x2 ) ，它们进行加、
减、乘、除运算得到的误差限分别为
* * * * ε ( x1 ± x2 ) = ε ( x1 ) + ε ( x2 ) * * * * * * ε ( x1 ⋅ x2 ) ≈ x1 ε ( x2 ) + x2 ε ( x1 ) * * * * x1 ε ( x2 ) + x2 ε ( x1 )
例 1：计算 x 255 的值。
如果逐个相乘要用 254 次乘法，但若写成
x 255 = x ⋅ x 2 ⋅ x 4 ⋅ x8 ⋅ x16 ⋅ x 32 ⋅ x 64 ⋅ x128
只要做 14 次乘法运算即可。
误差分析的原则－IV
例 2：计算多项式
Pn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0
⇓
用 106 ⋅ 0.2000 除第二 个方程减第一个方程
⎧101 ⋅ 0.1000 x2 = 101 ⋅ 0.1000 ⎨ 1 10 ⋅ 0.2000 x1 + 101 ⋅ 0.1000 x2 = 101 ⋅ 0.2000 ⎩
⇓
很好的近似解!
x1 = 0.5000, x2 = 101 ⋅ 0.1000 = 1
δi = 0.000009 × 105 ，在五位的计算机中表示为计器 0。
A = 0.52492 × 105 + 0.000009 × 105 + 0.52492 ×105
+ 0.000009 × 105
误差分析的原则－III
如果计算时先把数量级相同的一千个 δi 相加，最后再加 52492， 就不会出现大数“吃掉”小数的现象。
这时，
0.1× 10 ≤ ∑ δi ≤ 0.9 × 103
3 i=1 1000
0.001× 105 + 0.52492 × 105 ≤ A ≤ 0.009 × 105 + 0.52492 × 105
52592 ≤ A ≤ 53392
误差分析的原则－IV
4. 注意简化计算步骤，减少运算次数
（减少运算次数，不但可以节省计算机的计算时间，还能 减少舍入误差）
则只要 n 次乘法和 n 次加法就可算出 Pn ( x ) 的值。
插值法 Interpolation
1 − cos x = 2sin 2 x 2
比如计算 A = 107 (1 − cos 2° ) ，这里取 cos 2° = 0.9994 。
误差分析的原则－II
例：求方程 ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 的两个根 x1 , x2 的公式是
−b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac 和 x2 = x1 = 2a 2a
例如， x, y 的近似值为 α, β ，误差限为 δα, δβ ，即
或者
x − α ≤ δα ， y − β ≤ δβ
x ∈ [ α − δα, α + δα ] = X ， y ∈ [β − δβ, β + δβ] = Y
z = x ∗ y → Z = X * Y = [ z , z ] = [ z − δz , z + δz ]
(
)
数值运算的误差估计
当 f 为多元函数时，如 A = f ( x1 , x2 ,
* * 似值为 x1 , x2 , * , xn ，则
, xn ) ，设 x1 , x2 ,
, xn 的近
* * e ( A* ) = A* − A = f ( x1 , x2 , * * ⎛ ∂f ( x1 , x2 , ≈ ∑⎜ ∂xk k =1 ⎜ ⎝ n
若 b > 0 且 b2
4ac ≥ 0 ，计算 x1 会产生相减相消。
x1 = −2c b + b 2 − 4ac
注：如果无法改变算式，则采用增加有效位数进行运算；在计算机 上可采用双倍字长运算，但这要增加机器计算时间并且占用更多的 内存单元。
误差分析的原则－III
3. 要防止大数“吃掉”小数
（在数值运算中参加运算的数数量级相差很大时，可能 会影响计算结果的可靠性）
k =1
dt ，则 x = ± a × 10 J （基数 p ）
计算机的字长，表 示数x的尾数的位数
一般地，一个 p 进制数 x 可以表示成
x = ±p
t
J
dk p −k ∑
k =1
t
或
x = ±a × p J
数x的阶，用 来确定该数的 小数点的位置
我们称 a = ∑ d k p − k = 0.d1d 2
对于十进制规格化浮点数： 0.1 ≤ a < 1
计算机中数的表示
采用浮点表示的数，进行两数相加（或相减）时，首先要对阶， 即把两数的小数点对齐，使它们的阶相等。
对阶的方法 把阶数小的数尾数右移，每移一位其阶就加“1”直 到两数的阶相等。
例：假设所使用的计算机是采用舍入的方法， t = 5, p = 10 。若
*
f ′′ ( ξ ) * 2 ( x − x ) , ξ ∈ ( x, x * ) 2
取绝对值得
f ( x) − f ( x
*
) = f ′( x ) ε ( x ) +
* *
f ′′ ( ξ ) 2
ε 2 ( x* )
忽略 ε ( x* ) 的高阶项可得计算函数的误差限
ε f ( x* ) ≈ f ′ ( x* ) ε ( x* )
x1 = 0.50000125, x2 = 0.999995
误差分析的原则－II
2. 要避免两相近数相减
（在数值计算中相近的两数相减有效数字会严重损失）
例：计算表达式 1 − cos x ，当 x 相减相消。
两个几乎相等的同号数相减时精度的损失称为相减相消
0 时，直接进行计算会导致
然而我们可以利用恒等式
例 ： 在 五 位 十 进 制 计 算 机 上 计 算 A = 52492 + ∑ δi ， 其 中
i =1 1000
0.1 ≤ δi ≤ 0.9 。
首先，把运算的数写成规格化形式 A = 0.52492 ×10 + ∑ δi 。
5 i =1 1000
由 于 在 计 算 机 内 计 算 时 要 对 阶 ， 若 取 δi = 0.9 ， 对 阶 时
误差分析的原则－I
1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法
（用绝对值小的数作除数舍入误差会增大）
⎧0.00001x1 + x2 = 1 例：求解线性方程组 ⎨ 。 ⎩2 x1 + x2 = 2
其准确解为
x1 = x2 =
200000 = 0.50000125 399999 199998 = 0.999995 199999
⇓
⎧10−4 ⋅ 0.1000 x1 + 101 ⋅ 0.1000 x2 = 101 ⋅ 0.1000 ⎨ 一个方程减第二个方程 ⎩106 ⋅ 0.2000 x2 = 106 ⋅ 0.2000
用 (10−4 ⋅ 0.1000 ) 2 除第
⇓
严重失真!
x1 = 0, x2 = 101 ⋅ 0.1000 = 1
* * ε ( x1 x2 ) ≈
x
* 2 2
(x
* 2
≠ 0)
数值运算的误差估计
更一般的情况是，当自变量有误差时计算函数值也产生误差，其 误差限可利用函数的 Taylor 展式进行估计。
设 f ( x ) 是一元函数， x 的近似值为 x* ，则
f ( x ) − f ( x ) = f ′ ( x* )( x − x* ) +
x = 0.21062 ×10−5 ， y = 0.12345 × 10−3 ，则 x ⊕ y = ?
浮点数运算加
误差分析的方法
向前误差分析法
(Forward Error Analysis)
直接估计计算结果与真确结果之间的误差，称为向前误差分析。
真确值：x = g ( a1 , a2 ,
, an )
≈
27 = 0.31% 8800
相对误差限
计算机中数的表示
现在我们假定提供给计算机的数 x 只是有限位小数。这样，数 x 可以表示成
x = ±10
J
∑ d 10
k =1 k
t
−k
其中 J 是整数， d1 , d 2 ,
t
, dt 都是 0,1, 2,
,9 中的一个数字。
若记 a = ∑ dห้องสมุดไป่ตู้k 10− k = 0.d1d 2
若直接计算 ak x k 再逐项相加，一共需做
n + ( n − 1) +
+ 2 +1 =
n ( n + 1) 次乘法和 n 次加法。 2
⎧ S n = an ⎪ 若采用 ⎨ S k = xSk +1 + ak ⎪P ( x ) = S 0 ⎩ n
( k = n − 1,
, 2,1, 0 )
秦九韶算法
x 计算结果： fl
x − x fl
向后误差分析法
(Backward Error Analysis)
将计算过程的误差归结为初始误差的误差，称为向后误差分析。
若对每个 ai 引入某个摄动量 εi ，使得
J.H. Wilkinson (1960) 数值代数,矩阵计算
x fl = g ( a1 + ε1 , a2 + ε 2 ,