必修4 平面向量(讲义和练习)

《必修4》 第二章 平面向量一、知识纲要1、向量的相关概念：（1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为AB 或a。

向量又称矢量。

①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。

普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。

②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。

（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。

记作：|AB |或｜a｜。

向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

（3）零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。

①｜a｜＝0； ②0 与0的区别：写法的区别，意义的区别。

（4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。

若向量a 是单位向量，则｜a｜= 1 。

2、 向量的表示：（1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意：方向是“起点指向终点”。

（2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b →等；（3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 为基底向量，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

此时｜a｜。

若已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，， 即终点坐标减去起点坐标。

特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

3、 向量之间的关系：（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系为平行，记作a ∥b。

换言之，方向相同或相反的两个非零向量叫平行向量（共线向量）。

相互平行的两个向量之间的夹角为0度或180度，记为<a ,b> = 00或1800 。

由于向量可以进行任意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

注意① 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

② 规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

③平行向量无传递性（因为有0).（2） 不平行：对于两个非零向量a 和b，如果平移后它们的夹角不是0度或180度，则称这两个向量不平行。

此时，它们夹角的范围是 <a ,b> ∈（0，π）。

特别的，当<a ,b > =2π（即900）时，称为两个向量垂直，记为⊥a b 。

4、 由向量之间的关系引出的术语：（1） 同向向量：如果两个向量方向相同（即：共线并且夹角为0度），那么就称这两个向量是同向向量。

<a ,b> = 0（2） 反向向量：如果两个向量方向相反（即：共线并且夹角为180度），那么就称这两个向量是反向向量。

<a ,b> =π注意：同向向量和反向向量都是共线向量。

并且只考虑方向，不研究模长的大小关系。

（3） 相等向量： 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，记为b a =。

注意：① 相等向量经过平移后总可以重合，是同向向量的升级版。

② 相等向量的坐标体现为：),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x③ 若b a =，且c =b ，则c a=。

即向量相等具有传递性。

（4） 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫相反向量，a 的相反向量记为－a ，AB 的相反向量记为：－AB 或BA ，零向量的相反向量仍是零向量。

注意：① 相反向量是反向向量的升级版，要求方向相反，且大小相等，即|a |＝|b |。

② 若b a 与为相反向量，则0=+b a 。

③ 相反向量的坐标体现为：),(-),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121--y y x x④ 双重取反必还原：)(a --=a。

5、向量的线性运算：（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

注意 加法性质：① a a a=+=+00，任何向量与零向量的和都是任何向量；② a +(a -)=(a -)+a =0，一对相反向量的和一定为零向量； ③ 向量加法满足交换律：a +b =b +a；④ 向量加法满足结合律：（a+b ）+c =a +（b +c ）；（2）向量减法：求两个向量差的运算叫做向量的加法。

记作：)(b a b a -+=-，即求两个向量a 与b 的差，等于向量a加上b 的相反向量。

注意 ① a +(a -)=(a -)+a =0 ；② 若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 .小结 加减法的运算法则：（作图）“三角形法则” “平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．（3）向量的数乘运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，所得的结果表示：在a 的方向（或a的相反方向）取λ倍构成一个新向量，记作aλ。

aλ的长度与方向规定如下：①a a⋅=λλ；② 当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的③ 数乘向量满足交换律、结合律与分配律：a a a λμμλλμ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅， ()a a a λμλμ+⋅=⋅+⋅， ()ab a b λλλ⋅+=⋅+⋅6、向量的投影和数量积：(1) 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定0a ⋅=(2) 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影(3) 数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积(4)、向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==（5）、乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07、向量的坐标运算：（1）已知起点和终点的坐标，求向量坐标:已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，， 即终点坐标减去起点坐标。

（2）已知向量的坐标，求向量的模:已知(),a x y =，则a=；已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，，此时，(2||=AB x ，本公式等价于“两点间距离公式: 已知1122(,)(,)A x y B x y 和则AB 。

（3）已知两个向量的坐标，求这两个向量加减、数乘和数量积：①加减：已知()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，即对应横纵坐标相加减。

②数乘：已知(),a x y =，则(),=,a x y x y λλλλ=（），即倍数对坐标作分配。

③数量积：已知()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅，即对应坐标之积再相加。

（4）已知两个向量的坐标，求这两个向量的夹角或夹角余弦值：已知()()1122,,,a x y b x y ==，则121cos ,x a b a b a bx ⋅==⋅+。

8、 向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角，记为,a b <>。

① 研究向量夹角时，必须将两个向量的起点移动到同一点上；② 当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，,0a b <>= ③ 当且仅当a 与b 反方向时,a b π<>= ④ 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ⑤ cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=⑥ 向量夹角与数量积的关系：当θ为锐角时，a •b ＞0（反之不成立，因为数量积为正数的两个向量不一定构成锐角，可能是平行且同向）；当θ为钝角时，a •b ＜0。

（反之不成立，因为数量积为负数的两个向量不一定构成钝角，可能是平行且反向）9、平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

若给定一组基底向量，则平面内的任何一个向量都存在一组实属对与之对应，当这组基底是两个相互垂直的单位向量时，这组基底可以构成一个系统，这个系统叫平面直角坐标系，与向量对应的实数对就是坐标。

10、向量垂直（共线）的基本定理（1）共线： a ∥b ⇔ ,(0)a b b λ=≠，此为向量平行的符号表达。

若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=或⎩⎨⎧==2121y y x x λλ，此为向量平行的坐标表达。

对于“a ∥b ⇔,(0)a b b λ=≠”，当0a =时，可以看成是非零向量b 的0倍（即0λ=），所以规定“零向量0与任何非零向量b 平行”。