必修4 平面向量(讲义和练习)
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《必修4》 第二章 平面向量
一、知识纲要
1、向量的相关概念：
（1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为AB 或a
。 向量又称矢量。
①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。 （2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。
记作：|AB |或｜a
｜。
向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
（3）零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。
①｜a
｜＝0； ②0 与0的区别：写法的区别，意义的区别。
（4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。
若向量a 是单位向量，则｜a
｜= 1 。
2、 向量的表示：
（1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意：方向是“起点指向终点”。
（2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b →
等；
（3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量
i 、j 为基底向量，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的
坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。此时｜a
｜。
若已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，， 即终点坐标减去起点坐标。 特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。
3、 向量之间的关系：
（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系
为平行，记作a ∥b
。换言之，方向相同或相反的两个非零向量叫平行向量（共线向量）。
相互平行的两个向量之间的夹角为0度或180度，记为 > = 00或1800 。 由于向量可以进行任意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 注意① 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。② 规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。 ③平行向量无传递性（因为有0). （2） 不平行：对于两个非零向量a 和b ，如果平移后它们的夹角不是0度或180度，则称这两个向量不平行。 此时，它们夹角的范围是 > ∈（0，π）。 特别的，当 =2 π（即900）时，称为两个向量垂直，记为⊥a b 。 4、 由向量之间的关系引出的术语： （1） 同向向量：如果两个向量方向相同（即：共线并且夹角为0度），那么就称这两个