理论力学第三章答案

3.11 证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平均 值的一半(位力定理)。 p α r 证明：在椭圆轨道情况下， = 。设 V = − ，a，c分别是半长 1 + e cos θ r 轴和焦距 m 3 α 1 2 2 &2 T = 2π a 有： E = − , E = m(r + r θ ) + V ，周期 & α 2a 2 1 2 L2 α α 1 α −α 2 2 &2 & + = − & 可写为： m(r + r θ ) − = ，即 mr 2 2mr r 2a 2 r 2a
=
m 8E 2 4 r + 2 (2mα − L2 ) 4E m m 0
当 2mα − L2 > 0, E < 0 ，t值有限
1 t= E m L2 L2 2 − α− Er + α − 2 2m 2m
3.2 质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹 性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速 度为V0，然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。 解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运 1 动。 仅考虑体系的相对运动，体系势能 V = k (r − l ) 2 。两粒子相对运动可 2 看成质量为折合质量mr的质点的运动， 运动方程为：t = ∫
r
dr 2 mr 1 L2 2 E − 2 k (r − l ) − m 2 r 2
r0
2 mv0 m1m2 1 其中：mr = = m, r0 = +l m1 + m2 2 k
轨道方程为： θ = ∫rdθ = ∫r
0
r
r
0
L dr r2 1 L2 2 2mr E − k ( r − l ) − 2 2 r
五、弹性碰撞和散射截面：
如果两个粒子在碰撞前后其内部状态都不发生改变，则这种碰 机械能守恒 撞称为弹性碰撞或弹性散射 动量守恒 有：
m2 sin θ tan θ1 = m1 + m2 cos θ
2 m12 + m2 + 2m1m2 cos θ ' v01 v01 = m1 + m2 v ' = 2m1v01 sin θ 02 m1 + m2 2
Q lim ch (αθ ) = ∞, lim sh(αθ ) = ∞
θ →∞ θ →∞
第（2），（3）中情况会出现r＝0，即质点被力心所俘获
t=∫
r
dr 2 α L2 E + 2 − 2 2 m r mr
0
=∫
r
dr
( )
2
r
0
8 E 2 8α 4 L2 r + m − m2 m
τ 2 L2 a 2 a − − (r − a) mα 1 2 1 τ α α α α α & (r + r 2θ 2 )dτ = ∫ ( − )dτ = − = 2 τ 0 r 2a a 2a 2a
a −c
∫
a+c
α
dr =
4 maα
arcsin 1 =
2π maα
τ
L2 + mc mc 2mE ( L2 + mc) , α = 1+ 2 , e = 1+ 其中：p = mk L m2k 2
α 3.8 试求粒子在势场 V = − 中运动且E=0 (抛物线轨道)时，坐标对时间 r 的依赖关系。
解：粒子在中心势场 V = − α 中运动，代入 r dr =∫ 运动方程： t = ∫ 2
3.3 质点在一纬中心引力 F = − α x 的作用下，以速度为0，x=-a处开始运 动，试求该质点到达力心o的时间。 x α 解：设无穷远处为势能零点，则 v( x) = ∫ − dx = −α ln x −∞ x 代入粒子在中心势的运动方程：
t=∫ dr 2 L2 [ E − V ( x)] − 2 2 m mr =∫
0
dr 2 [−α ln α + α ln x ] m
−a
e −α r 3.4 定性的讨论粒子在中心势 V = −k 中的运动，式中k和 r
α为常数。
解：当 α r 》1时，V≈0，此时近似做自由粒子的运动； 普勒运动；
k ，粒子近似做在势场 − k 中的开 当 α r 《 1时，V ≈ − r r
2mα − L2 du −L θ= ∫ 2 2mE = 2mα − L2 arcsh 2mE ⋅u + c 2mα − L2 u + 2 2mα − L 2mα 1 2mE 选适当θ，使c=0, 得 u = = sh − 1 ⋅θ 2 2 r 2mα − L L
k V 当 α r ≈1时， ≈ − e r ，粒子近似做开普勒运动，但势场 减弱为 − k ⋅ 1 r e
3.6 求粒子在中心力 F = −
L dr r2
k c + 3 的作用下的轨道方程。 r2 r
k c V =− + r 2r
解：粒子的中心势场可写为
1 − Ld 代入 θ = dθ = r =∫ ∫ ∫ 2mk 1 L2 2mE + − (mc + L2 ) ⋅ 2 2m[ E − V ( r )] − 2 r r r B − du − 1 − Ldu L 2A = 令：u = ， θ = ∫ 2 2 2 r A ∫ B 2 + 4 AD − (mc + L ) ⋅ u + 2mk ⋅ u + 2mE B − u − 4 A2 2A
2 ，代入 V = −
α
r
2
L 2m[E − V (r )] − 2 r
2
(α > 0)
θ = ∫θ =
∫
α L 2m E + 2 − 2 r r
= −L∫
1 d r 1 r2
2 mE + ( 2 m α − L2 ) ⋅
1 令：u = r
∴ θ = −L∫
du (2mα − L2 ) ⋅ u 2 + 2mE
L2 , p= mα
在库仑排斥势场中粒子的轨道方程：
−p r= 1 − e cos θ
y p 2b O c
r
θ
x
p r= 1 + e cos θ
p α = a= 1 − e2 2 E
2a
b=
L 2m E
c = a2 − b2
L2 p= mα
2 EL2 e = 1+ mα 2
近日点： rmin = a − c ，远日点 rmax = a + c
T 周期： = 2π m
α
a 3 ，椭圆面积： s
= π ab
三、开普勒行星三定律：
(1)行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上；
p (2)行星与太阳的联线扫过的面积与时间成正比，或者说相 1 + e cos θ r=
等时间内扫过的面积相等； (3)行星运动的周期的平方与它们的轨道半长轴的立方成 正比。
2 2 2 2 2 2 令 L η = 2mα r − L ，则 r = L η + L 2mα 2 2 2 2 Lη +L Lη 1 t = ∫m⋅ ⋅ ⋅ dη = 2mα mα Lη
dr
2 L [ E − V ( x)] − 2 2 m mr
2 α L2 ⋅ − 2 2 m r mr
=∫
mrdr 2mα r − L2
=
α
a
证明2：
v r 令： s = p ⋅ r r r v v v r v r v v & = F ⋅ r + mr ⋅ r = F ⋅ r + 2T & & & & s = p⋅r + p⋅r v v 经过一个周期： 0 = F ⋅ r + 2T
A = L2 + mc B = 2mk D = 2mE
mk m 2 k 2 + 2mE ( L2 + mc) L2 + mc ∴ u= + cos θ 2 2 2 L 2 + mc ( L + mc) L
L2 + mc p mk ∴ r= = 2 2 1 + e cos αθ 2mE ( L + mc) L + mc 1+ 1+ cos θ 2 2 2 mk L
∫
L3η 2 + L3 dη 2 2mα
L3 = 2mα 2
L3 ∫ (η + 1)d η = 2 m α 2
2
η3 ⋅ η + 3
mp 3 η η 2 L2 若 p= ，则 t = α ⋅ 2 ⋅ 1 + 3 mα
(1)
(2) (3)
L2 (η 2 + 1) p ⋅ (η 2 + 1) p = p− = ⋅ (1 − η 2 ) x = r cos θ = p − r = p − 2mα 2 2 2 2 y = r sin θ = r 2 − x 2 = p ⋅ (η 2 + 1) 2 − p ⋅ (1 − η 2 ) 2 = p ⋅ η 4 4
第3 章
两体问题
dV v er dr
dr
一、中心势场中单粒子的运动：
中心力：
F = −∇V = −
t = ±∫
粒子的轨道方程：
θ =∫
2 L2 [E − V ( r )] − 2 2 m mr L dr r2 dθ = ∫ L2 2m [E − V ( r )] − 2 r
体系能量守恒： E = 1 m (r 2 + r 2θ&2 ) + V ( r ) = C &
2 角动量守恒： L = mr 2θ& = C
二、与距离r成反比的中心势场: (万有引力势和库仑 α 静电势)： V ( r ) = −
r
在万有引力作用下天体运动的轨迹问题也称为开普勒问题。 此时α＝GM，质点的轨道方程可写为
r= p 1 + e cos θ
2 EL2 e = 1+ mα 2
其中：
2
由微小扰动： u = u0 + ε
d 2ε 微小扰动满足方程： 2 + Aε = 0 dθ
2 d 2u0 m dF + 2 2 A = 3+ 2 u0 dθ u0 L du
u0
轨道的稳定性条件为：
A = 1− 2m 3 m dF r F (r ) − 2 r 4 >0 2 L L dr
或：
2m 3 dV m 4 d 2V A = 1+ 2 r + 2r >0 2 L dr L dr
讨论： (1) 当 2mE > 0,
2mα < L2
θ=
−L L2 − 2mα
∫
du L L2 − 2mα = arccos u+c 2 2mE 2mE L − 2mα − u2 L2 − 2mα
选适当θ，使c=0, 得
−L
1 u= = r
2mE 2mα cos 1 − 2 θ 2 L − 2mα L
(2) 当 2mE > 0, 2mα > L2
(3) 当 2mE < 0, 2mα > L2
−L 2mα − L2
2m E u − 2mα − L2 2mα 2m E 1 选适当θ，使c=0, 得 u = r = 2mα − L2 ch L2 − 1⋅θ
2
θ=
∫
du
2mα − L2 = arcch ⋅u + c 2m E 2mα − L2 −L
dr 1 2α r2 L2 = ⋅ ⋅ r− − dt r m 2 a 2 mα
dr dt α = r 2 L2 a a − − (r − a) 2 mα mg
势能： 1 τ α 2α V = ∫ − dτ = τ 0 r τ 动能： T = 1 τ τ ∫0
ma
1 ∴ T = V 2
2 v3 = v2 + (v'−v0 ) 2 ≈ 16.5(km / s)
2Gmsun 其中v0为地球绕太阳的公转速度，v’为 v' = rsun−earth
msun为太阳的质量，rsun-earth为太阳-地球之间的距离。
四、运动轨道的稳定性条件：
d 2u m 比耐公式：u 2 + u = − 2 F dθ L
宇宙速度： (1).第一宇宙速度v1,也称环绕速度，即环绕地球运动的最低发 射速度 v1 = gR ≈ 7.9(km / s ) (2).第二宇宙速度v2,也称逃逸速度，即脱离地球运动而绕太阳 运动的最低发射速度 v2 = 2 gR ≈ 11.2(km / s ) (3).第三宇宙速度v3, 即飞离太阳系的最低发射速度
θ1 + (π − θ )
1 2
微分散射截面：dσ =
dN n dσ = 2π bdb r
立体角： dω = dS = 2π sin θdθ 2
第3 章
3.1 求质点在中心势场 V = − 解：由公式 θ = ∫ θ = ∫
L dr 2 r
α
两体问题
2
Hale Waihona Puke Baidu
r L dr 2 r
(α > 0) 中运动的微分方程的解。