机械优化设计惩罚函数内点法
大学期末考试机械优化设计复习题
一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法.6。
随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7。
最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法.10改变复合形形状的搜索方法主要有反射,扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数,它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用 目标函数等值面 的方法。
14。
数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 . 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16。
机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提. 1. 优化设计问题的基本解法有 解析法 法和 数值法2. 无约束优化问题取得极值的充分必要条件是 一阶导数等于零 和 二阶导数大于零。
机械优化设计复习资料
1、优化问题的三要素：设计变量，约束条件，目标函数。
2、机械优设计数学规划法的核心：一、建立搜索方向，二、计算最佳步长因子3、外推法确定搜索区间，函数值形成高-低-高区间4、数值迭代法的公式：X k+1=X K+αk·S k5、若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)T Gd1=0，则d0、d1之间存在__共轭____关系与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。
6、外点；内点的判别7、那三种方法不要求海赛矩阵：最速下降法共轭梯度法变尺度法8、那种方法不需要要求一阶或二阶导数：坐标轮换法9、拉格朗日乘子法是升维法 P3710、惩罚函数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法、混合惩罚函数法三种二、解答题1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别搜索的原理是：区间消去法原理区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。
这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。
2、在变尺度法中，为使变尺度矩阵H与1 k G近似，并具有容易计算的特点，k Hk必须附加哪些条件？（1）必须是对称正定的（2）要求有简单的迭代形式（3）必须满足拟牛顿条件3、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系课本P904、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数∑∑==++=mj lk k j x h H r x g G r x f r r x 112121)]([)]([)(),,(φ求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解三、计算题： 极值法求解：例2-3 求函数 的极值。
机械优化设计3
若 f xk f xH ，收缩成功，用 xk 取代 xH 构成新的复合形。
4、压缩
若上述方法均无效，还可采用将复合形各顶点向最好点 拢，压缩后各顶点计算公式为：
xL 靠
x j x L 0.5 x L x j
j 1, 2, , k ; j L
约束允差下，按允差中心δ /2作线性内插，得到将 xt 2 调整到 约束面上的步长。
0.5 gk xt1 s 0 gk xt 2 gk xt1
本次迭代步长取为 五、收敛条件 1、设计点
k M t s
x k 及约束允差满足
f x k T d k 2
g x k 与 d k 夹角大于 90 ，则 若 x k 在一个约束面上，
g x k d k 0
T
g x k 与 d k 夹角大于 90 ，则 若 x k 在J个约束面上，
2、下降条件：
g j x d k 0 j 1, 2,, J
xk 1 xk k d k
关键的三要素：
0 初始点 x 、可行搜索方向 d k 、合适步长 ak 。
适用范围：仅含不等式约束的问题。 特点：1会出现多个局部最优解 2目标函数有定义 3在可行域内进行
二、间接解法（惩罚函数法，增广乘子法） 基本思路：
将约束条件中的约束函数进行特别处理后，与目标函数 结合起来构成新的目标函数序列，从而变成一系列的无约束 优化问题。
j 1, 2, , m f xR f xH
R C
2、扩张
若求得反射点
xR 为可行点，且目标函数值下降较多（ f x f x ）
优化设计5惩罚函数法
目前，人们对无约束问题的最优化方法要比对约束优化方法研 究的更为深入和成熟，并且形成了有效的、可靠的解法。因 此，在求解约束化问题时，自然会想到是否可以利用某种方法 将约束优化问题转化为无约束最优化问题来解决,显然这种转化 必须在一定的前提条件下进行。一方面这种转化不能破坏原约 束问题的约束条件；另一方面还必须使它归结到原约束优化问 题的同一最优解上去。这种将约束优化问题转化成无约束化问 题，然后用无约束最优化方法进行求优的途径就是约束优化问 题求优的间接解.
4
内点惩罚函数法
内点惩罚函数法的基本原理
内点惩罚函数法(简称内点法)将新目标函数定义在可行城内．这样 它的初始点以及后面产生的迭代点序列也必在可行城内，它是求解 不等式约束优化问题的一种十分有效的方法。下面我们选用一个简 单的例子来说明内点法的一些几何概念和基本原理。 设数学模型为：
min F(x) x X D R1 D: g(X) x 1 0 用内点法来求解此约束问题先构造泛函，取
适用于不等式约束函数比较简单的情况
然后构造罚函数，并求无约束极小值
5
代替计算机无约束搜索求优，惩罚函数无约束最优点序列
6
7
8
9
可以看出内点惩罚函数法就是以不同的加权参数(罚因子)来构造一 序列无约束的新目标函数，求这一序列惩罚函数法的无约束极值 点 X • (r(k) ) ，使它逐渐逼近原约束问题的最优解，而不论原约束问题 最优解在可行域内还是在可行域的边界上，其整个搜索过程都在约束 区域内进行。
k 0
r(ห้องสมุดไป่ตู้) 1
u1
G[gu(X)]
0
的满足要求。
12
13
采用内点法应注意几个问题
惩罚函数
综合等式约束和不等式约束情况，可以得到一
般约束优化问题的外点罚函数公式为：
实际计算中，因为惩罚因子 不可能达到无 穷大，故所得的最优点也不可能收敛到原问题 的最优点，而是落在它的外面，显然，这就不
能严格满足约束条件。为了克服外点惩罚函数 法的这一缺点，对那些必须严格满足的约束 （如强度、刚度等性能约束）引入约束裕 度 ，即将这些约束边界向可行域内紧缩， 移动一个微量，得到
一、惩罚函数介绍
如何把它转化为无约束求解
二维约束问题
对于机械优化设计一般式
外点惩罚函数
外点惩罚函数法的一般形式：
考虑不等式约束优化设计时：对 构造一般形式的外点惩罚函数为：
其中： （1）当满足所有约束条件时惩罚项为，即
考虑等式约束优化问题：
构造点罚函数：
同样，若X满足所有等式约束则惩罚项为0,；若 不能满足，则 且随着惩罚因 子的增大而增大。
这样用重新定义的约束函数来构造惩罚函数，
得到最优设计方案。
内点惩罚函数法
外点法和内点的区别
内点法将惩罚函数定义于可行域内且求解无
约束优化问题的搜索点总是保持在可行域内，一 般只用于不等式约束情况；外点法即可用于求解 不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优 化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域的外 部，从而在求解系列无约束优化问题的过程中， 从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题最优解。
结论： （1）一般的优化方法,如惩罚函数法,当优化 变量的初始值取值范围不同时,往往会直接 影响优化结果,在使用当中应该加以注意和改 进。 （2）二次优化的惩罚函数法,将整个优化过程 分为连续变量惩罚函数法的初始优化、带离 散变量的惩罚函数再优化和网格法检验三步 进行,消除了优化变量初始值对优化结果的 影响，使优化结果更为准确、合理,是一种 很有参考价值的实用优化方法。
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
机械优化设计第五节约束优化-惩罚函数法3-5
外点法求解时，惩罚函数的形式为：
(k ) ( x, r ) f ( x) r max 0, gu ( x) r hv ( x) u 1 v 1
(k ) (k ) m p 2 2
k 1, 2
r
(1) ( 2)
(k )
内点法对企图从内部穿越可行域的点施以惩 g x 0 时，则障碍项的 罚。设计点离边界越近 值急剧增大,并趋向无穷大,于是惩罚越大,于是惩 罚函数 ( x r ( k ) )亦随之急剧增大至无穷大.
u
就好像在可行域的边界上设置很高的障 碍，从而保障迭代点一直在可行域内而又趋向 于约束最优点。当 k r ( k ) 0时，才能求得 原约束问题的最优解。 参数的选取和确定：
(0)
（2）初始惩罚因子 r
(0)
的选择
) . 初始惩罚因子 r ( 0的选择对于计算效率影响很大
若r x, 项）的作用就会很小，
x, r ( k )
( 0 ) 值得太小，则在惩罚函数中障碍项（惩罚
r
(k )
f ( x)
这时求惩罚函数 的无约束极值点。 犹如求原目标函数 f ( x)本身的无约束极值点而 这个极值点 x又不大可能接近 f ( x) 的约束极值点,
D.收敛条件： 同时满足:(1)相邻两次惩罚函数值相对变化 足够小； (2)相邻两次惩罚函数无约束最优 点的距离足够小。
(k ) x r
* (k ) ( k 1) ( k 1) , r x r , r 1 * ( k 1) ( k 1) x r , r
惩罚函数法概述_内点法
惩罚函数法概述_内点法惩罚函数法是一种常用的非线性规划问题求解方法，常用于求解约束条件较多或非线性的优化问题。
该方法通过将约束条件引入到目标函数中，将原问题转化为无约束的优化问题，并通过引入惩罚函数来惩罚不满足约束条件的解，从而求得原问题的最优解。
惩罚函数法的基本思想是将约束条件引入到目标函数中，将原问题的约束条件转化为目标函数的惩罚项。
具体来说，对于每个约束条件gi(x)≤0，引入一个惩罚函数Pi(gi(x))，将原问题的目标函数f(x)和约束条件转化为以下形式的无约束最优化问题：minimize F(x) = f(x) + αΣPi(gi(x))其中，α为惩罚因子，用来调整约束条件对最终解的影响。
惩罚函数Pi(gi(x))的选择有多种方式，常用的有线性惩罚函数、二次惩罚函数和指数惩罚函数等。
线性惩罚函数一般形式为Pi(gi(x)) = max(0, gi(x))，即在约束条件不满足时，对目标函数增加一定的惩罚项；二次惩罚函数一般形式为Pi(gi(x)) = (max(0, gi(x)))^2，即在约束条件不满足时，对目标函数增加一个随约束违背程度变化的二次惩罚项；指数惩罚函数一般形式为Pi(g i(x)) = exp(βgi(x))，其中β为控制惩罚力度的参数。
惩罚函数法的求解过程一般采用内点法进行。
内点法是一种可行点法，通过将迭代点限制在可行域的内部，逐步趋近于最优解，具有收敛速度较快和稳定性好的优点。
内点法通过引入一个罚函数来约束迭代点在可行域的内部，从而实现对约束条件的满足。
内点法的基本思想是在每个迭代步骤中，将罚函数表示为关于变量的函数，通过迭代算法不断调整迭代点以使罚函数值逼近零。
迭代过程中有两个关键要素：第一，计算步长，即确定迭代点移动的方向和距离；第二，调整罚函数，即通过调整惩罚因子来逐渐减小罚函数的权重，以避免不可行解控制迭代点的移动。
内点法的求解过程包括以下几个步骤：初始化，选择初始迭代点；计算步长，确定迭代点移动的方向和距离；更新迭代点，得到下一个迭代点；调整罚函数，通过调整惩罚因子来逐渐减小罚函数的权重；判断终止条件，判断当前解是否满足终止条件，若满足则停止迭代，否则回到第二步继续迭代。
《机械优化设计》复习题 答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求ｆ(X ）=100(x 2－ x １2） 2＋(1- ｘ1) ２的最优解时,设X （0)＝[-０.5,0．5］Ｔ,第一步迭代的搜索方向为 [-47,-5０]Ｔ。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
３、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高-低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
６、函数C X B HX X T T++21的梯度为Ｂ。
7、设G 为ｎ×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量ｄ0,d 1,满足（ｄ０)T G ｄ1=０，则d 0、ｄ1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是,充分条件是（正定 。
10、 K －T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 [－２.36 １0] 。
1２、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
1３、牛顿法的搜索方向d k= ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近位置。
1４、将函数f(X ）=ｘ１２＋ｘ22-ｘ1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 。
15、存在矩阵Ｈ,向量 d 1,向量 d 2,当满足ｄ1T Hd 2＝０，向量 d １和向量 ｄ２是关于Ｈ共轭。
１６、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有单调递增特点。
机械优化设计第四章
lim r2 H[hv ( x( k ) )] 0
k
lim [( x ( k ) , r1 , r2 ) f ( x ( k ) )] 0
(k ) (k ) k
分类： 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函 数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。
3. 降低系数 c 的选择：
在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列 ，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 :
r r cr k 1
(k 1,2,...)
式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的 看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范 围在0.1~0.7之间。 4. 收敛条件：
k
则( x, r (k ) ) f ( x),
2 2 例： 用内点法求 min f ( x) x1 x2
s.t. g ( x) 1 x1 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数: ( x, r ) x12 x2 r k ln( x1 1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件： 2 x1 r 0 x x1 1 1 k 1 1 2r 联立求解得： x1 (r k ) 2 x 0 2 2 x2 x (r k ) 0 2 1 1 2r x1 (r ) 时不满足约束条件 g ( x) 1 x1 0 应舍去 。 2 * k 1 1 2r k 无约束极值点为： x (r )
ts b
要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结构。
1. 2.
设计分析：（略） 数学模型：
机械优化设计方法简介
机械优化设计方法简介一.引言“设计”作为人们综合运用科学技术原理和知识并有目的地创造产品的一项技术，已经发展为现代社会工业文明的重要支柱。
今天，设计水平已是一个国家的工业创新能力和市场竞争能力的重要标志。
许多的设计实践经验告诉我们，设计质量的高低，是决定产品的一系列技术和经济指标的重要因素。
因此，在产品生产技术的第一道工序—设计上，考虑越周全和越符合客观，则效果就会越好。
在产品设计中，追求设计结果的最优化，一直是我们工作努力的目标。
现代设计理论、方法和技术中的优化设计，为工程设计人员提供了一种易于实施且可使设计结果达到最优化的重要方法和技术，以便在解决一些复杂问题时，能从众多设计的方案中找出尽可能完善的或是最好的方案。
这对于提高产品性能、改进产品质量、提高设计效率，都是具有重要意义的。
二．优化设计的概念优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。
机械优化设计最优化（Optimization)通常是指解决设计问题时，使其结果达到某种意义上的无可争议的完善化。
最优化“OPT”在科学和技术领域内如同使用最大“MAX”和最小“MIN”一样具有普遍性。
把机械设计和现代设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。
三．优化设计的一般实施步骤(1）根据设计要求和目的定义优化设计问题；(2）建立优化设计问题的数学模型；(3）选用合适的优化计算方法；(4）确定必要的数据和设计初始点；(5）编写包括数学模型和优化算法的计算机程序，通过计算机的求解计算获取最优结构参数；(6）对结果数据和设计方案进行合理性和适用性分析。
其中，最关键的是两个方面的工作：首先将优化设计问题抽象和表述为计算机可以接受与处理的优化设计数学模型，通常简称它为优化建模；然后选用优化计算方法及其程序在计算机上求出这个模型的的最优解，通常简称它为优化计算。
分享：惩罚函数法（内点法、外点法）求解约束优化问题最优值
分享：惩罚函数法（内点法、外点法）求解约束优化问题最优值1 用外点法求下列问题的最优解方法一：外点牛顿法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);% a b为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。
syms x1 x2 e; %e为罚因子。
m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0; %c为递增系数。
赋初值。
f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2;f0(1)=1;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');%求偏导、海森元素。
for k=1:100 %外点法e迭代循环.x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100 %梯度法求最优值。
f1=subs(fx1); %求解梯度值和海森矩阵f2=subs(fx2);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f21=subs(fx2x1);f22=subs(fx2x2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.001) %最优值收敛条件a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs (f));break;elseX=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) %罚因子迭代收敛条件a(k+1) %输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend方法二：外点梯度法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);syms d x1 x2 e;m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0;f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2; f0(1)=1;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');for k=1:100x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs (f));break;elseD=(x1-d*f1)^2+(x2-d*f2)^2+e*(1-(x1-d*f1))^2;Dd=diff(D,'d'); dd=solve(Dd); x1=x1-dd*f1; x2=x2-dd*f2;endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend2,点法求下列问题的最优解内点牛顿法clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);syms x1 x2 e;m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3;f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(f x1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');for k=1:100x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f21=subs(fx2x1);f22=subs(fx2x2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs (f));break;elseX=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend。
机械优化设计惩罚函数法
５．３．５惩罚函数法在约束优化方法中，可以根据对约束条件处理方法的不同，可将约束优化方法称为直接法和间接法两大类。
在直接法中，又可根据搜索方向选取的不同分为：约束坐标轮换法、约束随机法、复合形法以及可行方向法。
这些方法在搜索过程中，对每个迭代点都要进行适用性、可行性两个条件检验，由此来直接处理约束条件。
本节所述的惩罚函数法是属于约束优化的间接法。
目前已有的许多著作和文献表明，对无约束优化方法的研究要比对约束优化方法的研究更为完善和成熟，并建立起了许多有效的、可靠的算法。
如果能通过某种办法对约束条件加以处理，将约束优化问题转化成无约束优化问题，这样就可以直接用无约束优化方法来求解约束优化问题。
但是，这种转化必须满足如下两个前提条件：一是不破坏原约束问题的约束条件，二是最优解必须归结到原约束问题的最优解上去。
约束优化问题的间接法有多种，例如消元法、拉格朗日乘子法、惩罚函数法等，其中惩罚函数法应用最广。
惩罚函数法（简称罚函数法）的特点是能解等式约束、不等式约束以及两种约束兼有的优化问题。
且基本构思简单，易编程序，使用效果较好。
惩罚函数法有两种类型：参数型与非参数型。
本节只介绍参数型的惩罚函数法。
参数型惩罚函数法的基本思想是将一般约束优化问题数学模型：minＦ(x)ｘ∈ＤＲnＤ：ｇｕ（ｘ）≥０，ｕ＝１，２，······,ｐｈｖ（ｘ）≥０，ｕ＝１，２，······,ｑ转化成为一个如下的无约束优化问题minφ(x, r(k), m(k)) (5.56)ｘ∈Ｒn构造的新目标函数一般形式为φ(x,r(k),m(k))＝Ｆ(x)＋ｒ(k)∑=pu1Ｇ［ｇｕ（ｘ）］＋ｍ(k)∑=qv1Ｈ［ｈｖ（ｘ）］（5.57）式中，φ(x,r(k),m(k))为增广函数，称为惩罚函数，简称罚函数，是式（5.56）无约束优化问题的目标函数；ｒ(k)、ｍ(k)称为惩罚因子，是大于零的可调参数；Ｇ[ｇｕ（ｘ）]、Ｈ[ｈｖ（ｘ）]为分别由ｇｕ（ｘ）、ｈｖ（ｘ）构造出来的泛函数。
机械优化设计_第六章约束优化方法
机械优化设计
x0 ； 1）在可行域内选择一个初始点
2）沿该点周围不同的方向进行若干次 搜索， 搜索，计算各方向上等距离点的函数 值，找出其中最小值 f ( xL ) 及点 ；
f ( xL ) < f ( x 0 ) 则以两点连线方向作为搜索方向以适
当的步长向前搜索，得到新点 。 当的步长向前搜索， 若 ，则将新的起点移 重复前面过程； 至 f ( x) < f ( xL ) ，重复前面过程；
0
则转步骤（ ）重新计算， 则转步骤（2）重新计算，直到产生的随机点是可 行点为止。 行点为止。
机械优化设计 3．可行搜索方向的产生 ． （1）在 ( − 1, 1 ) 区间内产生伪随机数 ） 并计算随机单位向量。 ri j ( i = 1, 2, ⋅⋅⋅n; j = 1, 2, ⋅⋅⋅, k ) ，并计算随机单位向量。
f ( X ) − f ( X 0 ) ≤ ε1 X − X0 ≤ ε2
得到满足，迭代终止。 得到满足，迭代终止。约束最优解为
X∗ = X, f (X∗) = f (X )
否则， 转步骤（ ）。 否则， 0 ← X 转步骤（2）。 X
机械优化设计 随机方向法的特点 对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单， 对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单， 使用方便； 使用方便； 由于可行搜索方向的选择能保证目标函数下降 最快，加之步长可以灵活变动， 最快，加之步长可以灵活变动，使得算法的收 敛速度较快； 敛速度较快； 初始点的选择对于收敛迭代次数影响较大。 初始点的选择对于收敛迭代次数影响较大。 对于求解小型的机械优化问题， 对于求解小型的机械优化问题，随机方向法 是一种比较有效的算法。 是一种比较有效的算法。
xL 3）如果
机械优化设计惩罚函数内点法
{fom=fxo;
r0=c*r0;
for(v=0;v<n;v++)
scanf("%lf",&x0[i]);
}
printf("\n请输入精度:\n");
scanf("%lf",&flag);
do
{
h=1.0;
baoweifa(n,x0,h,flag,a,b,x,r0);
fxo = f(x,r0);
r=i;
}
}
f0=f(x0,r0);
f1=f(x1,r0);
f2=f(x2,r0);
if(f2>=f0||((double)f0-(double)2*f1+(double)f2)*((double)f0-(double)f1-(double)fn[0])*((double)f0-(double)f1-(double)fn[0])>=0.5*fn[0]*(double)(f0-f2)*(double)(f0-f2))
}
else
{
int ij;
ij=n-1;
for(i=0;i<n;i++)
kr[i]=x1[i];
for(i = 0; i < n; i ++)
ab[i][n-1]=c[i];
}
jintuifa(ab,n,kr,h,ij,a,b,r0);
hongjinfa(n,a,b,flag,x1,r0);
for(i=0;i<n;i++)
惩罚函数法概述-内点法
min f (x) g j (x) 0 ( j 1,2,...,m) hk (x) 0 (k 1,2,...,l)
m
l
(x, r1, r2 ) f (x) r1 G[g j (x)] r2 H[hk (x)]
j 1
k 1
障碍项
惩罚项
r1, r2 加权因子(惩罚因子)
➢原约束优化问题转化为无约束优化问题:
|| X * (r1 ) X * (r 0 ) || 0.1994
X 0 [4.983 2.983 ]T
当r 2 cr1 0.01时，X * (r 2 ) [4.998 2.998 ]T
|| X * (r 2 ) X * (r1 ) || 0.0212
X 0 [4.998 2.998 ]T
第五节 惩罚函数法
一 基本原理
惩罚函数法是应用广泛,非常有效的间接解 法.又称为序列无约束极小化方法(SUMT法).
该方法通过将原约束优化问题中的等式和 不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数).原问题转化为新的 无约束优化问题,求解该新的无约束优化问题,间 接得到原约束优化问题的最优解.
m
min (x, r1, r2 ) f (x) r1 G[g j (x)] j 1 l r2 H[hk (x)] k 1
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
二 惩罚函数法分类
1
|| x * (rk ) x * (r k1) || 2
x* x *(rk ) f (x*) f (x *(rk ))
内点法的计算步骤和程序框图 1) 选择 • 可行的初始点; • 惩罚因子的初始值; • 缩减系数; • 收敛精度; • 取迭代次数k<-0. 2) 构造惩罚函数,选择无约束优化方法求解方法,求出无约束极值. 3) 判断所得极值点是否满足收敛条件 满足:取极值点为最优点,迭代终止 不满足:缩小惩罚因子,将极值点作为初始点,增加迭代 次数,转步骤2),直到满足收敛条件为止.
内点惩罚函数法的改进算法
图3 一维区间搜索示意图
3 内点惩罚函数的改进算法
针对模型 ( 1)及内点惩罚函数构造式 ( 2)可转化为如下的模型 k O (mi n X ,V ) , -∈ D , s. t X
[2 ] [3 ]
:
( 3) 即保证在调用无约束优化方法时 , X ∈ D . 在一维区间搜索中 , 保证 n 维变量搜索区间均在可行域 D 内 . 参见图 3, 对 f 1 (T )曲线 , 将原来的区间 [ A , B ]调整到 [C , D ] , 对 f 2 (T )曲线 , 将假定搜索到区间 [ A′ , -* B′ ]调整到 [C′ , D′ ] ,即将 N 维变量沿 n 个方向的搜索区间均限制在 D 内 , 最终达到 X* ∈ D , 且各 X k (V )∈ D . 3. 1 一维搜索区间改进算法步骤 3. 1. 1 采用常规方法先获得区间 [T 1 ,T 3 ]; 3. 1. 2 判 T 1、T 3二点是否满足 gu ( X )≤ 0 条件 ; 3. 1. 3 由 3. 1. 2 步骤 , 可能的情况为: 3. 1. 3. 1 T 1、T 3二点均满足 gu ( X )≤ 0 条件 , 从函数及约束可行域的连续性可知 , [T 1 ,T 3 ]区间内一切
( 1)
( 2)
现有算法 , 直接将约束优化模型转化为无约束优化模 k k * k - ,V -* (V 型 , 即求 min O (X ) . 求得 X ) , 然后以 X (V )为初点 ,
k+ 1 k k+ 1 - * (V 使V = T V (T< 1) , 再无约束寻优 , 求 X ) , … , 直至
28 点均满足约束 ;
工 科 数 学 第 17 卷
- ) )≤ 0, 该区间搜索无效 ; 3. 1. 3. 2 [T 1 ,T 3 ] 区 间内的一切点均不满足 gu ( X 3. 1. 3. 3 满足约束的可能区间为 [- ∞ ,T 1 ]或 [ T 3 , ∞ ]; 3. 2 一维搜索区间改进算法框图 其框图如图 4 所示 。
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x3[i]=x1[i];
f3=f1;
for(i=0;i<n;i++)
x1[i]=x2[i];
f1=f2;
for(i=0;i<n;i++)
x2[i]=x3[i];
f2=f3;
}
for(i=0;i<n;i++)
x3[i]=x2[i]+(double)h*s[i];
f3=f(x3,r0);
return s;
}
double f(double x[],double r)
{
double s,t,t2;
//t=1-x[0];
t=1-x[0];t2=2-x[1];
// s=yuanhansu(x)-r*log(fahansu(t));
s=yuanhansu(x)-r*log(fahansu(t))-r*log(fahansu(t2));
{
if(fn[0]<=fn[i])
{
fn[0]=fn[i];
r=i;
}
}
f0=f(x0,r0);
f1=f(x1,r0);
f2=f(x2,r0);
if(f2>=f0||((double)f0-(double)2*f1+(double)f2)*((double)f0-(double)f1-(double)fn[0])*((double)f0-(double)f1-(double)fn[0])>=0.5*fn[0]*(double)(f0-f2)*(double)(f0-f2))
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define m 12
double f(double x[],double r);
void jintuifa(double ab[m][m],int n,double x0[],double h,int ij,double a[],double b[],double r0);
{
int i,j,k,r,sum,p,e;
double x1[m],x2[m],abc[m],kr[m],f0,f1,f2,fn[m],c[m],q,wo;
k=0;
double ab[m][m];
for(i = 0; i < n; i ++)
{
for(j = 0; j < n; j ++)
{
if(i==j)
{
x0[e]=x1[e];
}
fn[p]=(double)(q-f(x1,r0));
}
k=k+1;
for(i=0;i<n;i++)
x2[i]=(double)2*x1[i]-x0[i];
for(i=0;i<n;i++)
c[i]=(double)x1[i]-x0[i];
r=0;
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=(double)(b[i]+a[i])/2.0;
break;
}
else
{
for(i=0;i<n;i++)
x1[i]=b[i]-(double)0.618*(b[i]-a[i]);
for(i=0;i<n;i++)
x2[i]=a[i]+(double)0.618*(b[i]-a[i]);
if(f(x1,r0)>f(x2,r0))
void hongjinfa(int n,double a[],double b[],double flag,double x[],double r0);
void baoweifa(int n,double x0[],double h,double flag,double a[],double b[],double x[],double r0);
return s;
}
void jintuifa(double ab[m][m],int n,double x0[],double h,int ij,double a[],double b[],double r0)
{
int i,j,z;
double x1[m],x2[m],x3[m],f1,f2,f3;
while(f3<f2)
{
h=2*h;
for(i=0;i<n;i++)
x1[i]=x2[i];
f1=f2;
for(i=0;i<n;i++)
x2[i]=x3[i];
f2=f3;
for(i=0;i<n;i++)
x3[i]=x2[i]+(double)h*s[i];
f3=f(x3,r0);
}
for(i=0;i<n;i++)
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=x1[i];
else
for(i=0;i<n;i++)
b[i]=x2[i];
}
}
}
void baoweifa(int n,double x0[],double h,double flag,double a[],double b[],double x[],double r0)
{
if(x1[i]<x3[i])
{
a[i]=x1[i];
b[i]=x3[i];
}
else
{
a[i]=x3[i];
b[i]=x1[i];
}
}
}
void hongjinfa(int n,double a[],double b[],double flag,double x[],double r0)
{
int i;
ab[i][j] = 1;
else
ab[i][j] =0;
}
}
while(1)
{
wo=f(x0,r0);
for(p=0;p<n;p++)
{
q=f(x0,r0);
jintuifa(ab,n,x0,h,p,a,b,r0);
hongjinfa(n,a,b,flag,x1,r0);
for(e=0;e<n;e++)
double s[m];
for(i = 0; i < n; i ++)
{
s[i]=ab[i][ij];
}
for(i=0;i<n;i++)
{
x1[i]=x0[i];
x2[i]=x0[i]+(double)h*s[i];
}
f1=f(x1,r0);
f2=f(x2,r0);
if(f2>=f1)
{
h=(-1)*h;
double x1[m],x2[m],f1,f2;
while(1)
{
for(i=0;i<n;i++)
x1[i]=b[i];
f1=f(x1,r0);
for(i=0;i<n;i++)
x2[i]=a[i];
f2=f(x2,r0);
if(fabs((f2-f1)/f2)<=flag)
{
for(i=0;i<n;i++)
double fahansu(double tt)
{
double ty;
if(tt<0) ty=-tt;else ty=0;
return ty;
}doubleຫໍສະໝຸດ yuanhansu(double x[])
{
double s;
//s=x[0]*x[0]+x[1]*x[1];
s=x[0]*x[0]+x[1]*x[1]+x[2]*x[2]+x[3]*x[3];