电磁场与电磁波第七章

按相速的定义，可得导行波的相速表达式：
vp =
ω = β
v 1− (
λ 2 ) λc
（7-2-7）
第七章 导行电磁波
导行系统中，沿轴向相位差为 2π 的两点之间的距离称为 波导波长，记为λg。根据波导波长的定义，有
λg =
vp f = 2π
β
=
λ λ 1 − ( )2 λc
（7-2-8）
根据群速的定义，并由
（7-1-10）
可见，只要求得了导波场的纵向分量，由式（7-1-10）便 可确定导波场的所有横向分量。式（7-1-10）即为行波状态下 场的横向分量与纵向分量之间的关系式，简称行波横-纵关系式。
第七章 导行电磁波
在广义柱坐标中， ∇ T = e1 1 ∂ + e 2 1
h1 ∂ u1
∂ h2 ∂ u 2
对于 TEM 波，有
Z WTEM = η =
µr µr µ = η0 = 120π εr εr ε
（7-2-16）
4．传输功率
导行波的复坡印廷矢量为
S= 1 E× H * 2
利用式(7-2-15)可得，沿导行系统 + z 方向传输的平均功率为
1 1 * * P = Re ∫ ( E × H ) ⋅ d Σ = Re ∫ ( E T × H T ) ⋅ e z dΣ 2 Σ 2 Σ = 1 2Z w
（7-1-11a） （7-1-11b）
1 H u1 = − 2 (γ kc 1 H u2 = − 2 (γ kc
（7-1-11c） （7-1-11d）
第七章 导行电磁波
式（7-1-11）还可以写成便于记忆的矩阵形式：
Hu1 Eu1 γ Hz γ Ez E = [T ] ， H = [T ] − jωε E z jω µ H z u2 u2
第七章 导行电磁波
第七章 导行电磁波
本章讨论局域在导波装置中沿一定方向传输的电磁波—— 导行电磁波。 导行电磁波 导波装置也称为传输线或导行系统。如果导波装置的横截 导波装置 面尺寸、形状、介质分布、材料及边界均沿传输方向不变，则 称之为规则导波装置 规则导波装置。常用的导行系统如图7-1所示。其中最简 规则导波装置 单、最常用的是矩形波导、圆柱形波导和同轴线。 主要内容：首先讨论导行电磁波的分析方法，然后具体讨论 矩形波导、圆柱形波导的传输模式、场分布以及传输特性。
E = E (u1 , u2 )e -α z
H = H (u1 , u2 )e -α z
这表明，导行系统中的电磁场沿传输方向（ +z 轴）指数衰 减，不是传输的波，故称 γ 2 > 0 时为截止状态。 (2) γ 2 < 0，即 λ < λc，则 γ = jβ 为虚数，导波场表示为
E = E (u1 , u2 )e -jβ z
第七章 导行电磁波
7.1.1 导行电磁波的表达式
无源区域内，时谐电磁场满足齐次亥姆霍兹方程：
∇2 E + k 2 E = 0
∇2 H + k 2 H = 0
（7-1-1a） （7-1-1b）
在导行系统中，电磁波沿其轴向（纵向）传播。建立广义 柱坐标系 (u1, u2, zz)。对于规则导行系统，电磁场在横截面内的 分布与纵向坐标 z 无关，行波状态下沿 z 方向传播的导行电磁 波可写为
式（7-1-10）可写为分量形式：
∂E z ∂H z 1 Eu1 = − 2 (γ + jωµ ) h1∂u1 h2 ∂u 2 kc
Eu2 ∂E z ∂H z 1 = − 2 (γ − jω µ ) h2 ∂u 2 h1∂u1 kc
∂H z ∂E z − jω ε ) h1∂u1 h2 ∂u 2 ∂H z ∂E z + jω ε ) h2 ∂u 2 h1∂u1
第七章 导行电磁波
7.1.2 导波场纵向分量与横向分量的微分方程
将电磁场矢量表示为横向分量和纵向分量之和，即
E = ET + e z Ez H = H T + ez H z
（7-1-6a） （7-1-6b）
将式(7-1-6)代入式(7-1-4)，可得到关于电场 E (u1, u2)以及磁 场 H (u1, u2)横向分量的矢量亥姆霍兹方程和纵向分量的标量 亥姆霍兹方程，即
2 ∇T ET(u1,u2)+kc2 ET(u1,u2) =0 2 ∇T Ez(u1,u2) +kc2 Ez(u1,u2) =0
（7-1-7a） （7-1-7b）
第七章 导行电磁波
2 ∇ T H T (u1 , u2 ) + kc2 H T (u1 , u2 ) = 0 2 ∇ T H z (u1 , u2 ) + kc2 H z (u1 , u2 ) = 0
ZW = ET HT = Eu1 H u2 =− Eu 2 H u1
（7-2-12）
第七章 导行电磁波
对于 TE 波，Ez= 0，注意到 γ = jβ，由行波横—纵关系式 (7-1-11)，可得
Z WTE
ωµ = = β
η
1− (
λ 2 ) λc
（7-2-13）
对于 TM 波，Hz= 0，同理可得
由横向方程 (7-1-9a) 和(7-1-9c) 可以求得 ET 和 HT 。用 jωµ 乘以式(7-1-9a) ，对式(7-1-9c)作 -γez× 运算，然后两式相加， 并利用矢量恒等式加以整理，可得
− k E T = γ ∇ T E z + jω µ ∇ T H z × e z
2 c
− k c2 H T = γ ∇ T H z − jω ε ∇ T E z × e z
第七章 导行电磁波
图 7-1 常用的导波装置
第七章 导行电磁波
7.1 导行电磁波的一般分析
分析导行电磁波，就是要得出导行电磁波沿轴向（纵 向）的传播规律以及电磁场在横截面内的分布情况。通常 有纵向分量法和赫兹矢量法两种分析方法，这里仅采用纵 向分量法。纵向分量法的思想是，将导行系统中的电磁场 矢量分解为纵向分量和横向分量，由亥姆霍兹方程得出纵 向分量满足的标量微分方程，求解该标量微分方程，得到 纵向分量；再根据麦克斯韦方程组，找出横向分量与纵向 分量之间的关系，用纵向分量来表示横向分量。
第七章 导行电磁波
2.TE波和TM波 若电场在电磁波传播方向上的分量 Ez= 0 ，即电场仅在横 截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面 内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc≠ 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导 体结构的规则金属波导，如矩形波导、圆柱形波导。 3.表面波 所谓表面波是指电磁波沿传输线表面传播的波型。表面波是 TE 波和 TM 波的混合模式。常用的表面波传输系统有介质波导 和光纤等。
2π
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也 波长的不同， γ 2 的取值有三种可能，即 γ 2 > 0，γ 2 < 0, γ 2 = 0。 （1）γ 2 > 0 ，即 λ >λc，则 γ = α 为实数，导波场表示为
λc
λ
是实数，λ 为工作
，λc 称为截止波长。因此，随着工作
第七章 导行电磁波
第七章 导行电磁波
7.2.2 导行波的传输特性
1.截止波长与传输条件 由导行电磁波的表达式（7-1-2）可知，导行波的传输状态取 决于传播常数 γ，而 γ 满足关系：
γ 2 = k c2 − k 2
对于无损耗的理想导行系统, k = ω µ ε = 是实数。令
kc = ω c µε = 2π
（7-2-1）
第七章 导行电磁波
由上述可知，当λ < λc 时为传输状态，而 λ ≥ λc 时为截止状态， 故导行系统的传输条件为
λ < λc
2．相速、波导波长与群速 无耗的传输状态下， γ = jβ ，由式（7-2-1），有
β = k −k =
2 2 c
（7-2-5）
2πΒιβλιοθήκη λλ 2 1− ( ) λc
（7-2-6）
其中
∂ 1 h1∂u1 [T ] = − 2 ∂ kc h2 ∂u 2 ∂ h2 ∂u 2 ∂ − h1∂u1
（7-1-12a）
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。 1.TEM波 若电场和磁场在传播方向上的分量 Ez= 0、 Hz= 0 ，即电磁 场各分量均在横截面内，则此种传输波型称为横电磁波，简称 TEM 波或 TEM 模。对于 TEM 波，kc=0 。 TEM波是双导体结构传输系统（例如平行双导线、同轴线） 的主模。单导体结构的规则金属波导中不能传输TEM波。
（7-1-7c） （7-1-7d）
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 HT，而是结合导行系统的边界条件 求解标量波动方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到纵向场分量 后，再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横向 分量。场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦方 程组导出。
∇T ×ez Hz −γ ez × HT = jωε ET
∇ T × H T = − jωµ E z e z
（7-1-9a） （7-1-9b）
第七章 导行电磁波
∇T ×ez Ez −γ ez × ET = −jωµ HT
（7-1-9c） （7-1-9d）