理论力学简明教程复习题题库 (物理专业用)

理论力学复习题 计算题题库

第一章质点力学

点沿空间曲线运动，在点M 处其速度为j i v

34+= ，加速度a

与速度

v

夹角030=β，且2/10s m a =。求轨迹在该点密切面内的曲率半径ρ和

切向加速度τa 。

答：由已知条件j i v

34+=得

s m v /53422=+= 法向加速度20/530sin s m a a n == 则曲率半径m a v n

52

==ρ 切向加速度 20/66.830cos s m a a ==τ

一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角α与其经过的那段圆弧对应的圆心角β之间有如下关系βα2tan =

证明：设点M 沿半径为R 的圆作圆周运动，t 时刻走过的路程为AM=s ，速度为v ，对应的圆心角为β。由题设条件知

()

()b C ds

dv v dt dv a a Ra v a a n ===

==τττα2tan

C 为常数 积分(b)式得⎰⎰=s

v ds a vdv 00τ 所以()c s a v τ22= 将（c ）式代入（a ），并考虑βR s =，所以βα2tan =

质点M 的运动方程为)(2),(32m t y m t x == 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小。

解：由于)(44),(3s

m t y s m x

=== 所以有()

s m y x v 516922=+=+=

又：222169t y x

v +=+= 则()()

()s m

t

t t t v

a t 2.3169232321692

12

121

21

2=+=⋅+==-

点M 沿半径为R 的圆周运动。如果

K K a a n

(-=τ

为已知常数），以初始位置为原点，原点初速度为0v 。求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。 解：设点的初始位置为A 。依题意

KR

v K a a dt dv n 2

-=-==τ 积分上式⎰⎰-=v

v t

dt

KR v dv 00

21 KR t v v -=-110 得t

v KR RKv v 00

+=

则弧坐标形式的运动方程为⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=+=⎰KR t v KR dt t k KR KRv s t

00001ln

当2

0v v =

时0v KR t =

一质点沿圆滚线θsin 4a s =的弧线运动，如θ 为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。式中θ为圆滚线某点P 上的切线与水平线（x 轴）所成的角度，s 为P 点与曲线最低点之间的曲线弧长。 解：因θsin 4a s = 故θωθθ

cos 4cos 4a a dt

ds v ===

式中ωθ= =常量（题设）

又θωτsin 42

a dt dv a -== ρ2v a n = 而θθρcos 4a d ds ==

所以θωθ

θ

ωρcos 4cos 4cos 1622222

a a a v a n ==

=

故22222

24cos sin 4ωθθωτa a a a a n

=+=+==常数 结论得证 设质点沿螺旋线t z t y t x 4,4cos 2,4sin 2===运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。 解：因t z t y t x 4,4cos 2,4sin 2===

故4,44sin 8,44cos 8=-=-===z x t y y t x

所以541422222=++=++=y x z y x

v 又0,164,164=-=-=-==z

y x y x y x 所以321622222=+=++=y x z

y x a 又01

4441222142222=++-⨯=+++⨯==

y x xy xy y x y y x x dt dv a τ 所以321622=+==y x a a n

而5.232

80

2===n a v ρ

小环的质量为m 。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为ay x 42=，试求小环自x=2a 处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。

解：小环受力如图示，重力g m

竖直向下，约束力R 的方

向沿着抛物线的法线

小环在任意位置P 处的运动微分方程为)

2(cos )1(sin 2 θρ

θmg R v

m mg dt

dv

m

-==

因

ds dv v dt ds ds dv dt dv =⋅= 而ds

dy dx dy -=-=≈θθsin tan （s 增大而y 减小故为负值）

（1）式变为ds

dy

mg

ds dv mv

-= 即)3( gdy vdv -= 积分⎰⎰-=0

0a v

gdy vdv 得ag v 2=（因a a

x y a x ===4,22

）此即小环自x=2a

处自由滑至抛物线顶点时的速度。

又ay x 42

= 则a dx

y d y a x dx dy y 21

,222==''=='

在抛物线顶点处a

y y y x 21

,0,0,0=''='== 所以在抛物线顶点处()

a y y 212

32='

''+=

ρ

由（2）式知mg mg a

ag

m

mg v m

R 222cos 2

=+=+=θρ

（因在顶点处1cos ,0==θθ）

小环在顶点处所受到的约束反作用力为mg 2。

质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。

证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢r

与力F 共线，则有0=⨯=F r M

所以质点的动量矩守恒，即C J =

其分量式为()()())

3...(..........)2...(..........)1..(..........321C x y y x m J C z x x

z m j C y z z y m J z y x =-==-==-= 由)3()2()1(⨯+⨯+⨯z y x 得到0321=++z C y C x C

由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。

一物体质量m=10kg ,在变力N t F )1(10-=作用下运动。设物体初速度s m v /2.00=，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后