2013辽宁高考数学文科试题及解析

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（供文科考生使用）

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x ==< 则A

B =

（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 2.复数的1

1

Z i =

-模为

（A ）

12 （B ）2

（C （D ）2 3.已知点()()1,3,4,1,A B -则与向量AB 同方向的单位向量为

（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-

（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭

， 4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：

1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列；

3:p 数列n a n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是递增数列； 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；

其中的真命题为

（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60

6.在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2

a B C c B A

b += 且a b >，则B ∠= A ．

6π B ．3

π C ．23π D ．56π

7.已知函数(

))

ln

31,f x x =+则()1lg 2lg 2f f ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2 8.执行如图所示的程序框图，若输入8,n =则输出的S = A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011

9、已知点()()()

3

0,0,0,,,.O A b B a a .若△ABC 为直角三角形，则必有

A ．3

b a = B ．3

1b a a

=+

C ．(

)3

3

10b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝

⎭ D ．33

10b a b a a

-+--=

10、已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上. 若34AB AC ==，， ,AB AC ⊥112AA =，

则球O 的半径为

A B ． C ．132 D ．11、已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A,B 两点，

连接AF,BF.若|AB|=10，|BF|=8，4

cos ABF ,5

∠=

则C 的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67

12、已知函数()()()()2

2

2

2

22,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设

()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大

值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则

A B -=

（A ）2

216a a -- （B ）2

216a a +- （C ）16- （D ）16

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .

14、已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若13a a ，是方程2

540x x -+=的

两个根，则6S = .

15、已知F 为双曲线22

:

1916

x y C -=的左焦点，P,Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A （5,0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为 .

16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

设向量)

(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤

=

=∈⎢⎥⎣⎦

（I ）若.a b =求x 的值；

（II ）设函数(),f x a b =求()f x 的最大值.

18．（本小题满分12分）

如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点. （I ）求证：BC ⊥平面PAC ； （II ）设Q 为PA 的中点。G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC.