2021-2022年高三数学(理工农医类)第二次统一考试
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A.B.C.D.
（8）给定数列1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，……，则这个数列的一个通项公式是（）
Байду номын сангаасA.B.
C.D.
第II卷（非选择题共110分）
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。
（9）
（10）已知，则_______，____________
（17）（本小题满分14分）
直四棱柱的底面ABCD为平行四边形，其中，，，E为DC中点，F是棱上的动点。
（I）求异面直线与所成角的正切值；
（II）当时，证明；
（III）当DF的长为多少时，二面角E-FB-D的大小为？
（18）（本小题满分14分）
已知函数（a为实数）
（I）若在处有极值，求a的值；
（II）若在上是增函数，求a的取值范围。
，解得……12分
（16）解：（I）设“获得价值50元的商品”为事件A，则事件A是等可能事件，所以……5分
（II）设“获得奖品”为事件B，则事件B是等可能事件
所以……10分
（III）设商家可以获得的利润为y元，若有10000人次参加这项促销活动，则
（元）
所以，商家可以获得的利润大约是128571元。……14分
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数的反函数是（）
A.
B.
C.
D.
（2）已知直线，平面，则下列条件中能推出的是（）
A.B.
C.D.
（3）函数的图象大致是（）
（4）已知p：为第二象限角，，则p是q成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
2021年高三数学（理工农医类）第二次统一考试
xx.5
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题共40分）
参考公式：
棱锥的体积公式
其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高。
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
（13）定义符号函数，则不等式的解集为_________。
（14）抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分。若一共抛掷硬币4次，且每次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分的期望__________
三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分12分）
设与所成角为
……4分
（II）
……10分
（III）设，由题意知为平面DBF的法向量，
设平面BEF的法向量为
由可得
即
令
……12分
二面角为为
解得
当时，二面角为……14分
（18）解：
（I）由已知得的定义域为
又……3分
由题意得
……5分
（II）解法一：依题意得
对恒成立，……7分
……9分
的最大值为
的最小值为……12分
朝阳区高三第二次统一考试数学（理工农医类）
参考答案及评分标准
一.选择题：
1. B2. C3. A4. A5. B6. D
7. A8. C
二.填空题：
（9）1（10）
（11）（2，0），6（12）③
（13）
三.解答题：
（15）解：……3分
……5分
（I）的最小正周期……6分
（II）由知……8分
……10分
（20）（本小题满分13分）
已知函数 ，数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。
（17）解法一：
（I）解：在直四棱柱中，
是异面直线与所成的角……2分
又四棱柱是直四棱柱，
面，于是
在中，
异面直线与所成角的正切值为2……4分
（II）证明：
直四棱柱中，面，于是
同理
……6分
，E为DC中点，
在直棱柱中，面面，且面ABCD
面……8分
是在面内的射影
……10分
（III）解：设，由（II）易得
取BD的中点G，连结EG得，且
又
均满足条件
它们构成首项为xx，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则，解得
中满足条件的正整数N存在，共有495个，……9分
（IV）设，即
则
显然，其极限存在，并且 ……10分
注：（c为非零常数），等都能使存在。
面ABCD，且面BDF
面面ABCD，面BDF
在面BDF内作，垂足为H，连结EH，
是二面角的平面角……12分
所以
在中，
由可得
所以
又
解得
当时，二面角为……14分
解法二：（I）直四棱柱，
以D为原点，DA、DB、所在直线分别为x、y、z轴可建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），B（0，1，0），C（，1，0），D（0，0，0）， ，
（III）由题意可得……8分
证明：设，点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
，得
的取值范围是（0，1）……13分
（20）解：（I）
……1分
……
将这n个式子相加，得
……3分
（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1
……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
又因时符合题意
为所求……14分
解法二：依题意得
对恒成立，
即
对恒成立……7分
令
（1）当时，不成立……9分
（2）当时，抛物线开口向下，可得
即……11分
（3）当时，抛物线开口向上，可得
即，这与矛盾，故舍去……13分
又因时符合题意
综上可得为所求……14分
（19）解：（I）
右准线，渐近线
……3分
（II）
双曲线C的方程为：……7分
奖品
5枚白棋子
价值50元的商品
4枚白棋子
价值30元的商品
3枚白棋子
价值10元的商品
如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50元购买商品。
（I）求获得价值50元的商品的概率；
（II）求获得奖品的概率；
（III）如果顾客所买商品成本价为10元，假设有10000人次参加这项促销活动，则商家可以获得的利润大约是多少？（精确到元）
（11）抛物线的焦点F的坐标为_________；若P为抛物线上一点，点M的坐标是（4，2），则的最小值为__________。
（12）一个体积为v的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为图__________（填入正确图象的序号）
已知：（为常数）
（I）若，求的最小正周期；
（II）若在上最大值与最小值之和为3，求a的值。
（16）（本小题满分14分）
某商店搞促销活动，规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表：
取出的棋子
（19）（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。
（I）求证：；
（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（5）已知向量，若与平行，则实数m等于（）
A.B.C. 2D.
（6）七种新产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间恰有两种其它产品，则不同的排列方法共有（）
A. 120种B. 240种C. 480种D. 960种
（7）设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围是（）
（8）给定数列1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，……，则这个数列的一个通项公式是（）
Байду номын сангаасA.B.
C.D.
第II卷（非选择题共110分）
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。
（9）
（10）已知，则_______，____________
（17）（本小题满分14分）
直四棱柱的底面ABCD为平行四边形，其中，，，E为DC中点，F是棱上的动点。
（I）求异面直线与所成角的正切值；
（II）当时，证明；
（III）当DF的长为多少时，二面角E-FB-D的大小为？
（18）（本小题满分14分）
已知函数（a为实数）
（I）若在处有极值，求a的值；
（II）若在上是增函数，求a的取值范围。
，解得……12分
（16）解：（I）设“获得价值50元的商品”为事件A，则事件A是等可能事件，所以……5分
（II）设“获得奖品”为事件B，则事件B是等可能事件
所以……10分
（III）设商家可以获得的利润为y元，若有10000人次参加这项促销活动，则
（元）
所以，商家可以获得的利润大约是128571元。……14分
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数的反函数是（）
A.
B.
C.
D.
（2）已知直线，平面，则下列条件中能推出的是（）
A.B.
C.D.
（3）函数的图象大致是（）
（4）已知p：为第二象限角，，则p是q成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
2021年高三数学（理工农医类）第二次统一考试
xx.5
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题共40分）
参考公式：
棱锥的体积公式
其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高。
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
（13）定义符号函数，则不等式的解集为_________。
（14）抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分。若一共抛掷硬币4次，且每次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分的期望__________
三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分12分）
设与所成角为
……4分
（II）
……10分
（III）设，由题意知为平面DBF的法向量，
设平面BEF的法向量为
由可得
即
令
……12分
二面角为为
解得
当时，二面角为……14分
（18）解：
（I）由已知得的定义域为
又……3分
由题意得
……5分
（II）解法一：依题意得
对恒成立，……7分
……9分
的最大值为
的最小值为……12分
朝阳区高三第二次统一考试数学（理工农医类）
参考答案及评分标准
一.选择题：
1. B2. C3. A4. A5. B6. D
7. A8. C
二.填空题：
（9）1（10）
（11）（2，0），6（12）③
（13）
三.解答题：
（15）解：……3分
……5分
（I）的最小正周期……6分
（II）由知……8分
……10分
（20）（本小题满分13分）
已知函数 ，数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。
（17）解法一：
（I）解：在直四棱柱中，
是异面直线与所成的角……2分
又四棱柱是直四棱柱，
面，于是
在中，
异面直线与所成角的正切值为2……4分
（II）证明：
直四棱柱中，面，于是
同理
……6分
，E为DC中点，
在直棱柱中，面面，且面ABCD
面……8分
是在面内的射影
……10分
（III）解：设，由（II）易得
取BD的中点G，连结EG得，且
又
均满足条件
它们构成首项为xx，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则，解得
中满足条件的正整数N存在，共有495个，……9分
（IV）设，即
则
显然，其极限存在，并且 ……10分
注：（c为非零常数），等都能使存在。
面ABCD，且面BDF
面面ABCD，面BDF
在面BDF内作，垂足为H，连结EH，
是二面角的平面角……12分
所以
在中，
由可得
所以
又
解得
当时，二面角为……14分
解法二：（I）直四棱柱，
以D为原点，DA、DB、所在直线分别为x、y、z轴可建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），B（0，1，0），C（，1，0），D（0，0，0）， ，
（III）由题意可得……8分
证明：设，点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
，得
的取值范围是（0，1）……13分
（20）解：（I）
……1分
……
将这n个式子相加，得
……3分
（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1
……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
又因时符合题意
为所求……14分
解法二：依题意得
对恒成立，
即
对恒成立……7分
令
（1）当时，不成立……9分
（2）当时，抛物线开口向下，可得
即……11分
（3）当时，抛物线开口向上，可得
即，这与矛盾，故舍去……13分
又因时符合题意
综上可得为所求……14分
（19）解：（I）
右准线，渐近线
……3分
（II）
双曲线C的方程为：……7分
奖品
5枚白棋子
价值50元的商品
4枚白棋子
价值30元的商品
3枚白棋子
价值10元的商品
如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50元购买商品。
（I）求获得价值50元的商品的概率；
（II）求获得奖品的概率；
（III）如果顾客所买商品成本价为10元，假设有10000人次参加这项促销活动，则商家可以获得的利润大约是多少？（精确到元）
（11）抛物线的焦点F的坐标为_________；若P为抛物线上一点，点M的坐标是（4，2），则的最小值为__________。
（12）一个体积为v的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为图__________（填入正确图象的序号）
已知：（为常数）
（I）若，求的最小正周期；
（II）若在上最大值与最小值之和为3，求a的值。
（16）（本小题满分14分）
某商店搞促销活动，规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表：
取出的棋子
（19）（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。
（I）求证：；
（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（5）已知向量，若与平行，则实数m等于（）
A.B.C. 2D.
（6）七种新产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间恰有两种其它产品，则不同的排列方法共有（）
A. 120种B. 240种C. 480种D. 960种
（7）设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围是（）