圆锥曲线综合练习及答案

圆锥曲线综合练习及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

圆锥曲线综合练习

例1、椭圆12

32

2=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。（2x+3y-5=0）

备份：1.过椭圆14

162

2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。 2.椭圆144942

2

=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.

变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的

中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22

，求该椭圆的方程。（13

23

2

2

=+

y x ） 变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。

（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长（1）y=x+1(2)AB=62

变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。 （1）若的方程；

求直线l ,3

16

|AB |=

（2）求|AB|的最小值 变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为

2

3

，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.

（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围。

例2、已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）

与椭圆C 交于不同的两点M,N.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为

10

3

时,求k 的值.

解:(1)由题意得2

22222a c

a a

b

c =⎧⎪

⎪=

⎨⎪=+⎪⎩

解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142

y k x x y =-⎧⎪

⎨+

=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.

设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则

11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,2122

2412k x x k -=+.

所以|MN|=2

2

2121()()x x y y -+-=22

1212(1)[()4]k x x x x ++-=222

2(1)(46)

12k k k +++.

由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离2

12d k

=

+,

所以△AMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=⋅=.由22||4610123k k k +=

+,解得1k =±. 变式1、已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22

b

y =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶

点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.

(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值 【解析】(I)121

6022

c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔=

= (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-

在12BF F ∆中,2

2

2

12122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯

2223

(2)5

a m m a am m a ⇔-=++⇔=[来源:学|科|网Z|X|X|K]

1AF B ∆面积211133

sin 60()40310,5,53225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M

作x 轴的垂线交C 于点N ．

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．

解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122

k

x x +=

，121x x =-， ∴1224N M x x k

x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．

设抛物线在点N 处的切线l 的方程为

284k k y m x ⎛

⎫-=- ⎪⎝

⎭，

将2

2y x =代入上式得2

2

2048

mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，

22

22282()04

8mk k m m mk k m k ⎛⎫

∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．

即l AB ∥．

（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，

1

||||2

MN AB ∴=

． 由（Ⅰ）知121212111

()(22)[()4]222

M y y y kx kx k x x =+=+++=++

2

2142224

k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216

||||2488

M N k k k MN y y +∴=-=+-=

．

又2

212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-

2

2

2214(1)11622k k k ⎛⎫

=-⨯-=++ ⎪

⎝⎭

．

22161

168k k +∴=+，解得2k =±．

即存在2k =±，使0

NA NB =．

例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。