地基中的附加应力计算
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10-地基附加应力分布规律
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（2）地基附加应力分布规律
(a) -2b -b
b p0 b
2b
(b) -2b
-b
b p0 b
0.9
0.9
0.7
00..57
b
0.5
00..23
2b
0.3
0.1
3b
0.2
0.05
4b 0.02
5b
6b
0.1
2b
(c) -2b -b
b p0 b
（2）地基附加应力分布规律
6 14
38 82 110
16 26 40 56 62
b=1.4m O
1.4m
200 O1
164 4
110
14
80
22
0.7 1.4 2.1 2.8
62
26
42
28
等值线
32
24
z=1.40m 2.80m
在基础底面上，地基附加应力等于基础底面处的基底附加压力。 大面积均布荷载下，地基任意点的附加应力等于地面分布荷载值。 地基附加应力不仅产生在荷载面积之下，而且分布在荷载面积以外 相当大的范围之下，即所谓地基附加应力的扩散分布。 在离基础底面下的不同深度处，同一水平面上，以基底中心点下轴 线处附加应力最大，距离中轴线愈远愈小。 在荷载分布范围内任意点沿垂线的附加应力随深度增大而减小。 与均质土相比较，在非均质土体中附加应力会发生一定的变化，上 硬下软的地基，附加应力会发生扩散，上软下硬的地基附加应力会 发生集中。
地基附加应力分布规律
Stress below an infinite strip load on the surface
地基中附加应力计算
§3 土体中的应力计算
小结
应力状态
自重应力
水平地基中的自重应力
的计算
土力学中应力符号的规定 地基中的应力状态 应力应变关系的假定
影响因素 基底压力分布 实用简化计算
基底压力计算
附加应力 的计算
因素：底面形状；荷载分 布；计算点位置
'u
饱和土的有效应力
土的变形与强度都
原理
只取决于有效应力
34
y
x
x
M’
R βz
M
z R2 r2 z2 x2 y2 z2
k
3
2
[1
(r
1 / z)2 ]5/ 2
z
k
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
查表3-1
4
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
k
P z2
特点
k
3
2
[1
(r
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
2
§3 土体中的应力计算 §3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－
P
o
αr
x R
布辛内斯克(J.Boussinesq)课题
x
y M’
βz
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
l z
0
——圆形面积均布荷载作用时园心点下
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计
地基中的附加应力计算
冻胀力
寒冷地区，地基土中的水分冻结膨胀，对基础产生冻胀力。
膨胀土胀缩
膨胀土在湿度变化时会发生体积胀缩，对基础产生附加应力。
地面堆载
地面上的堆载会对地基产生额外的压力，增加地基中的附加应力 。
03 附加应力的计算方法
弹性力学方法
弹性力学方法基于弹性力学理 论，将地基视为弹性体，通过 求解弹性力学方程来计算附加 应力。
02
在地基表面，水平向附加应力最大，随着离地表距 离的增加，应力逐渐减小。
03
水平向附加应力的分布还受到地基土的性质、基础 形状和荷载大小等因素的影响。
垂直向附加应力分布
01
垂直向附加应力在地基中的分布通常呈现出 先增大后减小的趋势。
02
03
在地基表面，由于荷载的作用，垂直向附加 应力较大。
随着深度的增加，垂直向附加应力逐渐减小 ，直至某一深度处达到最小值。
03
准确计算地基中的附加应力可以为工程师提供重要的设 计依据，确保建筑物的稳定性和安全性。
附加应力的定义和重要性
附加应力是指建筑物或其他 荷载在地基中引起的超过原 有应力的那部分应力。
附加应力的大小和分布直接 影响地基的变形和稳定性。
对于不同类型和性质的地基 土，附加应力的计算和评估 方法也有所不同。
工程处理措施及效果评价
处理措施
针对地基中的附加应力问题，采取了以下处理措施：对地基 进行加固处理，提高地基的承载力；采用桩基础，将建筑物 荷载传递至更深层的土层中；加强建筑物的结构刚度，减小 荷载对地基的影响。
效果评价
经过处理措施的实施，地基中的附加应力得到了有效控制， 建筑物的沉降和倾斜等变形指标均满足规范要求。同时，通 过对处理前后地基性状进行对比分析，发现处理措施对改善 地基性状具有显著效果。
地基中的附加应力计算
σ K p ,σ
K p ,
K
s XZ
p
s 0
z x s 式中 n , m K 为附加应力系数可查表 B B
任意形状基底受各种分布形式荷载的作 用下地基中附加应力的计算
• 感应图：
感应图
AB Z
Z 0.005NP0
土体中的应力集中与应力扩散
B
H
均匀
B
H 均匀
b 2
K xz F ( x, B, z )
Z K z P0， X
附加应力系数 K x p0 xz K xz p0 ,
式中 K z K x K xz为附加应力系数可根据 m和n查表
查表
(P94表3.6.1)
Kz Kx K xz
Kz Kx
附加应力等值线
条形面积三角形荷载
dP
3
dP p0 d
3
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
2 p0 z d d z 2 2 2 [(x ) z ]
3
计算原理
dP p0 d
z
b
0
2 z 3 p 0 d [(x ) 2 z 2 ] 2
2P0 z 3 z (x2 z 2 )2
X
2P0 x 2 z (x 2 z 2 )2
dP1
2
B
p 0 d
xz zx
s z s Z
2P0 xz 2 2 2 (x z )
s 0 s X s X s 0
B dP2 p0 d B
s xz
B
H
硬 成层 均匀
软
地基附加应力的计算
可以求得a/z与竖向附加应 可以求得a/z与竖向附加应
α0 a/z
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.268
0.400
0.518
0.637
0.766
0.918
1.110
1.387
1.908
∞
纽马克感应图由9个同心圆和20条通过圆心均匀分布的放射线 纽马克感应图由9个同心圆和20条通过圆心均匀分布的放射线 组成，如下图所示。 根据上表中的数据，这9 根据上表中的数据，这9个 同心圆的半径a 同心圆的半径ai（i=1,2,3 …,9）分别为：a1=0.268z， ,9）分别为：a =0.268z， a2=0.400z，a3=0.518z… =0.400z， =0.518z… 则由第一个圆（半径为a 则由第一个圆（半径为a1） 上的均布荷载在圆心O点下
或查表3 或查表3－2可得αgi，则第i单元上的集中力Qi在M点引起的竖 可得α ，则第i单元上的集中力Q 向附加应力为
根据叠加原理，可得M点总的竖向附加应力为
等代荷载法是一种近似计算方法，其计算精度取决于单元划 分的多少。单元划分的数目越多，每个单元面积就越小，其 计算精度就越高。 利用此方法计算时，可根据具体工程问题编写计算机程序， 利用计算机计算以提高计算精度。 另外，等代荷载法虽然是一种近似计算方法，但其适用范围 十分广泛，对于任意面积、任意分布荷载均适用。
令
称为均布圆形荷载中心点下 的竖向附加应力系数
则σz=α0p0 式中：z——计算点至地表的垂直深度； 式中：z——计算点至地表的垂直深度； α ——圆形基底的半径。 ——圆形基底的半径。
地基中的附加应力计算
第二章 土体应力计算
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
4.4地基附加应力的计算
过程：取元素面积 dA rdrd ，
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
则均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0dA P0rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
l 0
x dxdy
b
b
0 ( x2 y2 z2 )5
mnp
2
1 m2 n2
(1 m2 )
m2 1 n2
m2
t1 p
t1 ——应力系数，是 l / b 和 z / b 的函数，可制成表备查。
同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处N点的竖向应
b 0.5
b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
6、 矩形面积上作用三角形分布荷载时竖向应力的计算
目的：在矩形面积上作用三角形分布布荷载
p x b
p ，求荷载为
零的角点下某深度处
M点的竖向应力 z值。
的 z值，并绘出分布图；
解：
z (m) r (m) r/z
z
Q z2
(kPa)
0
0
0 0.4775
∞
1
0
0 0.4775
95.5
3
0
0 0.4775
23.9
4
0
0 0.4775
10.6
5
0
0 0.4775
地基附加应力的计算
地基附加应力的计算地基附加应力是指由于上部结构的荷载作用和变形引起的地基内土体的应力变化。
地基附加应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，对于确保地基的稳定性和结构安全起着至关重要的作用。
下面将详细介绍地基附加应力的计算方法。
首先需要了解几个基本概念：1.荷载：上部结构施加到地基上的要素，包括永久荷载和可变荷载。
-永久荷载：结构自重、永久设备、固定家具等。
-可变荷载：人员活动荷载、设备移动荷载、风荷载等。
2.地基附加应力：上部结构的荷载通过地基传递到地下，引起地基土体应力的变化。
-地基附加应力的计算是为了确定土体内各点的附加垂直应力和水平应力。
接下来介绍地基附加应力的计算方法：(1)施加在地基上的荷载的计算-根据结构荷载计算规范或相关工程设计规范，确定各种类型的荷载的大小和分布。
(2)地基承载力的计算-土壤力学理论中的承载力计算方法可以用来计算地基的承载力，例如采用经典的排水条件下的承载力公式：q=cNc+q'Nq+0.5γBNγ，其中q 为地基单位面积的承载力，c为土壤的黏聚力，Nc为地基承载力系数，q'为有效自重应力，Nq为矩形地基的地基承载力系数，γ为土壤的单位重量，B为矩形地基的宽度，Nγ为水平方向上的地基承载力系数。
-地基附加应力可分为垂直应力和水平应力两个方向的计算。
-垂直应力的计算：根据荷载的大小和分布，在地基表面和不同深度处计算地基附加应力的大小。
-水平应力的计算：根据土体的侧限状态和结构荷载的分布，计算地基附加水平应力的大小。
(4)地基附加应力的作用范围-附加应力的作用范围决定了结构荷载对地基的影响，需要根据具体的工程条件进行计算。
(5)地基应力分析的结果分析与处理-地基附加应力的计算结果可以作为设计参数，用于工程结构的设计和优化。
需要注意的是，地基附加应力的计算是一个复杂的过程，需要考虑多个因素的综合影响。
在实际工程中，还需要结合工程实际情况和相应的规范要求，进行合理的估算和计算。
地基附加应力
地基附加应力是建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力，其公式为：d p p p c 00γσ-=-=
竖向集中力下的地基附加应力
1 布辛奈斯克法
这个方法给出了三个方向的正应力和剪应力以及位移的公式。
其中最常用的是竖向正应力和竖向位移的公式，公式见下
θπσ32cos 23R
P = P 作用于坐标原点的竖向集中力
R M 点至坐标原点的距离
θ R 线与z 坐标轴的夹角
2 等代荷载法
如果地基中M 点与局部荷载的距离比荷载截面尺寸大很多时，就可以用一个集中力P 代替局部荷载，然后利用不辛奈克斯公式求解，经简化得到下面的公式：2
z P K
=σ，其中K 是一个与z r 有关的系数，经查表就可得到。
若有若干个集中荷载作用在地基上，则应按叠加原理计算地基中某点M 的附加应力。
当局部荷载的平面形状或者分布形状不规则时，可将荷载面（或基础底面）分成若干个规则面积单元，每个面积单元上的分布荷载可近似用集中荷载代替，这样就可以利用叠加法来计算基础下某一深度点的附加应力（此法不宜用于求靠近荷载面的计算点），一般其精度能保证工程要求。
2 巨型荷载和圆形荷载下的地基附加应力
以角点法计算均布矩形荷载下的地基附加应力，分为四种情况
荷载面边缘;荷载面内;荷载面边缘外侧；荷载面角点外侧
以上四种情况都可通过分割和补加得到想要的角点，然后来利用叠加法通过查表可得到想要求的计算点的附加应力。
地基中的附加应力
0 ＝18.5kN/m3
202.2kPa 193.7kPa 165.7kPa
111.2kPa
80.9kPa
地基附加应 力分布曲线
62.3kPa
本节演示结束 谢谢观看！
z
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
附加应力分布规律
距离地面越深，附加应力的分布范围越广
在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐 减小
同一竖向线上的附加应力随深度而变化
在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小
A
1m
2m 200kPa o
2m
B基础引起的 附加应力
1m
1m
三、条形基础地基中的附加应力计算
基础底面长宽 理想 比l / b→∞ 情况
条形基础
实际 情况
基础底面长宽 比l / b≥10
pdy布辛涅斯克解
线积分
z
2 pz3 x2 z2
2
几种不同分布荷载计算Ⅰ
均布荷载情况
p
b/2 b/2
pm in
bl l
条形基础取单 位长度计算
分析步骤Ⅱ:
F=400kN/m
0.1m M=20kN •m
1.5m 0 ＝18.5kN/m3
2m
292.0kPa
112.6kPa
2.基底附加压力计算
基底标高以上 天然土层的加 权平均重度
基础埋 置深度
p0max pmax
p0 m in
地基中的附加应力计算
形荷载下任意点的地基附加
应力。
p
z
d z
A
3p0 z3
2
lb 00
1
dxdy
x2
y2
z2
5 2
p0
lbz l 2 b2 2z 2
arctan
lMb
2 l 2 z 2 b2 z 2 l 2 b2 z 2
z l 2 b2 z 2
m=L/B, n=z/B
(x/B)p0
p0
处所取微面积dxdy上的
分布荷载以集中力
x
(x/B)p0dxdy代替d。 z
3
2
B
x2
p0 xz3 y2 z2
B
dxdy
5/2
d z
3
2
B
x2
p0 xz3 y2
z2
5/2
dxdy
矩形面积三角形 分布荷载下的附 加应力
p0
M1
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数
附加应力计算的假定
(1) 地基土是均质、各向同性的半无限空间线 弹性体。 (2) 直接采用弹性力学理论解答。 (3) 基底压力是柔性荷载，不考虑基础刚度的 影响。
布辛奈斯克解
法国J.布辛奈斯克(Boussinesq, 1885)运 用弹性理论推出了在弹性半无限空间表面 上作用一个竖向集中力时，半空间内任意 点M(x、y、z)处的六个应力分量和三个位 移分量的弹性力学解答:
球根
应力 球根
0.01P
应力等值线
几个集中荷载作用
z
K1
P1 z2
K2
P2 z2
Kn
Pn z2
1 z2
n
Ki Pi
地基中的附加应力计算
地基中的附加应力计算
1.经验公式法：
经验公式法是根据实际工程经验得出的结论，通过对已有工程案例的分析总结，得出了一系列与地基附加应力相关的经验公式。
这些经验公式可以根据地区、地质条件、地基材料等不同的情况进行选择和调整。
常用的经验公式有：
- 弗里斯(Prandtl)公式：适用于单轴受力的情况，可以计算地基中的垂直和水平附加应力。
-托伯公式：适用于地下水位以上的地表载荷作用的情况，可以计算地基中的垂直附加应力。
-迈尔公式：适用于地下水位以下的地表载荷作用的情况，可以计算地基中的垂直附加应力。
2.有限元法：
有限元法是通过将地基划分为有限的单元，利用有限元软件进行数值计算，得出地基中附加应力的分布情况。
这种方法需要进行大量的地质和地基参数调查，并进行合理的边界条件设定，才能得到准确的结果。
有限元法可以考虑地基中的非线性和不均匀性，因此可以提供更精确的附加应力计算结果。
在进行地基中附加应力计算时，需要考虑以下因素：
-建筑物或地表载荷的性质和大小；
-地下水位的位置和变化；
-地质条件和地基参数的分布情况；
-土壤的应力-应变关系。
通过合理选择计算方法和准确输入参数，可以得到准确的地基中附加应力计算结果。
这些结果可以用于地基设计和土木工程的安全评估，为工程提供合理的地基设计方案和施工措施。
地基附加应力的计算
2.3 竖向荷载作用下地基附加 应力的计算
2.3 地基附加应力的计算
• 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。
• 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论 计算。
2.3.1 竖向集中荷载作用下 土中附加应力的计算
布辛奈斯克（法）公式：
y
P z
。
z2
α—附加应力计算系数与(r,z有关)
z c p0 基底附加压力
l
0
式中：αC—矩形荷载下附加应力 计算系数(与l/b，z/b有关)；
σz
M(z)
p0—基底附加压力。
z
b
p0 x
2.3 地基附加应力的计算
（二）矩形均布荷载下任意角点处 的附加应力计算------角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应力
计算系数(与x/b，z/b有关)。
本章小结
自重应力：
cz z
基底压力：
pmax pmin
F
G A
(1
6e ) l
基底附加压力： p0 p cz p 0d
附加应力：
z c p0
天然地面
本章小结
基础底面
自重应力 分布曲线
附加应力 分布曲线
地基应力分布示意图
P x
r
σz
M(x,y,z)
z
2.3 地基附加应力的计算
集中荷载作用下地基中附加应力分布规律： 1.在集中力作用线上，附加应力随着深度Z的增加而递减； 2.在某一水平面上，即Z一定时，附加应力随r的增大而减 少； 3.当离集中力作用线某一距离r时，z=0, σz=0，z↑， σz先增加后减小； P
2.3 地基附加应力的计算
• 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。
• 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论 计算。
2.3.1 竖向集中荷载作用下 土中附加应力的计算
布辛奈斯克（法）公式：
y
P z
。
z2
α—附加应力计算系数与(r,z有关)
z c p0 基底附加压力
l
0
式中：αC—矩形荷载下附加应力 计算系数(与l/b，z/b有关)；
σz
M(z)
p0—基底附加压力。
z
b
p0 x
2.3 地基附加应力的计算
（二）矩形均布荷载下任意角点处 的附加应力计算------角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应力
计算系数(与x/b，z/b有关)。
本章小结
自重应力：
cz z
基底压力：
pmax pmin
F
G A
(1
6e ) l
基底附加压力： p0 p cz p 0d
附加应力：
z c p0
天然地面
本章小结
基础底面
自重应力 分布曲线
附加应力 分布曲线
地基应力分布示意图
P x
r
σz
M(x,y,z)
z
2.3 地基附加应力的计算
集中荷载作用下地基中附加应力分布规律： 1.在集中力作用线上，附加应力随着深度Z的增加而递减； 2.在某一水平面上，即Z一定时，附加应力随r的增大而减 少； 3.当离集中力作用线某一距离r时，z=0, σz=0，z↑， σz先增加后减小； P
第四章 地基中附加应力与变形计算
20 18 16
Elevation (metres)
14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Distance - metres
圆形基底均布压力－地基竖向应力等值线分布 Lesson 1: Pressure distribution under a circular footing
当水平场地地基表面作用局部均布荷载时，仍然假定 土柱的变形属于侧向变形条件，只产生竖向变形。但 是，随深度增大，水平面上的竖向压应力逐渐减小， 需要分层确定竖向应变和竖向变形量。
s
H1
H2
H3
s = ∑εi Hi
i =1
3
侧限压缩变性特性
地基土的侧限压缩变形特性可以由侧限压缩试验测试
p
H H
H 1 + eo
Distance - metres
条形基底均布压力－地基竖向应力等值线分布 Lesson 2: Pressure distribution under a strip footing
3m Footing 100 kPa E = 5000 kPa, Poisson's Ratio = 0.334
20
80
18
90
20
10
Elevation (metres)
12
10
8
6
30
4
2
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
40
50
14
60
16
70
Distance - metres
条形基底均布压力－地基水平向应力等值线分布 Lesson 2: Pressure distribution under a strip footing
地基中的附加应力
1.5m 2m
0 ＝18.5kN/m3
荷载偏心距 e=M/(F+G)
基础及上覆 土重G= GAd 140.3kPa
319.7kPa
pmax pmin
1.基底压力计算
条形基础取单 位长度计算
F G 6e 1 bl l
分析步骤Ⅱ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m
基础底面长宽 比l / b→∞
理想 情况
条形基础
实际 情况
基础底面长宽 比l / b≥10
pdy布辛涅斯克解
线积分
z
2 pz 3
x 2 z 2
2
几种不同分布荷载计算Ⅰ
均布荷载情况
p
b/2 b/2 x z
z K sz p
Ksz ,Ktz条形基底竖向附 加应力系数, 均为m ,n 的函数，其中m=x/b， n=z/b，可查表得到
x
附加应力系数
P K 2 z
z
z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
附加应力分布规律
距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐 减小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无 限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应 力扩散）
地基中的附加应力
附加应力：新增外加荷载在地基土体中引起的应力
计算基本假定：
地基土是连续、 均匀、各向同性 的半无限完全弹 性体
不同地基 中应力分 布各有其 特点
精编地基中的附加应力计算资料
第二章 土体应力计算
【解】（1）求作用于基底面上的力及偏心距。将Fh移至基底面，根据 静力等效，需加力矩。设合力作用点离基底前缘A点的水平距离为x，利 用合力矩定理，即
Fv·x= Fv×3.2－Fh ×2.4 则 x=（3.2 Fv－2.4 Fh ）／Fv=3.2－2.4 ×400 ／ 2400
＝2.8（m） 于是合力偏心距e=b/2－2.8＝0.2（m）；合力作用点位于基底面中点的 左侧0.2m。 （2）求基底压力。这属于平面问题应用式（2－13），得竖向基底压力
第二章 土体应力计算
应用式（2－17），得 ph=Fh/b=400/6=66.7kPa （3）求基底净压力（基底附加应力）。对于梯形分布的竖向基底压力应用 图2－23所示方法可得竖向基底净压力如下
pn=pmin－γod=320－19×1.5＝291.5kPa pt=pmax－pmin=480－320＝160kPa
图4-3 集中荷载作用下地基中应力
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力 学和固体力学都有贡献。
竖向集中力作用下地基附加应力
弹性力学解答 Boussinesq 解
竖向集中力作用下地基附加应力
z
3Pz 3
2R5
六 条形基底均布荷载作用下地基附加应力
条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力
p pt b
条形基底受水平荷载作用时附加应力
第二章 土体应力计算
基底作用有倾 斜偏心荷载时
平面问题： 注意：（1）原点
（2）X轴正向
第二章 土体应力计算
【例题2－3】如图所示的挡土墙，基础底面 宽度为6m，埋置于地面下1.5m处。每米墙自 重及其上部其他竖向荷载Fv= 2400kN/m，作 用位置离墙基础前缘A点3.2m；因土压力等作 用墙背受到水平力Fh=400kN/m，其作用点距 离基底面2.4m。设地基土重度为19kN/m3， 若不计墙后填土附加应力的影响，试求因Fv ，Fh作用基础中心点及前缘A点下深度 z=7.2m处M点，N点的附加应力。
地基附加应力的计算
，则式（2-13）可改写为
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征
图2-13 集中力作用下土中的应力σz的分布
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征
在集中力P作用 在r＞0的竖直线 线上的σz分布 上的σz分布
1)
1.角点下任意深度的附加应力
图2-17 矩形均布荷载作用时角点下的附加应力σz
1.2矩 形面 积上 均布 荷载 作用 下的 地基 附加 应力
2.非角点下任意深度的附加应力
当矩形面积上均布荷载作用下的附加应力计算点不 位于角点下时，可通过角点下的应力计算公式（2 1 5）和应力叠加原理求得。例如，求非角点Q下任意深 度的附加应力时，可通过Q点将荷载面积划分为几块 小矩形面积，使Q点为每块小矩形面积的共同角点， 利用式（2 15）分别求出Q点下同一深度在每个小矩 形均布荷载作用下的应力值，然后利用叠加原理求出 总的附加应力，这就是角点法。如图2 18所示，角 点法可分为四种情况。
2)
在一定深度z处 的水平面上的
σz分布
3)
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征 图2-14集中力作用下σz的等值线
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
3.多个集中力作用下的σz
图2-15 两个集中力作用下σz的叠加
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
土力学与中应力
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
1.计算公式
法国J.布辛奈斯克（Boussinesq，1885）运用弹性理论 推出了这些应力分量的解，其中竖向正应力 σz在建筑工程 中对基础沉降计算意义最大，其表达式为
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征
图2-13 集中力作用下土中的应力σz的分布
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征
在集中力P作用 在r＞0的竖直线 线上的σz分布 上的σz分布
1)
1.角点下任意深度的附加应力
图2-17 矩形均布荷载作用时角点下的附加应力σz
1.2矩 形面 积上 均布 荷载 作用 下的 地基 附加 应力
2.非角点下任意深度的附加应力
当矩形面积上均布荷载作用下的附加应力计算点不 位于角点下时，可通过角点下的应力计算公式（2 1 5）和应力叠加原理求得。例如，求非角点Q下任意深 度的附加应力时，可通过Q点将荷载面积划分为几块 小矩形面积，使Q点为每块小矩形面积的共同角点， 利用式（2 15）分别求出Q点下同一深度在每个小矩 形均布荷载作用下的应力值，然后利用叠加原理求出 总的附加应力，这就是角点法。如图2 18所示，角 点法可分为四种情况。
2)
在一定深度z处 的水平面上的
σz分布
3)
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
2.集中力作用下的σz分布特征 图2-14集中力作用下σz的等值线
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
3.多个集中力作用下的σz
图2-15 两个集中力作用下σz的叠加
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
土力学与中应力
1.1竖 向集 中力 作用 下的 地基 附加 应力
1.计算公式
法国J.布辛奈斯克（Boussinesq，1885）运用弹性理论 推出了这些应力分量的解，其中竖向正应力 σz在建筑工程 中对基础沉降计算意义最大，其表达式为
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P0
0.1P 0.05P 0.02P
球根
应力 球根
0.01P
• 如果有几个集中荷载作用（应力叠加原理）
叠加原理 叠加原理建立在弹性 理论基础之上，当地基表 面同时作用有几个力时， 可分别计算每一个力在地 基中引起的附加应力，然 后对每一个力在地基中引 起的附加应力累加求出附 加应力的总和。
zK 1z P 1 2K 2P z2 2 K nP zn 2z 1 2i n 1K iP i
B
z
M1
L
x
的角点1为座标原点，则
可将荷载面内某点(x，y)
z(x/B)p0
p0
处所取微面积dxdy上的
分布荷载以集中力
x
(x/B)p0dxdy代替d。z23Bx2py0x23zz25/2Bdxd
dz23Bx2py0x23zz25/2dxdy
y
dP
p0
BL
z00dzz(p 0 ,m ,n ) B
xy y x3 2 P 0 x R 5y 1 z 3 2R x3 ((2 y R R zz )2 )
3P0
2
xyz R5
yz
zy
3 P0
2
yz 2 R5
P0
o αr
x R
y M’ θz
3P0 y
2xR 3
cos 2
xz
zx
3P0
2
xz 2 R5
y
M
3P0 x cos 2
y
dP
p0
B
z
L
x
M1
M2
z
(B-X)P0/B
p0
x B
P0
z1Kt1p0
z2Kt2p0
M1
M2
K t F(B ,L,z)
五. 矩形面积水平均布荷载作用下的附加应力
Kp B
z
hh
ph
L
z
z z
Lz K hF (B ,L ,z)F (B ,B )F (m ,n )
查表
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－
L
x
z Kt1p0
z
M1
K t1F (B ,L ,z)F (B L,B z)F (m ,n ) z
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数 查表
同理，可求得荷载最大值边的 角点2下任意深度 z处的竖向
附加应力z为： z=Kt2p0=(Kc-Kt1)p
1、Kt1和Kt2均为m＝l/B和 n＝z/B 的函数，必须注意B是沿三角形分 布荷载方向的边长。 2、KC的意义 3、梯形荷载下的附加应力的求解
Kp 角点下垂直附加
应力的计算公式
z
s0
叠加原理
角点法
地基中任意点的附加应力
BA CD
a.矩形面积内
z ( K s A K s B K s C K s D ) p 0
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
a.矩形面积内
z ( K s A K s B K s C K Bs D ) p A0
dP
p0
y
x
L
B
z
M
z
dP 0 p0dxd
z
3P0
2
z3 R5
dz 32 d0PR z3 532p 0R z3 5dxdy
dP 0 p0dxdy
dP
p
y
z
dz
A
3p0z3
2
lb 00
1
x2y2z2
5 xd 2
xd
B
y
L
z
2p0l2z2l
blz2b22z2 b2z2 l2b2z2
度处的地基附加应力z的分
布，并考虑两相邻基础的影
d=1.5m
γ=18kN/m3
N=1940KN
响(两相邻柱距为6m，荷载同
基础甲)。
• 解：
• (1) 计算基础甲的基底平均附加压力：
• 基础及其上回填土的总重：
•
•
G G A 2 d 5 0 4 1 .5 6k 0 N 0
• 基底压力值： •
b.矩形面积外
CD
z (KsbeghKsafgh h
i
g
KscegiKsdfg)i p0 a
d
f
bc e
• 地基中的附加应力计算 步骤：
• 1、核算上部荷载 • 2、确定基础的尺寸 • 3、基底压力 • 4、基底附加应力 • 5、地基中的附加应力
例题 荷载分布情况如图所示。求荷载面积上点A、E、O 以及F和G点等点下z=1m深度处的附加应力，并利 用计算结果说明附加应力的扩散规律。
pNG 194 60 10 2 kp 7a A 54
• 基底处的土自重压力值：
c0 d 1 1 8 .5 2k7pa
• 基底附加压力值 ：
p 0 p c 1 2 2 7 1 7k 0p 0a
(2) 计算基础甲中心点 O下由本基础荷载引起的z
计算点
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
基础甲中心点O下由本基础荷载引起的z
弗拉曼解
地基表面上作用无限长的条
P0
形荷载，荷载沿宽度可按任何形
式分布，且在每一个截面上的荷
载分布相同(沿长度方向则不变)，
y
此时地基中产生的应力状态属于
x
z xM
平面问题。因此，对于条形基础，
z
如当墙荷基载、面挡积土的墙长基宽础比、l路/b基＞、10坝时，计算的地基附加
基应等力，值常与可按按l平/b面＝问 题时考的虑解。相比误差甚少。
10.5
nZB1,查表K得 s 0.1999
E点:分成矩 EA形D和IEBC ，I
对于 EAD有ImL1,nZ1
B
B
5 z G K G K H G D H p 0 8 F . 1 CB
6 附加应力的扩散规律
4m
4m
4m
例题
甲
丙
乙
5m 5m 5m
以角点法计算图示矩形基础甲
N
的基底中心点垂线下不同深
解1、 ：zA KA B C D p0
＝ 0.19 91900 20
2 zEKEID A KEBC Ip0
≈ 35
3zOK KO OK JACE I K KO OIEDBJKp0
A点是矩 AB形 C的 D角点m ， L且2,
B
48.1
4 zF-KKFFHHDC JK -KKFFJKABGGp0
x
M’
R θz
y
M
z
z
3P0
2
z3 R5
zy
3P0
2
yz2 R5
zx
3P0
2
xz2 R5
R 2 r 2 z 2 x 2 y 2 z 2 z: zy : zx z:y:x
z3 2 P 0R z3 52 3 [1(r/1z)2]5/2z P 0 2
K 3 1 3 1 2[1 (r/z)2]5 /2 2[1 t2 g]5 /2 r/zt g
• 地基中附加应力： • 基底附加应力在地基中
引起的附加于原有应力 之上的应力。
地基中的附加应力是使 地基发生变形，引起建 筑物沉降的主要原因。
土中附加应力分布特点：
• 土中附加应力分布特点：
• 1、 在地面下同一深度的水平面上的附加应力不同， 沿力的作用线上的附加应力最大，向两边则逐渐减 小。 2、 距地面愈深，应力分布范围愈大，在同一铅直 线上的附加应力不 同， 愈深则愈小。 3、计算地基附加应力，一般假定地基土是各向同性 的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上 都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形 半空间，就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空 间的理论解答。
4×(0.250-0.250)×100＝0.0 4×(0.244-0.243)×100＝0.4 4×(0.220-0.215)×100＝2.0
4.4 6.8 8.8 9.6 9.6 9.6 8.4
四. 矩形面积三角形分布荷载下的附加应力 y
• 设竖向荷载沿矩形面一
dP
p0
边B方向上呈三角形分布 (沿另一边l的荷载分布不 变)，荷载的最大值为p0 （kPa），取荷载零值边
座标原点的选择对解题的结果的简单性很重要.
沿y轴某微分段dy上的分 布荷载以集中力为：
P0 dy
dPP0dy
x
则地基中任意点M处由dP引起的
y
x
附加应力dz为：
dz
32P0Rz53
4×0.250×100＝100 4×0.235×100＝94 4×0.187×100＝75
54 39 28 21 17 18 9
(3)计算基础甲中心点O下由两相邻两基础乙的荷载引起
的z
计算点
基础甲中心点O下由两相邻两基础乙的荷载引起的z
l／b
Z
I(oafg) (oaed) (m)
z／b
KcI
KcI
条形面积竖直三角形荷载
特殊面积、特殊荷载
矩形面积水平均布荷载
一、竖直集中力作用下的附加应力计算--------布辛内斯克课题
P0
o
αr
y
x
M’
x
z zx
y
r/zt g z
R θz M
xy
y yz
R 2 r 2 z 2 x 2 y 2 z 2
x y z xy yz zx （P0；x,y,z；R, α, θ)
arctan lM b
z l2zb2z2
m=L/B, n=z/B
z Ksp0
查表
K sF (B ,L ,z)F (B L,B z)F (m ,n )