最优化理论与方法复习要求2015

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第2章最优化的基本理论和基本方法最优性条件 2.1 无约束优化

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几何解释： z=f(x,y)=x2 +y2, (x,y)=(0,0)为局部解
几何解释： z=f(x,y)=x2 +y2, (x,y)=(0,0)为局部解
§1.2 局部解的二阶必要条件
定理2 设f(x)在x=x*=(x1*, x2*, ..., xn*)T 处对x的各个分量具有连续的二阶偏导数连续, 若x=x*为f(x)的局部解，则f(x)的海赛矩阵 2 f (x*)为半正定矩阵
对于无约束的凸优化问题，驻点就是全局最优解。（驻点是满足梯度为0的点）因此，局部解也是最优解（ f(x)可导时）。
无约束优化的三个基本定理。
凸优化情况
作业
薛毅p140, 4.1,(2) 4.2 这两个题目有是凸规划的吗？
练习
f(x)= 2x12+5x22 +x32 +2x2x3 + 2x1x3 -6x2+3 求f的局部解和分条件
min f(x)=x3, xR, f(x)=x3, f在x=0可导，f (x)= 0， f(x)= 0，半正定。但易见x=0不是局部解。
§1 无约束最优化（薛毅第4章第1节）
问题：
min f(x),
x1 x= x 2 ∈Rn x n
(2-1)
考虑问题的局部解。
费马引理
费马引理：基本定理，单变量局部解的必要条件
若f(x)在x=x0可导，则f(x)在x=x0为局部解的必要条件是 f ' ( x 0 ) 0 。
满足一阶和二阶必要条件，但不是局部解的例子。仅是必要条件不是充分条件。
局部解的充分条件不是必要条件

附录4：《最优化方法》复习提要

附录4 《最优化方法》复习提要第一章最优化问题与数学预备知识§1. 1 模型无约束最优化问题 12min (),(,,,)T n n f x x x x x R =∈．约束最优化问题（},,2,1,0)(;,,2,1,0)(,|{l j x h m i x g R x x S j i n ===≥∈=∧）min ();...f x s t x S ⎧⎨∈⎩ 即 m i n ();..()0,1,2,,,()0,1,2,,.i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩其中()f x 称为目标函数，12,,,n x x x 称为决策变量，S 称为可行域，()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g x i m h x j l ≥===称为约束条件．§1. 2 多元函数的梯度、Hesse 矩阵及Taylor 公式定义设:,n n f R R x R →∈．如果n ∃维向量p ，n x R ∀∆∈，有()()()T f x x f x p x o x +∆-=∆+∆．则称()f x 在点x 处可微，并称()T df x p x =∆为()f x 在点x 处的微分．如果()f x 在点x 处对于12(,,,)T n x x x x =的各分量的偏导数都存在，则称()f x 在点x 处一阶可导，并称向量为()f x 在点x 处一阶导数或梯度．定理1 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处梯度()f x ∇ 存在，并且有()()T df x f x x =∇∆．定义设:,n n f R R x R →∈．d 是给定的n 维非零向量，de d=．如果存在，则称此极限为()f x 在点x 沿方向d 的方向导数，记作()f x d∂∂．定理2 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处沿任何非零方向d 的方向导数存在，且()()T f x f x e d∂=∇∂，其中d e d =．定义设()f x 是n R 上的连续函数，n x R ∈．d 是n 维非零向量．如果0δ∃>，使得(0,)λδ∀∈，有()f x d λ+<（>）()f x ．则称d 为()f x 在点x 处的下降（上升）方向．定理3 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 处可微，如果∃非零向量n d R ∈，使得()T f x d ∇<（>）0，则d 是()f x 在点x 处的下降（上升）方向．定义设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x =的各分量的二阶偏导数2()(,1,2,,)i jf x i j n x x ∂=∂∂都存在，则称函数()f x 在点x 处二阶可导，并称矩阵为()f x 在点x 处的二阶导数矩阵或Hesse 矩阵．定义设:,n m n h R R x R →∈，记12()((),(),,())T m h x h x h x h x =，如果 ()(1,2,,)i h x i m =在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x =的各分量的偏导数都存在，则称向量函数()h x 在点x 处是一阶可导的，并且称矩阵为()h x 在点x 处的一阶导数矩阵或Jacobi 矩阵，简记为()h x ∇．例2 设,,n n a R x R b R ∈∈∈，求()T f x a x b =+在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解设1212(,,,),(,,,)TTn n a a a a x x x x ==，则1()nk k k f x a x b ==+∑，因()(1,2,,)k kf x a k n x ∂==∂，故得()f x a ∇=．又因2()0(,1,2,,)i jf x i j n x x ∂==∂∂，则2()f x O ∇=．例3 设n n Q R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，称1()2TT f x x Qx b x c =++为二次函数，求()f x 在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解设1212(),(,,,),(,,,)T T ij n n n n Q q x x x x b b b b ⨯===，则121111(,,,)2n nnn ij i j k k i j k f x x x q x x b x c ====++∑∑∑，从而111111111()()()nn j j j j j j n n n nj j n nj j j j n f x q x b q x x bf x Qx b f x b q x b q x x ====⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∇===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑．再对1()(1,2,,)nij j i j i f x q x b i n x =∂=+=∂∑求偏导得到2()(,1,2,,)ij i jf x q i j n x x ∂==∂∂，于是1112121222212()n n n n nn q q q q q q f x Q q q q ⎛⎫⎪ ⎪∇== ⎪⎪⎝⎭．例4 设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求(),()t t ϕϕ'''．解由多元复合函数微分法知 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．定理4 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，则()f x 在点x 处有Taylor 展式21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<．证明设()(),[0,1]t f x t x t ϕ=+∆∈，则(0)(),(1)()f x f x x ϕϕ==+∆．按一元函数Taylor 公式()t ϕ在0t =处展开，有21()(0)(0)(),(0)2t t t t ϕϕϕϕθθ'''=++<<．从例4得知2(0)(),()()()T T f x x x f x x x ϕϕθθ'''=∇∆=∆∇+∆∆．令1t =，有21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<．根据定理1和定理4，我们有如下两个公式()()()()()T f x f x f x x x o x x =+∇-+-，221()()()()()()()()2T T f x f x f x x x x x f x x x o x x =+∇-+-∇-+-．§1. 3 最优化的基本术语定义设:n f R R →为目标函数，n S R ⊆为可行域，x S ∈．（1）若x S ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的全局（或整体）极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的全局（或整体）最优解，并称()f x 为其最优值．（2）若,x S x x ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格全局（或整体）极小点．（3）若x ∃的δ邻域(){}(0)n N x x R x x δδδ=∈-<>使得()x N x S δ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的局部极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的局部最优解．（4）若x ∃的δ邻域()(0)N x δδ>使得(),x N x S x x δ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格局部极小点．第二章最优性条件§2.1 无约束最优化问题的最优性条件定理1 设:n f R R →在点x 处可微，若x 是问题min ()f x 的局部极小点，则()0f x ∇=．定义设:()n f S R R ⊆→在int x S ∈处可微，若()0f x ∇=，则称x 为()f x 的平稳点．定理 2 设:n f R R →在点x 处具有二阶连续偏导数，若x 是问题min ()f x 的局部极小点，则()0f x ∇=，且2()f x ∇半正定．定理 3 设:n f R R →在点x 处具有二阶连续偏导数，若()0f x ∇=，且2()f x ∇正定，则x 是问题min ()f x 的严格局部极小点．注：定理2不是充分条件，定理3不是必要条件．例1 对于无约束最优化问题2312min ()f x x x =-，其中212(,)T x x x R =∈，显然 2212()(2,3),T f x x x x R ∇=-∀∈，令()0f x ∇=，得()f x 的平稳点(0,0)T x =，而且2222020(),()0600f x f x x ⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．易见2()f x ∇为半正定矩阵．但是，在x 的任意δ邻域x x δ-<，总可以取到(0,)2T x δ=，使()()f x f x <，即x 不是局部极小点．例2 对于无约束最优化问题42241122min ()2f x x x x x =++，其中212(,)T x x x R =∈，易知3223112122()(44,44)Tf x x x x x x x ∇=++，从而得平稳点(0,0)T x =，并且 22221212221212001248(),()008412x x x x f x f x x x x x ⎛⎫+⎛⎫∇=∇=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．显然2()f x ∇不是正定矩阵．但是，22212()()f x x x =+在x 处取最小值，即x 为严格局部极小点．例3 求解下面无约束最优化问题332122111min ()33f x x x x x =+--，其中212(,)T x x x R =∈，解因为21212222201(),()0222x x f x f x x x x ⎛⎫-⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以令()0f x ∇=，有2122210,20.x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解此方程组得到()f x 的平稳点(1)(2)(3)(4)1111,,,0202x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．从而2(1)2(2)2020(),()0202f x f x ⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2(3)2(4)2020(),()0202f x f x --⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．由于2(1)()f x ∇和2(4)()f x ∇是不定的，因此(1)x 和(4)x 不是极值点．2(3)()f x ∇是负定的，故(3)x 不是极值点，实际上它是极大点．2(2)()f x ∇是正定的，从而(2)x 是严格局部极小点．定理4 设:n f R R →是凸函数，且()f x 在点n x R ∈处可微，若()0f x ∇=，则x 为min ()f x 的全局极小点．推论5 设:n f R R →是凸函数，且()f x 在点n x R ∈处可微．则x 为min ()f x 的全局极小点的充分必要条件是()0f x ∇=．例4 试证正定二次函数1()2TT f x x Qx b x c =++有唯一的严格全局极小点1x Q b -=-，其中Q 为n 阶正定矩阵．证明因为Q 为正定矩阵，且(),n f x Qx b x R ∇=+∀∈，所以得()f x 的唯一平稳点1x Q b -=-．又由于()f x 是严格凸函数，因此由定理4知，x 是()f x 的严格全局极小点． §2.2 等式约束最优化问题的最优性条件定理1 设:n f R R →在点x 处可微，:(1,2,,)n j h R R j l →=在点x 处具有一阶连续偏导数，向量组12(),(),,()l h x h x h x ∇∇∇线性无关．若x 是问题的局部极小点，则,1,2,,j v R j l ∃∈=，使得1()()0lj j j f x v h x =∇-∇=∑．称(,)()()T L x v f x v h x =-为Lagrange 函数，其中12()((),(),,())T l h x h x h x h x =．称12(,,,)T l v v v v =为Lagrange 乘子向量．易见(,)x v L L x v L ∇⎛⎫∇= ⎪∇⎝⎭，这里1(,)()(),(,)()lx j j v j L x v f x v h x L x v h x =∇=∇-∇∇=-∑．定理 2 设:n f R R →和:(1,2,,)n j h R R j l →=在点n x R ∈处具有二阶连续偏导数，若l v R ∃∈，使得(,)0x L x v ∇=，并且，,0n z R z ∀∈≠，只要()0,1,2,,T j z h x j l ∇==，便有2(,)0T xx z L x v z ∇>，则x 是问题的严格局部极小点．例1 试用最优性条件求解 221212min ();..()80.f x x x s t h x x x ⎧=+⎨=-=⎩解 Lagrange 函数为221212(,)(8)L x v x x v x x =+--，则1221122(,)2(8)x vx L x v x vx x x -⎛⎫⎪∇=- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而得(,)L x v的平稳点2)T和(2)T ，对应有,2T x v ==和(,2T x v ==．由于221222(,),()222xx x v L x v h x x v--⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇==∇= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因此1212{(,)|}T z z z z ==-．并且(),0z M x z ∀∈≠，有222211221(,)24280T xx z L x v z z z z z z ∇=-+=>．利用定理2，所得的两个可行点T x =和(T x =都是问题的严格局部极小点． §2.3 不等式约束最优化问题的最优性条件定义设,,,0n n S R x clS d R d ⊆∈∈≠，若0δ∃>，使得，,(0,)x d S λλδ+∈∀∈，则称d 为集合S 在点x 处的可行方向．这里{|,(),0}n clS x x R SN x δδ=∈≠∅∀>．令 {|0,0,,(0,)}D d d x d S δλλδ=≠∃>+∈∀∈使， 0{|()0}T F d f x d =∇<．定理 1 设n S R ⊆是非空集合，:,,()f S R x S f x →∈在点x 处可微．若x 是问题min ()x Sf x ∈的局部极小点，则 0F D =∅．对于min ();..()0,1,2,,,i f x s t g x i m ⎧⎨≥=⎩ （1）其中:,:(1,2,,)n n i f R R g R R i m →→=．令(){|()0,1,2,,}i I x i g x i m ===，其中x 是上述问题（1）的可行点．定理2 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，如果x 是问题（1）的局部极小点，则 00F G =∅，其中0{|()0,()}T i G d g x d i I x =∇>∈．定理3 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，若x 是问题（1）的局部极小点，则存在不全为0的非负数0,(())i u u i I x ∈，使0()()()0iii I x u f x u g x ∈∇-∇=∑．（x 称为Fritz John 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在不全为0的非负数01,,,m u u u ，使01()()0,()0,1,2,,.mi i i i iu f x u g x u g x i m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑ （x 称为Fritz John 点）例1 设1311222min ();..()(1)0,()0.f x x s t g x x x g x x =-⎧⎪=--≥⎨⎪=≥⎩试判断(1,0)T x =是否为Fritz John 点．解因为12100(),(),()011f x g x g x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且(){1,2}I x =，所以为使Fritz John 条件01210000110u u u -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，只有00u =才行．取0120,0u u u α===>即可，因此x 是Fritz John 点．定理4 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，并且()(())i g x i I x ∇∈线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则存在0(())i u i I x ≥∈，使得()()()0iii I x f x u g x ∈∇-∇=∑．（x 称为K-T 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在0(1,2,,)i u i m ≥=，使得1()()0,()0,1,2,,.mi i i i if x ug x u g x i m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑ （x 称为K-T 点）例2 求最优化问题21211222min ()(1);..()20,()0f x x x s t g x x x g x x ⎧=-+⎪=--+≥⎨⎪=≥⎩的K-T 点．解因为1122(1)10(),(),()111x f x g x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以K-T 条件为若20u =，则11u =-，这与10u ≥矛盾．故20u >，从而20x =；若120x -+=，则12u =-，这与10u ≥矛盾．故10u =，从而211,1u x ==；由于120,0u u ≥≥，且(1,0)T x =为问题的可行点，因此x 是K-T 点．定理 5 设在问题（1）中，()f x 和()(1,2,,)i g x i m -=是凸函数，x 是可行点，并且()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微．若x 是问题（1）的K-T 点，则x 是问题（1）的全局极小点．§2.4 一般约束最优化问题的最优性条件考虑等式和不等式约束最优化问题min ();..()0,1,2,,,()0,1,2,,,i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩（1）其中:,:(1,2,,),:(1,2,,)n n n i j f R R g R R i m h R R j l →→=→=．并把问题（1）的可行域记为S ．,(){|()0,1,2,,}i x S I x i g x i m ∀∈==．定理1 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，并且向量组12(),(),,()l h x h x h x ∇∇∇线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则 00F G H =∅，这里0{|()0}T F d f x d =∇<，0{|()0,()}T i G d g x d i I x =∇>∈，0{|()0,1,2,,}T j H d h x d j l =∇==．定理2 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续．若x 为问题（1）的局部极小点，则存在不全为0的数0,(())i u u i I x ∈和(1,2,,)j v j l =，且0,0(())i u u i I x ≥∈，使0()1()()()0liijji I x j u f x u g x v h x ∈=∇-∇-∇=∑∑．（x 称为Fritz John 点）若()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在不全为0的数0,(1,2,,)i u u i m =和(1,2,,)j v j l =，且0,0(1,2,,)i u u i m ≥=，使011()()()0,()0,1,2,,.m li i j j i j i iu f x u g x v h x u g x i m ==⎧∇-∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑∑ （x 称为Fritz John 点）例1 设2212311222212min ();..()0,()0,()(1)0.f x x x s t g x x x g x x h x x x ⎧=+⎪=-≥⎪⎨=≥⎪⎪=--+=⎩试判断(1,0)T x =是否为Fritz John 点．解 (){2}I x =，且2200(),(),()011f x g x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且(){1,2}I x =，因此为使Fritz John 条件022*******u u v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，只有00u =才行．所以取020,1,1u u v ===-，即知x 是Fritz John 点．定理3 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，且向量组()(()),()(1,2,,)i j g x i I x h x j l ∇∈∇=线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则存在数0(())i u i I x ≥∈和(1,2,,)j v j l =，使()1()()()0liijji I x j f x u g x v h x ∈=∇-∇-∇=∑∑．（x 称为K-T 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在数0(1,2,,)i u i m ≥=和(1,2,,)j v j l =，使11()()()0,()0,1,2,,.m li i j j i j i if x ug x vh x u g xi m ==⎧∇-∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑∑ （x 称为K-T 点）令 1212()((),(),,()),()((),(),,())T T m l g x g x g x g x h x h x h x h x ==，1212(,,,),(,,,)T T m l u u u u v v v v ==，称u 与v 为广义Lagrange 乘子向量或K-T 乘子向量．令(,,)()()()T T L x u v f x u g x v h x =--为广义Lagrange 函数．称(,,)L x u v 为广义Lagrange 函数．则K-T 条件为定理4 设在问题（1）中，()f x 和()(1,2,,)i g x i m -=是凸函数，()(1,2,,)j h x j l =是线性函数，x 是可行点，并且()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微．若x 是问题（1）的K-T 点，则x 是问题（1）的全局极小点．例2 求解最优化问题221221212min ()(3)(1);..()0,()230.f x x x s t g x x x h x x x ⎧=-+-⎪=-+≥⎨⎪=+-≥⎩ 解广义Lagrange 函数为222121212(,,)()()()(3)(1)()(23)L x u v f x ug x vh x x x u x x v x x =--=-+---+-+-．因为111(,,)2(3)22L x u v x ux v x ∂=-+-∂，22(,,)2(1)L x u v x u v x ∂=---∂．所以K-T 条件及约束条件为下面分两种情况讨论．（1）设0u =，则有由此可解得12718,,555x x v ===-，但71(,)55T x =不是可行点，因而不是K-T 点．（2）设0u >，则有由此可得211230x x --+=，解得11x =或13x =-。

最优化理论与方法(线性部分)思考题与作业要求

最优化理论与方法（线性部分）思考题
1.就你学过的运筹学问题，写出能够建立线性规划模型的问题，并
举例（建立模型）。

2.举例（说明问题、建立模型）论述线性规划在交通、运输、物流
和安全管理中的应用。

3.对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个
变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。

4.简述线性规划求解算法的改进历史。

5.证明课本（清华版运筹学（第三版））2.5题。

6.有人说：“原问题有多重解（多个最优解），对偶问题一定也有多
重解”，此话是否正确？请举一算例。

7.D-W分解算法适合那种类型的线性规划问题？请举一算例。

8.何谓“原始-对偶”单纯形法？请举一算例。

9.何谓有界变量的线性规划问题？如何求解？请举一算例。

10.何谓线性规划的逆问题，分别对“最优解的逆线性规划问题”和
“对目标函数值的线性规划逆最优值问题”举出算例。

11.对同一优化问题，是否存在决策变量一样但所建模型不一样的情
况？请举例；是否存在目标函数中没有决策变量的最优化问题？
12.简述建立线性多目标规划的过程，自选一个实际问题，建立模型
并用图解法和单纯形法求解。

要求每个人所举例题都不一样，否则视为抄袭！。

最优化复习重点

2
1/ 2 0 ∴ ∇ f (x ) = 0 1/ 8
2 1 −1
∴ x 2 = x 1 − ∇ 2 f ( x 1 )−1 ∇f ( x 1 ) = [0,0]T
条件。例 3 试写出下述问题的 K − T 条件。 min
2 2 f ( x ) = 3 x1 − 3 x1 x 2 + 2 x 2 2 2 x1 − 2 x1 + 2 x 2 + x 2 ≤ 3 2 s . t . x1 + 2 x 2 = 4 x 2 + 2 x2 ≥ 0
解：
1 T （1）基变量为 x 2 , x4 , x5 ，基本可行解为 x = ( 。（2）因为变量 x1 的检验数 σ 1 = 2 > 0 ，所以不是最优单纯）型表。型表。
x1 − 2 2 2 2 x 2 x 3 x4 x5 0 2 1 0
障碍函数
ϕ ( x , µ ) = ( x1 − 2 x2 ) + 2 x2 + u
2
1
2 2 x2 + 6 − 3 x1
或
2 ϕ ( x , µ ) = ( x1 − 2 x2 )2 + 2 x2 − u ln( 2 x2 + 6 − 3 x1 )
将下面的线性规划问题化为标准型。例5 将下面的线性规划问题化为标准型。
min z = 2 x1 + x 2 − 3 x 3 x1 + x 2 − 2 x 3 ≤ 4 2 x1 − x 3 ≥ 2 s .t . 2 x2 + x3 ≤ 5 x 1 , x 2 ≥ 0 , x 3 无无无解：令 x 3 = x 4 − x 5 . max z = −2 x1 − x2 + 3 x4 − 3 x5 x1 + x 2 − 2 x4 + 2 x5 + x6 = 4 2x − x + x − x = 2 1 4 5 7 s .t . 2 x 2 + x4 − x5 + x8 = 5 x1 , x 2 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0

最优化第一部分

3.由目标函数个数分：若模型中只有一个目标函数，则称为单目标规划；若模型中有两个极其以上的目标函数，则称为多目标规划.
最优化理论与方法第一部分绪论
二、最优化问题的基本概念
1. 最优化问题的向量表示研究最优化问题，一般都采用向量表示，例如决策变量
x1 , x2 , , xn 可以看作是n维向量空间Rn中的一个向量x的n个
学科交叉的方法 , 具有综合性 . 最优化方法从一开始就是由
于不同学科专长、多方面专家经过共同协作集体努力而获得成果. 现在 , 由于研究对象的复杂性和多因素性 , 决定了最优化方法内容的跨学科性、交叉渗透性和综合性.
最优化理论与方法第一部分绪论
(3) 最优化方法研究和解决问题的方法具有显著的系统分析特征 , 其各种方法的运用 , 几乎都需要建立数学模型和利用计算机求解 . 可以说，没有计算机的发展就没有最优化方法的发展. (4) 最优化方法具有强烈的实践性和应用的广泛性 . 最优化方
工时/h
3 10 300
用电能量/kw— h
4 5 200
利润/元
60 120
解: 这是一个简单的生产计划问题, 可归结为在满足各项生产条件的基础上, 合理安排两种产品每天的生产量, 以使利润最大化的最优化设计问题.
最优化理论与方法第一部分绪论
设每天生产甲产品x1件, 乙产品x2 件, 每天获得的利润用函数 f (x1, x2)表示, 即:
或
x ( x1 , x2 , , xn )T
矩阵相等：设 x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 , , yn )T , 如果对一切 1 i n , 都有 x y , 则称向量x与y相等，记作 i i

最优化原理复习纲要

复习第一章绪论一. 基本概念二. 知识点局部极小点、全局极小点、凸集、极点、极方向、凸函数Farkas Gordan 图解法、点与闭凸集的分离定理、引理、择一定理、凸函数的一阶、二阶充要条件.第四章无约束最优化问题的一般结构方向导数、一维搜索、局部收敛与全局收敛、收敛速率、算法的二次终止性一. 基本概念4.1.4.一阶必要条件、二阶必要条件、二阶充分条件、定理、最速下降算法二. 知识点精确一维搜索、非精确一维搜索、单峰函数黄金分割法.第五章一维搜索一. 基本概念二. 知识点共轭方向Newton Newton 方程、法算法、共轭梯度法、拟牛顿法的基本性质第六章使用导数的最优化方法一. 基本概念二. 知识点KKT Lagrangian 下降方向、可行方向、凸规划、有效约束(起作用约束)、点、函数第八章约束问题的最优性条件一. 基本概念二. 知识点KKT 一阶必要条件（条件）、二阶必要条件、二阶充分条件第十章可行方向法知识点:Zoutendijk可行方向法、投影阵及其基本性质(外)罚函数、(内)罚函数、第十一章乘子法一. 基本概念二. 知识点()(外)罚函数算法、内罚函数算法、罚函数法相关理论结果{}{}{}1111(1)(;)(;)(;);(2)()()();(3)()()().k k k k k k k k k k k k P x P xP x S x S xS x f x f x f x σσσ++++≤≥≤，即序列非减，即序列非增，即序列非减111100,min{(;}.)k k k k k k x xP x σσσσσ+++<<设和分别为取罚参数及时无约束问题的全局最优解，则下列不等式成立：。

最优化理论与方法

最优化理论与方法最优化是研究如何找到使某个目标函数取得最大值或最小值的问题。

最优化理论和方法是解决最优化问题的一类数学方法。

随着现代科学技术的发展，最优化理论和方法在工程、经济、管理等领域有着广泛的应用。

最优化问题可以分为无约束问题和约束问题。

无约束问题是指目标函数只受自变量的约束，而约束问题则在自变量取值的同时还受到一定的约束条件。

最优化问题的数学描述为：\begin{align*}&\text{最小化} \quad f(x)\\&\text{约束条件} \quad g(x) \le 0\\&\quad\quad\quad\quad h(x) = 0\\\end{align*}其中，f(x)是目标函数，g(x)是不等式约束条件，h(x)是等式约束条件，x是自变量。

最优化问题的解即为使目标函数取得极小值或极大值的自变量值。

解的存在性和唯一性与目标函数和约束条件的性质有关。

解的性质可以通过最优性条件来判定，最优性条件包括一阶导数条件和二阶导数条件。

最优化理论和方法可以分为数学规划方法和数值优化方法。

数学规划方法是一类用数学方法求解最优化问题的方法。

其中，线性规划是最基本的数学规划方法之一。

线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的。

线性规划问题具有特殊的结构，可以通过线性规划算法高效地求解。

线性规划的应用非常广泛，例如生产计划、资源分配、运输问题等。

非线性规划是一类目标函数或者约束条件中存在非线性项的最优化问题。

非线性规划问题的求解相对更加困难。

常用的非线性规划算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

整数规划是一类目标函数或者约束条件中自变量取整数值的最优化问题。

整数规划问题具有离散性的特点，求解整数规划问题比线性规划问题更加困难。

常用的整数规划算法包括枚举法、分支定界法和割平面法等。

数值优化方法是一类用数值计算方法求解最优化问题的方法。

数值优化方法主要分为直接搜索法和迭代法。

数学中的优化理论与最优化方法

数学中的优化理论与最优化方法优化理论是数学中的重要分支，在不同领域中都有广泛的应用。

本文将介绍数学中的优化理论以及一些常用的最优化方法。

一、优化理论的基本概念1.1 优化问题优化问题是指在一定的约束条件下，寻找使某个目标函数取得最优值的问题。

通常有两种类型的优化问题：极大化问题和极小化问题。

极大化问题是要找到使目标函数取得最大值的自变量取值，而极小化问题则是要找到使目标函数取得最小值的自变量取值。

1.2 目标函数和约束条件在优化问题中，目标函数是要优化的对象，通常用f(x)表示，其中x表示自变量。

约束条件是目标函数的取值范围或限制条件，用g(x)表示。

优化问题可以表示为如下形式：max/min f(x)s.t. g(x) <= 01.3 最优解最优解是指在所有满足约束条件的自变量取值中，使得目标函数取得最大值或最小值的解。

最优解可能存在唯一解，也可能存在多个解。

二、常用的最优化方法2.1 梯度下降法梯度下降法是一种基于搜索的最优化方法，通过迭代的方式不断调整自变量的取值来逼近最优解。

该方法的核心思想是沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，使目标函数逐渐减小，直到达到最小值。

2.2 牛顿法牛顿法是一种迭代求解方程的方法，也可以用于解决优化问题。

该方法基于泰勒级数展开，通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来更新自变量的取值，以逼近最优解。

2.3 线性规划线性规划是一种常用的优化方法，适用于目标函数和约束条件都是线性的情况。

线性规划可以通过线性规划模型进行建模，然后利用线性规划算法求解最优解。

2.4 非线性规划非线性规划是一种更一般性的优化方法，适用于目标函数或约束条件存在非线性关系的情况。

非线性规划可以通过梯度下降法、牛顿法等方法进行求解，也可以利用非线性规划算法进行求解。

2.5 整数规划整数规划是一类特殊的优化问题，要求自变量取值必须为整数。

整数规划有时候可以通过线性规划进行求解，但通常需要借助专门的整数规划算法来求解。

《最优化理论与方法》教学大纲

《最优化理论与方法》教学大纲
最优化理论与方法教学大纲
一、教学内容
1.基本概念
（1）优化问题：定义、类型、表示；
（2）优化方法：分类、原理；
（3）优化算法：特点、效率、应用；
（4）多元函数分析：函数的性质、极值点；
（5）线性规划：基本概念、基本原理；
（6）非线性规划：一般现象、求解方法；
（7）数值优化：数值问题描述、多维；
（8）模糊优化：模糊数学、模糊优化。

二、教学目标
1.了解最优化理论与方法的基本概念；
2.掌握最优化理论的原理和方法；
3.熟悉多元函数分析、线性规划、非线性规划、数值优化和模糊优化等方法；
4.学会将优化理论与方法运用于实际问题。

三、教学方法
1.讲课法：将理论与实际相结合，重点介绍最优化理论的基本概念与方法，结合实际问题展示与指导学生理解。

2.案例分析法：对典型案例进行分析，强调选择与运用优化方法的重要性，激发学生的学习兴趣。

3.实验法：通过实践，使学生掌握优化理论的具体应用，加深理论的印象。

4.讨论法：通过学生的互动讨论，使学生深入理解，掌握基本概念和方法，培养分析和解决问题的能力。

四、教学重点。

最优化基础理论与方法

最优化基础理论与⽅法⽬录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解⽅法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解⽅法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究⽅向 (3)2.2⾮线性规划求解 (4)2.2.1⼀维搜索 (4)2.2.2⽆约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5⼆次规划 (5)2.2.6⾮线性规划算法未来研究⽅向 (5)2.3组合规划求解⽅法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 ⽹络流规划 (7)2.4多⽬标规划求解⽅法 (7)2.4.1 基于⼀个单⽬标问题的⽅法 (7)2.4.2 基于多个单⽬标问题的⽅法 (8)2.4.3多⽬标规划未来的研究⽅向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究⽅向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平⾯算法 (9)2.6.2 凹性割⽅法 (9)2.6.3 分⽀定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究⽅向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电⼒系统中的应⽤及发展趋势 (12)3.1 电⼒系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电⼒系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电⼒系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解⽅法最优化⽅法是近⼏⼗年形成的，它主要运⽤数学⽅法研究各种优化问题的优化途径及⽅案，为决策者提供科学决策的依据。

最优化⽅法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其⽣产经营活动。

最优化⽅法的⽬的在于针对所研究的系统，求得⼀个合理运⽤⼈⼒、物⼒和财⼒的最佳⽅案，发挥和提⾼系统的效能及效益，最终达到系统的最优⽬标。

数学中的优化理论与最优化方法

数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。

2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。

优化原理与方法_复习提纲

《优化原理与方法》复习提纲
一、平时布置的作业及课本中的例题
二、基本概念
1.优化数学模型，三要素、设计空间、可行域，凸集、凸函数、凸规划的定
义、判别及性质；
2.无约束与有约束优化问题的最优性条件；局部、全局最优点判别；
3.优化迭代收敛速度、收敛阶概念，主要无约束优化算法的收敛阶、二次截
至性；
4.各线性规划、非线性规划算法的基本思想、主要特点、适用条件和迭代步
骤；
5.多目标优化的像空间、可达域、有效解，主要的多目标优化方法；
6.动态规划建模条件、贝尔曼最优性原理、逆序递推法；
7.遗传算法的基本思想，编码与解码，选择、交叉和变异等基本算子；
8.蚁群算法和粒子群算法的基本思想及算法特点；
9.人工神经元网络中输入层、输出层、隐含层概念，神经元基本结构，网络
结构与权重因子拟定、反演分析、训练学习。

最优化理论与方法

最优化理论与方法最优化理论与方法，是一个非常重要的和有效的研究主题，它涉及到多个领域的优化问题，从物理场景到社会科学、从工程科学到金融工程。

本文将重点介绍关于最优化理论与方法的基本概念、研究方法、应用前景以及存在的问题。

一、最优化理论与方法的基本概念最优化理论与方法，是一种有效的求解优化问题的研究方法。

它通过将优化问题转变为一种数学模型，来求解该最优解。

最优化理论与方法可以应用于许多领域，比如计算机图形学、自然语言处理、组合优化、多目标优化等领域的优化问题。

最优化问题的求解主要分为两个方面，即理论方法和数值方法。

理论方法可以通过分析和构造最优化模型来实现最优化的求解，而数值方法则是通过计算机自动运行穷举、搜索算法等来实现最优化求解。

二、最优化理论与方法的研究方法为了有效地解决最优化问题，需要采用合理的研究方法，包括： 1、建立优化模型：首先要建立优化模型，即根据实际情况，通过数学技术来构建相关的优化模型。

2、优化分析:建立优化模型后，可以通过分析模型中的各个变量，以及其对最优解的影响，从而寻找最优解。

3、优化求解：在优化分析中，有时可以使用极小值法或者极大值法来求解最优解。

4、优化实施：最后，可以将所得到的最优解，通过合理的实施方案，实施在实际应用中，从而获得更高的效果。

三、最优化理论与方法的应用前景最优化理论与方法的应用越来越广泛，对科学技术的发展也起到了极大的作用。

未来最优化理论与方法在许多领域都将发挥重要作用，有可能被应用在社会科学领域，如决策分析、规划决策、社会网络分析、多级规划等社会科学问题上；在可持续发展领域，优化理论与方法也可以被用于多种可持续发展问题，如资源有效分配、生态系统服务价值评估等；在军事问题上，最优化理论与方法可以被用于抗衡战争、复杂武器装备配置等问题，等等。

四、最优化理论与方法存在的问题最优化理论与方法还存在一些问题，包括：1、运算复杂度：最优化理论与方法往往需要计算较大量的数据，运算复杂度较高。

最优化理论与方法

最优化理论与方法最优化是指从数量上的角度，以尽量减少成本或增加收益为目标，按照科学的方法和原则，系统地求解给定条件下最好的决策。

其中最优化理论和最优化方法是实现最优化的根本。

1、最优化理论最优化理论是一门广泛的理论，包括最优化的基本原理、最优化目标的定义、最优化参数的表示、最优化的数值模型以及求解最优化模型的方法。

（1）最优化的基本原理：最优化就是找出满足限制条件下最好的解决问题的方法，它是实现经济效益最大化的手段。

因此，最优化的基本原理是：在给定的约束条件下，优化给定的目标函数，寻求其最优解。

（2）最优化目标的定义：最优化目标指的是用以表示被优化的性能的函数，有时只是一个函数，有时可以是多个组合的函数。

例如，机器学习中的损失函数；优化调度中的时间耗费或成本函数等。

（3）最优化参数的表示：最优化参数用于描述优化过程中的自由参数。

它们是寻求最优解的主角，可以有数量上的约束，也可以没有约束。

（4）最优化的数值模型：最优化的数值模型是特定场合下，根据实际问题和最优化原理，把目标函数和约束条件表示为数学模型的过程。

（5）求解最优化模型的方法：求解最优化模型的方法指的是对特定最优化模型求解最优解的方法，主要有迭代法、梯度下降法、拟牛顿法、单纯形法及类比应用等。

2、最优化方法最优化方法是指用数学方法、统计方法、计算机技术等实际工具，在满足给定条件的情况下，尽可能求得最优解的技术，它是实现最优化的有效手段。

常用的最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划、博弈论、贪心法等。

（1）线性规划：线性规划是指在一系列约束条件下，优化一系列线性函数的方法。

它的目标是找到一个可行的决策，使目标函数达到最优值，要求目标函数和约束条件都是线性的。

（2）非线性规划：非线性规划是指在一系列非线性约束条件下，优化非线性函数的方法。

它的特点是目标函数和约束条件可以是非线性的，可以通过分析非线性函数的定义域和最优解，找到最优化解。

（3）动态规划：动态规划是指在一系列约束条件下，优化某一函数的最优解的过程，其特点是无论多少步，最优解都是一致的，具有很强的计算和递推性。

最优化理论与算法总复习

2. 极点和极方向的定义
设S是非空集合，x S，若x不能表示成S中两个
不同点的凸组合，即若假设x x(1) (1 )x(2)，必
推出x x(1) x(2)，则称x是凸集S的极点。
要求：会证明或判断一个点是否是极点.
设S是闭凸集，d为非零向量，如果对S中的每一
个x，有{x d | 0} S，则称d是S的方向；又设d (1) 和d (2)是S的两个方向，若对任何正数，有d (1) d (2)，

hj (x) 0, j 1, ,l
设x为可行点, I {i | gi (x ) 0}. f , gi (i I )在x处可微， gi (i I )在x连续，hj ( j 1, ,l)在x连续可微，向量集
{gi (x )，hj (x ) | i I , j 1, ,l}

hj (x) 0, j 1, ,l
设x为可行点, I {i | gi (x ) 0}. f , gi在x处可微，hj ( j 1, ,l)
在x连续可微，向量集
{gi (x )，hj (x ) | i I , j 1, ,l}
线性无关，若x是局部最优解，则存在数wi ,i I 和vj ( j 1, ,l)，使得
总复习
• 一.凸集与凸函数 • 1．凸集的定义、性质
设S1和S2是两个凸集，实数，则 (1) S1 {x | x S1}是凸集;
(2) S1 S2 {x(1) x(2) | x(1) S1, x(2) S2}是凸集; (3) S1 S2 {x(1) x(2) | x(1) S1, x(2) S2}是凸集; (4) S1 S2是凸集;
存在数 0,使得对任意 (0, )，都有 x d S

最优化理论与方法

最优化理论与方法最优化理论与方法是理论和实践科学领域研究的重要内容，它关乎社会发展和科技进步。

最优化理论与方法旨在求解使某一系统所有参数和状态获得最优结果的技术。

它以实际应用为目的，通过模型建立、数学求解、数据分析和实验验证，以达到最佳的目的。

最优化理论与方法涉及到各种学科，可以归纳为几个方面。

1. 优化模型：优化模型是对求解问题的数学化抽象的表达，它反映了系统的状态、参数和决策，以及它们之间的相互作用。

所有优化问题均可以建立为优化模型，例如线性规划、非线性规划和多目标规划模型等。

2. 优化算法：优化算法是一种数学方法，可以在解决问题时寻求最优解。

常用的优化算法有梯度下降法、模拟退火法、遗传算法和模糊系统等。

3. 优化软件：优化软件是一类用于计算和求解优化问题的计算机程序，能够快速有效地查找最优解。

常用的优化软件有MATLAB、Scilab和GAMS等。

4. 优化实验：优化实验是针对优化问题进行实际测试，以确认最优解是否真正最优，同时还可以考察优化算法和软件的稳定性、可靠性和准确性。

以上就是最优化理论与方法的基本内容，它们贯穿了优化问题的整个求解过程。

它们的应用已经广泛渗透到社会经济、医药和环境、军事和其他领域中，可以说最优化理论与方法是当今科学技术发展进步的重要支撑。

最优化理论与方法在实际应用中存在一些问题。

首先，解决问题需要在模型、算法和软件上进行大量的工作，这需要花费大量的时间和精力；其次，优化模型本身可能存在缺陷和不完善的地方，这可能导致求解过程中存在误差或失败；最后，最优解的可靠性和准确性也受到实验的限制，有时结论可能不能完全证明。

为了解决上述问题，优化理论与方法需要传承和发展，更多的研究广泛考虑各种因素，创研新模型、新算法和新软件，更新优化实验，以求解我们面临的复杂问题。

此外，优化理论与方法的发展也将促进科学技术的发展，与社会发展紧密相连，为人类社会发展提供更多的可能性。

综上所述，最优化理论与方法是当今科学技术发展和社会发展的重要组成部分，它贯穿着整个解决问题的过程，如果要解决复杂问题，需要不断更新和发展，才能获得最优解和最终收获。

最优化理论和方法-第二章线性规划基本理论和算法

其中向量表示：
给定，变量是
定义标准形有必要吗?
其中
给定，变量是
标准形的特征：极小化、等式约束、变量非负
第 2 章线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
例4. 化成标准形
等价于
最优化问题的等价表述指两个问题的最优值相等、差一个常数、或者互为相反数，由其中一个问题的最优解可以得到另一个的最优解。
cT
( x* )T
( 1, 1)
( 0, 0)
( 0, 1) (x1, 0), x1 ≥ 0 ( 1, 0) (0, x2), x2∈[0,1] (-1, -1) 没有有限解
解的几何特征
惟一的顶点一条边一条边无(下)界
第 2 章线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
只要有 m 个单位列 e1 , e2 , … , em 即可，次序可以打乱！
◎ 规范形的系数的一种解释
yj B1aj aj y1ja1 y2 ja2 ymjam
规范形第 j 列的系数是用当前基表示 aj 时的系数！
第 2 章线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
第 2 章线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
线性规划问题解的几种情况
提示: 学习单纯形法之前,请务必学习并理解书上 p.19, 例2.2.1.
第 2 章线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
2.2 单纯形法
• 适用形式：标准形(基本可行解等价于极点) • 理论基础：线性规划的基本定理！ • 基本思想：从约束集的某个极点/BFS开始，依次

最优化原理与方法复习

最优化原理与方法复习最优化原理与方法复习第1章最优化问题的基本概念§最优化的概念最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。

§最优化问题的数学模型1.最优化问题的一般形式?findx1,x2,?,xn?minf(x,x,?,x)?12 n? (x,x,?,x)?0u?1,2,?,pu12n??hv(x1,x2,?,xn)? 0v?1,2,?,q? 2.最优化问题的向量表达式?findX?minf(X)?? (X)?0??H(X)?0?式中：X?[x1,x2,?,xn]T G(X)?[g1(X),g2(X),?,gp(X)]TH(X)?[h1(X),h2(X),?,hp(X)]T 3.优化模型的三要素设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！设计空间：设计变量所确定的空间。

设计空间中的每一个点都代表一个设计方案。

§优化问题的分类按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法：1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题第2章最优化问题的数学基础§n元函数的可微性与梯度一、可微与梯度的定义1.可微的定义设f(X)是定义在n维空间Rn的子集D上的n 元实值函数，且X0?D。

若存在n维向量L，对于任意n维向量P，都有f(X0?P)?f(X0)?LTPlim?0 P?0P则称f(X)在X0处可微。

2.梯度设有函数F(X)，X?[x1,x2,?,xn]T，在其定义域内连续可导。

我们把F(X)在定义域内某点X处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为F(X)在点X处的梯度。

记为：??F?F?F?k?F(X)??,,?,? ?x ?x?x2n??1T梯度有3个性质：⑴函数在某点的梯度方向为函数过该点的等值线的法线方向；⑵函数值沿梯度方向增加最快，沿负梯度方向下降最快；⑶梯度描述的只是函数某点邻域内的局部信息。

最优化理论与方法复习要求2015

第2章 最优化的基本理论和基本方法 最优性条件 2.1 无约束优化

附录4：《最优化方法》复习提要

最优化理论与方法(线性部分)思考题与作业要求

最优化复习重点

最优化第一部分

最优化原理复习纲要

最优化理论与方法

数学中的优化理论与最优化方法

《最优化理论与方法》教学大纲

最优化基础理论与方法

数学中的优化理论与最优化方法

优化原理与方法_复习提纲

最优化理论与方法

最优化理论与方法

最优化理论与算法总复习

最优化理论与方法

最优化理论和方法-第二章 线性规划基本理论和算法

最优化原理与方法复习

第2章最优化的基本理论和基本方法最优性条件 2.1 无约束优化

最优化理论和方法-第二章线性规划基本理论和算法