空间向量巧解平行,垂直关系

高中数学空间向量巧解平行、垂直关系

编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬

一、考点突破

知识点课标要求题型说明

空间向量巧解

平行、垂直关系

1. 能够运用向量的坐标判断两个

向量的平行或垂直。

2. 理解直线的方向向量与平面的

法向量。

3. 能用向量方法解决线面、面面的

垂直与平行问题，体会向量方法在

立体几何中的作用。

选择题

填空题

解答题

注意用向量方

法解决平行和垂直

问题中坐标系的建

立以及法向量的求

法。

二、重难点提示

重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。

难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。

考点一：直线的方向向量与平面的法向量

1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。

2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。

【核心归纳】

① 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。

② 在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的。 【随堂练习】

已知A （1，1，0），B （1，0，1），C （0，1，1），则平面ABC 的一个法向量的单位向量是（ ）

A. （1，1，1）

B. C. 111

(,,) 333

D. (333

- 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。

答案：设平面ABC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），AB u u u r

＝（0，－1，1），BC uuu r ＝（－

1，1，0），AC u u u r ＝（－1，0，1），则·0

·0·

0AB y z BC x y AC x z ⎧=-+=⎪⎪

=-+=⎨⎪=-+=⎪⎩n n n u u u r u u u r u u u

r ，∴x ＝y ＝z ， 又∵单位向量的模为1，故只有B 正确。

技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： （1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）。

（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a ＝（a 1，b 1，c 1），b ＝（a 2，b 2，c 2）。 （3）根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组·

0·

0.=⎧⎨=⎩n a n b （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。

考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系

【核心突破】

①

用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。

②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

建立立体图形与空间

向量的联系，用空间

向量表示问题中涉及

的点、直线、平面，

把立体几何问题转化

为向量问题。

通过向量运算，研究

点、直线、平面之间

的位置关系以及它们

之间的距离和夹角等

问题。

把向量的运算结果

“翻译”成相应的几

何意义。

例题1（浙江改编）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，

AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC。证明：PQ∥平面BCD。

思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。

答案：证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz。

由题意知，A（02，2），B（020），D（02，0）。

设点C的坐标为（x0，y0，0）。因为3

AQ QC

=

u u u r u u u r

，所以Q

00

3231

,,

4442

x y

⎛⎫

+

⎪

⎪

⎝⎭

。

因为M为AD的中点，故M（02，1），又P为BM的中点，故P1

0,0,

2

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，

所以PQ

uuu r ＝00323,,044

x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭

。 又平面BCD 的一个法向量为a ＝（0，0，1），故PQ uuu r ·a ＝0。

又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD 。

技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。

例题2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点。求证：AB 1⊥平面A 1BD 。

思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。

答案：证明：如图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC 。

∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1，

取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA u u u

r 所在直线为x 轴，y 轴，z

轴建立空间直角坐标系，则B （1，0，0），D （－1，1，0），A 1（0，23），A （0，0，

3，B 1（1，2，0）。

1BA u u u r ＝（－1，23）

，BD u u u r

＝（－2，1，0）。1u u u r AB =（1，2，3-） 设平面A 1BD 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），

因为n ⊥1BA u u u r ，n ⊥BD u u u r ，故10230

200BA x y z x y BD ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩

n n u u u r

u u u r

， 令x ＝1，则y ＝2，z 3n ＝（1，23A 1BD 的一个法向量，

而1AB u u u r ＝（1，23），所以1AB u u u r ＝n ，所以1AB u u r

∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD 。

技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与

平面的法向量平行。

例题3 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为

BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C 。