快速判断直线与椭圆位置关系的方法

快速判断直线与椭圆位置关系的方法（原创）

四川省宜宾县第二中学 傅小力

在解决椭圆的选择、填空问题中需要快速判断与坐标轴不平行的直线0:=++C By Ax l 和椭圆)0(122

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>>=+b a b y a x 的位置关系时，我建议我的学生：

第一步：找出直线与坐标轴的交点，判断是否在已知椭圆内部或在椭圆上，

否，则第二步：设椭圆上任一点P （θθsin ,cos b a ）， C By Ax m ++=，则

C b B a A C Bb Aa m +++=++=)sin(sin cos 2222ϕθθθ，

其中R Bb Aa ∈=θϕ,tan ， 故],[22222222 b B a A C b B a A C m +++-∈。

结合线性规划的知识，结论如下：

① 若0>m 恒成立 即0>++C By Ax 恒成立，则椭圆上的点都在直线l 的同一侧，故直

线l 与椭圆相离；若0

当m 的最小值0022222222<++>+-　的最大值或　b B a A C m b B a A C 即22222C b B a A +>时，直线与椭圆相离；

② 若0≥m 恒成立 即0≥++C By Ax 恒成立，则椭圆与直线l 有公共点，除公共点外，

其余的点都在直线l 的同一侧，故直线l 与椭圆相切；同理0≤m 恒成立 即

0≤++C By Ax 恒成立时。如图2。此时22222C b B a A +=，可用来求出切线方程。

③ 若0022222222>++<+-b B a A C b B a A C 且 ，则椭圆上的点使

0>++C By Ax ，0=++C By Ax ，0<++C By Ax 三种情况都存在，故椭圆上的点有的在直线l 的两侧，有的在直线l 上，所以此时直线l 和椭圆相交。如图3。

可用来求直线与椭圆相离时，参数的取值范围：

当m 的最小值0022222222>++<+-　的最大值且　b B a A C m b B a A C 即22222C b B a A +<时，直线与椭圆相交。

练习：（1）直线052=++y x 和椭圆13

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2=+y x 的位置关系是 。（填空） 解：

5)sin(195)sin(314222++=++⨯+⨯=ϕθϕθm ]195,195[

+-∈ 所以0>m 恒成立 即0>++C By Ax 恒成立，故直线与椭圆相离。

（2）直线02=++c y x 和椭圆13

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2=+y x 相切时，的值为 。（填空） 由上面的结论②知22222C b B a A +=时，直线与椭圆相切，所以193142c 222=⨯+⨯=，即19±=c 时，直线和椭圆相切。

熟练掌握后一分钟之内应该能解答出本文提到的这类问题。

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