第三章三角恒等变换学案
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
三角恒等变换学案
三角恒等变换学案(1)两角和与差的余弦预学案：1.利用书P90T22提供的情景和所学知识探究如何用sin ,cos ,sin ,cos ααββ来表示cos αβ±（）2.阅读书P103-104,理解记忆公式公式：cos()αβ-= cos()αβ-= 注意抓住公式的结构特点，记住公式。
预习检测：1. 求值：0cos75，0cos15,tan15 2. 已知：233sin ,(,),cos ,(,)3252πααπββππ=∈=-∈，求cos()αβ+的值。
注：做本题一定要注意符号的选择。
做完后要和书本上的步骤对照，发现并完善自己的书写。
3. 0000cos50cos 20sin50sin 20+=4. cos +cos()sin()sin()αβαβαβαβ-++-（）=5.cos(15)cos15sin(165)sin(15)αα--+-= ； （对公式不但会正用，还要学会逆用） 固学案： 1. 已知4cos ,(,0),52παα=∈-求cos()3πα-的值2. （=1）3.已知锐角,αβ且416cos ,cos(),565ααβ=+=-求cos β的值 （513） （注意：角的变换）巩固练习：1.已知α，β都是锐角，3sin 5α=，5cos 13β=，则cos()αβ+= . 2．使得等式1cos cos sin sin 2αβαβ-=成立的一组α，β的值是 ．3．已知1cos()cos 32παα-=，且02απ<<，则α= ．4．化简（1）cos )cos(60)x x x +++=；（2）sin()cos sin()sin 36ππαααα-++= ． 5．在ABC ∆中，若cos()2cos cos A B A B -=，则ABC ∆的形状是 . 6.若12cos()313πα-=，32ππα<<，求cos α． 7.函数()cos 2sin 2f x x x =-的最小值是 ．习题课一、练习： 1．已知2sin 3α=，3cos 4β=-，α，β都是第二象限角，则cos()αβ-= . 2．不查表求值：sin 402cos 70sin 50+= .3．若sin α=sin β=，α，β为锐角，则αβ+= ．4．已知α与β均为锐角，sin α=tan 3β=.则αβ-= . 5．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，4cos 5B =，则cosC = ． 二．合作探究：例1.若sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=，求cos()αβ-的值.变式1：若cos cos cos 0αβγ++=，sin sin sin 0αβγ++=，求cos()αβ-．变式2：已知4cos()5αβ+=，2cos()5αβ-=，求tan tan αβ.例2.已知5cos()1213x π+=-，x 是第三象限角，求cos()6x π-的值．变式1：已知α、β为锐角，且4cos 5α=，16cos()65αβ+=，则cos β= .变式2：已知：12cos()13αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈， 求cos2α、cos 2β及角β的值.例3．函数1()cos 2sin 222f x x x =+的最小正周期是 ．变式：函数()cos f x x x =的单调增区间是 ．三角恒等变换学案(2)两角和与差的正弦预习案：1.探究:如何由cos αβ±（）得到sin()αβ±的公式2.阅读书本P107-109，记住公式：sin()αβ+=sin()αβ-= 预习检测：1. 求值0sin 75,sin15,sin105 2. 已知.233sin ,(,),cos ,(,)3252πααπββππ=∈=-∈,求sin()αβ+的值3. 已知54cos(),cos ,,135αββαβ+==均为锐角，求sin α的值4. 求函数1sin cos 22y x x =-的最大值固学案:1. 求值:0sin105,cos1652．计算22sin 22.5cos 22.5-= . 3．求sincos1212ππ的值.4.001sin15cos1522-=5. cos x x -=6.已知1sin(),(,),432ππθθπ+=∈求sin θ7.化简:0cos10(tan10sin 50g8. 化简2222sin()sin()tan sin cos tan αβαββαβα+-+；9.化简sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++10.若35sin()413πα+=，3cos()45πβ-=，且3044ππαβ<<<<，求cos()αβ+的值.正弦的习题课1．sin()cos()63y x x ππ=+++的最大值为 .2. 在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B <，则ABC ∆是 三角形. 变式:在ABC ∆中,若1sin sin cos cos ,A B A B -=则ABC ∆一定为 三角形.3．已知(cos()sin()),(cos(),sin())a b αβαβαβαβ=++=--r r ,，且43(,)55a b +=r r ，则tan α= .4.求002cos10sin 20cos 20-的值5.求值：000cos102cos 40tan 20.6．已知0()22ππαβπ∈∈（，），，，且1cos ,sin 7αβ==βα-的值.7．化简22sin sin cos sin cos sin cos tan 1x x xx x x x x +-----.8．已知3,(,)4παβπ∈，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求cos()4πα+的值.9.已知tan()2tan ,αββ+=求证:3sin sin(2)ααβ=+10.已知21sin(),sin()35αβαβ+=-=-,求tan tan αβ的值完成书P112的习题。
第三章 三角恒等变换复习-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)
第三章 三角恒等变换知识④思维导图专题④综合串讲专题1三角函数式的求值【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin （2α＋β），4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值. 【分析】 本题主要考查三角函数式的恒等变换及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sin β＝sin （2α＋β）展开后求α＋β的正切值.【解】∵3sin β＝sin （2α＋β），即3sin （α＋β－α）＝sin （α＋β＋α），整理得2sin （α＋β）cos α＝4cos （α＋β）sin α.即tan （α＋β）＝2tan α.又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12， tan （α＋β）＝2tan α＝2×12＝1. 又0＜α＜π4，0＜β＜π4， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β＝π4. 【方法总结】三角函数式求值的类型与方法三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角.1. 给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2. 给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用.由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点.3. 已知三角函数值求角问题，通常分两步：（1）先求角的某个三角函数值（由题中已知名称和范围确定），确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定；（2）根据角的范围确定角及角的范围.必要时，可利用值缩小角的范围.几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【变式训练1】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 【解】 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 专题2三角函数式的化简【例2】化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类.或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数. 【解】解法一：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 解法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. ,【方法总结】三角函数式化简的分类与解题技巧1.三角函数式的化简，主要有以下几类：（1）三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2）三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；（3）二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简.2. 化简三角函数式时:（1）若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；（2）若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分.【变式训练2】化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. 【解】原式＝sin αcosπ4＋cos αsin π4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22. 专题3三角恒等式的证明【例3】求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 【分析】本题主要考查二倍角公式及其变形应用，因等式右端为tan x 2，故可将左边的角4x ，2x ，x 化为x 2的形式. 【解】∵左边＝2sin 2xcos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2x 2＝2sin 2x·cos 22x·cos x 2cos 22x·2cos 2x·2cos 2x 2＝sin 2x 2cos x·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x 2＝右边， ∴等式成立.【方法总结】三角函数等式的证明策略三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明.【变式训练3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .【证明】∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 专题4三角函数与平面向量的综合应用【例4】设a ＝（1＋cos α，sin α），b ＝（1－cos β，sin β），c ＝（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值. 【分析】 利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角函数知识得出角之间的关系.【解】 由题意知|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2， |b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1. 又a·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b·c ＝1－cos β＝2sin 2β2， ∴cos θ1＝a·c |a||c|＝cos α2，cos θ2＝b·c |b||c|＝sin β2. ∵α∈（0，π），∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ1＝α2. 又β∈（π，2π），∴β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0<β2－π2<π2. 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2. 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫β2－π2＝π6， ∴α－β2＝－π3，∴α－β4＝－π6. ∴sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 【方法总结】三角函数与平面向量的解题策略三角函数与平面向量相结合包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简、求值.【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. （1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】（1）∵m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），且m ⊥n ， ∴m ·n ＝（22，－22）·（sin x ，cos x ）＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1. （2）由（1）知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4（22）2＋（－22）2·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
第三章三角恒等变换教案
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，培养学生的逻辑思维能力；（2）通过练习和应用，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作意识和解决问题的自信心。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义（1）引入三角函数的定义和图像；（2）解释三角恒等变换的含义和作用。
2. 三角恒等变换的基本公式（1）sin(α±β)的公式；（2）cos(α±β)的公式；（3）tan(α±β)的公式。
三、教学过程1. 导入（1）复习相关三角函数的定义和图像；（2）提出问题，引导学生思考三角恒等变换的必要性。
2. 新课讲解（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）引导学生推导三角恒等变换的基本公式。
3. 练习与应用（1）布置相关的练习题，巩固学生对三角恒等变换的理解；（2）引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
四、教学评价1. 课堂讲解的评价：（1）观察学生在课堂上的参与度和理解程度；（2）通过提问和回答，检查学生对三角恒等变换的理解。
2. 练习题的评价：（1）检查学生完成练习题的情况和答案的正确性；（2）分析学生在解题过程中存在的问题和错误，及时进行反馈和指导。
五、教学资源1. 教学PPT：包含三角恒等变换的概念、意义和基本公式的讲解；2. 练习题：提供相关的练习题，供学生巩固和应用所学知识；3. 教学参考书：提供详细的三角恒等变换的讲解和例题。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的三角函数例子，让学生理解恒等变换的应用。
2. 小组讨论：让学生分组讨论三角恒等变换的性质，促进学生之间的交流和合作。
3. 问题解决：设计一些实际问题，让学生运用所学的三角恒等变换知识去解决，提高学生的应用能力。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α ＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α ＝cos 2α－sin 2α； tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )． 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos2α？答案 cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1； 或cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α，sin αcos α＝12sin2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ )2．cos4α＝cos 22α－sin 22α.( √ ) 3．对任意角α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝π4及α＝π2，上式均无意义.类型一 给角求值 例1 (1)计算：cos2π12－sin 2π12； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 解 原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan75°；考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正切的二倍角公式化简求值解 1－tan 275°tan75°＝2·1－tan 275°2tan75°＝2·1tan150°＝－2 3.(3)计算：cos20°cos40°cos80°. 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值解 原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80° ＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18. 反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 (1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( )A.14B ．－14C.18D ．－18考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 D解析 cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 4π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝2sin π7cos π7cos 2π7cos4π72sinπ7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos4π74sinπ7＝sin8π78sinπ7＝－18.(2)12－cos 2π8＝________； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 －24解析 原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24.类型二 给值求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，即sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( )A.6425B.4825C ．1D.1625考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 (1)(2017·石家庄高一检测)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( ) A ．－429B ．－229C.229D.429考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利有二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 A解析 因为sin(π－α)＝13，所以sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. (2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案2425解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35>0， 所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425. 类型三 利用二倍角公式化简证明 例3 (1)化简：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 解 方法一 原式＝－cos 2θ＋sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θθ＋cos θ2cos θθ＋sin θ＝tan θ.方法二 原式＝θ＋cos θ2－2θ－sin 2θθ＋cos θ2＋2θ－sin 2θ＝θ＋cos θθ＋cos θ－θ－sin θθ＋cos θθ＋cos θ＋θ－sin θ＝2sin θ2cos θ＝tan θ.(2)求证：4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边． 反思与感悟 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． 跟踪训练3 α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 0解析∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，∴1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝2cos2αcosα－2sin2αsinα＝－2cosαcosα－－2sinαsinα＝0.1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )A ．－14B.14C ．－18D.18考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的余弦值 答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．sin15°sin75°的值是( ) A.12B.32C.14D.34考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 C解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14.3．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 B 解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 4.3tanπ81－tan2π8＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正切的二倍角公式化简求值 答案 32解析 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝32tan π4＝32. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos2α2.一、选择题1．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α等于( )A ．－1213B.1213C ．－120169D.120169考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 D解析 由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D.2．(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α等于( )A ．－79B ．－29C.29D.79考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A.3．已知α为锐角，且满足cos2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 因为cos2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12， 所以α＝30°.故选D.4．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724B ．－724C.247D ．－247考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 D解析 由cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34， 所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247，故选D. 5.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2D ．－3cos2考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1＝3cos 22＝－3cos2. 6．函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5.7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 A解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－1－49＝－53，故选A. 二、填空题8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 116解析 原式＝sin6°cos48°cos24°cos12° ＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6° ＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 9．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝________. 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 －247解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210， 得22(sin θ－cos θ)＝210，即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247.10．若1＋tan α1－tan α＝2018，则1cos2α＋tan2α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 2018解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2018.11．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2 ＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 三、解答题12．(2017·山东青岛城阳一中期中考试)已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 因为sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.又α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )， 所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°， 所以cos α2<0，所以原式＝cos α. 四、探究与拓展14．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 459解析 设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 (1)f (x )＝12cos2x －32sin2x －cos2x ＋3sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角， 即2k π<2α<π2＋2k π(k ∈Z )，∴2k π－π6<2α－π6<π3＋2k π(k ∈Z )， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝437， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6·cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6·sin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版
第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。
2019-2020年高中数学 第三章《三角恒等变换》教学设计 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学第三章《三角恒等变换》教学设计新人教A版必修4【教学目标】进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：新授课阶段1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，==tan （450+300）等.例1 知),2(,61)4sin()4sin(ππ∈α=α-πα+π，求sin4α的值． 解：∵61)4sin()4sin(=α-πα+π ∴31)4cos()4sin(2=α+πα+π∴ ∴cos2α = 又∵ ∴2α∈ (π, 2π)∴sin2α = 322)31(12cos 122-=--=α-- ∴sin4α = 2sin2αcos2α =例2 已知θ是三角形中的一个最小的内角，且12sin 2cos 2sin 2cos 2222+=θ-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围． 解：原式变形：1)2sin 2(cos )2sin 2(cos 2222+=θ-θ-θ-θa a即，显然 （若，则 0 = 2） ∴ 又∵，∴ 即： 解之得：例3 求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值． 证：)3cos(cos )]23cos(1[21)2cos 1(21α+πα+α-π--α-=原式)sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ-απα+α-α-π=211(cos cos 2sin sin 2cos 2)cos sin 23322ππαααααα=+-+-1111cos 22cos 2(1cos 2)24244ααααα=+-++-= ∴)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值与α无关 例4 已知331cos 2sin 2cos(), , 45221tan πππααααα-++=≤<-求的值．解：由得解方程组223sin 225sin cos 1αααα-=⎪⎨⎪+=⎩得sin 10cos 10αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 310cos 0 22cos 10αππααα⎧=-⎪⎪≤<∴≤∴⎨⎪=-⎪⎩ 21cos 2sin22sin 2sin cos 1tan 1tan ααααααα-++∴=--22(2(281010101775⨯+⨯==--例5 求值：02210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-．解：原式=0020*******sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅- 16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0000002000200000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-=例6 ．已知函数1)4()cos x f x xπ-=. （Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值． 解：（Ⅰ）由 得，故在定义域为（Ⅱ）因为，且是第四象限的角, 所以故1)4()cos f πααα-=12(sin 22)22cos ααα--=.例7 已知sin （－x ）=，0＜x ＜，求的值.分析：角之间的关系：（－x ）+（+x ）=及－2x =2（－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（－x ）+（+x ）=，∴cos（+x ）=sin （－x ）.又cos2x =sin （－2x ）=sin2（－x ）=2sin （－x ）cos （－x ）， ∴=2cos（－x ）=2×=.例8 求证:(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22x x x x x x +--+=解：原式=22(sin 12sin 1)(sin 12sin 1)22sin 2x xx x x+---++ =22(2sin cos 2sin )(2sin cos 2sin )2222224sin cos cos 22x x x x x x x xx-+ =(cos sin )(cos sin )sin 22222cos cos 2x x x x x x x-+⋅ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=x x x x cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan.例9 已知，，都是锐角，求 的值. 解：由得3sin 2α=1－2sin 2β=cos2β.由得sin2β=sin2α.∴cos（α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2α－sin α·sin2α=0.∵α、β∈（0，），∴α+2β∈（0，）. ∴α+2β=. 课堂小结三角恒等式的证明方法有：从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简. 等式两边同时变形成同一个式子.将式子变形后再证明. 作业 见同步练习 拓展提升 1．若，则等于 （A ） （B ） （C ） （D ）2．函数y=sin2x+sinx,x 的值域是( ) (A)［-,］ (B) ［］ (C) ［-,］ (D)［］3．已知x ∈（－，0），cos x =，则tan2x 等于 （ ） A.B.－C.D.－4．已知tan=,则的值为（ ） A ．B ．-C ．D ．-5．．，则 ． 6．已知，若，则． 若 , 则．7．若,则的值为_______．8．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A 求 的值．9． ()41,cos ,tan , cos .53αβααββ=-=-已知、为锐角求的值10．设函数()cos 2cos ()f x x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ． （1） 求M ，T ；（2） 若有10个互不相等的正数满足M ，且（i=1,2,…10）， 求…的值.参考答案 1．C2．B 提示：用二倍角公式及两角和与差的正弦或余弦公式3．D 4．A 提示：222sin 2sin cos1cos sin 222tan 1cos sin 22cos 2sin cos 222θθθθθθθθθθθ+-+==+++ 5．． 提示：由已知得，22sin 2cos 22sin cos cos sin αααααα+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 7sin cos tan 15ααααααααα+-+-===-++ 6． 提示：2(sin cos )12sin cos θθθθ-=-= 当0,sin cos 4πθθθ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭时，当,sin cos 42ππθθθ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭时, 7． 提示：去分母后两边平方可得 8 解：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 9 解：43,cos , sin .55ααα=∴=是锐角.,22 π<β-α<π-∴βα为锐角、又 ()可求出,31tan -=-βα ()(),1010sin ,10103cos -=-=-βαβα()cos cos βααβ∴=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-10 解：（1）()cos 222sin(2)6f x x x x π=+=+（2）：，22,62i x k k Z πππ+=+∈故即 ，又是互不相等的正数且（i=1,2,…10）， 故 0，1，…9．所以…。
人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换教学设计
人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换教学设计一、教学目标1.理解三角恒等变换的概念和性质。
2.掌握正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
3.能够使用三角函数的恒等变换公式求解三角函数的值。
二、教学重点难点1.三角恒等变换概念和性质的理解。
2.正弦、余弦、正切的恒等变换公式的记忆和应用。
三、教学内容及方法1. 教学内容1.三角恒等变换的概念和性质。
2.正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
2. 教学方法1.给出例题，并通过例题引出概念和性质。
2.讲解正弦、余弦、正切的恒等变换公式，并进行示例演练。
3.练习题的讲解和答疑。
四、教学过程设计1. 导入环节1.介绍本节课的主题和目标。
2.提问学生对三角恒等变换的了解和认识，引出三角恒等变换的概念和性质。
2. 讲解环节1.以例题的形式引出正弦、余弦、正切的恒等变换公式，讲解公式的推导过程和应用方法。
2.通过多组例题演示如何使用恒等变换公式求解三角函数的值。
3. 练习环节1.发放练习题，让学生进行练习并自行检验答案。
2.推广题目，让学生进行自主探究，并对想法进行讨论和答疑。
五、教学评估1.通过课后作业检查和测试等方式进行评估，考察学生对三角恒等变换的掌握情况。
2.针对评估结果进行适当调整和讲解，弥补学生掌握不足和漏洞。
六、教学资源1.PowerPoint演示文稿。
2.练习题和解答。
3.可视化三角恒等变换的工具软件，如GeoGebra或Desmos。
七、反思总结三角恒等变换是高中数学中比较基础而又重要的概念之一。
因此，在教学过程中，既要重视学生的掌握程度，也要注意教学内容和方式的生动和丰富。
此次教学中，我结合多组例题，并使用工具软件进行可视化演示，使学生可以更加深入地理解三角恒等变换的概念和性质，同时也更好地掌握了正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
最后课后的总结和评估，也能帮助学生更深入地理解和记忆知识点。
三角恒等变换学案
必修4第三章三角恒等变换 3．1．1 两角差的余弦公式【学习目标】1．能用向量法推导两角差的余弦公式，并能说出该公式的结构特征． 2．会用两角差的余弦公式进行简单的求值、化简、证明．3．通过公式的推导，体会向量这一工具的作用和价值．通过公式的运用，体会化归思想在数学中的应用．【学习重点】两角差的余弦公式的推导与运用． 【难点提示】两角差的余弦公式的证明.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材124127P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了三角函数及相关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.什么叫单位圆？你能做出任意角α的正弦线、余弦线吗？2.几组诱导公式的的口诀是 ，它有几层含义？3.同角三角函数关系式为 、 ，它们各有哪些特征？在运用是应注意一些什么问题？热身练习 1.计算下列各组式的值：(1)cos30cos(6030)__,cos60cos30__,=--=(2)cos90cos(6030)__,cos60cos30__,=++=(3)cos60cos30sin60sin30- (4)cos60cos30sin60sin30-.解后反思 大家知道306030=-，那么cos(6030)cos60cos30-=-成立吗？906030=+，那么cos90cos(6030)cos60cos30=+=+成立吗？如果不成立，观察上面的练习，大胆的猜想cos()__________αβ-=，cos()__________αβ+=. 这就是本节课要探究的问题？ 二．学习探究生活情境 请同学们认真阅读教材P124页中的生活实例，你会从该实例说明生活中需要求解任意两角的和与差的正弦、余弦、正切值.在“学习准备”的热身练习与反思，我们已经大胆猜想了任意两角差的余弦展开式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，我们的猜想是否正不正确呢？请同学们发挥想象，作出判定与决策！如果不正确，请找出反例；若正确，请给出证明过程.证法1：证法2：快乐体验 1.教材P126页例1和P127页练习的1、2题2.化简下列各式：（1）cos150cos1050+ sin150sin1050=（2）cos80°cos35°+cos10°cos55°= ；（3）020215sin 15cos -= ；（4）sin(x ＋y)sin(x －y)＋cos(x ＋y)cos(x －y)= ．同学们通过生活情境、猜想、证明、体验，对两角差的余弦公式有哪些感悟？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.该公式的两种证明方法都掌握了吗？那个方法更简单？为什么？方法2中，为什么要用两个图？为什么不直接写成θ=βα-？而讨论Z k k ∈±=-,2θπβα？2.该公式我们记为)(βα-C ，请仔细观察发现它有何特征？你怎样记忆与掌握该公式？3.公式)(βα-C 及其证明太重要了，两个证明方法的名称是？（链接1）4.该公式中α、β的取值范围如何？共有几个量？如何运用该公式？5.你能通过教材P127页练习的第1题，运用类比方法证明其它的诱导公式呢？ 三．典例赏析例1.教材第127页例2，请认真审读例题，先独立解答，再阅读教材解题过程.解：解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材的解答与表述谁更好？求解时运用了哪些知识与思想方法？有易错点吗？如果去掉条件α∈(2π,π)，怎么解？变式练习 已知），，（，且2,0,1411)cos(,71cos πβαβαα∈-=+=求βcos 的值． 解：例2.已知,0sin sin sin =++γβα,0cos cos cos =++γβα求证21)cos(-=-γα． 证：解后反思 该题的题型怎样？求解的关键点在哪里？你还能变式出其它结论吗？ 变式练习 已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若32)s i n (=+B A ，43cos -=B ，求A cos 的值．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：公式C （α－β）的证明、特征、运用都掌握了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1下列关系式中一定成立的是（ ）A ． βαβαcos cos )cos(-=-B ． )cos(βα-＜βαcos cos -C ． ααπsin )2cos(=- D ．ααπsin )23cos(=- 2.cos(035-α)cos(250+α)+sin(035-α)sin(250+α)的值为 （ ） A ． 21-B ． 21C ． 23- D ． 233已知),2,23(,53sin ππαα∈-=则)4cos(απ-的值为（ ） A ．102B ． 102-C ．1027 D ． 1027- 4已知cos(βα-)=31,则22)cos (cos )sin (sin βαβα+++= ． 5函数56sin 2sin 5cos 2cos ππx x y -=的递增区间是 ．6. 化简 0020cos 20sin 10cos 2-= ．7. 已知91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，且2π＜α＜π，0＜β＜,2π求2cosβα+的值． （提示：=+2βα)2()2(βαβα---．） 解：8.（2008年高考广东卷）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值. 解：【学习链接】链接1. 公式)(βα-C 的两个证明方法都是运用的构造法，它是后面要学习的所有的三角公式的“上位知识”，后面要学习的所有的三角公式是它的“下位知识”，请领悟！。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
《三角恒等变换》教案3新人教A版
《三角恒等变换》教案3（新人教A版必修4）第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1. 本章的内容分为两节："两角和与差的正弦、余弦和正切公式"，"简单的三角恒等变换"，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4. 本章在内容的安排上贯彻"删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容"的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：，，再利用两角差的余弦公式得出（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以点评：注意角、的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：（胡仕伟）§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：；．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.．让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．注意：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注意：．（二）例题讲解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因为是第四象限角，得，，于是有两结果一样，我们能否用第一章知识证明？例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、；（2）、；（3）、．例3、化简解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.作业：1、已知求的值．（）2、已知，求的值．（胡仕伟）§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，；；．我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），（二）公式推导：；；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；．．注意：（三）例题讲解例1、已知求的值．解：由得．又因为．于是；；．例２、已知求的值．解：，由此得解得或．（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（五）作业：（胡仕伟）3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以表示．解：我们可以通过二倍角和来做此题．因为，可以得到；因为，可以得到．又因为．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、；（２）、．证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得；即；（２）由（１）得①；设，那么．把的值代入①式中得．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数的周期，最大值和最小值．解：这种形式我们在前面见过，，所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
第三章 三角恒等变换全章学案
3.1.1两角差的余弦公式课前预习学案一、预习目标 预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。
二、预习内容阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：1. 如何用任意角的正弦余弦值来表示；2. 如何求出的值;3. 会求的值吗？课内探究学案一、学习内容通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打 好基础。
二、学习过程 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ， （2）探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法：αβ，cos()αβ-0cos150sin 750cos 450cos300cos150cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？问：①怎样作出角、、的终边。
②怎样作出角的余弦线OM③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。
2.向量法：问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
例题整理例1. 利用差角余弦公式求的值变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1）； （2）变式训练：。
αβαβ-αβ-0cos15ααπsin )2cos(=-cos(2)cos παα-=4π52.sin α= α πcos β= - βcos 5213αβ∈-例已知，（，），，第三象限角，求（）的值15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值三、反思总结本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示，回顾公式的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角，的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.四、当堂检测1.利用两角和（差）的余弦公式，求2.求值3．化简课后练习与提高一、选择题1. 的值为 （ ）A.B. C. D.2. 的值为 （ ）αβ，cos()αβ-C αβ-（）αβ0cos 75,cos1050000cos75cos30sin 75sin 30+cos()cos sin()sin αββαββ+++14.cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos 0cos50cos 20sin50sin 20+1213230cos(15)-A.B. C. D3.已知，则的值等于（ ） A.B. C. D. 二、填空题4.化简=5.若，则=三、解答题、6.已知，求的值.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式4444-12cos ,0,132παα⎛⎫=∈⎪⎝⎭cos()4πα-13262613cos(30)cos sin(30)sin αααα+++()0000cos60,sin 60,(cos15,sin15)a b ==a b ∙233sin ,,cos ,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos()αβ-课前预习学案一、预习目标1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值；2.经历两角和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力； 二、预习内容1、在一般情况下sin(α+β)≠sin α+sin β,cos(α+β)≠cos α+cos β.2、已知，那么( ) A 、－B 、C 、D 、3.在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan(α±β)=可变形为：tan α±tan β=tan(α±β)(1tan αtan β);±tan αtan β=1-,4、又如：asin α+bcos α= (sin αcos φ+cos αsin φ)= sin(α+φ),其中tan φ=等，有时能收到事半功倍之效.=_____________.3sin ,sin()_________;sin()_________.544ππθθθθ=-=-=则若是第四象限角，则.___________)6tan(,2tan =-=πθθθ是第三象限角，求等。
第三章《三角恒等变换》全套教案1
第三章三角恒等变换密云县编写组第一部分：第三章的教学设计一、教材分析1．教学内容本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.2．在模块内容体系中的地位和作用在第一章三角函数的学习的基础上，学习简单的三角变换是对三角函数的进一步深化也是为必修5中的解三角形做铺垫.3．总体教学目标（1）了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；（2）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；(3)运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.4.重点、难点分析本章内容的重点是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时也是难点.5．其他相关问题本章内容安排贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的理念，严格控制了三角变换及应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式，积化和差以及和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.二、教学方式概述应以教师为主导学生为主体的启发式教学为主，以学生为主体探究式教学为辅.三、教学资源概述充分利用多媒体课件四、教学内容及课时安排建议 1．本章知识结构如下图：2．教学内容本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”. （1）三角恒等变换的学习以代数变换与同角三角函数式的变换的学习基础，和其他数学变换一样，它包括变换的对象，变换的依据和方法等要素.本章变换的对象要由只含一个角的三角函数拓展为包含两个角的三角函数式，因此建立起一套包含两个角的三角函数式变换的公式.（2）本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，具体过程如下：()()()()22,,C C S T C S T αβαβαβαβααε-+±±→→→→（3）本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，使他们能够依据三角函数的特点，逐渐明确三角变换不仅包括式子结构形式变换，还包括式子中的角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了引导的层次性和渐进性. 3．课时分配本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约4课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约1课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、学习目标：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明. 三、教学内容安排3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式的推导是本节的重点和难点，尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点.教科书Ｐ136章前图由实际例子引出已知两个角的正弦、余弦、正切来研究这两个角和、差的正弦、余弦、正切.这是实际的需要是为了解决实际问题所以我们要研究两角差的余弦公式()cos ?αβ-=、两角和的余弦公式()cos ?αβ+=两角差的正弦公式()sin ?αβ-=、两角和的正弦公式()sin ?αβ+=等知识.探究过程：1.通过展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到c o s ()c o s c o s s αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构. 2．引导用向量法证明两角差余弦公式.然后通过两个例题来巩固所学公式例1利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把15构造成两个特殊角的和、差.()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302=-=+=⨯= 点评：本例说明差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形.实际上，由于公式对任意角都成立，因此在使用公式时应当根据需要对角进行灵活表示.例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.本例结束后思考如何求sin 75，引导用诱导公式sin()cos 2παα-=，为后面推导出正弦两角和与差公式做准备. 例2已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭本例是运用两角差的基础题，主要训练学生思维的有序性，逐步培养学生良好思维习惯. §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式本节课以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.通过上节课的学习推导出了两角差的余弦，引导学生推导两角和的余弦公式，然后引导学生推出两角和与差的正弦公式和正切公式. 例3已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭本例是运用和差角公式的基础题，要注意认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要做什么准备.还要重视思维过程的表述，不能只看结果而不顾过程表述的准确性和简洁性.解答完本例可以把条件是α是第四象限角去掉，让学生考察结果和求解过程会有什么影响.引导学生正确使用分类讨论的方法. 例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．本例体现了对公式的全面理解上的要求，即要求学生能够从正（从左到右使用公式）、反（从右到左使用公式）两个角度使用公式.与正用相比反用表现的是一种逆向思维，他不仅要求有一定的逆向思维意识，对思维的灵活性要求较高，而且对公式要求更全面更深刻的理解. §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式本节以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.学生先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， 公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈例题讲解 例5已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 通过本例要求学生对“倍”的相对性有一定的认识，灵活运用“倍” 的变换，体现了思维的灵活性，对学生推理能力的发展起到很好的推导作用. 例6 在ABC ∆中，4cos 5A =，tan 2B =，求tan(22)A B +的值.本例采用两种方法来解决：一种是先求出tan 2A 和tan 2B 从而求出tan(22)A B +，另一种是先求出tan()A B +再求出tan(22)A B +.这两种方法都是对倍角公式与和角公式的联合运用，本质上没有什么区别.值得注意的是在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含条件，如0,A A B C ππ<<++=等，教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的小结.学生基础较好的班级可以直接求tan 2C 的值.四、教学资源建议 充分利用多媒体课件五、教学方法与学习指导策略建议以问题为核心，采用启发式教学.指导学生如何根据以学知识推导本章的十一个公式. 六、课堂评价建议1.情绪变化：通过探究活动学生表现出来的情绪变化，给每名同学打分.2.参与度：从课堂积极举手回答问题情况和自主探究的情况来了解，学生是否动手实践，对教师提出的问题是否是进行深层次的思考.3.讨论交流：小组讨论时能否能阐述自己的观点，对不同的观点进行分析，每组组长根据学生的表现情况给每名同学打分.4.学习水平：通过课后访谈和作业分析来了解学生的学习水平是否提高.5.知识水平：(1)通过作业了解学生是否掌握了三角变换的十一个基本公式. (2) 通过章节检测题来检验学生是否掌握了十一个基本公式.3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、学习目标：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力 三、教学内容安排例 例题安排：例1试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4 如图3.2-1 已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这图3.2-1O个最大面积.分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： （1）找出S 与α之间的函数关系； （2）由得到的函数关系，求出S 的最大值. 解：在Rt OBC ∆中，cos ,sin OB BC αα==在Rt OAD ∆中，tan603DA OA==，所以sin 333OA DA BC α===.所以cos sin 3AB OA OA αα=-=-.设矩形ABCD 的面积为S ，则(cos sin )sin 3S AB BC ααα=⋅=-1)66πα+-由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S 最大13-=6因此，当6πα=时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.本例是一个实际问题，需要建立函数模型，建立函数模型时，对自变量可多一种选择，如果设AD=x ，则)3S x x =.尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.复习安排（1课时）知识与方法小结：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来.3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等. 6．自己根据学生状况适当配备例题.四、教学资源建议．充分利用多媒体课件五、教学方法与学习指导策略建议以问题为核心，采用启发式教学.指导学生如何根据式子的结构进行三角变换.六、课堂评价建议：1.情绪变化：通过探究活动学生表现出来的情绪变化，给每名同学打分.2.参与度：从课堂积极举手回答问题情况和自主探究的情况来了解，学生是否动手实践，对教师提出的问题是否是进行深层次的思考.3.讨论交流：小组讨论时能否能阐述自己的观点，对不同的观点进行分析，每组组长根据学生的表现情况给每名同学打分.4.学习水平：通过课后访谈和作业分析来了解学生的学习水平是否提高.5.知识水平：(1)通过作业了解学生是否掌握了三角变换的基本方法和基本能力.(2) 通过章节检测题来检验学生是否掌握了三角变换的基本方法和基本能力.。
高中数学第三章三角恒等变换3.3的积化和差与和差化积学案
3.3 三角函数的积化和差与和差化积点，提高推理、运算能力．1．积化和差公式cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．【自主测试1－1】函数y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．π2D ．π4解析：∵y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝12⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎭⎪⎬⎪⎫⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14，∴函数的最小正周期为π. 答案：B【自主测试1－2】sin 37.5°cos 7.5°＝__________.解析：sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin45°＋sin 30°)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14.答案：2＋142．和差化积公式sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y2；sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.名师点拨不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系．和差化积公式的适用条件是什么？答：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．【自主测试2－1】sin 105°＋sin 15°等于( )A ．32B ．22C ．62D ．64解析：sin 105°＋sin 15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62. 答案：C【自主测试2－2】函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的最小值为________．解析：∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2cos x cos π4＝2cos x ，∴f (x )min ＝－ 2.答案：－ 21．和差化积与积化和差公式的作用剖析：(1)可从以下几方面来理解这两组公式：①这些公式都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系； ②三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解．(2)一般情况下，遇到正弦、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算．(3)和积互化公式的基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值. 正因为如此，“和积互化”是三角恒等变形的一种基本方法．在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式．往往这样就能发现解决三角函数问题的思路．为了能够把三角函数化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把12－cos α化为积的形式，可将12看作cos π3，再化为积．2．教材中的“探索与研究” 用向量运算证明和差化积公式．如图所示，作单位圆，并任作两个向量OP ＝(cos α，sin α)，OQ ＝(cos β，sin β)．取PQ 的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα＋β2，sin α＋β2.连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON ⊥PQ .∠xOM 和∠QOM 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP ，ON ，OQ 之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2；sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.剖析：如图所示，P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，又M 为PQ 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα＋β2，sin α＋β2. 又N 为OM 与PQ 的交点，则N 必为PQ 的中点，∠NOQ ＝α＋β2－β＝α－β2.①由N 为线段PQ 的中点，则N 点的坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋cos β2，sin α＋sin β2. ②在Rt△ONQ 中，|ON |＝|OQ |cos∠NOQ ＝cos α－β2.所以点N 的横坐标x ＝|ON |cos∠MOx ＝cos α－β2·cos α＋β2.点N 的纵坐标y ＝|ON |sin∠MOx ＝cos α－β2·sin α＋β2.由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β2＝cos α－β2cos α＋β2，sin α＋sin β2＝cos α－β2sin α＋β2.也就是cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2，sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.题型一 求值问题【例题1】(1)求sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值；(2)已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．分析：解答本题利用积化和差公式和和差化积公式，对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件求解．解：(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.题型二 化简问题【例题2】化简：4sin(60°－θ)sin θsin(60°＋θ)．分析：观察(60°－θ)与(60°＋θ)的和为特殊角，所以可用积化和差公式化简． 解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos 2θ ＝sin θ＋2sin θcos 2θ ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.反思此题依然是直接考查公式应用的题，对于这种题，解题公式的选取是关键． 题型三 证明三角恒等式【例题3】在△AB C 中，求证：sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ． 分析：先用降幂公式，再利用和差化积公式．证明：原式左边＝1－cos 2A 2＋1－cos 2B 2－1－cos 2C 2＝12＋12cos 2C －12(cos 2A ＋cos 2B )＝cos 2C －cos(A ＋B ) cos(A －B )＝cos C[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin A sin B cos C ＝右边． 故原式成立.题型四 恒等变换公式的综合应用【例题4】已知A ＋B ＝23π，求cos 2A ＋cos 2B 的最值．分析：将cos 2A ＋cos 2B 利用降幂公式、积化和差公式与和差化积公式化为正弦函数形式或余弦函数形式．解：原式＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝12(2＋cos 2A ＋cos 2B ) ＝12[2＋2cos(A ＋B )cos(A －B )] ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝1－12cos(A －B )．所以当cos(A －B )＝－1时，原式取最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取最小值12.反思考查一个三角函数式的单调性、最值、周期或值域等问题，一般要化简为正弦函数或余弦函数形式，再进行求解．题型五 易错辨析【例题5】化简：cos 2θ＋cos 2(60°－θ)＋cos 2(60°＋θ)．错解：原式＝1＋cos 2θ2＋1＋cos －2θ2＋1＋cos ＋2θ2＝32＋12[cos2θ＋cos(120°－2θ)]＋12cos(120°＋2θ)＝32＋2×2cos 60°·cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)．错因分析：解题过程中由于没有发现60°－2θ与120°＋2θ是互补关系，从而没有消去cos(60°－2θ)和cos(120°＋2θ)这两个值，得出的结果并未化简彻底．正解：原式＝1＋cos 2θ2＋1＋cos －2θ2＋1＋cos ＋2θ2＝32＋12[cos2θ＋cos(120°－2θ)]＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12×2cos 60°cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12cos(60°－2θ)＋12cos[180°－(60°－2θ)]＝32.1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的最小正周期是( )A ．π2 B ．2πC ．π4 D ．π答案：D2．在△AB C 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则这个三角形必是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案：B3．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcosθ；⑤sin x sin y ＝12[cos (x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①②③④均不正确，⑤正确． 答案：B4．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的结果为( )A ．tan x2B ．tan 2xC ．tan xD ．－tan x解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos π4sin －x 2sin π4cos －x＝－tan x .答案：D5．sin 57°－sin 33°＋22cos 81°sin 69°＝__________.答案：226．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值－34. 答案：－347．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋sin 20°cos 50°＝1－12(cos 40°－cos 100°)＋12[sin 70°＋sin(－30°)]＝1－12×(－2)sin 70°sin(－30°)＋12sin 70°－14＝1－12sin 70°＋12sin 70°－14＝34.。
三角恒等变换导学案
单元第三章三角恒等变换课题 3.1.1 两角差的余弦公式课型新授课教学目标 1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.教学重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.课堂流程学法指导导学札记学习目标通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
自主学习温故知新复习：求三角函数0cos45，0cos30，0cos15的值1、回顾学习过的知识2、通过阅读课本124-127页课前完成自主学习部分探究出招问题1：请学生猜想cos(α-β)=?问题2：利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？问题3：利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?c os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))新知：问题4：细心观察C(α-β)公式的结构,它有哪些特征？点拨升华悉疑解惑例1.利用差角余弦公式求cos15°的值.变式1：不查表求sin75°,sin15°的值.变式2：不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.例 2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-, β是第三象限角, 求cos(α-β)的值.变式：已知sinα=54,α∈(0,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.通过例题、变式的指导强化概念的理解总结提高1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.课堂作业当堂检测1.利用两角和（差）的余弦公式，求00cos75,cos1052.求值0000cos75cos30sin75sin30+3．化简cos()cos sin()sinαββαββ+++通过训练提高，完成本节课学习目标任务，进一步破解重点难点课后拓展1、化简00cos(30)cos sin(30)sinαααα+++=2、已知233sin,,cos,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos()αβ-的值.我的收获单元第三章三角恒等变换课题3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）课型新授课教学目标 1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课堂流程学法指导导学札记学习目标1.能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。
高中数学第三章三角恒等变换导学案新人教A版必修
第三章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α的值.分析 将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系.解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝π，∴5π6－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－33.二、利用目标中的角表示条件中的角 例2 设α为第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________________.分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α.解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.∵α为第四象限角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， ∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值.分析 转化为已知角⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数. 解 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等.二、化平方式 例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)). 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin2α2＝sin α2. 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3. 答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cosθ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1·α的值例5 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值.解 原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos5π1124sinπ11＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin10π1124sinπ11＝sinπ1125sinπ11＝132.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.3 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x2－sin 2x 的最值.解 原函数变形得f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解 原函数化简得y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }.点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.解 原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.∴函数的值域为{y |y ≤13或y ≥3}.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域.解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式.解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2a ＋1. 当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－12a 2－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1，1]上的最值问题解决.例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2).四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值.解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t在[1，3]上为增函数.故当t ＝1，即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3，即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt△ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值.解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形的边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC边上的高h ＝a sin θ， ∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－xa sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0，1]上单调递减，从而，当sin 2θ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.4 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π).所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6， ①tan αtan β＝7， ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π，∴π<α＋β<2π.又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.[正解] 由cos B ＝513>0，得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin B ＝1213.由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12，∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B >π3.故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 的奇偶性.[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x2cos x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x 21＋2sin x2cos x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x 2，由此得f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数.[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数.温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值.[错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2.∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角.∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .5 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x ，1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.解析 由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.答案 π点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解. 二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4，5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________. 解析 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案 －17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理.三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2，0)的夹角为π3，则θ＝________. 解析 由条件得|m |＝sin 2θ＋(1－cos θ)2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去). 因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析 由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝ |2a －b |2＝ 4a 2＋b 2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝ 8－8cos (θ＋π6)≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A.－32 B.－16 C.16D.32解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4，0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 D点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.6 单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例1 已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β2.(提示：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22解 设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，用题设所给的中点坐标公式，得AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，18，如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1816＝34.点评 借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值.二、单位圆与恒等变换的交汇例2 已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解析 如图，过O 作OM ⊥AB 于点M ，不妨设α、β∈[0，2π]，则∠AOM ＝∠BOM ＝12∠AOB＝12(β－α)， 又因为∠xOM ＝α＋∠AOM ＝α＋β2， 所以tan α＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－12，故tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝－43.答案 －43点评 若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例3 如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C.(1)若α＝π6，β＝π3，求点M 的坐标；(2)设α＝θ(θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最小值时θ的取值.解 (1)由三角函数定义可知，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，由中点坐标公式可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14，3＋14.(2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π3)，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6，故m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6，n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ＋5π12，又因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12， 当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋12.点评 借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.7 教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2·sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值例1 求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值. 解 y ＝2sin x (sin x －cos x )＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ·22＋cos 2x ·22 ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4 ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间例2 求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间.解 y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＋1 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋54＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z ).所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ). 三、求周期例3 函数y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是( ) A.2π B.π C.π2 D.π4答案 C解析 y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ＝1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期为T ＝2π4＝π2.故选C. 四、求参数的值例4 如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A. 2B.－ 2C.1D.－1 答案 D解析 y ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ).因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π8过函数图象的最高点或最低点.即当x ＝－π8时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝±1＋a 2.即22(a －1)＝±1＋a 2.所以a ＝－1.故选D.。
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第三章三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
一、教学目标
1、能用两角和与差的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦公式进行简单的三角
y a x b x的化简方法.
恒等变换，记住sin cos
y A x的三角函数性质进行讨论，能灵活运用公2、能正确的对形如sin()
式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.
3、能运用三角公式解决一些实际问题.
4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想.
二、教学重难点
教学重点：
引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如
y A x的三角函数性质进行讨论
sin()
教学难点：
认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不
y A x三角函数的应断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin()
用.
三、教学过程 [来源:学。
科。
网Z。
X。
X。
K]
y A x函数性质的探究
探究一：形如sin()
问题1.求函数2sin(2)()
y x x R的周期，最大值.
6
问题2.求函数sin 3cos ()y x x x R 的周期，最大值.
问题3.函数sin 3cos y x x 如何化简为sin()y A x 的形式呢？问题4.刚才所化简的函数是形如
sin cos y a x b x 的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x 的函数化简为sin()y
A x 的形式呢？辅助角公式：
例题1：函数3sin 3cos ()22x
x
y x R 的周期为 .
y A x函数的实际应用
探究二：形如sin()
问题5：如图，半径为R的半圆内有一内接长方形，圆心为O,且
,则当取何值时，内接长方形面
AOB,(0,)
2
积最大？。