2020年山东省专升本真题(数二)及解析

机密★启用前 试卷类型：公共课 科目代码：102山东省2020年普通高等教育专升本统一考试高等数学II 试题本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分100分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写到试卷规定的位置上，并将姓名、考生号、座号填（涂）在答题卡规定的位置。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效。

3.第Ⅱ卷答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1. 当0x →时，以下函数是无穷小量的是( )A. 21x + C. sin x D. cos x 2. 以直线0y =与为水平渐近线的曲线( )A. xy e = B. ln y x =C. tan y x =D.3y x = 3. 若()2baf x dx =⎰，()1b ag x dx =⎰，则[]3()2()baf xg x dx -=⎰( )A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 微分方程2sin ydy x xdx e +=的通解为( ) A. 2cos y e x x C =++ B. 2cos y e x x C =-+ C. 2sin y e x x C =++ D. 2sin y e x x C =-+ 5. 已知函数(,)f x y 在2R 上连续，设21320(,)yy I dy f x y dx -=⎰⎰，则交换积分次序后I = ( ) A. 231320010(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰B.2133201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰C. 133201(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰D.3132010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6. 函数()f x =的定义域为__________. 7. 已知函数3()32f x x x =+-，()tan g x x =，则4f g π⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_________. 8. 函数2ln y x x =+在(1,2)处的切线的斜率为___________.9. 曲线1y x=和1x =，3x =及x 轴所围成的图形的面积S ____________. 10.已知函数2arctan(2)z x y =，则全微分dz =____________.三、解答题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）11. 求极限2211lim 322x x x x →⎛⎫-⎪-+-⎝⎭. 12.求极限203sin limxx t dt x →⎰.13.已知函数2, 0()1, 0, 0x x b x f x x ae b x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩，在0x =处连续，求实数,a b 的值.14.求不定积分1ln xdx x +⎰.15. 求定积分20(1)cos x xdx π-⎰.16.求微分方程'1xy y e +=+的通解。

17.已知sin yz x x=，求2z x y ∂∂∂.18.计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 由y x =，5y x =与6y x =-+所围成的闭区域.四、应用题（本大题共7分）19.假设某产品的市场需求量Q （单位：吨）与销售价格P （单位：万元）的关系式为()453Q P P =-，其总成本函数为()203C Q Q =+，问P 为何值时利润最大？最大利润是多少.五、证明题（本大题共7分）20.设函数()f x 在[]1,2上连续，(1,2)上可导，且(1)4(2)f f =，证明：存在(1,2)ξ∈，使得2()'()0f f ξξξ+=.机密★启用前 试卷类型：公共课 山东省2020年普通高等教育专升本统一考试高等数学II 试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 答案：C.解析：根据无穷小量定义可知，函数0limsin 0x x →=，sin x 是无穷小量。

2. 答案：A.解析：结合函数的图形可知A 正确，事实上lim 0x x e →-∞=。

3. 答案： D. 解析：[]3()2()3()2()3224b bba aaf xg x dx f x dx g x dx -=-=⨯-=⎰⎰⎰.4. 答案：B.解析：分离变量积分得(2sin )y e dy x x dx =+⎰⎰，即2cos y e x x C =-+。

5. 答案：D.解析：Y 型积分区域为20,1,32y y x y x y==⎧⎨==-⎩所围封闭区域，转化为X型积分区域为12013002x x x y y ≤≤⎧≤≤⎧⎪⎪⎨⎨-≤≤≤≤⎪⎩⎪⎩， 故313201(,)(,)x I dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰。

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.答案：(3,)+∞解析：由原题得30x ->，解得3x > 7.答案：2.解析：3(())tan 3tan 2f g x x x =+-，tan 14π=，故即24f g π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

8.答案：3. 解析：111'|23x x y x ==⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 9.答案：ln 3. 解析：311ln 3ln1ln 3S dx x==-=⎰。

10.答案：2222arctan(2)14x dz x y dx dy y=++ 解析: 2222222arctan(2),1414z z x x y x x y y y ∂∂===∂∂++，故 2222arctan(2)14x dz x y dx dy y=++. 三、解答题(本大题共7小题，每小题6分，共42分） 11.解：通分利用已知结论，得2222111(1)1lim lim lim 1322(1)(2)1x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===- ⎪-+----⎝⎭12.解：2203200sin sin 1limlim 33xx x t dt x x x →→==⎰ 13.解：函数在0x =处连续，故(00)(00)(0)1f f f +=-==， 而 200(00)lim ()lim()x x f f x x b b →+→++==-=-00(00)lim ()lim()x x x f f x ae b a b→-→--==+=+故1,2b a =-=。

14.解：1ln 1ln ln ln ln x xdx dx dx x xd x x x x +=+=+⎰⎰⎰⎰21ln (ln )2x x C=++15.解：22222(1)cos cos cos sin sin |x xdx x xdx xdx xd x x πππππ-=-=-⎰⎰⎰⎰222000sin |sin 1cos |1222x x xdx x πππππ=--=+-=-⎰16. 解：令()1,()1xP x Q x e ==+，利用常数变异公式得()()()(1)P x dx P x dx dx dxx y e Q x e dx C e e e dx C --⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰(1)(1)xx x x x x ee e dx C e e de C --⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 1x x x x e e de de C -⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰212x x x e e e C -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦。

17.解：sin sin 'sin cos 'x x z y y y y y x x x x x x x ∂⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭sin cos y y y x x x=-;2sin ''cos cos 'y y y z y y yy y x y x x x x x ⎡⎤∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2211cos cos sin sin y y y y y yx x x x x x x x=-+= 18.解：积分区域如图所示Dxydxdy ⎰⎰153601xx x xdx xydy dx xydy-+=+⎰⎰⎰⎰13320112(186)23x dx x x dx =+-=⎰⎰四、应用题（本大题共7分）19.解：收益函数为：2()(453)453R P QP P P P P ==-=-，总成本函数为：()203203(453)1559C Q Q P P =+=+-=- 故利润函数为：()()()L P R P C P =-22453(1559)354155P P P P P =---=-+-令'()65409L P P P =-+=⇒=，由实际情况知，当9P =时利润最大，最大利润是(9)88L =（万元）。

五、证明题（本大题共7分14分）20.证明：令函数2()()F x x f x =，则()F x 在[]1,2上连续，(1,2)上可导，且(1)(1)F f =，(2)4(2)(1)(1)F f f F ===，由罗尔定理可知，(1,2)ξ∃∈，使得'()0F ξ=，即22()'()0f f ξξξξ+=， 从而2()'()0f f ξξξ+=。