高一数学空间几何体的体积PPT优秀课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
栏 目 链 接
r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，
r12＝R2－(x＋1)2且πr12＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
栏 目
链
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1. 接
棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把 A 看做顶点，面
PBC 作为底面求解．
栏
目
解析：由于
PA⊥PB
且
PA⊥PC，而
PB
与
PC
相交于点
P，所以
链 接
PA 垂直平面 PBC，即 PA 为三棱锥 APBC 的高．故 V＝31Sh＝13S△
PBC·PA＝13×12×3×4×2＝4.
规律总结：锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段， 由前面知识可知，只要一条直线与一个平面的两条相 交直线垂直，则它就与这个平面垂直． 本例中，不是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，而 是把它转化为三棱锥APBC的高．这种方法的依据是： 三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来 处理．这一方法叫做体积转移法(或称等积法)，随着 知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌 握．
栏
过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC
目 链
水平放置时，液面高为多少？
接
分析：不妨设正三棱柱的底面△ABC的面积为S，则 可算出水的体积，由此当底面水平放置时就不难求 出其高度了．
栏 目 链
解析：设△ABC 的面积为 S ，则三棱柱△ABCA1B1C1 的体积 接
为 8S，∴水的体积为43×8S＝6S.当底面水平放置时，设液面高度为 h′， 则 h′S＝6S，∴h′＝6.
台体的体积
三棱台ABCA1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，
栏
目
则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体
链 接
积之比为________．
分析：如右图，三棱锥A1ABC的顶点看作A1，底
面看作ABC；三棱锥CA1B1C1的顶点看作C，底面
看作A1B1C1；三棱锥BA1B1C可看作棱台截去两
接
∴V 球＝43πR3＝34π·53＝5003π (cm3)． 答案：5003π cm3
球的表面积
已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位
于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的表面
栏 目
链
积．
接
分析：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此 要抓住球的轴截面(过球的直径的截面)．
解析：如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π， 以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半 径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：
►变式训练 1．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4， AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周， 求所得几何体的体积．
栏 目 链
解析：∵△ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，∴绕 AB 边旋转 接
一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径 R＝152.
∴V 锥＝13·AB·πR2＝31×5×π×1522＝11454π.
栏 目 链 接
＝13(42＋82＋ 42×82)×3
＝112 (cm3)．
球体的体积
三个球的半径之比是1：2：3，求证：最大球的体积
等于其他两个球体积和的三倍．
栏 目
分析：由三个球的半径之比为1：2：3，可设三个球
链 接
半径分别为r、2r和3r，则三个球的体积都可以表示成
r的代数式，然后再研究它们体积的数量关系．
1．3 空间几何体的表面积和体 积
1．3.2 空间几何体的体积
课标点击 栏 目 链 接
1．了解柱、锥、台、球的体积的计算方法．
2．能用柱、锥、台、球的体积公式解决相关问 题．
典例剖析 栏 目 链 接
柱体的体积
如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好
栏 目
相应台体的体积；三是利用割补法来求其体积(如本
链 接
例)．
(2)三棱柱、三棱台都可以分割成三个三棱锥，分割后
可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，
割补法是重要的思想方法．
►变式训练 2．已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为 8 cm，高为3 cm，求其体积．
解析：V＝31(S 上＋S 下＋ S上·S下)h
个三棱锥A1ABC和CA1B1C1后剩余的几何体，分
栏
别求几何体的体积，然后相比即可．
目 链
接
解析：设棱台的高为 h，S△ABC＝S，则 S△A1B1C1＝4S.
∴VA1ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，
VCA1B1C1＝31S△A1B1C1·h＝34Sh.
又 V 台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，
目
握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为
链
接
高，球面为底面的圆锥．在求球的体积时，其
关键是求球的半径．
►变式训练 3．一平面截一球得直径是6 cm的圆面，球心到这 个平面的距离是4 cm，则该球的体积是________．
解析：设球的半径为R，则球心与截面圆的圆心的
栏 目
链
连线与截面圆垂直．∴42＋32＝R2，R＝5.
规律总结：有些几何体虽是柱体但由于放置的 栏
目
位置不同不易求体积，应考虑转换位置回归到 链
接
柱体解决问题．
锥体的体积
如右下图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC
为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA
＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥PABC的体积V.
栏 目
链
接
分析：三棱锥的体积 V＝31Sh，其中 S 为底面积，h 为高，而三
栏 目
链
∴VBA1B1C＝V 台－VA1ABC－VCA1B1C1
接
＝37Sh－S3h－4S3h
＝32Sh.
∴体积比为 1：2：4.
wenku.baidu.com答案：1：2：4
规律总结：(1)求台体体积的常用方法有三种：一是利
用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、
下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这
一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其
证明：∵三个球半径之比为 1：2：3，于是可设三个球的半径分
别为 r、2r 和 3r.
则最大球的体积为4π（33r）3＝36πr3.
栏 目 链
接
其他两个球的体积之和为4π3r3＋4π（32r）3＝12πr3.
∴最大球的体积等于其他两个球的体积之和的三倍．
规律总结：解决球的体积问题，首先要熟练掌
栏
r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，
r12＝R2－(x＋1)2且πr12＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
栏 目
链
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1. 接
棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把 A 看做顶点，面
PBC 作为底面求解．
栏
目
解析：由于
PA⊥PB
且
PA⊥PC，而
PB
与
PC
相交于点
P，所以
链 接
PA 垂直平面 PBC，即 PA 为三棱锥 APBC 的高．故 V＝31Sh＝13S△
PBC·PA＝13×12×3×4×2＝4.
规律总结：锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段， 由前面知识可知，只要一条直线与一个平面的两条相 交直线垂直，则它就与这个平面垂直． 本例中，不是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，而 是把它转化为三棱锥APBC的高．这种方法的依据是： 三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来 处理．这一方法叫做体积转移法(或称等积法)，随着 知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌 握．
栏
过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC
目 链
水平放置时，液面高为多少？
接
分析：不妨设正三棱柱的底面△ABC的面积为S，则 可算出水的体积，由此当底面水平放置时就不难求 出其高度了．
栏 目 链
解析：设△ABC 的面积为 S ，则三棱柱△ABCA1B1C1 的体积 接
为 8S，∴水的体积为43×8S＝6S.当底面水平放置时，设液面高度为 h′， 则 h′S＝6S，∴h′＝6.
台体的体积
三棱台ABCA1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，
栏
目
则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体
链 接
积之比为________．
分析：如右图，三棱锥A1ABC的顶点看作A1，底
面看作ABC；三棱锥CA1B1C1的顶点看作C，底面
看作A1B1C1；三棱锥BA1B1C可看作棱台截去两
接
∴V 球＝43πR3＝34π·53＝5003π (cm3)． 答案：5003π cm3
球的表面积
已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位
于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的表面
栏 目
链
积．
接
分析：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此 要抓住球的轴截面(过球的直径的截面)．
解析：如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π， 以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半 径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：
►变式训练 1．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4， AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周， 求所得几何体的体积．
栏 目 链
解析：∵△ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，∴绕 AB 边旋转 接
一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径 R＝152.
∴V 锥＝13·AB·πR2＝31×5×π×1522＝11454π.
栏 目 链 接
＝13(42＋82＋ 42×82)×3
＝112 (cm3)．
球体的体积
三个球的半径之比是1：2：3，求证：最大球的体积
等于其他两个球体积和的三倍．
栏 目
分析：由三个球的半径之比为1：2：3，可设三个球
链 接
半径分别为r、2r和3r，则三个球的体积都可以表示成
r的代数式，然后再研究它们体积的数量关系．
1．3 空间几何体的表面积和体 积
1．3.2 空间几何体的体积
课标点击 栏 目 链 接
1．了解柱、锥、台、球的体积的计算方法．
2．能用柱、锥、台、球的体积公式解决相关问 题．
典例剖析 栏 目 链 接
柱体的体积
如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好
栏 目
相应台体的体积；三是利用割补法来求其体积(如本
链 接
例)．
(2)三棱柱、三棱台都可以分割成三个三棱锥，分割后
可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，
割补法是重要的思想方法．
►变式训练 2．已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为 8 cm，高为3 cm，求其体积．
解析：V＝31(S 上＋S 下＋ S上·S下)h
个三棱锥A1ABC和CA1B1C1后剩余的几何体，分
栏
别求几何体的体积，然后相比即可．
目 链
接
解析：设棱台的高为 h，S△ABC＝S，则 S△A1B1C1＝4S.
∴VA1ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，
VCA1B1C1＝31S△A1B1C1·h＝34Sh.
又 V 台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，
目
握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为
链
接
高，球面为底面的圆锥．在求球的体积时，其
关键是求球的半径．
►变式训练 3．一平面截一球得直径是6 cm的圆面，球心到这 个平面的距离是4 cm，则该球的体积是________．
解析：设球的半径为R，则球心与截面圆的圆心的
栏 目
链
连线与截面圆垂直．∴42＋32＝R2，R＝5.
规律总结：有些几何体虽是柱体但由于放置的 栏
目
位置不同不易求体积，应考虑转换位置回归到 链
接
柱体解决问题．
锥体的体积
如右下图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC
为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA
＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥PABC的体积V.
栏 目
链
接
分析：三棱锥的体积 V＝31Sh，其中 S 为底面积，h 为高，而三
栏 目
链
∴VBA1B1C＝V 台－VA1ABC－VCA1B1C1
接
＝37Sh－S3h－4S3h
＝32Sh.
∴体积比为 1：2：4.
wenku.baidu.com答案：1：2：4
规律总结：(1)求台体体积的常用方法有三种：一是利
用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、
下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这
一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其
证明：∵三个球半径之比为 1：2：3，于是可设三个球的半径分
别为 r、2r 和 3r.
则最大球的体积为4π（33r）3＝36πr3.
栏 目 链
接
其他两个球的体积之和为4π3r3＋4π（32r）3＝12πr3.
∴最大球的体积等于其他两个球的体积之和的三倍．
规律总结：解决球的体积问题，首先要熟练掌
栏