高一数学空间几何体的体积PPT优秀课件
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1.3空间几何体的表面积与体积PPT课件
25cm.
A
分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开, 将问题转化为平面几何的问题.
第14页/共26页
知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的 体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
第7页/共26页
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,
因此只要求…..．
S 解：先求SBC的面积，过点S作 SD BC
a
交BC于点D．
A
因为SB=a，SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：SABC
A
V VP ABCD VP ABCD
1 (S SS S)h 3
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
第19页/共26页
台体体积
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
第20页/共26页
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
1 2
BC
SD
1 2
a
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积 ．
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圆柱的表面积
A
分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开, 将问题转化为平面几何的问题.
第14页/共26页
知识探究（二）柱体、锥体、台体的体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的 体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
第7页/共26页
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,
因此只要求…..．
S 解：先求SBC的面积，过点S作 SD BC
a
交BC于点D．
A
因为SB=a，SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：SABC
A
V VP ABCD VP ABCD
1 (S SS S)h 3
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
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台体体积
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
第20页/共26页
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
1 2
BC
SD
1 2
a
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积 ．
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圆柱的表面积
高中数学必修2第1章132空间几何体的体积课件(38张)1
方法归纳 根据球的截面面积来求球的表面积和体积问题，关键是利 用重要的直角三角形建立关于半径R的方程．求出R，然后 代入球的表面积公式和体积公式进行求解．
4．本例中 ，若截面不过球的半径的中点，而是过半径 上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面 的面积为π，试求此球的表面积和体积．
解：如图，由题意可知：OO1＝1，设截面圆的 半径为 r， 则 π＝πr2，∴r＝1， 即 O1A＝1. 在 Rt△OO1A 中， 球半径 R＝OA＝ O1O2＋O1A2＝ 12＋12＝ 2， ∴球的表面积 S 球＝4πR2＝8π，
＝ 23a，所以 CH＝EH·tan130°＝32a.
在 Rt△CDH 中，CD＝ CH2－DH2＝ 32a2－12a2＝ 2a，
所以
S
△
CDF＝12CD·AD＝
1 2
×
2a×a＝ 22a2，所以 VE－CDF＝
13·EH·S△CDF＝13× 23a× 22a2＝ 126a3.
(2)在 Rt△AFE 中，由 AE＝a，AF＝12CD＝ 22a，
43πr31∶43πr23＝rr213＝233＝8∶27.
3．如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，三棱 23
锥B－A1C1C的体积是__3______．
解析：∵三棱锥 B－A1C1C 与三棱锥 B－A1AC 等底同高， 故 VB—A1C1C＝VB－A1AC，又 VB－A1AC＝VA1－ABC， ∴VB－A1C1C＝VA1－ABC， 而三棱锥 A1－ABC 的底面就是正三棱柱的底面，它的高就是 正三棱柱的高，
∴DE＝
3 4 a.
[感悟提高] (1)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD.则 因为 V＝13hS△BCD，所以 h＝S△3BVCD.这种方法就 是用等积法求点到平面的距离，其中 V 的求法 一般用换顶点法求解，可利用 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ ABC 求解，求解的原则是 V 易求，且△BCD 的面积易求． (2)等体积法主要用于求点面距离，且常用于三棱锥，通过选取 不同的底面建立体积等式．
高中数学PPT：第1讲空间几何体及其表面积和体积
3＝
3 3 π.
索引
考点三 多面体与球的切、接问题
///////
【例3】 (经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积 9
为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是____2_π___. 解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
个半圆，则此圆锥的体积为( A )
3 A. 3 π
3 B. 3
C. 3π
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
D. 3
由πl＝2πr，得l＝2r，
又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝ห้องสมุดไป่ตู้， 所以圆锥的高为 h＝ l2－r2＝ 22－12＝ 3，
所以圆锥的体积为 V＝13πr2h＝13π×12×
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是 作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两 两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接球问题.
图(3)
索引
探究提高
1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放 在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常采用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为 规则几何体以易于求解.
索引
【跟踪演练2】 (1)(2021·杭州二模)已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一
图(2)
索引
法三 如图(3)，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点 N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABEDMN，所以所求几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN 的体积减去四棱锥D-CMNF的体积. 因为 VABE-DMN＝12×2×2×4＝8， VD-CMNF＝131＋2 2×2×2＝2， 所以所求几何体的体积为VABE-DMN－VD-CMNF＝8－2＝6.
专题：空间几何体的体积优秀课件
则该平行六面体 ABCD A1B1C1D1 的
体积V Sh
[变式 1] 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，
点 A1到面 BB1C1C 的距离为 h ， 四边形 BB1C1C 面积为 S ，
则该三棱柱的体积=
方法1： 补成平行六面体
方法2： 一柱分两锥
一柱分三锥，
C1
B1 C1
A1
C
BC
A
B1 A1
B A
一柱分两锥，
方法1： 补成平行六面体
ห้องสมุดไป่ตู้
方法2： 一柱分两锥
[变式 2] 如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，
若VABC A1B1C1 30,VM ABC 6,
则V
M A1B1C1
[变式 3] 如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，
点 A1到面 BB1C1C 的距离为 h ， 四边形 BB1C1C 面积为 S ，
方法1：分割法
方法2：补形法
（类型二）将线段EF位置特殊化
方案3：让点D待在墙角，三条棱DA、
DC、DE两两垂直
方法1：分割法
方法2：补形法
则三棱锥 B1 A1BC 的体积=
[变式 4] 如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，
点 A1到面 BB1C1C 的距离为 h ， 四边形 BB1C1C 面积为 S ， 取 A1B1 中点 M ，
则三棱锥 B MB1C 的体积=
方法1
M N
方法1
方法2
[例 2] 如图，在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，
一、复习回顾——体积公式
名称
体积（V ）
柱体
体积V Sh
[变式 1] 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，
点 A1到面 BB1C1C 的距离为 h ， 四边形 BB1C1C 面积为 S ，
则该三棱柱的体积=
方法1： 补成平行六面体
方法2： 一柱分两锥
一柱分三锥，
C1
B1 C1
A1
C
BC
A
B1 A1
B A
一柱分两锥，
方法1： 补成平行六面体
ห้องสมุดไป่ตู้
方法2： 一柱分两锥
[变式 2] 如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，
若VABC A1B1C1 30,VM ABC 6,
则V
M A1B1C1
[变式 3] 如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，
点 A1到面 BB1C1C 的距离为 h ， 四边形 BB1C1C 面积为 S ，
方法1：分割法
方法2：补形法
（类型二）将线段EF位置特殊化
方案3：让点D待在墙角，三条棱DA、
DC、DE两两垂直
方法1：分割法
方法2：补形法
则三棱锥 B1 A1BC 的体积=
[变式 4] 如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，
点 A1到面 BB1C1C 的距离为 h ， 四边形 BB1C1C 面积为 S ， 取 A1B1 中点 M ，
则三棱锥 B MB1C 的体积=
方法1
M N
方法1
方法2
[例 2] 如图，在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，
一、复习回顾——体积公式
名称
体积（V ）
柱体
空间几何体的表面积与体积PPT教学课件
单的几何体，研究空间几何体的表面积
和体积，应以柱、锥、台、球的表面积
和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、
球2的020/12表/12 面积和体积呢？
2
2020/12/12
3
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
2020/12/12
21
2020/12/12
22
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
R3
2020/12/12
23
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
S2r(rl)
2020/12/12
6
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
Sr(rl)
2020/12/12
7
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面 积公式是什么？
17
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3） =2.956（cm3）
空间几何体的体积课件(共26张PPT)
解 因此剩余部分的体积是
5 V V1 6 V ,
所以棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为1:5. 想一想
如图7-52所示，三棱锥C-A'DD'的体积是三棱柱 B'CC'-A'DD'的体积的几分之几？三棱柱 B'CC'-A'DD '的体积是长方体ABCD-A'B'C'D'的体积的几分之几？
解则
V 122 2 4 2 .
3
3即该Leabharlann 锥的体积是 4 2 .3活动 3 巩固练习，提升素养
运用祖暅原理我们还能得出这样一个结论：一个 底面半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一个以上底面为 底面、下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体 积与一个半径为 R 的半球的体积相等. 试一试
运用祖暅原理推导球体体积公式？
式V柱体=Sh，可得底面积为S、高为h的锥体（棱锥、圆锥） 的体积计算公式：
V锥体
1 3
Sh.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例2 已知正四棱锥S-ABCD的棱长都是2，求该棱 锥的体积．
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 3 巩固练习，提升素养
解 将该长方体看成四棱柱ADD'A'-BCC'B'，设它的
底面ADD'A'的面积为S，高为h,则它的体积
V=Sh.
棱锥C-A'DD'的底面积为 1 S，高为h，因此棱锥C-
5 V V1 6 V ,
所以棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为1:5. 想一想
如图7-52所示，三棱锥C-A'DD'的体积是三棱柱 B'CC'-A'DD'的体积的几分之几？三棱柱 B'CC'-A'DD '的体积是长方体ABCD-A'B'C'D'的体积的几分之几？
解则
V 122 2 4 2 .
3
3即该Leabharlann 锥的体积是 4 2 .3活动 3 巩固练习，提升素养
运用祖暅原理我们还能得出这样一个结论：一个 底面半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一个以上底面为 底面、下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体 积与一个半径为 R 的半球的体积相等. 试一试
运用祖暅原理推导球体体积公式？
式V柱体=Sh，可得底面积为S、高为h的锥体（棱锥、圆锥） 的体积计算公式：
V锥体
1 3
Sh.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例2 已知正四棱锥S-ABCD的棱长都是2，求该棱 锥的体积．
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 3 巩固练习，提升素养
解 将该长方体看成四棱柱ADD'A'-BCC'B'，设它的
底面ADD'A'的面积为S，高为h,则它的体积
V=Sh.
棱锥C-A'DD'的底面积为 1 S，高为h，因此棱锥C-
空间几何体的体积.ppt课件
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、
民生”三民主义，成为以后辛亥革命
的
指导思想。
(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也
没
有提出废除封建土地制度，是一个
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不彻
底的资产阶级革命纲领。
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
空间几何体的体积PPT课件
割为3个三棱锥.
A’
C’ A’
A’
A’
C’
B’
B’
B’
1
2
3
A
CA
C
C
C
B
B
B
其中三棱锥1、2的底面积SA'AB SA'B'B , 高也相等；
三棱锥2、3的底面积SB'BC SB'C 'C , 高也相等；
因20此19/9三/22 个三棱锥的体积相等，V1 V2 V3
1 3
Sh.13
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 的 1，即棱锥(圆锥)的体积：
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高）
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱 锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的 ．1
3
2019/9/22
14
对于任意一个底面积为S，高为h的锥体
组成的矩形（如图），底边为直四棱柱的底面周长
1
2
2
5
1
c 1 2 2 5 5 5,
D1
C1
可知直四棱柱的侧面积为
A1
B1
S侧 cl 5 5.
1 2D
2
C
两个底面面积为
S底
=2
1
2
2
2=6.
A
1
B
故2其019全/9/22面积为：11 5 .
4
练习1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则
圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为_1_8_0_ 度
解：设圆锥的底面圆半径为 由r 题意 S全 3S底
A’
C’ A’
A’
A’
C’
B’
B’
B’
1
2
3
A
CA
C
C
C
B
B
B
其中三棱锥1、2的底面积SA'AB SA'B'B , 高也相等；
三棱锥2、3的底面积SB'BC SB'C 'C , 高也相等；
因20此19/9三/22 个三棱锥的体积相等，V1 V2 V3
1 3
Sh.13
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 的 1，即棱锥(圆锥)的体积：
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高）
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱 锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的 ．1
3
2019/9/22
14
对于任意一个底面积为S，高为h的锥体
组成的矩形（如图），底边为直四棱柱的底面周长
1
2
2
5
1
c 1 2 2 5 5 5,
D1
C1
可知直四棱柱的侧面积为
A1
B1
S侧 cl 5 5.
1 2D
2
C
两个底面面积为
S底
=2
1
2
2
2=6.
A
1
B
故2其019全/9/22面积为：11 5 .
4
练习1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则
圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为_1_8_0_ 度
解：设圆锥的底面圆半径为 由r 题意 S全 3S底
空间几何体的表面积和体积课件-ppt
解答： V≈2956（mm3）=2.956
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
4 3
R3
,V柱
R2
2R
2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
4 3
R3
,V柱
R2
2R
2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
高考数学空间几何体及其表面积、体积ppt课件
21
2．(多选)下列命题，正确的有( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 √C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
四棱柱
√D．存在每个面都是直角三角形的四面体
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第八章 立体几何与空间向量
22
解析：A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行 四边形，但不一定全等；B 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C 正 确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D 正确， 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形．
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第八章 立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不
变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关
系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形．
第八章 立体几何与空间向量
11
3．正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
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第八章 立体几何与空间向量
12
常见误区 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析 图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的 截面图．
《空间几何体的体积》课件
立方体的体积公式为 V = 边 长³；圆柱体的体积公式为 V = πr²h；球体的体积公式为 V = (4/3)πr³。
参考文献
• 张宇高等数学教材 • 数学分析习题集
圆锥体
பைடு நூலகம்
圆锥体的体积可以通过公式 V = (1/3)πr²h 来计算。
2
球体
球体的体积可以通过公式 V = (4/3)πr³ 来计算。
总结
定义
空间几何体是三维空间中的 实体物体，具有长度、宽度 和高度。
计算方法
空间几何体的体积可以通过 直接计算公式、剖法计算公 式或定积分计算公式来获得。
常见空间几何体体 积公式
定积分计算公式
某些几何体的体积计算需要使用定积分计算公式，比如球体。
常见空间几何体的体积计算
1
立方体
立方体的体积可以通过公式 V = 边长³来计算。
2
正方体
正方体的体积可以通过公式 V = 边长³来计算。
3
圆柱体
圆柱体的体积可以通过公式 V = πr²h 来计算。
常见空间几何体的体积计算（续）
1
《空间几何体的体积》PPT课 件
什么是空间几何体？
在数学中，空间几何体是三维空间中的实体物体，具有长度、宽度和高度。常见的空间几何体包括：立 方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体。
如何计算空间几何体的体积？
直接计算公式
某些几何体可以通过直接计算公式来获得体积，如立方体和正方体。
剖法计算公式
某些几何体可以通过剖法计算公式来获得体积，比如圆柱体和圆锥体。
参考文献
• 张宇高等数学教材 • 数学分析习题集
圆锥体
பைடு நூலகம்
圆锥体的体积可以通过公式 V = (1/3)πr²h 来计算。
2
球体
球体的体积可以通过公式 V = (4/3)πr³ 来计算。
总结
定义
空间几何体是三维空间中的 实体物体，具有长度、宽度 和高度。
计算方法
空间几何体的体积可以通过 直接计算公式、剖法计算公 式或定积分计算公式来获得。
常见空间几何体体 积公式
定积分计算公式
某些几何体的体积计算需要使用定积分计算公式，比如球体。
常见空间几何体的体积计算
1
立方体
立方体的体积可以通过公式 V = 边长³来计算。
2
正方体
正方体的体积可以通过公式 V = 边长³来计算。
3
圆柱体
圆柱体的体积可以通过公式 V = πr²h 来计算。
常见空间几何体的体积计算（续）
1
《空间几何体的体积》PPT课 件
什么是空间几何体？
在数学中，空间几何体是三维空间中的实体物体，具有长度、宽度和高度。常见的空间几何体包括：立 方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体。
如何计算空间几何体的体积？
直接计算公式
某些几何体可以通过直接计算公式来获得体积，如立方体和正方体。
剖法计算公式
某些几何体可以通过剖法计算公式来获得体积，比如圆柱体和圆锥体。
空间几何体的表面积和体积教学ppt课件
2. 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公
式v=3 Sh进行计算即可.常用方法为：割补法和等体 积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分 割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积， 从而得出几何体的体积.
(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面. ① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ② 利用“等积性”可求"点到面的距离".
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是
正视图
侧视图
俯视图
解析： 此几何体为一圆锥与圆柱的组合体. 圆柱底面半径为r=a, 高为h₁=2a, 圆锥底面半径为r=a, 高为h₂=a . 故组合体体积为V=πr²h₁+
答案：
慎
KAODIAN
TUPO
JIEJIE
GAO
考点一
多面体的表面积
则三棱锥D-ABC 的体积为
()
A.
B.
C. a3
D.
解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点E, 沿AC折起后依题意得，当
BD=a 时，BE⊥DE, 所以DE⊥平面ABC, 于是三棱锥D-ABC 的高为DE=
a, 所以三棱锥D-ABC 的体积
答案： D
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为 解析： 正方体的体对角线为球的直径. 答案： 27π
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应 的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题.
例 3 如图所示，半径为R的半圆 内 的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，
旋转一周得到一几何体，求该几何
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栏 目 链 接
＝13(42＋82＋ 42×82)×3
＝112 (cm3)．
球体的体积
三个球的半径之比是1：2：3，求证：最大球的体积
等于其他两个球体积和的三倍．
栏 目
分析：由三个球的半径之比为1：2：3，可设三个球
链 接
半径分别为r、2r和3r，则三个球的体积都可以表示成
r的代数式，然后再研究它们体积的数量关系．
个三棱锥A1ABC和CA1B1C1后剩余的几何体，分
栏
别求几何体的体积，然后相比即可．
目 链
接
解析：设棱台的高为 h，S△ABC＝S，则 S△A1B1C1＝4S.
∴VA1ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，
VCA1B1C1＝31S△A1B1C1·h＝34Sh.
又 V 台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，
栏 目
链
∴VBA1B1C＝V 台－VA1ABC－VCA1B1C1
接
＝37Sh－S3h－4S3h
＝32Sh.
∴体积比为 1：2：4.
答案：1：2：4
规律总结：(1)求台体体积的常用方法有三种：一是利
用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、
下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这
一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其
台体的体积
三棱台ABCA1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，
栏
目
则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体
链 接
积之比为________．
分析：如右图，三棱锥A1ABC的顶点看作A1，底
面看作ABC；三棱锥CA1B1C1的顶点看作C，底面
看作A1B1C1；三棱锥BA1B1C可看作棱台截去两
栏 目 链 接
r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，
r12＝R2－(x＋1)2且πr12＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
栏 目
链
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1. 接
目
握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为
链
接
高，球面为底面的圆锥．在求球的体积时，其
关键是求球的半径．
►变式训练 3．一平面截一球得直径是6 cm的圆面，球心到这 个平面的距离是4 cm，则该球的体积是________．
解析：设球的半径为R，则球心与截面圆的圆心的
栏 目
链
连线与截面圆垂直．∴42＋32＝R2，R＝5.
接
∴V 球＝43πR3＝34π·53＝5003π (cm3)． 答案：5003π cm3
球的表面积
已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位
于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的表面
栏 目
链
积．
接
分析：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此 要抓住球的轴截面(过球的直径的截面)．
解析：如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π， 以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半 径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：
栏 目
相应台体的体积；三是利用割补法来求其体积(如本
链 接
例)．
(2)三棱柱、三棱台都可以分割成三个三棱锥，分割后
可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，
割补法是重要的思想方法．
►变式训练 2．已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为 8 cm，高为3 cm，求其体积．
解析：V＝31(S 上＋S 下＋ S上·S下)h
棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把 A 看做顶点，面
PBC 作为底面求解．
栏
目
解析：由于
PA⊥PB
且
PA⊥PC，而
PB
与
PC
相交于点
P，所以
链 接
PA 垂直平面 PBC，即 PA 为三棱锥 APBC 的高．故 V＝31Sh＝13S△
PBC·PA＝13×12×3×4×2＝4.
规律总结：锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段， 由前面知识可知，只要一条直线与一个平面的两条相 交直线垂直，则它就与这个平面垂直． 本例中，不是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，而 是把它转化为三棱锥APBC的高．这种方法的依据是： 三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来 处理．这一方法叫做体积转移法(或称等积法)，随着 知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌 握．
证明：∵三个球半径之比为 1：2：3，于是可设三个球的半径分
别为 r、2r 和 3r.
则最大球的体积为4π（33r）3＝36πr3.
栏 目 链
接
其他两个球的体积之和为4π3r3＋4π（32r）3＝12πr3.
∴最大球的体积等于其他两个球的体积之和的三倍．
规律总结：解决球的体积问题，首先要熟练掌
栏
1．3 空间几何体的表面积和体 积
1．3.2 空间几何体的体积
课标点击 栏 目 链 接
1．了解柱、锥、台、球的体积的计算方法．
2．能用柱、锥、台、球的体积公式解决相关问 题．
典例剖析 栏 目 链 接
柱体的体积
如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好
►变式训练 1．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4， AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周， 求所得几何体的体积．
栏 目 链
解析：∵△ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，∴绕 AB 边旋转 接
一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径 R＝152.
∴V 锥＝13·AB·πR2＝31×5×π×1522＝11454π.
规律总结：有些几何体虽是柱体但由于放置的 栏
目
位置不同不易求体积，应考虑转换位置回归到 链
接
柱体解决问题．
锥体的体积
如右下图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC
＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥PABC的体积V.
栏 目
链
接
分析：三棱锥的体积 V＝31Sh，其中 S 为底面积，h 为高，而三
栏
过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC
目 链
水平放置时，液面高为多少？
接
分析：不妨设正三棱柱的底面△ABC的面积为S，则 可算出水的体积，由此当底面水平放置时就不难求 出其高度了．
栏 目 链
解析：设△ABC 的面积为 S ，则三棱柱△ABCA1B1C1 的体积 接
为 8S，∴水的体积为43×8S＝6S.当底面水平放置时，设液面高度为 h′， 则 h′S＝6S，∴h′＝6.