2021学年高一数学人教2019必修二新教材培优6.4.1 平面几何中的向量方法(解析版)

第六章 平面几何及其应用

6.4.1 平面几何中的向量方法

一、基础巩固

1．若直线l 经过点()3,2A ，且直线l 的一个法向量为()3,4a =-，则直线l 的方程为（ ） A ．4310x y --=

B ．4310x y +-=

C ．3410x y -+=

D ．3410x y --=

【答案】D

【详解】

设直线l 上的动点(),P x y ,则()3,2AP x y =--， ()()()()·3,4?3,233423410a AP x y x y x y =---=---=--=,

∴直线l 的方程为3410x y --=，

2．已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则ABC ∆的形状是（ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形

【答案】A

【详解】 ()1,1AB =，()3,3AC =-，

()13130AB AC ∴⋅=⨯-+⨯=，

AB AC ∴⊥，90BAC ∴∠=︒，

ABC ∆为直角三角形.

3．已知ABC ∆的面积为2,在ABC ∆所在的平面内有两点P 、

Q ,满足0PA PC +=,2QA BQ =,则APQ ∆的面积为（ ）

A ．12

B ．23

C ．1

D ．2

【答案】B

【详解】

解:由题意0PA PC +=可知,P 为AC 的中点,

2QA BQ =,可知Q 为AB 的一个三等分点,如图： 因为1sin 22ABC S AB AC A ∆=

⋅=. 所以11122sin sin 22233

APQ S AP AQ A AB AC A ∆=⋅=⨯⋅=. 4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，

c 且(),m a c b =+，(),n b a c =-，//m n ，则ABC 的形状为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能判定

【答案】B

【详解】

//m n ，∴()()20a c a c b +--=，可化简为：222a b c =+，

所以ABC 的形状为直角三角形.

5．已知向量(,6)a x =，(3,4)b =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为（

）

A ．[8,)-+∞

B ．99

8,,22⎛⎫

⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

C ．99

8,,22⎡⎫

⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D ．(8,)-+∞

【答案】B

【解析】

【详解】

若a b ∥，则418x =，解得9

2x =.

因为a 与b 的夹角为锐角，∴9

2x ≠.

又324a b x ⋅=+，由a 与b 的夹角为锐角，

∴0a b ⋅>，即3240x +>，解得8x >-.

又∵9

2x ≠，所以998,,22x ⎛⎫⎛⎫

∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.

6．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

【答案】A

【详解】 cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<，cos 0A ∴<，则A 为钝角，

∴“0AB AC ⋅<”⇒“ABC ∆是钝角三角形”，

另一方面，“ABC ∆是钝角三角形”⇒“A 是钝角”.

因此，“0AB AC ⋅<”是“ABC ∆为钝角三角形”的充分非必要条件.

7．设平面向量()2,1a =-，(),2b λ=，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是（ ） A ．()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B ．()(),44,1-∞--

C ．()1,+∞

D ．(),1-∞ 【答案】B 【详解】 因为a 与b 的夹角为锐角， 所以()cos ,0,1a b ∈，

向量()2,1a =-，(),2b λ=， 所以()cos ,0,15a b

a b a b ⋅==⋅，

整理得22208160λλλ-+>⎧⎨++>⎩，14λλ<⎧⎨≠-⎩

， 所以λ的范围为()(),44,1-∞--.

8．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

【答案】D

【详解】

由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，

∴2B ππ<<． ∴ABC 是钝角三角形． 9．在直角三角形ABC 中，43AB AC M ==，，是斜边BC 的中点，则向量AM 在向量BC 方向上的投影是（ ） A ．1 B ．1- C ．7

10 D ．7

10-

【答案】C

【详解】

如图：

向量AM 在向量BC 方向上的投影是

2cos cos 2[2cos 1]AM AMH AM B AM B ∠==-

1

5

22AM CB ==,cos 4

5B =

2577

[2cos 1]22510AM B -=⨯=

10．（多选）如图，ABCD 中，1, 2, 3AB AD BAD π

==∠=，E 为CD 的中点，AE 与DB 交于F

，则

下列叙述中，一定正确的是（ ）

A ．BF 在A

B 方向上的投影为0

B ．1

2

33AF AB AD =+

C ．1AF AB ⋅=