浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(随机过程及其统计描述)

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浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(大数定律及中心极限定理)

第5章大数定律及中心极限定理一、选择题1．设随机变量序列相互独立且都服从参数为1的泊松分布，令，则随机变量序列一定（）。

A．满足切比雪夫大数定律B．不满足切比雪夫大数定律C．满足辛钦大数定律D．不满足辛钦大数定律【答案】A【解析】相互独立，其期望、方差都存在且，符合切比雪夫大数定律成立的三个条件，即①相互独立；②期望、方差都存在；③对任何，方差都小于一个共同常数。

因此满足切比雪夫大数定律。

由于不一定完全相同，因此不能确定是否同分布，（要求，此时同分布；不全相同，不同分布），故不能确定其是否一定满足辛钦大数定律。

2．设随机变量，，…，，…相互独立，且服从参数为的泊松分布，服从期望值为的指数分布，则随机变量序列，，…，，…一定满足（）。

A．切比雪夫大数定律B．伯努利大数定律C．辛钦大数定律D．中心极限定理【答案】A【解析】，…不是同分布，因此不能满足辛钦大数定律、伯努利大数定律和中心极限定理。

进一步分析，，因此对任何n=1，2，…，都有，即，…相互独立，期望、方差都存在且对所有，，符合切比雪夫大数定律成立的条件。

3．设随机变量序列X1，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞吋，依概率收敛其数学期望，只要{X n，n≥1}（）。

A．有相同的数学期望B．服从同一离散型分布C．服从同一泊松分布D．服从同一连续型分布【答案】C【解析】ABD三项，由辛钦大数定律可知，随机变量序列｛，≥1}必须是：“独立同分布且数学期望存在”，A项缺少同分布条件，BD两项虽然服从同一分布但不能保证期望存在。

4．设随机变量X1，…，X n，…相互独立，记Y n=X2n－X2n－1（n≥1），概括大数定律，当n→∞时,依概率收敛到零，只要{X n，n≥l}满足（）。

A．数学期望存在B．有相同的数学期望与方差C．服从同一离散型分布D．服从同一连续型分布【答案】B【解析】ACD三项，由于相互独立，所以相互独立，A项“缺少同分布”条件，CD两项“缺少数学期望存在”的条件，因此都不满足辛钦大数定律。

概率论与数理统计_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

概率论与数理统计_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.随机变量X~N(1,4)，则P(X>2)=【图片】.参考答案:正确2.在（0，1）区间独立随机地抽取100个数【图片】，则以下结果正确的是参考答案:近似服从N(5, 1/12)3.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则【图片】.参考答案:正确4.两个独立总体【图片】均未知，从中抽取容量分别为4和6的样本,【图片】为样本均值，【图片】为样本方差，若【图片】则【图片】，又查表知【图片】,则在显著水平为0.05下检验假设【图片】，以下结果正确的是参考答案:P_值＝0.6174，所以不拒绝原假设。

5.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，且X与Y相互独立，则a,b,c满足【图片】参考答案:b=2a=2c6.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则以下结果正确的是【图片】参考答案:X与Y不独立7.甲乙两人独立地在（0，1）区间内随机取一数，分别记为X,Y，则以下结果正确的是参考答案:X与Y相互独立8.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则P(X=1)=P(X=2).【图片】参考答案:错误9.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则P(Y=0)=P(Y=1)=2P(Y=2).【图片】参考答案:正确10.设进入某公众服务中心的顾客每人接受服务时间X（单位：分钟）服从参数为1/6（E(X)=6）的指数分布，随机观察100个人的服务时间，结果记为【图片】，设【图片】,假设每人的服务时间是相互独立的.利用切比雪夫不等式，可得【图片】的下界为16/25.参考答案:正确11.设X与Y相互独立，均服从参数为1的指数分布，则以下结果正确的是参考答案:E(X+Y)=212.设(X,Y)的联合概率密度为【图片】则X与Y不独立且不相关.参考答案:错误13.设X与Y相互独立，X服从参数为1/2的0-1分布，Y服从参数为3/4的0-1分布，则E(XY)=参考答案:3/814.设随机变量X~B(3, 0.4)，【图片】, 则P(Y=1)的值为参考答案:63/12515.随机选9个高血压患者，分别测量他们早上起床时的收缩压X(毫米汞柱)与服药后的收缩压Y(毫米汞柱)，得到9对数据【图片】则【图片】与【图片】是来自两个独立总体的样本。

概率论与数理统计(浙大) 习题答案第1章

第一章概率论的基本概念1. 写出下列随机试验的样本空间.(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分).解: }100 , ,1 ,0|{n i ni S ⋅⋅⋅==, 其中n 为小班人数. (2)同时掷三颗骰子, 记录三颗骰子点数之和;解: S ={3, 4, ⋅⋅⋅ , 18}.(3)生产产品直到得到10件正品为止, 记录生产产品的总件数;解: S ={10, 11, 12, ⋅⋅⋅ , n , ⋅⋅⋅ }.(4)对某工厂出厂的产品进行检查, 合格的记上“正品”, 不合格的记上“次品”, 如连续查出2个次品就停止检查, 或检查4个产品, 停止检查, 记录检查的结果.解: S ={00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110,1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111},其中0表示次品, 1表示正品.(5)在单位圆内任意取一点, 记录它的坐标;解: S ={(x , y )|x 2+y 2<1}.(6)将一尺之棰成三段, 观察各段的长度.解: S ={(x , y , z )|x >0, y >0, z >0, x +y +z =1}, 其中x , y , z 分别表示第一、二、三段的长度.2. 设A , B , C 为三事件, 用A , B , C 的运算关系表示下列各事件.(1)A 发生, B 与C 不发生;解: 表示为: A ⎺B ⎺C 或A -(AB +AC )或A -(B ⋃C ).(2)A , B 都发生, 而C 不发生;解: 表示为: AB ⎺C 或AB -ABC 或AB -C .(3)A , B , C 中至少有一个发生;解: 表示为: A +B +C .(4)A , B , C 都发生;解: 表示为: ABC(5)A , B , C 都不发生;解: 表示为: ⎺A ⎺B ⎺C 或S - (A +B +C)或C B A ⋃⋃(6)A , B , C 中不多于一个发生;解: 即A , B , C 中至少有两个同时不发生相当于⎺A ⎺B , ⎺B ⎺C ,⎺A ⎺C 中至少有一个发生.故表示为: ⎺A ⎺B +⎺B ⎺C +⎺A ⎺C .(7)A , B , C 中不多于二个发生;解: 相当于: ⎺A , ⎺B , ⎺C 中至少有一个发生.故表示为: ⎺A +⎺B +⎺C 或ABC .(8)A , B , C 中至少有二个发生.解: 相当于: AB , BC , AC 中至少有一个发生.故表示为: AB +BC +AC .3. 设A , B 是两事件且P (A )=0.6, P (B )=0.7. 问: (1)在什么条件下P (AB )取得最大值, 最大值是多少？(2)在什么条件下P (AB )取得最小值, 最小值是多少？解: (1)因为P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ⋃B ), 且P (A )<P (B )≤P (A ⋃B ), 所以当A ⊂B 时, P (A ⋃B )=P (B ), P (AB )取到最大值, 最大值为P (AB )=P (A )=0.6.(2)当A ⋃B =S 时, P (AB )取到最小值, 最小值为P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.4. 设A , B , C 是三事件, 且P (A )=P (B )=P (C )=1/4, P (AB )=P (BC )=0, P (AC )=1/8. 求A , B , C 至少有一个发生的概率. 解: P (A , B , C 至少有一个发生)=P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =(3/4)-(1/8)+0=5/8.5. 在一标准英语字典中有55个由两个不同的字母所组成的单词, 若从26个英文字母中任取两个字母予以排列, 问能排成上述单词的概率是多少？解: 记A 表“能排成上述单词”. 因为从26个任选两个来排列, 排法有226A 种. 每种排法等可能. 字典中的二个不同字母组成的单词: 55个, 所以1301155)(226==A A P .6. 在房间里有10人. 分别佩戴从1号到10号的纪念章, 任选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小的号码为5的概率;解: 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A . 因为10人中任选3人为一组: 选法有310C 种, 且每种选法等可能. 又事件A相当于: 有一人号码为5, 其余2人号码大于5. 这种组合的种数有251C ⨯. 所以1211)(31025=⨯=C C A P .(2)求最大的号码为5的概率.解: 记“三人中最大的号码为5”为事件B , 同上, 10人中任选3人, 选法有310C 种, 且每种选法等可能, 又事件B 相当于: 有一人号码为5, 其余2人号码小于5, 选法有241C ⨯种, 所以2011)(31024=⨯=C C B P . 7. 某油漆公司发出17桶油漆, 其中白漆10桶、黑漆4桶, 红漆3桶. 在搬运中所有标签脱落, 交货人随意将这些标签发给顾客, 问一个定货4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆顾客, 能按所订颜色如数得到定货的概率是多少？解: 记所求事件为A .在17桶中任取9桶的取法有310C 种, 且每种取法等可能. 取得4白3黑2红的取法有2334410C C C ⨯⨯, 故2431252)(6172334410=⨯⨯=C C C C A P .8. 在1500个产品中有400个次品, 1100个正品, 任意取200个.(1)求恰有90个次品的概率;解: 用A 表示取出的产品恰有90个次品. 在1500个产品中任取200个, 取法有2001500C 种, 每种取法等可能. 200个产品恰有90个次品, 取法有110110090400C C 种. 因此2001500110110090400)(C C C A P =. (2)至少有2个次品的概率.解: 用B 表示至少有2个次品. B 0表示不含有次品, B 1表示只含有一个次品. 同上, 200个产品不含次品, 取法有2001100C 种,200个产品含一个次品, 取法有19911001400C C 种. 因为⎺B =B 0+B 1且B 0, B 1互不相容, 所以P (B )=1-P (⎺B )=1-[P (B 0)+P (B 1)]20015002001100199110014001C C C C +-=.9. 从5双不同鞋子中任取4只, 这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？解: 样本空间所含的样本点数为410C , 用A 表示4只全中至少有2支配成一对, 则⎺A 表示4只全不配对. ⎺A 所包含的样本点数为4452⨯C (先从5双鞋中任取4双, 再从每双中任取一只). 因此2182)(410445=⋅=C C A P , 21132181)(1)(=-=-=A P A P .10. 在11张卡片上分别写上Probabitity 这11个字母, 从中任意连抽7张, 求其排列结果为Abitity 的概率.解: 所有可能的排列构成样本空间, 其中包含的样本点数为711P . 用A 表示正确的排列, 则A 包含的样本点数为411111*********=C C C C C C C , 则0000024.04)(711==P A P .11. 将3个球随机地放入4个杯子中去, 求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3.解: 记A i 表示杯中球的最大个数为i 个( i =1, 2, 3). 三只球放入四只杯中, 放法有43种, 每种放法等可能. 对A 1: 必须三球放入三杯中, 每杯只放一球. 放法4×3×2种. 故1664234)(31=⨯⨯=A P . 对A 2: 必须三球放入两杯, 一杯装一球, 一杯装两球. 放法有3423⨯⨯C 种. 故169434)(3232=⨯⨯=C A P . 对A 3: 必须三球都放入一杯中. 放法有4种.16144)(33==A P . 12. 将50只铆钉随机地取来用在10个部件, 其中有3个铆钉强度太弱, 每个部件用3只铆钉, 若将三个强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件强度就太弱, 问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解: 记A 表示10个部件中有一个部件强度太弱.把随机试验E 看作是用三个钉一组, 三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序. 但10组钉铆完10个部件要分先后次序)对E : 铆法有323344347350C C C C ⨯⨯⨯ 种, 每种装法等可能.对A : 三个次钉必须铆在一个部件上. 这种铆法数为10)(32334434733⨯⨯⨯C C C C ,故 00051.01960110][)(32334735032334434733==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C A P .13. 已知3.0)(=A P , P (B )=0.4, 5.0)(=B A P , 求)|(B A B P ⋃.解: 7.0)(1)(=-=A P A P , 6.0)(1)(=-=B P B P ,B A AB B B A AS A ⋃=⋃==)(. 注意Φ=))((B A AB . 故有 2.05.07.)()()(=-=-=B A P A P AB P .再由加法定理8.05.06.07.0)()()()(=-+=-+=⋃B A P B P A P B A P ,于是 25.08.02.0)()()()]([)|(==⋃=⋃⋃=⋃B A P AB P B A P B A B P B A B P .14. 已知41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 求P (A ⋃B ). 解: 根据条件概率)()|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P ==, 61213141)|()|()()(=⨯==B A P A B P A P B P . 根据乘法公式1214131)()|()(=⨯==A P A B P AB P . 根据加法公式311216141)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P .15. 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率(用两种方法).解法一: (在缩小的样本空间SB 中求P (A |B ), 即将事件B 作为样本空间, 求事件A 发生的概率).掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x , y )(x , y =1, 2, 3, 4, 5,6)并且满足x +y =7, 则样本空间为S ={(x , y )| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)},每种结果(x , y )等可能.A ={掷二骰子, 点数和为7时, 其中有一颗为1点}, 故 3162)(==A P . 解法二: 用公式)()()|(B P AB P B A P =. S ={(x , y )| x =1, 2, 3, 4, 5, 6; y =1, 2, 3, 4, 5, 6}, 每种结果均可能.A =“掷两颗骰子, x , y 中有一个为1点”,B =“掷两颗骰子, x +y =7”.则 6166)(2==B P , 262)(=AB P , 故 31626162)()()|(2====B P AB P B A P . 16. 据以往资料表明, 某3口之家, 患某种传染病的概率有以下规律:P {孩子得病}=0.6,P {母亲得病|孩子得病}=0.5,P {父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.解: 令A ={孩子得病}, B ={母亲得病}, C ={父亲得病}, 则 P (A )=0.6, P (B |A )=0.5, P (C |AB )=0.4,所以 P (⎺C|AB )=1-P (C |AB )=1-0.4=0.6.P (AB )=P (A )P (B |A )=0.6×0.5=0.3,所求概率为P (AB ⎺C )=P (AB )·P (⎺C|AB )=0.3×0.6=0.18.17. 已知在10只晶体管中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 作不放回抽样, 求下列事件的概率:(1)两只都是正品;(2)二只都是次品(记为事件B );(3)一只是正品, 一只是次品(记为事件C );(4)第二次取出的是次品(记为事件D );解: 设A i ={第i 次取出的是正品)(i =1, 2).(1)452897108)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (2)45191102)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (3))()()(21212121A A P A A P A A A A P +=⋃)|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=45169810292108=⨯+⨯=. (4))()(21212A A A A P A P +=519110292108)|()()|()(121121=⨯+⨯=+=A A P A P A A P A P .18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字, 因而他随机地拨号, (1)求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率; (2)若已知最后一个数字是奇数, 那么此概率是多少？解: 设A i ={第i 次拨号拨对}(i =1, 2, 3), A ={拨号不超过3次而拨通}, 则321211A A A A A A A ++=, 且三种情况互斥, 所以 )|()|()()|()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P A P ++=. 于是(1)103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P . (2)53314354415451)(=⨯⨯+⨯+=A P .19. (1)设甲袋中装有n 只白球, m 只红球, 乙袋中装有N 只白球, M 只红球, 今从甲袋中任取一只球放入乙袋中, 再从乙袋中任意取一只球, 问取到白球的概率是多少？解: 用A 1表示“从甲袋中取得白球放入乙袋”, A 2表示“从甲袋中取得红球放入乙袋”. 再记B 表“再从乙袋中取得白球”. 因为 B =A 1B +A 2B 且A 1, A 2互斥,所以 P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)111++⨯+++++⨯+=M N N m n m M N N m n n )1)(()(+++++=N M n m n N m n .19. (2)第一只盒子装有5只红球, 4只白球; 第二只盒子装有4只红球, 5只白球. 先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去, 然后从第二盒子中任取一只球, 求取到白球的概率. 解: 记C 1为“从第一盒子中取得2只红球”. C 2为“从第一盒子中取得2只白球”. C 3为“从第一盒子中取得1只红球, 1只白球”, D 为“从第二盒子中取得白球”, 显然C 1, C 2, C 3两两互斥, C 1⋃C 2⋃C 3=S , 由全概率公式, 有P (D )=P (C 1)P (D|C 1)+P (C 2)P (D|C 2)+P (C 3)P (D|C 3)995311611711529141529242925=⋅⋅+⋅+⋅=C C C C C C C .20. 某种产品的高标为“MAXAM”, 其中有2个字母已经脱落, 有人捡起随意放回, 求放回后仍为“MAXAM”的概率. 解: 设A 1, A 2, ⋅⋅⋅ , A 10分别表示字母MA , MX , MA , MM , AX , AA , AM , XA , XM , AM 脱落的事件, 则101)(=i A P (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 10), 用B 表示放回后仍为“MAXAM”的事件, 则21)|(=i A B P (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 10), 1)|()|(64==A B P A B P , 所以由全概公式得5311011101821101)|()()(101=⨯+⨯+⨯⨯==∑=i i i A B P A P B P .21. 已知男子有5%是色盲患者, 女子有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人, 恰好是色盲患者, 问此人是男性的概率是多少？解: A 1={男人}, A 2={女人}, B ={色盲}, 显然A 1⋃A 2=S , A 1 A 2=∅. 由已知条件知21)()(21==A P A P ,%5)|(1=A B P ,%25.0)|(2=A B P . 由贝叶斯公式, 有)|()()|()()|()()()()|(22111111A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P +== 2120100002521100521100521=⋅+⋅⋅=.22. 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为p , 若第一次及格则第二次及格的概率也为p ; 若第一次不及格则第二次及格的概率为2p . (1)若至少一次及格则他能取得某种资格, 求他取得该资格的概率. (2)若已知他第二次已经及格, 求他第一次及格的概率.解: A i ={他第i 次及格}(i =1, 2).已知P (A 1)=P (A 2|A 1)=p , 2/)|(12p A A P =.(1)B ={至少有一次及格}, 则21}{A A B ==两次均不及格,所以 )|()(1)(1)(1)(12121A A P A P A A P B P B P -=-=-=)]|(1)][(1[1121A A P A P ---=22123)21)(1(1p p p p -=---=. (2)由乘法公式, 有P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2| A 1)=p 2.由全概率公式, 有)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=222)1(2p p p p p p +=⋅-+⋅=. 于是 1222)|(2221+=+=p p p p p A A P .23. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去, 接收站收敛到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1, 若收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解: 设B 1, B 2分别表示发报台发出信号“A ”及“B ”, 又以A 1有A 2分别表示收报台收到信号“A ”及“B ”. 则有32)(1=B P , 31)(2=B P , P (A 1|B 1)=0.98, P (A 2|B 1)=0.08, P (A 1|B 2)=0.01, P (A 2|B 2)=0.91,从而由Beyes 公式得)|()()|()()|()()|(2121111111B A P B P B A P B P B A P B P A B P i += 19719601.03198.03298.032=⨯+⨯⨯=.24. 有两箱同种类的零件, 第一箱装50只, 其中10只一等品; 第二箱装30只, 其中18只一等品, 今从两箱中任挑出一箱, 然后从该箱中取零件两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率; (2)第一次取到的零件是一等品的条件下, 第二次取到的也是一等品的概率. 解: (1)记A i ={在第i 次中取到一等品}(i =1, 2), B ={挑到第i 箱}. 则有4.03018215121)|()()|()()(2121111=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P . (2))|()()|()()(2212121121B A A P B P B A A P B P A A P +=19423.030182129175121499=⨯⨯+⨯⨯=, 4856.04.019423.0)()()|(12112===A P A A P A A P .25. 某人下午5:00下班, 他所积累的资料表明: 到家时间 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 5:54之后的, 试求他是乘地铁回家的概率.解: 设A ={乘地铁}, B ={乘汽车}, C ={在5:47到家}, 由题意, AB =∅, A ⋃B =S .已知P (A )=0.5, P (C|A )=0.45, P (C|B )=0.2, P (B )=0.5, 由贝叶斯公式有)()|()()|()()|()()()|()|(B P B C P A P A C P A P A C P C P A P A C P C A P +== 6923.05.02.05.045.05.045.0=⨯+⨯⨯=.26. (1)设有4个独立工作的元件1, 2, 3, 4. 它们的可靠性分别为p 1, p 2, p 3, p 4, 将它们按图1-3的方式联接, 求系统的可靠性.解: 记A i 表示第i正常.因为A =A 1A 2A 3+A 1A 4两种情况不互斥, 所以P (A )=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 4)-P (A 1A 2A 3 A 4) (加法公式) =P (A 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (A 4)-P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4) =p 1p 2p 3+p 1p 4-p 1p 2p 3p 4 (A 1, A 2, A 3, A 4独立).26. (2)设有5独立工作的元件1, 2, 3, 4, 5, 它们的可靠性均为p , 将它们按图1-4的方式联接, 求系统的可靠性. 解: 记A i 表示第i 个元件正常工作(i =1, 2, 3, 4, 5), B 表示系统正常, 则)()(2345453121A A A A A A A A A A P B P ⋃⋃⋃=)()()()(2345453121A A A P A A P A A A P A A P +++= )()()(432154215321A A A A P A A A A P A A A A P ---)()()(5432543215431A A A A P A A A A A P A A A A P --- )()(45432154321A A A A A P A A A A A P -+24222522p p p p +-+=.27. 如果一危险情况C 发生时, 一电路闭合并发出警报, 我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性. 在C 发生时这些开关每一个都应闭合, 且至少一个开关闭合了, 警报就发出, 如果两个这样开关并联接, 它们每个具有0.95的可靠性(即在情况C 发生时闭合的概率). (1)这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少？(2)如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统, 则至少需要用多少只开关并联？这里各开关闭合与否都是相互独立的.解: (1)设A i 表示第i 个开关闭合, A 表示电路闭合, 于是A =A 1⋃A 2. 由题意当两个开关并联时P (A )=0. 96. 再由A 1, A 2的独立性得P (A )=P (A 1⋃A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1)P (A 2)=2⨯0.96-(0.96)2=0.9984.(2)设至少需要n 个开关闭合, 则∏==≥-=--=⋃=ni i i n i A P A P A P 1419999.004.01)](1[1)()(, 即 0.04n ≤0.00001,所以 58.304.0lg 00001.0lg =≥n , 故至少需要4只开关联.28. 三个独立地去破译份密码, 已知各人能译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4, 问三个中至少有一个能将此密码译出的概率是多少？解: 设A , B , C 分别表示{第一、二、三人独立译出密码}, D 表示{密码被译出}, 则)(1)()(C B A P C B A P D P ⋃⋃-=⋃⋃=)()()(1)(1C P B P A P C B A P -=⋂⋂-=534332541=⨯⨯-=.29. 设第一个盒子装有3只蓝球, 2只绿球, 2只白球；第二个盒子装有2只蓝球, 3只绿球, 4只白球. 独立地分别在两只盒子中各取一只球.(1)求至少有一只蓝球的概率;(2)求有一只蓝球一只白球的概率;(3)已知至少有一只蓝球, 求有一只蓝球一只白球的概率. 解: 记A 1, A 2, A 3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球, 一只绿球, 一只白球, B 1, B 2, B 3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球, 一只绿球, 一只白球. 则A i 与B i 独立(i =1, 2, 3).(1)所求概率为9592739273)()()()(111111=⨯-+=-+=⋃B A P B P A P B A P . (2)所求概率为)()()()()(13311331B P A P B P A P B A B A P +=⋃631692729473=⨯+⨯=. (3)所求概率为P (A 1B 3⋃A 3B 1| A 1⋃B 1)=P (A 1B 3| A 1⋃B 1)+P (A 3B 1| A 1⋃B 1))())(()())((111113111131B A P B A B A P B A P B A B A P ⋃⋃+⋃⋃= )())()())(11131311131131B A P B A B A A P B A P B B A B A P ⋃⋃+⋃⋃= 35169/563/16)()()(111331==⋃+=B A P B A P B A P .30. A , B , C 三人在同一办公室工作, 房间有三部电话, 据统计知, 打给A , B , C 的电话的概率分别为2/5, 2/5, 1/5. 他们三人常因工作外出, A , B , C 三人外出的概率分别为1/2, 1/4, 1/4, 设三人的行动相互独立, 求:(1)无人接电话的概率;(2)被呼叫人在办公室的概率;若某一时间段打进3个电话, 求:(3)这3个电话打给同一人的概率;(4)这3个电话打给不同人的概率;(5)这3个电话都打给B , 而B 却都不在的概率. 解: 设A 1, B 1, C 1分别表示A , B , C 三个人外出的事件, A , B , C 分别表示打给三个人的电话的事件.(1)P (无人接电话)=P (A 1B 1C 1)=P (A 1)P (B 1)P (C 1)321414121=⨯⨯=. (2)用D 表示被呼叫人在办公室的事件, 则C C B B A AD 111++=,)()(111C C B B A A P D P ++=)()(()()()(111C P C P BP P B P A P A P ++=2013514352435221=⨯+⨯+⨯=.(3)用E 表示3个电话打给同一个人的事件, E 1, E 2, E 3分别表示3个电话是打给A , B , C , 则E =E 1+E 2+E 3,)()()()(321E P E P E P E P ++=12517)51()52()52(333=++=.(4)用F 表示3个电话打给不同的人的事件, 则F 由六种互斥情况组成, 每种情况为打给A , B , C 的三个电话, 每种情况的概率为1254515252=⨯⨯, 于是 1252412546)(=⨯=F P . (5)由于是知道每次打电话都给B , 其概率是1, 所以每一次打给B 电话而B 不在的概率为41, 且各次情况相互独立, 于是 P (3个电话都打给B , B 都不在的概率)641)41(3==.31. 袋中装有m 只正品硬币, n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽). 在袋中任取一只, 将它投掷r 次, 已知每次都得到国徽. 问这只硬币是正品的概率为多少？解: 用A 表示出现r 次国徽的事件, B 表示任取一只是正品的事件, 则r r nm n n m m B A P B P B A P B P A P 1)21()|()()|()()(⨯+++=+=,)()|()()|(A P B A P B P A B P =r n m m2⋅+=.32. 设一枚深炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3, 击伤的概率为1/2, 击不中的概率为1/6, 并设击伤两次也会导致潜水艇下沉, 求施放4枚深炸能击沉潜水艇的概率.解: 用A 表示施放4枚深炸击沉潜水艇的事件, 则433446131]21)61()61[(1)(1)(-=⨯+-=-=C A P A P .33. 设根据以往记录的数据分析, 某船只运输某种物品损坏的情况共有三种: 损坏2%(这一事件记为A 1), 损坏10%(事件A 2), 损坏90%(事件A 3), 且知P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.15, P (A 3)=0.05, 现在从已被运输的物品中随机地取3件, 发现这3件都是好的(这一事件记为B ), 试分别求P (A 1|B ), P (A 2|B ), P (A 3|B )(这里设物品件数很多, 取出一件后不影响后一件是否是好品的概率). 解: 因为B 表取得三件好物品.B =A 1B +A 2B +A 3B , 且三种情况互斥,由全概率公式, 有P (B )=P (A 1)P (B|A 1)+P (A 2)P (B|A 2)+P (A 3)P (B|A 3) =0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624,8731.08624.0)98.0(8.0)()|()()()()|(31111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P , 1268.08624.0)9.0(15.0)()|()()()()|(32222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P , 0001.08624.0)1.0(05.0)()|()()()()|(33333=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .34. 将A , B , C 三个字母一一输入信道, 输出为原字母的概率为α, 而输出为其它一字母的概率都是(1-α)/2. 今将字母串AAAA , BBBB , CCCC 之一输入信道, 输入AAAA , BBBB , CCCC 的概率分别为p 1, p 2, p 3 (p 1+p 2+p 3=1), 已知输出为ABCA , 问输入的是AAAA 的概率是多少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的. )解: 用A , B , C 分别表示输入信号为AAAA , BBBB , CCCC ,用H 表示输出信号为ABCA . 由于每个字母的输出是相互独立的, 于是有4)1(]2/)1[()|(2222αααα-=-=A H P , 8)1(]2/)1[()|(33αααα-=-=B H P , 8)1(]2/)1[()|(33αααα-=-=C H P . 又P (A )=p 1, P (B )=p 2, P (C )=p 3, 由贝叶斯公式得)()|()()|()()|()()|()|(C P C H P B P B H P A P A H P A P A H P H A P ++= 33231221228)1(8)1(4)1(4)1(p p p p ⋅-+⋅-+⋅-⋅-=αααααααα ))(1(223211p p p p +-+=ααα.。

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(概率论的基本概念)

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第 1 章概率论的基本概念
一、选择题
1．在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三
次。设事件 A＝“考核合格”，B＝“最多中靶一次”，C＝“射击三次”，已知学员中靶
率为 p（0＜P＜1），则（）。
A．
B．
C．
D．【答案】D 【解析】设表示第 i 次取到白球，式可得
。
。则
。由乘法公故
4．现有一批电子元件，系统初始由一个元件工作，当其损坏时，立即更换一个新元件
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接替工作。如果用表示第个元件的工作寿命，那么事件 A＝“到时刻 T 为止，系统仅更
，
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所以选择（B）。我们容易验证其余三个选项不已知条件是等价的，事实上，（A） P（A－B）＝P（A）－P（AB）＝0 P（AB）＝P（A）。（C） P（AB）＝P（A） P（B|A）＝1。（D） P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝P（B） P（A）＝P（AB）。
，则（）。
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D．
【答案】B
【解析】A 项，应用概率运算性质知，
≤
。B
项，
≥ －。C 项，，它可能成立也可能丌成立，例如 AB＝，
＞0，＞0，则
＝0＜
；如果
，则
＝≥
。
D 项，
＝
≤。
3．袋中有 2 个白球和 1 个红球，现从袋中仸取一球且丌放回，并再放入一个白球，这样一直迚行下去，则第 n 次取到白球的概率为（）。

数学类考研浙大《概率论与数理统计》考研真题与笔记

数学类考研浙江大学《概率论与数理统计》考研真题与复习笔记第一部分考研真题精选一、选择题1设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为（）。

[数一2020研]A．3/4B．2/3C．1/2D．5/12【答案】D查看答案【解析】只发生A事件的概率：只发生B事件的概率：只发生C事件的概率：A，B，C中恰有一个事件发生的概率：故选择D 项。

2设A ，B 为随机事件，则P （A ）＝P （B ）的充分必要条件是（）。

[数一2019研]A ．P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ） B ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）C ．P （A B ＿）＝P （B A ＿） D ．【答案】C 查看答案【解析】选项A 只能说明事件A 与事件B 不相容，选项B 只能说明事件A与事件B 相互独立，并不能说明P （A ）＝P （B ），对选项D 来说，若令B ＝A ＿，等式恒成立，亦不能说明P （A ）＝P （B ），故选C 。

3若A ，B 为任意两个随机事件，则（）。

[数一、数三2015研] A ．P （AB ）≤P （A ）P （B ） B ．P （AB ）≥P （A ）P （B ）C ．P （AB ）≤（P （A ）＋P （B ））/2D ．P （AB ）≥（P （A ）＋P （B ））/2【答案】C 查看答案【解析】由于AB ⊂A ，AB ⊂B ，按概率的基本性质，有P （AB ）≤P （A ）且P （AB ）≤P （B ），从而P （AB ）≤（P （A ）＋P （B ））/2，故选C 项。

4设事件A ，B 相互独立，P （B ）＝0.5，P （A －B ）＝0.3则P （B －A ）＝（）。

[数一、数三2014研]B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B查看答案【解析】P（A－B）＝0.3＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）－0.5P（A）＝0.5P（A），故P（A）＝0.6，P（B－A）＝P（B）－P （AB）＝0.5－0.5P（A）＝0.2。

浙江大学概率论与数理统计课后习题以及详解答案

浙江⼤学概率论与数理统计课后习题以及详解答案浙⼤第四版（⾼等教育出版社）第⼀章概率论的基本概念1.[⼀] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录⼀个⼩班⼀次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[⼀] 1）=n n nn o S 1001, ，n 表⼩班⼈数（3）⽣产产品直到得到10件正品，记录⽣产产品的总件数。

（[⼀] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某⼯⼚出⼚的产品进⾏检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出⼆个次品就停⽌检查，或检查4个产品就停⽌检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停⽌检查，或查满4次才停⽌检查。

（[⼀] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[⼆] 设A ，B ，C 为三事件，⽤A ，B ，C 的运算关系表⽰下列事件。

（1）A 发⽣，B 与C 不发⽣。

表⽰为：CB A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A，B都发⽣，⽽C不发⽣。

表⽰为：CAB或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中⾄少有⼀个发⽣表⽰为：A+B+C（4）A，B，C都发⽣，表⽰为：ABC（5）A，B，C都不发⽣，表⽰为：CA或S－B(A+B+C)或CA?B（6）A，B，C中不多于⼀个发⽣，即A，B，C中⾄少有两个同时不发⽣相当于CA,,中⾄少有⼀个发⽣。

故表⽰为：BBACA++。

BBCAC（7）A，B，C中不多于⼆个发⽣。

相当于：CB,中⾄少有⼀个发⽣。

故表⽰为：ABCA,+A或+BC （8）A，B，C中⾄少有⼆个发⽣。

相当于：AB，BC，AC中⾄少有⼀个发⽣。

故表⽰为：AB+BC+AC6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最⼤值，最⼤值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最⼩值，最⼩值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1⽭盾）.从⽽由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最⼤值，最⼤值为P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最⼩值，最⼩值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【课后习题】第1章~第3章【圣才出品】

第二部分课后习题第1章概率论的基本概念1．写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验的样本空间为（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为或写成（3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为（4）取一直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生．解：以下分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为发生．（1）A发生，B与C不发生，表示A，，同时发生，故或写成；（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，同时发生，故或写成；（3）①方法1由和事件的含义知，事件即表示A，B，C中至少有一个发生，故；②方法2事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此，；③方法3事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，又可写成（4）；（5）；（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生，因此，；又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即，，中至少有一个发生，因此又有；又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立事件．而事件G可写成，因此又可将写成（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生或A，B，C中恰有两个发生．因此又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即中至少有一个发生，即有；又“A，B，C中不多于两个发生”是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，因此又有；（8），也可写成．3．（1）设A，B，C是三个事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝，求A，B，C至少有一个发生的概率．（2）已知P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，P（BC）＝，P（ABC）＝，求，，，，，的概率．（3）已知P（A）＝，（i）若A，B互不相容，求；（ii）若P（AB）＝，求．解：（1）由，已知，故，得，所求概率为．（2）记，由加法公式（3）（i）；（ii）．4．设A、B是两个事件（1）已知，验证A＝B；（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）＋P（B）－2P（AB）．解：（1）假设，故有，则,即AS＝SB，故有A＝B．（2）A，B恰好有一个发生的事件为，其概率为5．10片药片中有5片是安慰剂（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率．解：（1）p＝1－P（取到的5片药片均不是安慰剂）－P（取到的5片药片中只有1片是安慰剂），即p（2）．6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率．解：在房间里任选3人，记录其佩戴的纪念章的号码，10人中任选3人共有＝种选法，此即为样本点的总数．以A记事件“最小的号码为5”，以B记事件“最大的号码为5”．（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5，它们可从6～10这5个数中选取，故，从而；（2）同理，，故．7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶给顾客．以A表示事件“顾客取到4桶白漆、。

浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)配套模拟试题及详解【圣才出品】

第四部分模拟试题浙江大学《概率论与数理统计》（第4版）配套模拟试题及详解（一）一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

）1．设A、B、C为事件，Ρ（ABC）＞0，则Ρ（AB|C）＝Ρ（A|C）Ρ（B|C）充要条件是（）。

也可以通过计算来确定选项。

事实上，ABC三项分别是A与C、B与C、AB与C独立的充要条件。

2．设随机变量和相互独立且均服从下列分布：，，则下列随机变量中服从二项分布的是（）。

A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，的可能取值为－2，0，2，故的可能取值为0，1，2，且，。

3．设随机变量X l,X2,X3,X4均服从分布B（1，），则（）。

A．X1＋X2与X3＋X4同分布B．X1－X2与X3－X4同分布C．（X1，X2）与（X3，X4）同分布D．同分布【答案】D【解析】显然同服从分布。

A、B、C三项均不正确，可以举反例如下：设表1，表2显然均服从但（X，X2）与（X3，X4）不同分布。

而即X1＋X2与X3＋X4不同分布。

，即X1－X2与X3－X4不同分布。

4．设相互独立的两随机变量X和Y，其中而Y具有概率密度，则P{X＋Y}的值为（）。

A．B．C．D．【答案】A【解析】X取值只能为X＝0或X＝1，将X＝0和X＝1看成完备事件组，用全概率公式得，5．假设随机变量X与Y的相关系数为，则=1的充要条件是（）。

A．Y=aX＋b（a>0）B．cov（X，Y）=1，DX=DY=1C．cov（X，Y）=，D．D（X＋Y）=（＋）【答案】D【解析】显然A、B、C三项是=1的充分条件但不是必要条件，因此选D项。

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【考研真题】(随机变量的数字特征)

第4章随机变量的数字特征一、选择题1．设随机变量不相关，且，则（）．[数一2015研]A．－3B．3C．－5D．5【答案】D【解析】随机变量不相关，因此．进而得故选D项．2．设总体，，，…，为来自该总体的简单随机样本，为样本均值，则（）．[数三2015研]A．B．C．D．【答案】B【解析】根据样本方差的性质，有从而故选B项．3．设连续型随机变量相互独立，且方差均存在，的概率密度分别为，随机变量的概率密度为，随机变量，则（）．[数一2014研]A．B．C．D．【答案】D【解析】4．将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）．[数一2012研]A．1B．C．－D．－1【答案】D【解析】假设木棒两段长度分别为x，y，有x＋y＝1即y＝1－x，故x，y是线性关系，且相关系数为－l．5．设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在．记U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}，则E（UV）等于（）．[数一2011研]A．EU·E VB．EX·E YC．EU·E YD．EX·EV【答案】B【解析】UV＝max{X，Y}min{X，Y），而无论X与Y的关系如何，UV＝XY．从而二、填空题1．设随机变量X服从标准正态分布X～N（0,1），则＝______．[数一、数三2013研]【答案】【解析】由X～N（0,1）及随机变量函数的期望公式知2．设二维随机变量（X，Y）服从正态分布，则＝______．[数一、数三2011研]【答案】【解析】由题设知，（X，Y）～，从而X，Y的相关系数为0，所以，由二元正态分布的性质知X，Y独立，所以3．设随机变量X的概率分布为P（X＝k）＝（k＝0，1，2，…），则＝_______．[数一2010研]【答案】2【解析】，所以X服从参数为1的泊松分布，于是，故4.设，，，为来自总体的简单随机样本，统计量，则＝_____．[数三2010研]【答案】【解析】三、解答题1．设随机变量X的分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布。

浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案第一章

1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。

所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。

（2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。

即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。

（3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。

即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。

2、解（4）（1）ABBC AC 或ABC ABC ABC ABC ；（5）（2）ABBC AC （6）（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）；（7）（3）ABC ABC ABC ；（8）（4）AB C 或ABC ；（9）（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）；3（1）错。

依题得,但，故A 、B 可能相容。

（2）错。

举反例（3）错。

举反例（4）对。

证明：由,知,即A 和B 交非空，故A 和B 一()()()()0=-+=B A p B p A p AB p 空集≠B A ()6.0=A p ()7.0=B p ()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p定相容。

4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+(2) A B ，都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-= ；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：AB ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P A B P B == ；5解：由题知,. 因得，故A,B,C 都不发生的概率为.6、解设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则（1）88()0.641010P A =⨯=； ()3.0=BC AC AB p ()05.0=ABC P ()()()()()ABC p BC p AC p AB p BC AC AB p 2-++= ()()()()4.023.0=+=++ABC p BC p AC p AB p ()()C B A p C B A p -=1()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1()05.04.02.11+--=15.0=（2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）；（3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C == 若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）118221016()45C C P B C ==；（3）111187282104()5A A A A P C A +==。

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(随机变量及其分布)

第2章随机变量及其分布一、选择题1．设随机变量，且满足，则满足（）。

A．B．C．D．【答案】B【解析一】由。

又，从而有，可知。

而，故。

【解析二】由。

又，，当时，则有，从而。

2．设随机变量X服从参数为的指数分布，事件，则下列结论一定正确的是（）。

A．A，B，C相互独立B．A，B，D相互独立C．B，C，D相互独立D．A，B，C，D两两独立【答案】B【解析】X服从参数为的指数分布，得，概率为0或1的事件与任何事件都是相互独立的。

又且与均大于零，因此，即B与C不独立，因此答案选B。

3．设随机变量和相互独立且都服从参数为的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2的指数分布的是（）。

A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，服从参数为的指数分布，，其分布函数为。

A项，B项，C项，D项，即服从参数为的指数分布。

4．设，为随机变量，，，则（）。

A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，，于是。

5．对任意正整数，随机变量都满足，记的是（）。

，则下列结论中一定不正确．．．A．B．C．D．【答案】D【解析】离散型随机变量中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足题设条件。

若服从几何分布，则P=P{X＜1}=0，若服从指数分布，则P=P{X＜1}=1－e－λ，且0＜P＜1，因此P不可能是1，即P=1一定不成立。

6．设随机变量独立同分布，其分布函数为，则随机变量的分布函数为（）。

A．B．C．D．【答案】B【解析】7．假设随机变量X的密度函数f（x）是偶函数，其分布函数为F（x），则（）。

A．F（x）是偶函数B．F（x）是奇函数C．F（x）＋F（－x）=1D．2F（x）－F（－x）=1【答案】C【解析】AB两项，由于F（x）是单调不减的非负函数，所以不成立。

CD两项，已知f（x）是偶函数，因此有，则=1。

1。

8．假设随机变量X的分布函数为F（x），概率密度函数f（x）=af1（x）＋bf2（x），其中f1（x）是正态分布N（0，σ2）的密度函数，f2（x）是参数为的指数分布的密度函数，已知，则（）。

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【课后习题】(样本及抽样分布)

第6章样本及抽样分布1．在总体中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率．解：由已知得，，，则，从而2．在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本．（1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率；（2）求概率．解：（1）由已知得，从而（2）记，因的分布函数为，则M的分布函数为因而记，则N的分布函数为故3．求总体N（20，3）的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率．解：将总体N（20，3）的容量分别为10，15的两独立样本的均值分别记作，则，从而，即．故所求概率为4．（1）设样本来自总体N（0，1），，试确常数C使CY服从分布．（2）设样本来自总体N（0，1），，试确定常数C 使Y服从t分布．（3）已知X～t（n），求证．解：（1）因是总体N（0，1）的样本，故且两者是相互独立，因此又两者相互独立，按分布的定义即，因此所求常数．（2）因是总体N（0，1）的样本，故，即有又与相互独立，于是因此所求的常数．（3）由已知得X～t（n），故X可表示成，其中，，则，．又Z，Y相互独立，知Z2与Y相互独立，按F分布的定义得5．（1）已知某种能力测试的得分服从正态分布，随机取10个人参与这一测试．求他们得分的联合概率密度，并求这10个人得分的平均值小于的概率．（2）在（1）中设，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖的概率．解：（1）10个人的得分分别记为，它们的联合概率密度为（2）若一人得奖的概率为p，则得奖人数Y～b（10，P），此处p是随机选取一人，其考分X在70分以上的概率．因X～N（62，25），故则至少一人得奖的概率为．6．设总体X～b（1，p），是来自X的样本．（1）求的分布律；（2）求的分布律；（3）求．解：（1）因相互独立，且有，即具有分布律因此的分布律为（2）因相互独立，且有，故，其分布律为（3）由于总体，则，，故有7．设总体，是来自X的样本，求, , ．解：由已知得，因是来自X的样本,故，，8．设总体是来自X的样本．（1）写出的联合概率密度．（2）写出的概率密度．解：（1）由已知得的概率密度为，故的联合概率密度为（2），故的概率密度为9．设在总体中抽得一容量为16的样本，这里均未知；（1）求，其中为样本方差；（2）求．解：（1）因为，现在n＝16，即有，故有查分布表得，从而知p＝1－0.01＝0.99（2）由，得，即。

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【考研真题】(随机变量及其分布)

第2章随机变量及其分布一、选择题1．设是随机变量，且，，，，则（）．[数一、数三2013研] A．B．C．D．【答案】A【解析】由，，，知，．2．设（x），（x）为两个分布函数，其相应的概率密度（x），（x）是连续函数，则必为概率密度的是（）．[数一、数三2011研]A．（x）（x）．B．2（x）（x）．C．（x）（x）．D．（x）（x）＋（x）（x）．【答案】D【解析】对D项，从而易知，四个选项均满足大于等于零的条件，从而D项满足连续分布概率密度的条件，为概率密度（其他选项均无法验证满足实数轴上积分为l的条件）．3．设随机变量X的分布函数为，则P｛X＝1｝＝（）．[数一，数三2010研]A．0．B．．C．．D．．【答案】C【解析】．4．设是标准正态分布的概率密度函数，是[－1，3]上均匀分布的概率密度，且（a>0，b>0）为概率密度，则a，b应满足（）．[数一数三2010研]A．2a＋3b＝4．B．3a＋2b＝4．C．a＋b＝1．D．a＋b＝2．【答案】A【解析】由，得．即2a＋3b＝4．二、解答题1．设随机变量的概率密度为，对进行独立重复的观测，直到2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数，（Ⅰ）求的概率分布；（Ⅱ）求．[数一、数三2015研]解：（Ⅰ）记为观测值大于3的概率，则从而（Ⅱ）由已知得记，，则从而2．设随机变量X的分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布．（I）求Y的分布函数．（II）求EY．[数一数三2014研]解：（I）分布函数当时，；当时，；当时，；当时，，故分布函数为（II）,得3．设随机变量X的概率密度为令随机变量（1）求Y的分布函数；（2）求概率。

[数一2013研]解：（1）先求常数的取值：，从而设随机变量Y的分布函数为，则当时，；当时，；当时，；故随机变量Y的分布函数为。

（2）；；；故．。

浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)教材的配套题库(第12章随机过程及其统计描述)【圣才出品】

第12章随机过程及其统计描述1．利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程cos ,,()2,,t H X t t t T π⎧=-∞<<+∞⎨⎩出现出现假设P （H ）＝P （T ）＝1/2，试确定X （t ）的（1）一维分布函数F （x ；1/2），F （x ；1）；（2）二维分布函数F （x 1，x 2；1/2，1）。

解：（1）由X （t ）的定义0,121,HX T⎧⎛⎫=⎨⎪⎝⎭⎩出现出现这一离散型随机变量的分布律为表12-1其分布函数为同理()1,12,H X T-⎧=⎨⎩出现出现其分布律为表12-2分布函数为0,11(;1),1221,2xF x xx<-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩（2）当t1＝1/2，t2＝1时，（X（1/2），X（1））是一个二维离散型随机变量，且当硬币出现H时，它的取值为（0，－1）；当硬币出现T时，它的取值为（1，2），由于硬币出现H，出现T的概率均为1/2，因此X（1/2）与X（1）的联合分布律为表12-3图12-1（X（1/2），X（1））的分布函数为F（x1，x2；1/2，1）＝p{X（1/2）≤x1，X（1）≤x2}由图12-1知当x1＜0，－∞＜x2＜＋∞时，F（x1，x2；1/2，1）＝0；当x 1≥0，x 2＜－1时，F （x 1，x 2；1/2，1）＝0；当0≤x 1＜1，x 2≥－1时，F （x 1，x 2；1/2，1）＝p{（X （1/2），X （1））＝（0，－1）}＝1/2；当x 1≥1，－1≤x 2＜2时，F （x 1，x 2；1/2，1）＝p{（X （1/2），X （1））＝（0，－1）}＝1/2；当x 1≥1，x 2≥2时，F （x 1，x 2；1/2，1）＝p{（X （1/2），X （1））＝（0，－1）}＝1。

所以分布函数为12121212121200,00,111/201,1(,;,1)=21,121/211,2x x x x x x F x x x x x x <-∞<<∞⎧⎪≥<-⎪⎪≤<≥-⎨⎪≥-≤<⎪≥≥⎪⎩2．给定随机过程{X （t ），t ∈T}，x 是任一实数，定义另一个随机过程1,(),()0,(),X t x Y t t TX t x ≤⎧=∈⎨>⎩试将Y （t ）的均值函数和自相关函数用随机过程X （t ）的一维和二维分布函数来表示。

浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)教材的配套题库(考研真题三、解答题)【圣才出品】

2
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从而 EY＝（1/8）2S1（7/8）＝16。
f
x
1
a
x2,0
x
3
3．设随机变量 X 的概率密度为
0, 其他
，令随机变量
2, x 1 Y x,1 x 2
1, x 2
（1）求 Y 的分布函数；
y
P Y
y
P Y
1
P 1 Y
y
3
2
x2 9
dx
y
1
x 9
dx
2 3
y 27
2
0, y 1
F
y
2
3
y3 27
,1
y
2
故随机变量 Y 的分布函数为
1, y 2
（2）P{X≤Y}＝P{X≤Y，Y＝1}＋P{X≤Y，Y＝2}＋P{X≤Y，1＜Y＜2}
P{X≤Y，Y＝1}＝P{X≤Y，X≥2}＝0
若
x≤y，则
P{X1
x,
X1
y,
X3
1}
1 2
P{X1
x}
1 2
(x)
；
若
x＞y，则
P{X1
x,
X1
y,
X3
1}
1 2
P{X1
y}
1 2
( y)
；
故
F
(x,
y)
1 2 1 2
(x)( y) (x
x), y),
x y x y
（2）
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PX

概率论与数理统计（浙江大学出版社）各章练习题

概率论与数理统计（浙江大学出版社）各章练习题第一、二章一、填空题1.设事件A ，B 相互独立且互不相容，则min （P （A ）,P （B ））=___________。

2.设随机变量X 在区间[1,3]上服从均匀分布，则P （1.5<x< bdsfid="65" p=""></x<>3.从0，1，2，3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为___________。

4．袋中有50个球，其中20个黄球、30个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为_____________.5.一批产品，由甲厂生产的占45% ，其次品率为5%，由乙厂生产的占 55%，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________。

6.设随机变量X~N （2，4），则P{07. 设3.0)(,7.0)(=-=B A P A P ,则P(____AB )=______。

8.设X 的分布律为N k Na k X P ,,2,1,}{ ===，则=a9.已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容，则=)(B P ；若B A 、相互独立，则=)(B P10.已知====)|(,5.0)(,4.0)(,7.0)(B A P B A P B P A P 则11.设生男生女是等可能的，某一个家庭有两个小孩，已知其中一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为12. 设随机变量3.0}42{,2~2=<<="">=+++K Kx x 有实根的概率为16.设}{}{),3,1(~2c X P c X P N X ≤=>-，则=c二、选择题1.设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误的是（） A.P （A ）=1-P （B ） B.P （AB ）=P （A ）P （B ）C. P （AB ）=0 D.P （A ∪B ）=1 2．对一批次品率为p(0<p<=""></pA ．pB ．1-pC ．(1-p)pD ．(2-p)p3.设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）互不相容与、B A A 相容与、B A B)()()(B P A P AB P C =、 )()(A P B A P D =-、4.设A ，B 为两个互不相容的随机事件,P （A ）=0.3, P （B ）=0.6,则P （A ｜B ）=（）A. 0.18B.0C. 0.5D.15.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.1046.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布7.设事件B A 与的概率均大于零，且B A 与为对立事件，则有（）相互独立与、B A A 互不相容与、B A B相互独立与、B A C 相互独立与、B A D8.设B A ,为任意两个事件，则下列结论肯定正确的是（）A. A B B A =-)(B.A B B A =- )(C.A B B A ?- )(D.A B B A ?-)( 9.设10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则在前3个购买者中恰有一人中奖的概率为( )A.3.07.02310??C B. 0.3 C. 7/40 D. 21/4010. 随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，随着σ的增大，概率{}σμ<-X P 满足( ) (A)单调增大（B ）单调减少（C ）保持不变（D ）增减不定 11. 设)1,1(~N X ,密度函数为)(x f ，则有( )(A)}0{}0{>=≤X P X P （B ）)()(x f x f -= （C ）}1{}1{>=≤X P X P （D ）)(1)(x F x F --=12. 9.设x x f sin )(=，要使)(x f 为某个随机变量X 的概率密度，则X 的可能取值区间为( ) (A)]23,[ππ (B)]2,23[ππ (C) ],0[π (D)]21,0[π13. 下列函数中可以作随机变量的是( )（A ）()()241010x x x p x ?-≤其他，（B ）()()221110x x x p x ?-≤其他，（C ）(),xp x e x -=-∞<<+∞ （D ）(),xp x ex -=-∞<<+∞。

浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)教材的配套题库(考研真题二、填空题)【圣才出品】

P AC | AB
C P AC (AB C)
P( AB C)
P( AC)
P( AB) P(C) P( ABC)
P( A)P(C)
P( A)P(B) P(C) P( ABC)
1 4
代入 P（A）、P（B），可得
1
1 P(C) 2 1 P(C)
0
1 4
P(C)
1 4
22
2．设 A，B，C 是随机事件，A 与 C 互不相容，P（AB）＝1/2，P（C）＝1/3，则 P（AB|

f
x,
2x
3
2
,
x
2
9．设总体 X 的概率密度为
0, 其他
，其中 θ 是未知参数， X1，X2，…，
n
Xn
c
是来自总体的简单样本，若 i1
X
2 i
是
θ
的无偏估计，则常数 c ＝______。[数一、数三
2014 研]
【答案】2/（5n）
å å E X 2
【解析】
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二、填空题
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1．设随机事件 A 与 B 相互独立，A 与 C 相互独立，BC＝∅，若 P（A）＝P（B）＝1/2，P
（AC|AB∪C）＝1/4，则 P（C）＝______。[数一 2018 研]
【答案】1/4
【解析】计算如下
4．设 X 服从区间（－π/2，π/2）上的均匀分布，Y＝sinX，则 cov（X，Y）＝______。[数
一 2020 研]
【答案】2/π
【解析】
f
(x)
1
,
x
2
2

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【课后习题】(大数定律及中心极限定理)

第5章大数定律及中心极限定理1．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100 h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的；．求这16只元件的寿命的总和大于1920 h的概率．解：以记第i只元件的寿命，以T记16只元件寿命的总和：，按题设知，由中心极限定理知近似地服从N（0，1）分布，故所求概率为2．（1）一保险公司有10000个汽车投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额超过2700000美元的概率．（2）一公司有50张签约保险单，各张保险单的索赔金额为，（以千美元计）服从韦布尔（Weibull）分布，均值，方差；求50张保险单索赔的合计金额大于300的概率（设各保险单索赔金额是相互独立的）．解：（1）记第i人的索赔金额为，则由已知条件，要计算因各投保人索赔金额是独立的，n=10000很大．故由中心极限定理，近似地有故（2）则3．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布．（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?解：设第k个加数的舍入误差为，已知在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，故知．（1）记，由中心极限定理，当n充分大时有近似公式于是即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802．（2）设最多有n个数相加，使误差总和符合要求，即要确定n，使，由中心极限定理，当n充分大时有近似公式于是因而n需满足，亦即n需满足即n应满足，由此得．因n为正整数，因而所求的n为443，故最多只能有443个数加在一起，才能使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90．4．设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5 kg，均方差为0.1 kg，问5000个零件的总重量超过2510 kg的概率是多少?解：以记第i个零件的重量，以W记5000个零件的总重量：，按题设，由中心极限定理，可知近似地服从N（0，1）分布，故所求概率为5．有一批建筑房屋用的木柱，其中80％的长度不小于3 m，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3 m的概率．解：按题意，可认为100根木柱是从为数甚多的木柱中抽取得到的，因而可当作放回抽样来看待，将检查一根木柱看它是否短于3 m看成是一次试验，检查100根木柱相当于做100重伯努利试验．以X记被抽取的100根木柱中长度短于3 m的根数，则X～b（100，0.2）．于是根据由棣莫弗—拉普拉斯定理得本题也可以这样做，引入随机变量于是，以X表示100根木柱中短于3 m的根数，则由中心极限定理知6．一工人修理一台机器需两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立．现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成的概率．解：设修理第i（i=1，2，…，20）台机器，第一阶段耗时，第二阶段为，,则共耗时，今已知，故20台机器需要修理的时间可认为近似服从正态分布，即有所求概率即不大可能在8小时内完成全部工作．7．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5．若售出300只蛋糕．（1）求收入至少400元的概率；（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率．解：设第i只蛋糕的价格为，则有分布律为由此得（1）以X表示这天的总收入，则，由中心极限定理得。

浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)教材的配套题库(第14章平稳随机过程)【圣才出品】

RZ1 (t,t ) E[Z1(t)Z1(t )] E[ X (t)Y (t) X (t )Y (t )] E[X (t)X (t )]E[Y (t)Y (t )] RX ( )RY ( )
综上所述，这说明 Z1（t）的均值是常数，而自相关函数只与时间差 τ 有关，按定义 Z1（t）是平稳过程。（2）E[Z2（t）]＝E[X（t）]＋E[Y（t）]＝μX＋μY。

E[Y（t）]＝E[X（t＋a）－X（t）]＝E[X（t＋a）]－E[X（t）]＝μX－μX＝0
RY (t,t ) E Y t Y t E X t a X t X t a X t
E X t a X t a E X t a X t E X t X t E X t X t a 2RX RX a RX a
RZ2 (t,t ) E{[ X (t) Y (t)][ X (t ) Y (t )]} E[ X (t) X (t )] E[Y (t)Y (t )] E[X (t)Y (t )] E[X (t )Y (t)] RX ( ) RY ( ) 2X Y
综上所述，Z2（t）的均值是常数，自相关函数至于时间间隔 τ 有关，故 Z2（t）是平稳过程。
CY (t,t )=Cov Y tY t Cov N t L N t, N t L N t Cov N t L, N t L Cov N t, N t L Cov N t L, N t Cov N t, N t mint L,t L mint,t L mint L,t mint
L t
s
L
s
,若t
s
L
2L2 L
2
L2
,
若
L
, 若0
L
由 s，t 的对称性，即知

浙江大学概率论与数理统计复习题

武汉大学遥感信息学院函授概率论与数理统计复习题一．随机事件与概率１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为（101） 2. 若B A ⊂，则B A 是（B ）3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为（C B A ）4. 设B A ,为两个独立事件，7.0)(=A P ，1)(0<<B P ，求)|(B A P （ 0.3 ）5．某射手射击时，中靶的概率为43，若射击直到中靶为止，求射击次数为３的概率？（ 43)41(2⨯） 5．设B A ⊂，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求)(B A P . 解：1.0)()()()(=-=-=A P B P A B P B A P6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X 的分布律解在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X 是离散型随机变量，显然，X 的可能取值为 ,2,1，即一切正整数，而：p p k X P k 1)1(}{--== ,2,1=k 上式即为X 的分布律。

7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。

求这批产品被认为是合格的概率。

解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件A 表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：10A A A +=其中0A 表示检查的50个产品中没有次品，而1A 表示有1个次品．因为：028.0)(5010050950==C C A P153.0)(501004995151==C C C A P 所以181.0)()()(10=+=A P A P A P8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

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因
是普通的函数，故
即因不丌相关，于是它们的互协方差函数为零，即
所以的自协方差函数为
10．设和（t＞0）是两个相互独立的，分别具有强度和的泊松过程，试证
是具有强度的泊松过程。
证明：因和是强度和的泊松过程，所以
，
，故
对于
，
,
因为和相互独立，故

所以
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8．设
，式中 A，B 是相互独立，且都服从正态分布
的
随机变量，试证明是一正态过程，并求出它的相关函数（协方差函数）。
解：由题设 A，B 是相互独立的正态变量，所以（A，B）是二维正态变量，对于任意
一组实数
， ∈T，
是 A，B 的线性组合，于是由 n 维正
量，试求的均值函数和自相关函数。
解：由关于随机变量函数的数学期望的定理知道的均值函数为
自相关函数为
4．设随机过程
（随机变量），
，
值函数和协方差函数。
解：由均值和协方差函数定义知
，试求的均
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5．已知随机过程
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的均值函数和协方差函数
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第 12 章随机过程及其统计描述 1．利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程
假设
，试确定的
（1）一维分布函数
；
（2）二维分布函数
。
解：（1）由的定义
这一离散型随机变量的分布律为表 10－1
其分布函数为
同理其分布律为
表 10－3
的分布函数为
图 10－1
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由图 12－1 知
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当
时，
当
时，
当
时，
当
时，
当
时，
所以分布函数为
2．给定随机过程
，x 是任一实数，定义另一个随机过程
试将的均值函数和自相关函数用随机过程的一维和二维分布函数来表示。
表 10－2
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分布函数为
（2）当
时，
是一个二维离散型随机变量，且当硬币出现 H
时，它的取值为（0，－1）；当硬币出现 T 时，它的取值为（1，2），由于硬币出现 H，出
现 T 的概率均为，因此
不的联合分布律为
，a 为正常数。
解：因是维纳过程，故有
（1）记
，则有
故
（2）记
，由不 X 相互独立，
知
，
，
，
，故
（3）记
，则有
，故
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因和服从和的泊松过程，故
，
则
，
综上所述，
是具有强度的泊松过程。
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相互独立，又，
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11．设
是以为参数的维纳过程，求下列过程的协方差函数：
（1）
（A 为常数）；
（2）
，X 为不
相互独立的标准正态变量；
（3）
态变量的性质③知
是 n 维正态变量，再由 n，t 的任意性，得知
是正态过程。
而
因 A～
，B～
，且 A，B 相互独立，即有 E（A）＝E（B）＝0，
则
。
9．设随机过程不，，丌相关，试用它们的均值函数不协方差函数来表示
随机过程
的均值函数和自协方差函数，其中
是普通的函数。
解：由已知得
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解：设随机过程
的一维分布函数为
，二维分布函数为
，固定 t 时，是服从（0－1）分布的随机变量，其分布律为
表 10－4
于是的均值为又随机变量和的联合分布律为
表 10－5
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则的自相关函数为
3．设随机过程
，t＞0，其中 A 是在区间（0，a）上服从均匀分布的随机变
是普通的函
数，试求随机过程
的均值函数和协方差函数。
解：
的均值函数和协方差函数为
6．给定一随机过程
和常数 a，试以的自相关函数表出随机过程
，t∈T 的自相关函数。
解：设的自相关函数为
，按定义的自相关函数为
7．设
，若已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为
试求的协方差函数。解：由题意知
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