浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(随机过程及其统计描述)
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第 12 章 随机过程及其统计描述 1．利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程
假设
，试确定 的
（1）一维分布函数
；
（2）二维分布函数
。
解：（1）由 的定义
这一离散型随机变量的分布律为 表 10－1
其分布函数为
同理 其分布律为
，a 为正常数。
解：因 是维纳过程，故有
（1）记
，则有
故
（2）记
Байду номын сангаас
，由 不 X 相互独立，
知
，
，
，
，故
（3）记
，则有
，故
8/8
态变量的性质③知
是 n 维正态变量，再由 n，t 的任意性，得知
是正态过程。
而
因 A～
，B～
，且 A，B 相互独立，即有 E（A）＝E（B）＝0，
则
。
9．设随机过程 不 ， ，丌相关，试用它们的均值函数不协方差函数来表示
随机过程
的均值函数和自协方差函数，其中
是普通的函数。
解：由已知得
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因 和 服从 和 的泊松过程，故
，
则
，
综上所述，
是具有强度 的泊松过程。
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相互独立，又 ，
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11．设
是以 为参数的维纳过程，求下列过程的协方差函数：
（1）
（A 为常数）；
（2）
，X 为不
相互独立的标准正态变量；
（3）
解：设随机过程
的一维分布函数为
，二维分布函数为
，固定 t 时， 是服从（0－1）分布的随机变量，其分布律为
表 10－4
于是 的均值为 又随机变量 和 的联合分布律为
表 10－5
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则 的自相关函数为
3．设随机过程
，t＞0，其中 A 是在区间（0，a）上服从均匀分布的随机变
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因
是普通的函数，故
即 因 不 丌相关，于是它们的互协方差函数为零，即
所以 的自协方差函数为
10．设 和 （t＞0）是两个相互独立的，分别具有强度 和 的泊松过程，试证
是具有强度 的泊松过程。
证明：因 和 是强度 和 的泊松过程，所以
，
，故
对于
，
,
因为 和 相互独立，故
表 10－2
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分布函数为
（2）当
时，
是一个二维离散型随机变量，且当硬币出现 H
时，它的取值为（0，－1）；当硬币出现 T 时，它的取值为（1，2），由于硬币出现 H，出
现 T 的概率均为 ，因此
不 的联合分布律为
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所以
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8．设
，式中 A，B 是相互独立，且都服从正态分布
的
随机变量，试证明 是一正态过程，并求出它的相关函数（协方差函数）。
解：由题设 A，B 是相互独立的正态变量，所以（A，B）是二维正态变量，对于任意
一组实数
， ∈T，
是 A，B 的线性组合，于是由 n 维正
是普通的函
数，试求随机过程
的均值函数和协方差函数。
解：
的均值函数和协方差函数为
6．给定一随机过程
和常数 a，试以 的自相关函数表出随机过程
，t∈T 的自相关函数。
解：设 的自相关函数为
，按定义 的自相关函数为
7．设
，若已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为
试求 的协方差函数。 解：由题意知
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表 10－3
的分布函数为
图 10－1
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由图 12－1 知
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当
时，
当
时，
当
时，
当
时，
当
时，
所以分布函数为
2．给定随机过程
，x 是任一实数，定义另一个随机过程
试将 的均值函数和自相关函数用随机过程 的一维和二维分布函数来表示。
量，试求 的均值函数和自相关函数。
解：由关于随机变量函数的数学期望的定理知道 的均值函数为
自相关函数为
4．设随机过程
（随机变量），
，
值函数和协方差函数。
解：由均值和协方差函数定义知
，试求 的均
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5．已知随机过程
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的均值函数 和协方差函数
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第 12 章 随机过程及其统计描述 1．利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程
假设
，试确定 的
（1）一维分布函数
；
（2）二维分布函数
。
解：（1）由 的定义
这一离散型随机变量的分布律为 表 10－1
其分布函数为
同理 其分布律为
，a 为正常数。
解：因 是维纳过程，故有
（1）记
，则有
故
（2）记
Байду номын сангаас
，由 不 X 相互独立，
知
，
，
，
，故
（3）记
，则有
，故
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态变量的性质③知
是 n 维正态变量，再由 n，t 的任意性，得知
是正态过程。
而
因 A～
，B～
，且 A，B 相互独立，即有 E（A）＝E（B）＝0，
则
。
9．设随机过程 不 ， ，丌相关，试用它们的均值函数不协方差函数来表示
随机过程
的均值函数和自协方差函数，其中
是普通的函数。
解：由已知得
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因 和 服从 和 的泊松过程，故
，
则
，
综上所述，
是具有强度 的泊松过程。
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相互独立，又 ，
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11．设
是以 为参数的维纳过程，求下列过程的协方差函数：
（1）
（A 为常数）；
（2）
，X 为不
相互独立的标准正态变量；
（3）
解：设随机过程
的一维分布函数为
，二维分布函数为
，固定 t 时， 是服从（0－1）分布的随机变量，其分布律为
表 10－4
于是 的均值为 又随机变量 和 的联合分布律为
表 10－5
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则 的自相关函数为
3．设随机过程
，t＞0，其中 A 是在区间（0，a）上服从均匀分布的随机变
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因
是普通的函数，故
即 因 不 丌相关，于是它们的互协方差函数为零，即
所以 的自协方差函数为
10．设 和 （t＞0）是两个相互独立的，分别具有强度 和 的泊松过程，试证
是具有强度 的泊松过程。
证明：因 和 是强度 和 的泊松过程，所以
，
，故
对于
，
,
因为 和 相互独立，故
表 10－2
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分布函数为
（2）当
时，
是一个二维离散型随机变量，且当硬币出现 H
时，它的取值为（0，－1）；当硬币出现 T 时，它的取值为（1，2），由于硬币出现 H，出
现 T 的概率均为 ，因此
不 的联合分布律为
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8．设
，式中 A，B 是相互独立，且都服从正态分布
的
随机变量，试证明 是一正态过程，并求出它的相关函数（协方差函数）。
解：由题设 A，B 是相互独立的正态变量，所以（A，B）是二维正态变量，对于任意
一组实数
， ∈T，
是 A，B 的线性组合，于是由 n 维正
是普通的函
数，试求随机过程
的均值函数和协方差函数。
解：
的均值函数和协方差函数为
6．给定一随机过程
和常数 a，试以 的自相关函数表出随机过程
，t∈T 的自相关函数。
解：设 的自相关函数为
，按定义 的自相关函数为
7．设
，若已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为
试求 的协方差函数。 解：由题意知
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表 10－3
的分布函数为
图 10－1
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由图 12－1 知
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当
时，
当
时，
当
时，
当
时，
当
时，
所以分布函数为
2．给定随机过程
，x 是任一实数，定义另一个随机过程
试将 的均值函数和自相关函数用随机过程 的一维和二维分布函数来表示。
量，试求 的均值函数和自相关函数。
解：由关于随机变量函数的数学期望的定理知道 的均值函数为
自相关函数为
4．设随机过程
（随机变量），
，
值函数和协方差函数。
解：由均值和协方差函数定义知
，试求 的均
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