求圆锥侧面展开图—扇形圆心角公式的推导
圆柱和圆锥的侧面展开图及计算方式
圆柱和圆锥的侧面展开图（四）2006-8-1 13:35页面功能【字体：大中小】【打印】【关闭】圆锥侧面展开图(扇形)中的各元素与圆锥的各元素之间的关系极为密切，即扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。
因此我们要重视空间图形与平面图形的互相转化。
教学步骤（一）明确目标在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在生活中我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这些圆锥形物体的表面积是怎样计算出来的？这就是本节课“7.21圆锥的侧面展开图”所要研究的内容。
（二）整体感如和圆柱一样，圆锥也是日常生活或实践活动中常见物体，在学生学过圆柱的有关计算后，进一步学习圆锥的有关计算，不仅对培养学生的空间观念有好处，而且能使学生体会到用平面几何知识可以解决立体图形的计算，为学习立体几何打基础。
圆锥的侧面展开图不仅用于圆锥表面积的计算，而且在生产中常用于画图下料上，因此圆锥侧面展开图是本课的重点。
本课首先在小学已具有圆锥直观感知的基础上，用直角三角形旋转运动的观点给出圆锥的一系列概念，然后利用圆锥的模型，把其侧面展开，使学生认识到圆锥的侧面展开图是一个扇形，并能将圆锥的有关元素与展开图扇形的有关元素进行相互间的转化，最后应用圆锥及其侧面展开图之间对应关系进行计算。
（三）教学过程［幻灯展示生活中常遇的圆锥形物体，如：铅锤、粮堆、烟囱帽］前面屏幕上展示的物体都是什么几何体？［安排回忆起的学生回答：圆锥］在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有哪些特征？安排举手的学生回答：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。
［教师边演示模型，边讲解］：大家观察Rt，绕直线SO旋转一周得到的图形是什么？［安排中下生回答：圆锥］大家观察圆锥的底面，它是Rt 的哪条边旋转而成的？［安排中下生回答：OA］圆锥的侧面是Rt的什么边旋转而得的？［安排中下生回答，斜边］，因圆锥是Rt绕直线SO旋转一周得到的，与圆柱相类似，直线SO应叫做圆锥的什么？［安排中下生回答：轴］大家观察圆锥的轴SO应具有什么性质？［安排学生稍加讨论，举手发言：圆锥的轴过底面圆的圆心，且与底面圆垂直，轴上连接圆锥顶点与底面圆心的线段就是圆锥的高。
圆锥底面积半径公式
知道底面来周长、底面面源积等数据可求出圆锥半径：圆锥的底面圆半径r，底面直径d，圆周率π，母线l，底面积s，圆锥的体积V，高h，扇形侧面展开图圆心角n。
底面周长为2πr=πd
侧面展开图弧长=底面圆周长=2πr=πd
侧面展开图面积=1/2×2πr×l=πrl
圆锥全面积=πr²+πrl
扇形面积：nπr²/360
扇形弧长：nπr/180 （可以计算侧面展开图圆心角n）圆锥体积：V=sh÷3
扩展资料：
通过展开图测量圆锥体：
1、所有圆锥展开的扇形角度等于（底面直径÷母线）×180度；
2、圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离叫做圆锥母线；
3、将圆锥的侧面沿母线展开是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；
4、圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）=S侧+S底。
1。
圆锥侧面积公式和扇形面积公式
圆锥侧面积公式和扇形面积公式
圆锥是一种由平面围绕着一个点旋转形成的几何体。
它由一个圆形底面和连接底面边缘与顶点的斜面组成。
圆锥的侧面积公式和扇形面积公式是计算圆锥侧面积和扇形面积的重要工具。
首先，让我们来看看圆锥的侧面积公式。
假设圆锥的底面半径为r，斜面的高度为h。
根据勾股定理，我们可以得到斜面的长度为l，即 l = √(r^2 + h^2)。
圆锥的侧面积可以通过计算底面周长与斜面长度
的乘积得到，即 S = πr * l。
所以圆锥的侧面积公式为 S = πr * √(r^2 + h^2)。
接下来，我们来看看扇形的面积公式。
扇形是圆的一部分，由圆心、圆弧和两条半径组成。
假设扇形的半径为r，圆心角度数为θ（以弧度为单位）。
扇形的面积可以通过计算扇形的圆心角度数与整个圆的
面积的比例来得到，即 S = (θ/360) * πr^2。
这个公式是基于圆
的面积公式πr^2，并乘以一个比例因子，该比例因子是扇形的圆心角度数与整个圆的圆心角度数的比例。
需要注意的是，上述公式中的角度必须以弧度为单位。
如果角度以度数给出，可以使用以下转换公式将其转换为弧度：弧度 = (度数 * π) / 180。
这些公式对于解决与圆锥和扇形相关的几何问题非常有用，例如计算圆锥的表面积、体积或扇形的面积。
掌握这些公式可以帮助我们更好地理解和解决与圆锥和扇形相关的数学和物理问题。
3.93弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)
3.93弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n °的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n °的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧 BC的弧长为（）．ABC．πD．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB、OC，如图（2）则0OBA∠︒＝9，A∠︒＝3，0AOB∠︒＝6，由弦BC∥OA得60OBC AOB∠∠=︒＝，所以△OBC为等边三角形，0BOC∠︒＝6.则劣弧 BC，故选A. 图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π的面积是：BC•AD=×4×2=4，类型二、圆锥面积的计算3．小红为了迎接圣诞节而准备做一顶圣诞帽．如图所示，圆锥的母线长为26cm ，高24cm ，求它的底面半径及做这样一顶帽子需要的布料面积(接缝忽略不计)．【答案与解析】如图所示，在Rt △SOA 中，10cm r ==．即圆锥底面半径为10cm ，做这样的圣诞帽需布料πRr=260πcm 2．【总结升华】本题考查的是圆锥母线R ，高h ，底面半径r 三者的关系，及利用圆锥侧面积解决实际问题的方法．根据圆锥母线R ，高h ，底面半径r 的关系，可求r πRr ．类型三、组合图形面积的计算4．如图所示，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R ，油面高为32R ，求截面上有油的弓形(阴影部分)的面积．【答案与解析】如图所示，作OC ⊥AB ，交AB 于D ，交⊙O 于C ． ∵ 12CD R =，12OD R =， ∴ ∠AOB ＝2∠COB ＝120°，AB ＝2BD ＝2R =， ∴ 阴影部分面积为22240112360223R R R ππ⎛+=+ ⎝⎭ ． 【总结升华】弓形的面积是扇形面积加上三角形的面积. 【巩固练习】C一、选择题1.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5πB. 4πC.3πD.2π2．如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在( )．A．A处 B．B处 C．C处 D．D处3．劳技课上，王红制作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸的面积至少为( )．A．250πcm2 B．500πcm2 C．600πcm2 D．1000πcm24．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A．120° B．180° C．240° D．300°5．底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是( )．A．7.5π cm2 B．12π cm2 C．15πcm2 D．24π cm26．小明要制作一个圆锥形模型，其侧面是由一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形纸板制成的，还需用一块圆形纸板作底面，那么这块圆形纸板的直径为( )．A．15cm B．12cm C．10cm D．9cm二、填空题7．已知扇形圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为________．8．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送厘米.第8题图第9题图第11题图9．如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留π)．10．已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧)11．如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C''的位置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长．12．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于．三、解答题13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．14. 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．15．如图所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝，求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为（x，y）．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；（2）画出点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C .【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2π，圆锥的侧面面积为2π，底面半径为1，圆锥的底面面积为π，则该圆锥的全面积是2π+π=3π. 故选C.2.【答案】B【解析】小羊的活动区域是扇形，或是扇形的组合图形，只要算出每个扇形的面积，即可比较出拴在B 处时活动区域的面积最大．3.【答案】B ；4.【答案】B ；【解析】由22rl r ππ=得2l r =， ∴ 22180n rr ππ=．∴ n ＝180°． 5.【答案】C ；【解析】可求圆锥母线长是5cm ． 6.【答案】B ； 【解析】∵24092180r ππ⨯=，∴ r ＝6cm ，2r ＝12cm ．二、填空题7.【答案】240πcm 2；【解析】先由弧长求出扇形的半径，再计算扇形的面积． 8．【答案】20π（cm ）； 【解析】904020180180n r l πππ⨯===(cm)． 9．【答案】3π；【解析】由扇形面积公式得2212033360360n R S πππ⨯===扇形(cm 2)． 10．2；【解析】由弓形的弧长等于半径，可得弓形的弧所对的圆心角为60°． 11．【答案】20()cm π；【解析】顶点A 经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120°，半径AC=2BC=30cm,1203020()180l cm ππ⨯==.12．【答案】3π； 【解析】 连接AC ，知AC ＝AB ＝BC ，∴ ∠BAC ＝60°，∴ 弧6011803BC ππ=⨯=． 三、解答题13.【答案与解析】将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ， 过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC=12， ∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小圆的半径， ∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆 =π•OB 2-π•OC 2 =π（OB 2-OC 2） =πAC2=72π． 故答案为72π．14.【答案与解析】(1)证明：同圆中的半径相等，即OA ＝OB ，OC ＝OD ．再由∠AOB ＝∠COD ＝90°，得∠1＝∠2， 所以△AOC ≌△BOD ．(2)解：22211()(91)2(cm )44S S S OA OC πππ=-=-=-= 阴影扇形AOB 扇形COD． 15.【答案与解析】(1)如图所示，连接OC ，则OC ⊥AB ，∴ OA ＝OB ，∴ AC ＝BC ＝1122AB =⨯=． 在Rt △AOC 中，3cm OC===．∴ ⊙O 的半径为3 cm ． (2)∵ OC ＝3cm 12=OB ，∠B ＝30°，∠COD ＝60°． ∴ 扇形OCD 的面积为226033(cm )3602ππ= ． ∴ 阴影部分的面积为 213)22BOC OCD S S OC CB π∆-=-= 扇形．16.【答案与解析】（1）第三个和第四个正方形的位置如图所示：第三个正方形中的点P的坐标为：（3，1）；（2）点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4）如图所示：由图形可知它与x轴所围成区域的面积=++1+=π+1．。
圆锥的侧面展开图及相关计算
圆锥的侧面展开图及相关计算教学目标：1、了解母线的意义，体会母线、高与底面圆的半径的关系.2、理解掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式，并会运用它解决相关问题.3、进一步培养学生分析，解决问题的能力. 教学过程：一、创设情境，激发兴趣 1、生活中的圆锥欣赏 2、圆锥的形成二、自主学习，问题探究3、如上图，你能用刚才得到的结论快速的解决下列问题吗？① 如r=12，a=20，则S 侧= ，S 全= . ② 如h=12，r=5， 则S 侧= ，S 全= . ③ 如a=2， r=1， 则n= . ④ 如h=3， r=4， 则n= .⑤ 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5cm ，BC ＝12cm ，将△ABC 分别绕直角边AC 、BC 和斜边AB 旋转一周，画出旋转后的图形并求所得几何体的侧面积？三、直击中考，发现问题1、小红要过生日了， 为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽，如下图，圆锥帽底面半径为9cm ，母线长为36cm ，请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼貌需要纸板的面积为（ ）（A ）648πcm 2 （B ）432πcm 2 （C ）324πcm 2 （D ）216πcm 22、一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ .3、已知圆锥的侧面积为10πcm 2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（ ）A.100cmB.C.10cmD.4、若圆锥侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 （ ）（A ）120° （B ）135° （C ）150° （D ）180° 5、如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A.4π cm 2B.6π cm 2C.9π cm 2D.12π cm 26、如下图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）lA. B. C. D.7、如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC ．那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为______； 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=______.8、如下图，矩形ABCD 中，AB=4，以点B 为圆心，BA 为半径画弧交BC 于点E ，以点O 为圆心的⊙O 与弧AE ，边AD ，DC 都相切．把扇形BAE 作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O ，则AD 的长为 ．9、如下图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ）(A) 36 (B)233 (C) 33 (D) 310、如下图，已知在⊙O 中，，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30°．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．四、个性问题，小组解决。
圆锥扇形的知识点总结
圆锥扇形的知识点总结一、定义圆锥扇形是指以圆锥的顶点为圆心，圆锥的侧面为半径所在的圆弧为弦的扇形。
圆锥扇形通常用θ表示，其中θ为圆心角的度数。
二、性质1. 面积公式圆锥扇形的面积可以通过以下公式来计算：\[ S = \frac{1}{2}r^2\theta \]其中，S表示圆锥扇形的面积，r表示圆锥的半径，θ表示圆锥扇形的圆心角的度数。
2. 弧长公式圆锥扇形的弧长可以通过以下公式来计算：\[ L = r\theta \]其中，L表示圆锥扇形的弧长，r表示圆锥的半径，θ表示圆锥扇形的圆心角的度数。
3. 圆形比较性圆锥扇形与普通扇形不同之处在于它的形状是由一个圆锥的侧面和一个圆锥顶点以外的点确定的，因此它在面积和弧长计算上与普通扇形有所不同。
4. 圆锥扇形的角度圆锥扇形的圆心角通常表示为θ，它决定了圆锥扇形的大小。
当θ等于360°时，圆锥扇形就是一个完整的圆锥。
5. 圆锥扇形的应用圆锥扇形广泛应用于工程、建筑和物理学等领域中，例如在建筑设计中可以通过圆锥扇形来计算楼梯、管道和立柱的表面积；在物理学中可以通过圆锥扇形来分析声波的传播和光线的折射等问题。
三、公式推导圆锥扇形的面积和弧长可以通过数学推导得到。
首先我们可以将圆锥扇形的面积分解成一个扇形和一个三角形的面积之和。
假设圆锥的半径为r，圆锥扇形的圆心角为θ，则扇形的面积可以表示为：\[ S_1 = \frac{1}{2}r^2\theta \]另外，我们可以将圆锥扇形的弧长分解成一个扇形的弧长和一个弦的长度之和。
扇形的弧长可以表示为：\[ L_1 = r\theta \]综合以上两个公式，我们得到了圆锥扇形的面积和弧长的公式。
四、实际应用1. 工程建筑在工程建筑中，圆锥扇形的应用非常广泛。
例如，在设计楼梯时，可以通过圆锥扇形来计算楼梯的踏步面积和阶梯的面积；在设计管道和立柱时，可以通过圆锥扇形来计算它们的表面积。
2. 物理学在物理学领域中，圆锥扇形也有重要的应用。
圆锥的侧面展开图
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1.底面半径为5cm, 母线长为16cm的圆 锥,它的侧面展开图 80π 的面积是_____cm²
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2.圆锥的底面周长为58cm, 母线长30cm,则圆锥的侧 A 面积为___cm² . A.870 B.908 C.1125 D.1740
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3.圆锥侧面展开图是 一个弧长为36π的扇 形,则这个圆锥的底面 18 半径是____
2πr =36π
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4.一个圆心角为90°,半径为8
cm的扇形纸片,恰好围成一个 圆锥的侧面, (接缝忽略不计), 则该圆锥底面圆的半径为( C)
A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm
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本节课我们有什么收获?
1.认识了圆锥的侧面展开图: 圆锥的底面周长就是它侧面展开图 扇形的弧长,圆锥的母线就是它侧 面展开图扇形的半径. 2.学会计算圆锥的侧面积和全面积.
作业:
如图，圆锥的底面半径为1，母线长 为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点 B出发，沿圆锥侧面爬行一周再回到 B，问它爬行的最短路线是多少？
1、圆锥是由一个底面（圆） 和一个侧面围成的，我们 把连接圆锥顶点和底面圆 周上任意一点的线段叫做 圆锥的母线。
母线 高
2、连接圆锥的顶点和 底面圆心的线段叫做圆 锥的高。
把圆锥沿一条母线剪开,它的侧面展开 图是怎样的图形呢?
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(1) 圆锥的侧面展开图是一个什么图形? 圆锥的侧面展开图是一个扇形. (2) 圆锥的底面周长与侧面展开图有什么关系? 圆锥的底面周长就是它侧面展开图扇形的弧长. (3) 圆锥的母线与侧面展开图有什么关系? 圆锥的母线就是它侧面展开图扇形的半径.
圆锥台展开扇形公式
圆锥台展开扇形公式
圆锥台是由一个圆锥与一个底面为圆的柱体组成的立体图形。
如果将圆锥台展开，可以得到一个弧长为L的扇形。
而我们可以通过扇形公式来计算扇形的面积。
首先，我们需要求出圆锥的侧面积S和底面积B，以及圆锥的母线L。
假设圆锥的高为h，底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面积可以用母线和斜高线（也就是圆锥的高）计算得出：
S = πrl
而底面积则为：
B = πr^2
接下来，我们需要计算扇形的弧长L。
因为圆锥台底面为圆形，所以圆锥的底面圆弧长为2πr。
而我们需要求出的圆锥台扇形公式的弧长则为圆锥侧面直截线的长度，也就是圆锥侧面直截线对应的圆弧长。
为了求出这个弧长，我们需要知道扇形对应的圆心角Θ。
而由于圆锥台的底面为圆形，因此圆心角Θ等于圆锥顶点到圆锥底面直截线上一点的弧度。
如果将圆锥底面直截线分成n个等分，那么圆锥侧面的圆心角就是360°/n。
因此，我们可以用下式来计算扇形的弧长L：L = 2πr(Θ/360°) = πr(Θ/180°)
最后，我们可以利用扇形公式计算一个圆锥台展开扇形的面积S1。
将扇形的弧长L、圆锥的侧面积S和底面积B带入下列公式中：S1 = (L/2) * (S/B)
通过这个公式，我们就能够计算出任意一个圆锥台展开扇形的面积。
初三数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图知识精讲
初三数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图知识精讲一. 本周教学内容：扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图［学习目标］1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式： S n R lR 扇==π236012n 是圆心角度数，R 是扇形半径，l 是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高S rh 圆柱侧=2π r 底面半径 h 圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。
6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。
7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。
圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。
如图所示，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则：S rh 侧=2π，S S S rh r r h r 表侧底=+=+=+22222πππ()。
8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。
因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。
如图所示，若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则S l r rl 侧·，==122ππ S S S rl r r l r 表侧底=+=+=+πππ2()。
［重点、难点］扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。
例1. 已知如图1，矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 为半径作14圆弧交AD 于F ，交BA 延长线于E ，求扇形BCE 被矩形所截剩余部分的面积。
圆锥的侧面积公式推导过程
圆锥的侧面积公式推导过程
圆锥侧面积的公式：圆锥侧面积＝圆锥底面半径X圆周率X母线，即S侧＝πrl。
第一种方法：把展开的扇形的弧微分为许多小段，那么每一个小段和扇形顶点形成一个三角形，扇形的面积就是这些小三角形的和。
设每小段长度为x，则每个小三角形的面积是（1/2）xl，所有x加起来为扇形弧长2πr。
所以圆锥侧面积＝（1/2）（2πr)l=πrl。
第二种方法：因为圆锥侧面是展开后大圆的一部分，占大圆的面积为（弧长／大圆周长）＝2πr/2πl。
因为大圆面积为πl^2，所以圆锥侧面积＝（πl^2）·（2πr/2πl）＝πrl。
圆锥组成：
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高。
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线／2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一条高、无数条母线，且底面展开图
为一圆形，侧面展开图是扇形。
圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径
例3.蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想 用毛毡搭建20个底面积为12 m2,高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包,至少需要多少m2的毛毡? (π取3.142结果精确 到1 m2).
解:如图是一个蒙古包的示意图
课本练习
随堂练习 1.已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为_2_4_0___c_m__2 ，全面
1.圆锥的高h 连结顶点与底面圆心的线段.
h
l l 2.圆锥的母线 把连结圆锥顶点和底面圆周上的任 意一点的线段叫做圆锥的母线。
Or
思考：圆锥的母线有几条？ 3.底面半径r
圆锥的底面半径、高线、母线长 三者之间的关系:
l
h
l2 h2 r2
例如：已知一个圆锥的高为
6cm，半径为8cm，则这个圆
积为__3_8_4___cm__2_
2.一个圆锥形的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，
高为4cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面
积为（ D ） A. 66cm2
C. 28cm2
B.30cm2 D. 15cm2
3.一个圆锥形零件的高4cm，底面 半径3cm，求这个圆锥形零件的侧 面积和全面积。
Or
锥的母长为__1_0_c_m__
l
h
Or
沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面 展开，得到一个扇形，这个扇形的弧 长与底面的周长相等
圆锥侧面展开图是扇形，这个扇 形的半径与圆锥中的母线相等
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长， 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
图 23.3.7
圆锥的侧面积和全面积
一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆
九年级数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图人教版知识精讲
九年级数学扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图［学习目标］1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式：S n R lR 扇==π236012n 是圆心角度数，R 是扇形半径，l 是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高S rh 圆柱侧=2π r 底面半径 h 圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。
6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。
7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。
圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。
如图所示，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则：S rh 侧=2π，S S S rh r r h r 表侧底=+=+=+22222πππ()。
8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。
因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。
如图所示，若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则S l r rl 侧·，==122ππ S S S rl r r l r 表侧底=+=+=+πππ2()。
［重点、难点］扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。
【典型例题】例1. 已知如图1，矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 为半径作14圆弧交AD 于F ，交BA 延长线于E ，求扇形BCE 被矩形所截剩余部分的面积。
圆锥的侧面展开图讲
S侧=S扇形
l弧
h l母 r
S全=S侧+S底
rl母 r
2
1 1 l l母 2 rl母 rl母 2 2
练习：填空 （1）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6， 12π 则它的侧面积为_________. （2）已知圆锥底面圆的半径为2cm ， 高为
r
r
4.若圆锥的母线l=10cm，高h=8cm，则其侧面展 开图中扇形的圆心角是 216 度。 ——
5.如图，若圆锥的侧面展开图是 半圆，那么这个展开图的圆心角 180 是___度；圆锥底半径 r与母线 l 1:2 的比r ：l = ___ ；这个圆锥轴截 面的顶角是___度。 60
一试 身手
课堂小结：
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长， 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
S侧=S扇形
L弧
h l母 r
S全=S侧+S底
rl母 r
2
1 1 l l母 2 rl母 rl母 2 2
结束寄语
•数学使人聪明,数学使人 陶醉,数学的美陶冶着你 ,我，他.
你会计算展开图中 的圆心角的度数吗？
l h l母 n r
Ql
n l母 180
180l 180 2 r r n 360 l母 l母 l母
1.圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面
展开图扇形的圆心角是 180o 。 ____
2 .一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用 它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面 半径为_____ 。 10cm
∴ △ABB’是等边三角形 ∴ BB’=AB=6
圆锥表面积公式推导过程
圆锥表面积公式推导过程
假设有一个底半径为$r$，高为$h$ 的圆锥体，要推导其表面积公式。
我们可以将圆锥体展开成一个扇形和一个圆台。
首先考虑扇形部分，如下图所示：
圆锥体扇形部分的展开图
将圆锥展开后，其底面圆被展开为圆的一部分弧，其圆心角为$2\pi$，半径为$r$，那么圆弧的长度为$2\pi r$。
而展开后的圆锥高为$h$，因此展开后的扇形面积为：
$$S_1 = \frac{1}{2}(2\pi r)h = \pi rh$$
接下来考虑圆台部分，如下图所示：
圆锥体圆台部分的展开图
将圆锥展开后，其底面圆被展开为圆的一部分，它可以看作是一个半径为$r$，高为$l$ 的圆锥体的展开图。
圆锥体的侧面积为：
$$S_2 = \pi rl$$
而根据勾股定理可知，$l = \sqrt{h^2 + r^2}$，因此
$$S_2 = \pi r\sqrt{h^2 + r^2}$$
综合上述两部分的面积，可得圆锥体的表面积公式为：
$$S = S_1 + S_2 = \pi rh + \pi r\sqrt{h^2 + r^2}$$
这就是圆锥体表面积的公式推导过程。
扇形知识点——精选推荐
有关圆锥展开图计算的两个重要公式广东省东莞市光明中学许昌大家在解决有关圆锥侧面展开图的计算问题时，通常利用了两个等量关系，第一个是=×底面圆周长(或侧面的弧长)×母线长，第二个就是侧面的弧长等于底面的周长，但每次都直接利用这两个等量关系来计算还是很麻烦，特别是同学们往往容易忘记乘以系数，基于此我们不妨把这两个等量关系进一步推导，得出实质性的乘积、比例公式。
我相信同学们在理解并运用这两个公式后，解题的思路可以变得清晰，速度和准确度也可以得到很大的提高。
一、推导公式：1.乘积式：侧面积：全面积：2.比例式：弧长等于⊙O1的周长∵∴又∵即：这两组公式的优点是避开了求底面圆周长，而直接建立了S侧与R、r的乘积关系，以及圆心角n与R、r的比例关系，减少了许多中间过程，特别是比例式给我们的计算带来了极大的便利。
二、运用乘积式：类型一：顺向使用公式【问题】（2009济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A．B．C．D．分析：从刚才推导出的可以看出，只与圆锥的母线长度以及底面圆半径有关，若题目没有直接给出母线长度以及底面圆半径，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，求出未知的R或r来，从而计算出侧面积。
结论：要求,就求R、r。
解答：此题由底面半径高可以求出母线BC为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由，选C。
【练习】1. （2009铁岭）小丽想用一张半径为5cm的扇形纸片围成一个底面半径为4cm的圆锥，接缝忽略不计，则扇形纸片的面积是cm2．（结果用表示）202.（2009南昌）一个圆锥的底面直径是80cm,母线长是90cm,则它的侧面积是____ 。
3600cm23. （2008成都）小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（）BA．12πcm2B．15πcm2C．18πcm2D．24πcm2类型二：逆向使用公式【问题】（2009义乌）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，则圆锥的高AO为 .分析：从刚才推导出的可以看出，已知、R、r中任意两个量可以求出余下未知的量，若题目要求求出圆锥的高h，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，从而求出。
圆锥的圆心角计算公式
圆锥的圆心角计算公式
圆锥是几何学中的一种基础几何体，由一个圆形底面和一个或多个延伸自底面的三角形面组成。
圆锥的圆心角是指底面圆的圆心所对应的圆弧所对应的角度，是圆锥形状的一个重要参数，对此我们可以使用一些数学公式进行计算。
圆锥的圆心角计算公式：
要计算圆锥的圆心角，我们需要知道圆锥的底面半径和母线长度。
圆锥的底面半径是指圆锥底面的半径，记作 r；而母线长度是指由圆锥顶尖引出的一条直线段的长度，记作 l。
以圆心为中心，连接圆锥底面上任意两点，并把连接这些点的弧叫做底面圆的圆弧，圆锥的圆心角就是这段圆弧所对应的角度。
圆锥的圆心角计算公式为：
α = 2arctan(l / 2r)
其中α为圆锥的圆心角，arctan为反正切函数，l为母线长度，r为底面半径。
解析：
圆锥的圆心角是底面圆的圆心所对应的圆弧所对应的角度，而底面圆的周长为2πr，圆心角度数则是圆心所对应的圆弧长度所占周长的比例，公式中的 arctan(l / 2r) 则是表示母线长度 l 与底面圆周长的半径之比的反正切值，再将其乘以2，就得到了圆心角的度数值。
简而言之，圆锥的圆心角就是底面圆心所对应的圆弧所占周长的比例，圆心角度数是根据母线长度与底面半径的比例来计算的。
在应用圆锥的学科领域，例如建筑、机械制造和地球科学等领域，圆锥的圆心角计算都十分重要。
在机械制造中，圆锥的制造需要通过计算圆心角来保证加工精密度；在建筑中，设计建造圆锥形的结构需要考虑圆锥的圆心角来保证结构稳定性。
圆锥的圆心角是一个多方面应用的知识，需要结合具体实际问题进行综合运用。
巧求圆锥侧面展开图的圆心角
巧求圆锥侧面展开图的圆心角
许文松
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2010(000)018
【摘要】圆锥的相关计算问题是初中几何的一个重要组成部分．它衔接的知识面广，导用的公式较多，很容易造成错解．特别是在计算圆锥的侧面展开图圆心角度数时为了快速、准确的得出答案，必须掌握一定的解题技巧．
【总页数】1页(P97-97)
【作者】许文松
【作者单位】四川省仪陇县永乐中学校,637662
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.《圆锥的侧面展开图》教学设计
2.《圆锥的侧面展开图》教学设计
3.圆柱与圆锥的侧面展开图
4.圆锥的锥角及侧面展开图的圆心角间的关系
5.激发问题意识助推问题解决r——以《圆锥的侧面展开图》教学为例
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