贵州大学数学分析考研真题

贵州大学

2016年硕士生入学考试式题

考试科目：数学分析

注：题大多数为靠回忆写的，个别题可能与真题不一样，但类型相同。

一、（共90分）

1、每小题6分，判断正误，并说明理由）

（1）、设0()lim ()

x x f x g x →存在，0lim ()x x g x →存在，则存在。 （2）、设有数列{}n a 满足1lim()0n n n a a +→∞-=，则极限lim 0n n a →∞

=。 （3）、若()f x 在开区间(,)a b 上连续，则()f x 在(,)a b 上一致连续。

（4）、若()f x 在[,]a b 上严格单调递增，则()f x 在(,)a b 内必有()0f x '>

2、求极限dt t dt t x

x x ⎰⎰+→tan 0

sin 00sin tan lim 。（6分） 3、设)(00cos sin 1)(2x f x x x x xe x f x '>≤⎪⎩⎪⎨⎧--=-，求。

（6） 4、设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数，且12,,,n x x x (,)a b ∈. 证明: 存在(,)a b ξ∈，使得211()(21)()n

k

k f k f x n ξ==-∑.（6分） 5、证明：当x x x x 3sin 2tan 20>+<

<时，π。（6分） 6、求数列{}n n 中的最大项。（6分）

7、求dx x ⎰

2cos 。（6分） 8、设()()dy y x f dx dy y x f dx I x x x x

⎰⎰⎰⎰---+-+=22422204220

2,,，请改变I 的积分次序。

（7分） 9sin cos sin sin cos ,1,;(2),x R y R z R R z z x y x y

θφθφθθθ===∂∂∂∂∂∂∂∂、设，，为常数，

求（）。(8分)

10、 计算积分1

20ln(1)(1)

x dx x x ++⎰ (15分) 二．（每小题12分，共60分）

1、 求

,)1002cos 2()2sin (dy y e dx y y e x l

x -+-⎰其中l 为单位圆从点（1，0）到点（-1，0）的上半圆周和从点（-1，0）到点（1，0）的直线段组成的闭路。

2、 设)(x f 在[a,b]连续，在（a,b ）有二阶导数。连接(a, )(a f )和(b, )(b f )的直线段交曲线

)(x f y =于(c, )(c f ), a

3、 设),2,1(,1,11212 ===⎰+-n dx x a n a n n n n 。判断级数n n n a 11)

1(-∞=∑-的敛散性，并证明下列极限存在：)ln 1211(lim n n

n -+++

∞→ 。 4、 设)(x f 是[0,1]上的连续函数，且0)1(=f ，证明函数序列

),2,1()

()( ==n x f x x g n n

在[0,1]上一致收敛。 5、 设a 是常数，已知方程2222220z z z x x y y

∂∂∂++=∂∂∂∂（原自变量,x y ）在自变量变换,u x y x ay ν=+=+作用下，可化为关于,u ν的方程220z u

∂=∂，证明1a =-（假定所有一阶二阶偏导都连续）