全国高考理科数学试题分类汇编：立体几何

2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何

三、解答题

1．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所

在的平面,C 是圆上的点.

(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；

(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值

2．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥

P ABCD

-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3

BC CD AC ACB ACD π

===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.

(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.

3．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCD A -中,⊥

AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.

(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为0

60,求BDC ∠的大小.

4．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC

中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点

,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿

DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,

其中A O '=.

(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

.

C

O B

D

E

A C

D

O

B

E

'A

图1

图2

A

B

C

D

P

Q

M

（第20题图）

【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===

连结,OD OE

,在OCD ∆中,由余弦定理可得

OD ==由翻折不变性可知A D '=,

所以222

A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,

理可证A O OE '⊥, 又OD

OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .

(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--

的平面角.

结合图1可知,H 为AC 中点,

故

2OH =

,从而

2

A H '== 所以cos 5OH A HO A H '∠

=

=',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为.

向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,

3,0C -,()1,2,0D -

所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则

00n CA n DA ⎧'⋅

=⎪⎨

'⋅

=⎪⎩,即3020

y x y ⎧

+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧

⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(

1,1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,

C D O

B

E

'A

H

所以

15

cos,

35

n OA

n OA

n OA

'

⋅

'===

⋅

'

,即二面角A CD B

'--的平面角的余弦值为

15

.

5．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱

A 1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = A

B = 2, E为棱AA1的中点.

(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为2

, 求线段AM的长.

【答案】

6．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

(Ⅰ)证明AB⊥A1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.

7．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平

面ABCD,

12

AB AA

==

(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;

(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.

1

A

【答案】解:(Ⅰ) BD

O

A

ABCD

BD

ABCD

O

A⊥

∴

⊂

⊥

1

1

,

,面

且

面

;又因为,在正方形AB CD 中,BD

C

A

AC

A

C

A

AC

A

BD

A

AC

O

A

BD

AC⊥

⊂

⊥

=

⋂

⊥

1

1

1

1

1

,，故

面

且

面

所以

；且.

在正方形AB CD中,AO = 1 . .1

1

1

=

∆O

A

OA

A

RT中，

在

O

E

C

A

OCE

A

E

D

B

1

1

1

1

1

1

1

⊥

为正方形，所以

，则四边形

的中点为

设.

，所以由以上三点得

且

，

面

面

又O

O

BD

D

D

BB

O

D

D

BB

BD=

⋂

⊂

⊂

1

1

1

1

1

1

E

.

E,

D

D

BB

C

A

1

1

1

面

⊥.(证毕)

(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.

以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则

)1

,0,1(

)1,1,1(

),1

0(

),

1(

,

0,1,0

1

1

1

-

=

⇒C

A

B

A

C

B，

，

，

，

）

（.

由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量.

0,0,1

),

1,1,1(

),

1

,0,1(

1

1

1

）

（

=

=

-

=

=OB

A

n

设平面OCB1的法向量为

，

则0

,0

,

2

1

2

2

=

⋅

=

⋅OC

n

OB

n

n

).1-,1,0(

法向量

2

=

n

为

解得其中一个

2

1

2

2

1

|

||

|

|

,

cos

|

cos

2

1

2

1

1

1

=

⋅

=

⋅

=

>

<

=

n

n

n

n

θ.

所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为

3

π

8．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.

如图,在直三棱柱

111

A B C ABC

-中,AC

AB⊥,2

=

=AC

AB,4

1

=

AA,点D是BC的中点

1

A