第四讲巧求面积(上) 学而思

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【猿辅导】组合图形的面积(一)第4讲

猿辅导五年级秋季·能力班第四讲组合图形的面积（一）一、知识点汇总知识点1：组合图形是由几个简单的图形组合而成的，其面积既可以看作几个简单图形的面积和，也可以看作几个简单图形的面积差。

知识点2：计算组合图形的面积，要运用割补法，根据已知条件，对图形进行割补，转化成已学过的简单图形，分别计算它们的面积，再求和或差。

知识点3：网格线法：利用网格线将图形分成很多个小格，每个小格的面积均相等，在由已知部分求整体或者已知整体求部分。

知识点4：求不规则阴影部分的面积，常用整体减部分的方法。

二、练习1、填空（1）如图所示，该图形的面积为_________。

（2）下列图形的面积为______。

44（3）计算下面图形的面积，列式是_______。

（4）已知正六边形ABCDEF的面积为72，则图中阴影部分的图形为______。

（5）两个完全一样的三角形重叠在一起，阴影部分面积是______。

（6）如图，梯形的面积是__________（单位：厘米）（7）已知大的正六边形面积是平方厘米，按下图中的方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积是_______平方厘米(8)如图，每个小网格都是边长为的小正方形，如果正方形和正方形的顶点都在网格点上，那么，阴影部分的面积是_______。

2、应用题（1）如图是由一个大正方形和一个小正方形拼成的图形，已知小正方形的边长是6厘米，空白部分的面积是66平方厘米，则阴影部分的面积是多少？（2）如图所示，大正方形和小正方形的边长分别是4cm、3cm，求阴影部分的面积。

（3）求图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）（4）正方形ABCD与正方形CDEF水平放置组成如图所示的组合图形，已知该组合图形的周长是62厘米，DG长2厘米，那么，图中阴影部分三角形的面积是多少？（5）如右图所示，每个小正方形的面积都是1cm²，求阴影部分的面积。

（6）如右图所示，已知三角形ABC的面积是64cm²，是平行四边形DEFC面积的2倍，求阴影部分的面积。

四年级几何巧求周长与面积学生版

知识要点巧求周长【例 1】如图所示，在一个大长方形的右上角挖去一个小长方形。

如果大长方形的长是7厘米，宽是5厘米。

小长方形的长是5厘米，宽是3厘米。

那么该图形的周长是多少厘米？3575巧求周长与面积巧求周长长方形周长公式：长方形周长=（长+宽）2⨯，记作：C 长方形()2a b =+⨯；正方形周长公式：正方形周长=边长4⨯，记作：C 正方形4a =⨯；巧求周长时，常用到“平移线段法”和“标向法”。

巧求面积长方形面积公式：长方形面积=长⨯宽，记作：S 长方形a b =⨯；正方形面积公式：正方形面积=边长⨯边长，记作：S 正方形2a a a =⨯=；巧求面积时，常用到“割补法”（将图形平移、对称、旋转）。

【例 2】如图所示，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。

请根据图中所给出的数，求出这个多边形的周长。

（单位：分米）【例 3】如图所示，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。

请根据图中所给出的数，求出这个多边形的周长。

（单位：厘米）68【例 4】如图所示，将3个边长为8厘米的正方形叠放在一起。

后一个正方形的顶点恰好落在前一个正方形的正中心。

那么它们覆盖住的图形周长是多少厘米？【例 5】（2010年3月14日第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第9题）将边长为10厘米的五张正方形纸片如图那样放置，每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的正方形，它的边长是原正方形边长的一半，则图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为_______厘米。

【例 6】如图是由10个边长为4厘米的小正方形组成.每个小正方形的顶点恰在另一个正方形的中心，且边相互平行，求这个图形的周长。

【例 7】如图所示，从一个大正方形的边上挖去一个正方形得到一个多边形。

大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，正方形的边长是2厘米。

这个图形的周长是多少厘米？462【例 8】如图所示，四个长方形组成了一个多边形，如果图中所标数值的单位都是厘米，那么这个多边形的周长是多少厘米？836512【例 9】如图，某人从点A 走到点B 所走的路程是多少？【例 10】如图，把长为2厘米、宽为1厘米的6个长方形摆成3层。

第四节图形面积-学而思培优

第四节图形面积一、课标导航二、核心纲要1.一些常用图形的面积公式正方形面积=边长×边长；长方形（矩形）面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=;21高底⨯⨯ 梯形面积=.)(21高下底上底⨯+⨯ 2.计算图形的面积有以下常用方法(1)和差法：把图形面积用常见图形面积的和或差表示，通过常规图形面积公式计算．(2)割补法：有时直接求图形面积有困难，我们可以通过分割或补形，把图形转化为容易观察或解决的形状求解．(3)等积变换法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化易求图形的面积．(4)等比法：将面积比转化为线段比． 3．在两个三角形中(1)同（等）高时，面积之比等于底之比． (2)同（等）底时，面积之比等于高之比． 4.等分三角形面积三角形一边中线平分三角形面积． 5．常见的基本模型本节重点讲解：图形面积的计算和证明．三、全能突破基础演练1．如图11-4—1所示，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、AC 的中点，且,16=∆ABC s 则DEF s ∆的面积为( )．2.A 8.B 4.C 1.D2．如图11-4 -2所示，在△ABC 中，,2,1==BC AB 则△ABC 的高AD: CE 为( )2:1.A 1:2.B 4:1.C 1:4.D3．已知△ABC 的面积为3，边BC 长为2，以点B 为原点，BC 所在的直线为z 轴建立平面直角坐标系，则点A 的纵坐标为( )3.A 3.-B 6.C 3.±D4．图ll-4-3(a)、(b)为两个相同的矩形，若图(a)阴影区域的面积为10，则图(b)的阴影面积等于( ) 40.A 30.B 20.C 10.D5．如图11-4 -4所示，已知BD AC ⊥于点CO D B O C A O B A O DO ∆∆∆∆、、、,的面积分别为、、、321s s s ,4S 设,,n BD m AC ==则下式中正确的是( )． mn s s s s A 21.4321=+++ mn s s s s B =+++4321. mn s s s S C 21.4321=⋅⋅⋅ mn S S s s D =⋅⋅⋅4321.6．如图11-4 -5所示，在△ABC 中，E 为BC 的中点，AD 上BC 于点D ，以下结论：;AE AD <①;CE BE =②;ACE ABE s s ∆∆>③ ,CDBDs s ACD ABD =∆∆④其中正确的命题为7．如图11-4 -6所示，在△ABC 中，AD 、BE 相交于点,1:2:,2:3:,==CE AE CD BD O 若,2=∆COD S 求：AO B Aoc BO C s s s ∆∆∆::)1(的值．(2)求⋅∆ABC s8．图11-4 -7所示是某个公园ABCDEF ，M 为AB 的中点，N 为CD 的中点，P 为DE 的中点，Q 为FA 的中点，其中游览区APEQ 与BNDM 的面积和是900平方米，中间的湖水AMDP 的面积为361平方米，其余的部分是草地，求草地的总面积．9．认真阅读，并回答下面问题：如图11-4 -8所示，AD 为△ABC 的中线，ABD S ∆与ADC s ∆相等吗？【解】过A 点作BC 边上的高h ， ∵ AD 为△ABC 的中线 .DC BD =∴.21,21h DC S h BD s ACD ABD ⋅=⋅=∆∆ ,ACD ABD s s ∆∆=∴(1)用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：(2)利用上面所得的结论，用不同的分割方法分别把下面两个三角形面积4等分（只要割线不同就算一种）． (3)已知：AD 为△ABC 的中线，点E 为AD 边上的中点，若△ABC 的面积为,4,20=BD 求点E 到BC 边的距离为多少？能力提升10.如图11-4 -9所示，三边均不相等的△ABC，若在此三角形内找一点0，使得△OAB、△OBC、△OCA 的面积均相等，判断下列作法正确的是( )． A.作中线AD ，再取AD 的中点0B ．分别作中线AD 、BE ，再取此两中线的交点0C ．分别作AB 、BC 的中垂线，再取此两中垂线的交点0D ．分别作∠A 、∠B 的角平分线，再取此两角平分线的交点011．如图11-4 -10所示，在正方形ABCD 中，DCE AB ∠=,2是正方形AB CD 的外角，P 是DCE ∠的角平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于( ) 1.A 5.1.B 2.C 5.2.D12.如图11-4 -11所示，△ABC 的面积为,182cm 点D 、E 、F 分别位于AB 、BC 、CA 上，,//AC DE 且,5,4cm DB cm AD ==则△ABE 的面积是( )． 8.A 9.B 10.C 12.D13.如图11-4 -12所示，在△ABC 中，点M 是BC 边上任意一点，D 、E 、F 分别是AM 、BD 、CE 的中点，且,1=∆ABC s 则=∆DEF s ( )．21.A 41.B 61.C 81.D14.如图11-4 -13所示，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点．三角形BDF 的面积是,62cm 则长方形ABCD 的面积为15.如图11-4 -14所示，面积为16的△ABC 中两中线AD ⊥BE ，若:2:=÷BE AD ,3则BE 的长为16.探索在图ll-4-15(a)至图11-4-15(c)中，△ABC 的面积为a ．(1)如图(a)所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，使,BC CD =连接DA.若△ACD 的面积为,1s 则=1s （用含a 的代数式表示）；(2)如图(b)所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使,,CA AE BC CD ==若△DEC 的面积为,2s 则=2s （用含a 的代数式表示），并写出理由；(3)在图(b)的基础上延长AB 到点F ，使,AB BF =连接FD 、FE ，得到△DEF(如图(c)所示）．若阴影部分的面积为,3S 则=3s （用含a 的代数式表示）．发现像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图(c)所示），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的倍．应用去年在面积为210m 的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH(如图(d)所示）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？17.已知，如图11-4 -16所示，,//,//BD CE AB DC 交AD 的延长线于点E ，求证：⋅⋅=∆∆∆D CE ABD BCD s s s 2)(18．(1)①问题1：如图ll-4-17(a)所示，已知△ABC，请你过点A 画一条直线，把△ABC 分成面积相等的两部分(在图(a)中画出来，简要写出作法）．②问题2：如图ll-4-17(b)所示，已知,//21l l 点A 、D 在1l 上，点B 、C 在2l 上，试说明△ABO 与△DCO 面积相等．(2)应用：如图ll-4-17(c)所示，在△ABC 中，点M 在AB 边上，过点M 画一条直线，将△ABC 的面积二等分（保留作图痕迹，不写作法）．(3)拓展：如图ll-4-17(d)所示，四边形ABCD 是一块土地的示意图，过点D 修一条直路，直路修好后，要保持直路两边的面积相等，请你确定出这条直路（不计直路的占地面积）． ①简要写出设计方案，并在图(d)中画出相应的图形．②说明方案的设计理由．19．如图11-4 -18所示，在△ABC 中，AC AC AB ,=边上的高.10cm BD =(1)如图(a)所示，求AB 边上的高CE 的长．(2)如图(b)所示，若点P 为BC 边上任意一点，AB PM ⊥于点AC PN M ⊥,于点N ，求PN PM +的值．(3)如图(c)所示，若点P 为BC 延长线上任意一点，AB PM ⊥于点AC PN M ⊥,于点N ，在.PN PM +①PN PM -②中有一个是定值，判断出来并求值．20．阅读理解如图ll-4-19(a)所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，如果用ABC S ∆表示△ABC 的面积，则由等底同高的三角形的面积相等，可得⋅==∆∆∆ARC ACD ABD s s s 21同理，如图(b)所示，在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，可得⋅===∆∆∆∆ABC c ADE ABD s s s s 31π 结论应用已知：△ABC 的面积为1，请利用上面的结论解决下列问题：(1)如图ll-4-20(a)所示，若D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，则△DBF 的面积为类比推广(2)如图ll-4-20(b)所示，△ABC 的面积为1，D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点，四边形PECF 的面积．中考链接21.（2011．福州）如图11-4—21所示，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 的个数是( )．2.A3.B4.C5.D22.（2011．随州）如图11-4 - 22所示，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，,2BE EC =点D 是AC 的中点，设BEF ADF ABC ∆∆∆、、的面积分别为,BEF AD F ABC s s S 、、∆∆且,12=∆ABC s 则=-∆∆BEF ADF s S ( )1.A2.B3.C4.D巅峰突破23.如图11-4 - 23所示，在矩形ABCD 中，、、H E AB AD BF BG AE ,23121=====G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( )． 8.A 12.B 16.C 20.D24.如图11-4 - 24所示，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点0，已知,2,OE OC OD OB ==设COD BOC BOE ∆∆∆、、和四边形AEOD 的面积分别为⋅4321s s s s 、、、(1)求31:s s 的值；(2)如果,22=s 求4S 的值．25.直角三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，在三角形内部有一点P，已知点P到三角形其中两条边的距离分别为3.2cm和0.5cm，求点P到三条边的距离.。

小升初数学专题：巧求面积

解析
连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO 设ECO面积为x，DCO面积为y 由条件知，EO：OB＝1：2， AO：OD＝2：3
A E
则（AEO+ECO）:DCO＝2 :3
O
ECO：（DCO+BOD）＝1:2
即： x：(y+3)=1：2
B
C
D
(x+1)：y=2：3 解得：x=9, y=15
C
答：阴影部分的面积是18.24平方厘米。
D
F
O
A
B
A
课后作业
以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
巧求面积 ——放大法
典型例题精讲
例1. 图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直径，长20厘米，计算AB的长度。
9厘米 5厘米
例6.ABC是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。
D
B
F
A
C
E
解析
我们用割补法，将阴影部分割补成一个半圆形，求出阴影部分面积就可以了。 S半圆=10× 10× 3.14÷ 2=157平方分米
D
B
F
A
C
E
例7.如图所示，空白部分占正方形面积的几分之几？
解析
解析
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角形拼成一个长方形见右图。显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。还可以拼成一个平行四边形或将其分成9个三角形。
例5. 如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

小学六年级小升初培优奥数-巧求面积

巧求面积☜知识要点在图形面积的计算问题中，一般包括简单图形（长方形、正方形、三角形、圆等）面积的计算和组合图形面积的计算。

本讲讨论由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形面积的计算。

对于不规则图形面积的计算问题，一般将它化为若干基本规则图形的组合。

常用的基本方法有：（1）将不规则图形分解成几个规则图形，再求面积的和；（2）将不规则图形看成规则图形的面积之差；（3）将图形割补；（4）将图形重新组合（也可视为割补）；（5）旋转，等等。

☜精选例题【例1】：三角形AOB为直角三角形，BO是圆的直径，并且BO=10厘米，如图阴影（甲）的面积比阴影（乙）的面积大9.25平方厘米，那么AO的长度是多少厘米？☝思路点拨：要求出AO的长，现已知了BO的长，只要求出三角形AOB的面积即可。

由已知条件阴影（甲）的面积比阴影（乙）的面积大9.25平方厘米，即半圆的面积比三角形AOB 的面积大9.25平方厘米，从而可求出三角形AOB的面积。

☝标准答案：半圆的面积为3.14×（10÷2）2÷2=39.25（平方厘米）三角形AOB的面积为：39.25-9.25=30（平方厘米）由此可得，AO的长度为30×2÷10=6 （厘米）。

答：AO的长度为6厘米。

活学巧用1、如图，平行四边形BCEF 中，BC = 8厘米，直角三角形中，EC = 10厘米，三角形ABG 与三角形FDC 的面积和比三角形EFG 的面积大8平方厘米。

求EF 长多少厘米？2、已知半圆的半径是4，阴影部分①比阴影部分②面积大4.44平方厘米，求BC 的长？3、如右图：正方形的边长6分米，求图中阴影部分的面积。

怎么计算阴影部分的面积？E F G A B C② ① C BA【例2】：图中阴影部分的面积是多少平方厘米?☝思路点拨：如果直接计算图中阴影部分的面积，几乎是不可能的。

仔细观察我们发现用四分之一大圆的面积（或者大扇形面积）减去右面空白处的面积，就容易求出阴影部分的面积了。

巧奥数巧算面积(课堂PPT)

12÷4=3（平方米）。
因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是：
3÷1=3（米）。
中间花坛的面积是：（3＋1）×（3＋1）－4×3=4（平方米）
12
做一做 5
问题如下图，有一个正方形水池（图中阴影部分），在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米。求水池的边长。
答案
13
如下图①，正方形的边长为12厘米。
小
奥
学
数
巧算面积
1
四年级奥数- 基础点睛巧算面积
解答比较复杂的关于长方形、正方形的周长和面积的计算问题时，不能生搬硬套公式，需要运用移位、合并、分解、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中至关重要。
2
例题1
下图①是一块长方形草地，长方形长255米，宽的，一条是平行四边形的。
问有草部分的面积是多少？
答案
将上图①中的四块阴影部分平移，拼在一起，组成一个长、宽各少5米的长方形（如上图②阴影部分）。（255－5）×（105－5）=25000（平方米）
3
如下图所示，一块长方形草地，长100米，宽80米，中间有条宽4米的道路，求草地（阴影部分）的面积。
做一做 1
问题
4
求下图的面积。（单位：厘米）
10
做一做 4
问题有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长形拼成的大长方形（如下图)的周长是29厘米，求这个大长方形的面积。
答案
11
例题5
一个正方形的花坛，四周有1米宽的水泥路（如右图①），问题如果水泥路的总面积是12平方米，问中间花坛的面积是多少平方米？
答案
把水泥路的部分分成四个同样大小的长方形（如右图②）。每个长方形的面积是：

三年级：美妙数学之“巧算面积”（0506三）

三年级：美妙数学之“巧算⾯积”（0506三）
亲爱的⼩朋友，你好！我是朱乐平名师⼯作站的舒翔⽼师。

今天与你来分享的内容是“巧算⾯积”。

准备好了吗？我们开始吧！
巧算⾯积
在计算⽐较复杂的平⾯图形时，我们需要采取⼀些好⽅法，才能快速有效的解决问题，今天
我们就来⼀起探究⼀些巧算⾯积的⽅法吧！
美美
同学们，请你试试看哦！
天天
1.分割法
2.添补法
1.分割法
2.添补法
同学们，请你挑战这题看看把！
同学们，你⼀定发现了，这三种道路分布，剩下的⾯积是⼀样的！其实，⾯积巧算⾥，还可以
运⽤平移、旋转等⽅法，对图形进⾏恰当合理的变形，再经过分析推导来寻求解题的有效途
径。

希望你们课后能⾃⼰多多去探求其他的⽅法哦！
美妙数学天天见，每天进步多⼀点。

亲爱的⼩朋友，咱们明天再见！。

学而思初一数学秋季班第4讲.整体思想求值.尖子班.学生版

35初一秋季·第4讲·尖子班·学生版生活水平提高了满分晋级阶梯漫画释义4整体思想求值代数式3级找规律、程序运算和定义新运算代数式2级整体思想求值代数式1级整式的概念及加减运算36 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版题型切片（七个）对应题目题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1 整式加减的化简求值例2；练习1 化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2 整体思想之整体化简例4；练习3 整体思想之代入求值例5：练习4 整体思想之构造整体例6；练习5 整体思想之赋值例7；练习6整式加减的实质： ⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项. 整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法： ⑴由内向外逐层进行； ⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若27m xy +-与33nx y -是同类项，则m =_______, n =________.⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________.【例2】 ⑴化简：①()222323x x x x ⎡⎤---=⎣⎦ ；②()()3105223xy y x xy y x ++-+-=⎡⎤⎣⎦ .⑵化简求值：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-22411444841x x x x ，其中21-=x ．37初一秋季·第4讲·尖子班·学生版⑶已知：()2210x y ++-=，求()2222252342xy x y xy xy x y ⎡⎤-+--⎣⎦的值.【例3】 ⑴当k =时，代数式643643154105x kx y x x y --++中不含43x y 项.⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整38 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．【例4】 ⑴计算5()2()3()a b b a a b -+---= ．⑵化简：22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= ．⑶化简：()()()432330321223120573x y y x x y -+----+= ．【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式()()25a b a b ---的值为 .⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 .⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为_______.⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式2463x x -+的值为 .⑸已知32c a b =-，求代数式22523c a b a b c ----的值.【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= .⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求()()()a c b d c b -⨯-⨯-的值．39初一秋季·第4讲·尖子班·学生版【例7】 ⑴已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1x =时，值为1，求该代数式当1x =-时的值．⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16，求2x =时，代数式423ax cx ++的值.【选讲题】【例8】李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案．【例9】设55432(21)x ax bx cx dx ex f -=+++++，求：⑴ f 的值；⑵ a b c d e f +++++的值； ⑶ a b c d e f -+-+-的值；40 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版⑷ a c e ++的值．41初一秋季·第4讲·尖子班·学生版训练1. 已知：m ，n 互为倒数，且20090m n ++=，求()()222010120101m m n n ++++的值．训练2. 已知()253425x ax bx cx M x dx e++=-++，当4x =-时，5M =，那么当4x =时，M = ．训练3. 已知261211102121110210(1)x x a x a x a x a x a x a -+=++++++，求1210820a a a a a +++++的值．训练4. 已知有理数a 和b 满足多项式()25212b A a x xx bx b +=-+-++是关于x 的二次三项式．当7x <-时，化简：x a x b -+-42 初一秋季·第4讲·尖子班·学生版利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】已知5+43a x y 与315b x y 是同类项，化简代数式()()2222352ab a a ab a ab ⎡⎤-----+⎣⎦并求该代数式的值.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】有这样一道题：“计算()()()32232332323223x x y xy x xy y x x y y ----++-+-的值”，其中“2013,1x y ==-”. 甲同学把“2013x =”错抄成了“2013x =-”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.整体思想之整体化简【练习3】把()a b -当作一个整体，合并22()5a b --2()b a -+2()a b -的结果是（）A ．()2a b - B ．()2a b -- C ．()22a b -- D ．0整体思想之代入求值【练习4】 ⑴如果36a b -=，那么代数式53a b -+的值是___________.⑵已知5=-y x ，代数式y x --2的值是_________．⑶已知24x y -+=，则代数式()2526360x y y x --+-的值为．⑷若23x x +的值为2，则2396x x +-的值为_____． ⑸若2320a a --=，则2526a a +-＝．整体思想之构造整体43初一秋季·第4讲·尖子班·学生版【练习5】如果1662=+xy x ，1242-=-xy y ，则222y xy x ++的值为．整体思想之赋值【练习6】 ⑴已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为6，那么当2x =时，代数式31ax bx ++的值是多少？⑵若533y ax bx ax =++-，当2x =-时，10y =，则2x =时，y = ．是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

第四讲巧求面积(上) 学而思

巧求面积（上）正方形面积＝边长×边长正方形面积＝对角线×对角线÷2长方形面积＝长×宽三角形面积＝底×高÷2平行四边形面积＝底×高梯形面积＝(上底＋下底) ×高÷2(★★)如图，边长分别为8，4，10的三个正方形放在一起，则其中四边形ABCD的面积是______。

(★★★)一块长方形地长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使原来的面积不变，长应减少多少米？(★★★)有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？(★★★)如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米。

把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？(★★★★)如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米。

(★★★★)一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？(★★★)有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？(★★★★)如图，大正方形的面积为9，中间小正方形的面积为1，甲、乙、丙、丁是四个梯形，那么乙与丁的面积之和是______。

【本讲总结】两个突破口：一、寻找不变量二、寻找等量两个思想：一、等量代换二、任我意重点例题：例4，例5，例7在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．(★★★)如下图，边长分别为8，6，10的三个正方形放在一起，那么其中四边形ABCD 的面积是( ) A ．24 B ．48 C ．88 D ．112DC BA2．(★★★)一块长方形地长是60米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使原来的面积不变，长应减少( )米 A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．(★★★)有一个长方形，如果宽减少3米，或长减少4米，则面积均减少24平方米。

第四讲--巧算面积

第四讲巧算面积计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。

因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。

例如，对左以下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形(见右以下图)，分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。

例1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。

这个正方形木板的面积是多少平方米？举一反三将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？例2 求下面图形的面积。

〔单位：厘米〕1324举一反三计算下面图形的面积。

〔单位：厘米〕(1)15203040 (2)31122例3 有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。

如果把它们按以下图叠放，这个图形的面积是多少？举一反三求以下图中阴影部分的面积。

〔单位：分米〕例4 一个长方形假设长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，假设宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米。

求原来长方形的面积。

3举一反三一个长方形，假设长减少5厘米，面积就减少50平方厘米，假设宽增加7厘米，面积就增加28平方厘米。

原来长方形的面积是多少平方厘米？例5 右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。

它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。

求游泳池面积和地砖面积。

举一反三有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？例6 一个边长为10米的正方形花坛，依次连接四边中点得到一个小正方形的喷泉，求小正方形喷泉的面积。

例7 一个长方形，如果宽增加2厘米，或长增加3厘米，他们的面积都增加120平方厘米，原来长方形的面积是多少？举一反三有一个长方形，如果宽不变，长增加4米，面积就增加24平方米，如果长不变，宽增加3米，面积就增加36平方米，求原来长方形的面积。

2011年学而思春季第四讲(几何计数)

第四讲几何计数一、计数问题宗旨：不重不漏两大思想：有序（分步）；分类二、“模型”类 1、（）条线段（）个锐角（）个三角形（）个长方形以前方法：若基本图形有n 个，用公式 n + (n-1) + (n-2) + … + 2 + 1计算即可组合方法：C n 2—— 数线段中n 代表点的数目数锐角中n 代表射线的数目数三角形和长方形是数线段的延伸。

2、多层长方形及长方体3、正方形横×竖即：横着的线段数×竖着的线段数如左图应该是6×3=18（个）长方形长×宽×高即：“长”的线段数×“宽”的线段数×“高”的线段数如左图应该是10×10×10=1000（个）长方体4、金字塔型三角形图5、格点套正方形顶点 2×2 3×3 4×4 5×5 正向 1 5 14 30 斜向 0 1 6 20 总数162050个顶点时的斜向正方形的数目等于（n-1）×（n-1）个顶点时的正方形总数（提高）学案4 4×4的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方向有多少个？解析：对照模型，不难得出正方形总数为20个。

具体是3×3+2×2+1×1=14（个）斜向：这样的有42个根据规律：1×1的: 5×4个 2×2的：4×3个 3×3的：3×2个 4×4的：2×1个（1）数火柴棍——数正立的小三角形该三角形数量：1+2+3+……+n （n 是层数）（2）数单位面积——数小三角形n 2（n 是层数）（3）共有多少三角形——正立的：递减“1” 倒立的：递减“2”三、组合类1、基本方法：先基本图形，再逐个组合（先数1个基本图形的，再数2个基本图形的……）参见例42、“标准”+“标准”，要注意 +“新”参见课前连环画3、“标准”+“标准”，要注意 -“重” （容斥原理）参见例64、排除法参见基础学案25、递推法参见尖子学案1四、方块涂色对于多层长方体/正方体，我们可按照涂色面的多少，将方块分为1、看不见的（0面涂色）2、中心块（1面涂色）同学们要熟悉每一类所在的位置3、棱块（2面涂色）4、角块（3面涂色）例2 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小长方体？解析：总块数不会太少；一种是多层的情况，两个面都涂上红色的方块就应该是棱块，要总块数少，其他块就尽可能节省，但8个角块是省不掉的，而“中心块”和“看不见的”都能省掉。

学而思-数学-三年级-期末复习知识点汇总复习课程

三春十五讲知识点总结第一讲巧填算符1.注意读题，分清数字之间和适当位置的区别。

2.方法：倒推法（从后向前一步一步推）凑数法（可合并数的问题先凑个和结果相近的数）分组固定搭配（能够出1或0的重点考虑）和差法（全加减法，假设全是＋，再换成－）3.括号位置影响结果，剧烈变化多考虑乘除，其次加减。

4.二十四点多利用固定搭配考虑，如3×8,4×6,2×12,18+6,16+8等。

第二讲有余数除法1.重要特征，余数重要考察点：除数＞余数2.余数性质（除数相同时）：和的余数=余数的和；差的余数=余数的差（除法算式除数相同可以相加减）注意余数保证比除数小。

第三讲平行四边形与梯形1.理解高的含义。

2.面积计算：①平行四边形：底×高②梯形：（上底+下底）×高÷2梯形面积已知后倒推其他条件注意灵活运用。

第四讲小数的认识1.注意数位含义：十分位（几个0.1），百分位（几个0.01），千分位（几个0.001）……2.比较大小从左到右按照数位依次比较。

3.小数点的移动：×10，×100……向右移动，0有几个移动几个数位；÷10，÷100……向左移动，0有几个移动几个数位。

4.加减法：和自然数相同，只需要注意小数点先对齐再算，小数部分缺位补0.第五讲年龄问题1.基本特征：你长我也长，年龄差永不变。

2.涉及到的类型：和差倍，变倍，当当型。

借助画图，利用年龄差永不变来算。

第六讲简单统计1.统计图优势：清晰明了，可根据图进行对比。

2.平均数：总和÷个数3.中位数：大小排序后最中间的数4.众数：出现次数最多的数据。

5.注意此类问题开放问题多，需要根据题目给出的数据进行合理化分析。

第七讲标数法1.注意适用题型：最短路线。

2.方法：每个点的方法数等于前一步所有点的方法数之和。

3.步骤：定起点，终点，确定最短路线的方向，从起点开始一步步每个点都标数。

第四讲图形与面积提高班教师版

cb ac
【例3】有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互
叠合（见下图）。已知露在外面的部分中，红色面积是 20，黄色面积
是 14，绿色面积是 10。求正方形盒底的面积。
黄
黄
分析：将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图。黄、
红
绿两色的面积之和保持 14+10=24 不变，则在右图中这两块面积相等，
分析：如图将这个四边形补成一个三角形.那么三角形 A
A
AFE 是一个等腰直角三角形，所以 FE=AE=12，所以三角形 ADF 的底长 DF=12+5=17 厘米，而高 AE=12 厘米，所以三角形 ADF 的面积等于 17×12÷2＝102 平方厘米.而三角形 ADF 比四边形 ABCD 多出一块等腰直 B 角三角形 BFC，它的面积为 6×6÷2＝18 平方厘米，所
J
K
分析：方法一：在原有的正方形的基础上补上四个直角三角形那么图形就变成了一个更大的正方形经过分割后发现大正方形总共有 25 个小正方形，补的 4 个直角三角形共有：8 个，那么原有的正方形里共有 25－8＝17 个，阴影部分有 9
个所以阴影部分的面积为： 9 。 17
方法二：本题以后我们可以用相似三角形的内容来讲解。这些内容我们会到五升六暑假班讲，老师可以根据本班的情况适当的拓展。通过观察发现若想求阴影部分的面积就需要在正方形面积里减去空白部分
BA
P 5R
9
F
Q B AE P 5R 9H G F QM N
E
【例7】如图所示在四边形 ABCD 中，线段 BC 长为 6 厘米，角 ABC 为直角，角 BCD 为 1350，而且点

四年级奥数竞赛4.巧求面积(上)答案

2011秋季学而思奥数测试题答案第1题 (本题10分)（★★）有一列数：l，2，4，7，1l，16，22，29，37，问这列数第15个数是多少?1.A 1052.B 1063.C 1104.D 104正确率：有69%的网校学员答对了该题知识点：数列正确答案：B试题讲解：第2题 (本题10分)1.A 6012.B 600C 5993.4.D 602正确率：有50%的网校学员答对了该题知识点：数列计算正确答案：A试题讲解：第3题 (本题10分)1.A 1252.B 1303.C 1004.D 98正确率：有85%的网校学员答对了该题知识点：数列计算正确答案：C试题讲解：第4题 (本题10分)1.A 452.B 603.C 284.D 50正确率：有73%的网校学员答对了该题知识点：数列计算正确答案：D试题讲解：第5题 (本题10分)（★★★）在1~300这三百个自然数中，所有能被4整除的数的和是多少？1.A 114002.B 114403.C 112404.D 12400正确率：有70%的网校学员答对了该题知识点：数列求和正确答案：A试题讲解：第6题 (本题10分)（★★★★）56个互不相同的非零自然数之和为2800，问最少有多少个偶数？1.A 32.B 53.C 44.D 6正确率：有65%的网校学员答对了该题知识点：数列正确答案：C试题讲解：===================================================================== 第1题 (本题10分)A 49501.2.B 50503.C 5051D 60504.正确率：有100%的网校学员答对了该题知识点：数列求和正确答案：B试题讲解：第2题 (本题10分)A 20130211.2.B 20140243.C 20150284.D 2016033正确率：有100%的网校学员答对了该题知识点：数列求和正确答案：C试题讲解：第3题 (本题10分)1.A 50472.B 5050C 101003.4.D 10094正确率：有100%的网校学员答对了该题知识点：数列求和正确答案：A试题讲解：第4题 (本题10分)1.A 48932.B 49003.C 48914.D 4901正确率：有100%的网校学员答对了该题知识点：平方差公式正确答案：C试题讲解：第5题 (本题10分)1.A 125262.B 125273.C 125284.D 12529正确率：有80%的网校学员答对了该题知识点：平方和公式正确答案：D试题讲解：第6题 (本题10分)1.A 3382802.B 3383203.C 3383504.D 338380正确率：有60%的网校学员答对了该题知识点：平方和公式正确答案：B试题讲解：第1题 (本题10分)桌子上放着40根火柴，甲、乙二人轮流每次取走根。

学而思九年级数学上1-12讲

第一讲 ───垂直平分线与角平分线第二讲 ───等腰三角形第三讲 ───平行四边形的性质与判定第四讲 ───菱形的性质与判定第五讲 ───矩形的性质与判定第六讲 ───平行四边形和特殊平行四边形性质的应用第七讲 ───中垂线角平分线复习题第八讲 ───梯形第九讲 ───二次函数c ax y +=2的图象第十讲 ───二次函数y=ax 2的图象与性质第十一讲 ───二次函数y=ax 2+bx+c 的性质与图象第十二讲 ───二次函数的最值问题第一讲───垂直平分线与角平分线【知识要点：】Ⅰ.线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离都相等。

线段的垂直平分线逆定理：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则它必在线段的垂直平分线上。

Ⅱ.三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。

Ⅲ.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（注：距离是指角平分线上任一点到这个角的两边所作的垂线段的长度。

）角平分线性质定理的逆定理：若某点到一个角的两边距离相等，则该点在这个角的平分线上。

Ⅳ.三角形三角的角平分线的性质：三角形三角的角平分线的交点到三边的距离相等。

【经典例题：】例1.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.例2．如右图，已知ABCABC，AD是BC边上的高，E是AD上一点，ED=CD，∆中，BA=BC，︒∠45=连接EC。

求证：EA=EC。

例3.如右图，已知AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，DE=DF 。

求证：AD 垂直平分EF 。

例4．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边上BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5，求EF 的长．例5．如右图，四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ACB ADB ，E ，F 分别是DC 、AB 的中点，连接DF 、CF ，观察图形：（1）DF 和CF 相等吗？为什么？（2）EF 是否垂直平分DC ，请说明理由。

四年级上册数学试题-几何专题讲义(共6讲)-第4讲巧求周长与面积全国通用(含答案)

知识要点巧求周长【例 1】如图所示，在一个大长方形的右上角挖去一个小长方形。

如果大长方形的长是7厘米，宽是5厘米。

小长方形的长是5厘米，宽是3厘米。

那么该图形的周长是多少厘米？35755357【分析】该图形的周长C C =大长方形()75224=+⨯=厘米。

巧求周长与面积巧求周长长方形周长公式：长方形周长=（长+宽）2⨯，记作：C 长方形()2a b =+⨯；正方形周长公式：正方形周长=边长4⨯，记作：C 正方形4a =⨯；巧求周长时，常用到“平移线段法”和“标向法”。

【例 2】如图所示，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。

请根据图中所给出的数，求出这个多边形的周长。

（单位：分米）【分析】如图所示，该图的周长()1050502220C =++⨯=⎡⎤⎣⎦分米。

【例 3】如图所示，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。

请根据图中所给出的数，求出这个多边形的周长。

（单位：厘米）86【分析】这个多边形的周长C多边形()586228rectan gle C ===+⨯=厘米。

【例 4】如图所示，将3个边长为8厘米的正方形叠放在一起。

后一个正方形的顶点恰好落在前一个正方形的正中心。

那么它们覆盖住的图形周长是多少厘米？【分析】三个小正方形覆盖住的图形周长C C =大正方形()448464=++⨯=厘米。

【例 5】（2010年3月14日第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第9题）将边长为10厘米的五张正方形纸片如图那样放置，每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的正方形，它的边长是原正方形边长的一半，则图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为_______厘米。

【分析】如图所示，图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为304120⨯=厘米。

巧求周长与面积答案版

第1讲巧求周长和面积几何是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门科学，是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具．几何问题非常直观、有趣，但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法掌握不好．之前已经学习了长方形和正方形的周长和面积公式，利用公式可以解决一些简单的标准图形的周长和面积问题，对于一些复杂的不规则图形的周长和面积问题，我们可以采用平移、转化、分割、添补、合并等方法，将问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题，从而顺利的解决．周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长．面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积．长方形的周长2=⨯(长+宽)．面积=长⨯宽．正方形的周长4=⨯边长．正方形的面积=边长⨯边长．编写说明知识要点【例1】下图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是多少厘米?【分析】每个正方形的面积为4001625÷=(平方厘米)，所以每个正方形的边长是5厘米。

观察上图，这个图形的周长从上下方向来看是由7214⨯=条正方形的边组成，从左右方向来看是由⨯+⨯=条正方形的边组成，所以其周长为514520170⨯+⨯=厘米。

423420【前铺】学而思学员中有两只小牛：海海、宝宝，他们是两兄弟，放学后两人一起回家，海海走第一条路，宝宝走第二条路，他们的速度一样，那么谁会先到家呢？【分析】因为海海和宝宝速度相同，所以只要知道谁走的路程少，那么答案也就出来了。

首先可以让大家讨论一下，认为海海先到家的举手，然后认为宝宝先到家的举手。

并请大家说明自己的理由。

【温馨提示】通过这题来引出我们本节课的主题，最后可以点出巧求周长常用的方法是平移，当然还有转化，分割，添补，合并等。

然后第一题例题的拓展就可以用这种方法来解决。

【拓展】图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是22厘米，那么图⑵的周长是多少厘米？(1)(2)【分析】图⑴的周长是小正方形边长的12倍，图⑵的周长是小正方形边长的18倍，因此，图⑵的周长为22121833÷⨯=厘米。

第四节图形面积-学而思培优

第四节图形面积一、课标导航二、核心纲要1.一些常用图形的面积公式正方形面积=边长×边长；长方形（矩形）面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=;21高底⨯⨯ 梯形面积=.)(21高下底上底⨯+⨯ 2.计算图形的面积有以下常用方法(1)和差法：把图形面积用常见图形面积的和或差表示，通过常规图形面积公式计算．(2)割补法：有时直接求图形面积有困难，我们可以通过分割或补形，把图形转化为容易观察或解决的形状求解．(3)等积变换法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化易求图形的面积．(4)等比法：将面积比转化为线段比． 3．在两个三角形中(1)同（等）高时，面积之比等于底之比． (2)同（等）底时，面积之比等于高之比． 4.等分三角形面积三角形一边中线平分三角形面积． 5．常见的基本模型本节重点讲解：图形面积的计算和证明．三、全能突破基础演练1．如图11-4—1所示，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、AC 的中点，且,16=∆ABC s 则DEF s ∆ 的面积为( )．2.A 8.B 4.C 1.D2．如图11-4 -2所示，在△ABC 中，,2,1==BC AB 则△ABC 的高AD: CE 为( )2:1.A 1:2.B 4:1.C 1:4.D3．已知△ABC 的面积为3，边BC 长为2，以点B 为原点，BC 所在的直线为z 轴建立平面直角坐标系，则点A 的纵坐标为( )3.A 3.-B 6.C 3.±D4．图ll-4-3(a)、(b)为两个相同的矩形，若图(a)阴影区域的面积为10，则图(b)的阴影面积等于( ) 40.A 30.B 20.C 10.D5．如图11-4 -4所示，已知BD AC ⊥于点COD BOC AOB AOD O ∆∆∆∆、、、,的面积分别为、、、321s s s ,4S 设,,n BD m AC ==则下式中正确的是( )．mn s s s s A 21.4321=+++ mn s s s s B =+++4321. mn s s s S C 21.4321=⋅⋅⋅ mn S S s s D =⋅⋅⋅4321.6．如图11-4 -5所示，在△ABC 中，E 为BC 的中点，AD 上BC 于点D ，以下结论：;AE AD <①;CE BE =②;ACE ABE s s ∆∆>③ ,CDBD s s ACD ABD =∆∆④其中正确的命题为7．如图11-4 -6所示，在△ABC 中，AD 、BE 相交于点,1:2:,2:3:,==CE AE CD BD O 若,2=∆COD S 求：AOB Aoc BOC s s s ∆∆∆::)1(的值．(2)求⋅∆ABC s8．图11-4 -7所示是某个公园ABCDEF ，M 为AB 的中点，N 为CD 的中点，P 为DE 的中点，Q 为FA 的中点，其中游览区APEQ 与BNDM 的面积和是900平方米，中间的湖水AMDP 的面积为361平方米，其余的部分是草地，求草地的总面积．9．认真阅读，并回答下面问题：如图11-4 -8所示，AD 为△ABC 的中线，ABD S ∆与ADC s ∆相等吗？【解】过A 点作BC 边上的高h ， ∵ AD 为△ABC 的中线 .DC BD =∴.21,21h DC S h BD s ACD ABD ⋅=⋅=∆∆ ,ACD ABD s s ∆∆=∴(1)用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：(2)利用上面所得的结论，用不同的分割方法分别把下面两个三角形面积4等分（只要割线不同就算一种）． (3)已知：AD 为△ABC 的中线，点E 为AD 边上的中点，若△ABC 的面积为,4,20=BD 求点E 到BC 边的距离为多少？能力提升10.如图11-4 -9所示，三边均不相等的△ABC，若在此三角形内找一点0，使得△OAB、△OBC、△OCA 的面积均相等，判断下列作法正确的是( )． A.作中线AD ，再取AD 的中点0B ．分别作中线AD 、BE ，再取此两中线的交点0C ．分别作AB 、BC 的中垂线，再取此两中垂线的交点0D ．分别作∠A 、∠B 的角平分线，再取此两角平分线的交点011．如图11-4 -10所示，在正方形ABCD 中，DCE AB ∠=,2是正方形AB CD 的外角，P 是DCE ∠的角平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于( ) 1.A 5.1.B 2.C 5.2.D12.如图11-4 -11所示，△ABC 的面积为,182cm 点D 、E 、F 分别位于AB 、BC 、CA 上，,//AC DE 且,5,4cm DB cm AD ==则△ABE 的面积是( )．8.A 9.B 10.C 12.D13.如图11-4 -12所示，在△ABC 中，点M 是BC 边上任意一点，D 、E 、F 分别是AM 、BD 、CE 的中点，且,1=∆ABC s 则=∆DEF s ( )．21.A 41.B 61.C 81.D14.如图11-4 -13所示，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点．三角形BDF 的面积是,62cm 则长方形ABCD 的面积为15.如图11-4 -14所示，面积为16的△ABC 中两中线AD ⊥BE ，若:2:=÷BE AD ,3则BE 的长为16.探索在图ll-4-15(a)至图11-4-15(c)中，△ABC 的面积为a ．(1)如图(a)所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，使,BC CD =连接DA.若△ACD 的面积为,1s 则=1s （用含a 的代数式表示）；(2)如图(b)所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使,,CA AE BC CD ==若△DEC 的面积为,2s 则=2s （用含a 的代数式表示），并写出理由；(3)在图(b)的基础上延长AB 到点F ，使,AB BF =连接FD 、FE ，得到△DEF(如图(c)所示）．若阴影部分的面积为,3S 则=3s （用含a 的代数式表示）．发现像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图(c)所示），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的倍．应用去年在面积为210m 的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH(如图(d)所示）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？17.已知，如图11-4 -16所示，,//,//BD CE AB DC 交AD 的延长线于点E ，求证：⋅⋅=∆∆∆DCE ABD BCD s s s 2)(18．(1)①问题1：如图ll-4-17(a)所示，已知△ABC，请你过点A 画一条直线，把△ABC 分成面积相等的两部分(在图(a)中画出来，简要写出作法）．②问题2：如图ll-4-17(b)所示，已知,//21l l 点A 、D 在1l 上，点B 、C 在2l 上，试说明△ABO 与△DCO 面积相等．(2)应用：如图ll-4-17(c)所示，在△ABC 中，点M 在AB 边上，过点M 画一条直线，将△ABC 的面积二等分（保留作图痕迹，不写作法）．(3)拓展：如图ll-4-17(d)所示，四边形ABCD 是一块土地的示意图，过点D 修一条直路，直路修好后，要保持直路两边的面积相等，请你确定出这条直路（不计直路的占地面积）． ①简要写出设计方案，并在图(d)中画出相应的图形．②说明方案的设计理由．19．如图11-4 -18所示，在△ABC 中，AC AC AB ,=边上的高.10cm BD =(1)如图(a)所示，求AB 边上的高CE 的长．(2)如图(b)所示，若点P 为BC 边上任意一点，AB PM ⊥于点AC PN M ⊥,于点N ，求PN PM +的值．(3)如图(c)所示，若点P 为BC 延长线上任意一点，AB PM ⊥于点AC PN M ⊥,于点N ，在.PN PM +①PN PM -②中有一个是定值，判断出来并求值．20．阅读理解如图ll-4-19(a)所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，如果用ABC S ∆表示△ABC 的面积，则由等底同高的三角形的面积相等，可得⋅==∆∆∆ARC ACD ABD s s s 21同理，如图(b)所示，在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，可得⋅===∆∆∆∆ABC c ADE ABD s s s s 31π 结论应用已知：△ABC 的面积为1，请利用上面的结论解决下列问题：(1)如图ll-4-20(a)所示，若D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，则△DBF 的面积为类比推广(2)如图ll-4-20(b)所示，△ABC 的面积为1，D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点，四边形PECF 的面积．中考链接21.（2011．福州）如图11-4—21所示，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 的个数是( )．2.A3.B4.C5.D22.（2011．随州）如图11-4 - 22所示，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，,2BE EC =点D 是AC 的中点，设BEF ADF ABC ∆∆∆、、的面积分别为,BEF ADF ABC s s S 、、∆∆且,12=∆ABC s 则=-∆∆BEF ADF s S ( )1.A2.B3.C4.D巅峰突破23.如图11-4 - 23所示，在矩形ABCD 中，、、H E AB AD BF BG AE ,23121=====G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( )． 8.A 12.B 16.C 20.D24.如图11-4 - 24所示，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点0，已知,2,OE OC OD OB ==设COD BOC BOE ∆∆∆、、和四边形AEOD 的面积分别为⋅4321s s s s 、、、(1)求31:s s 的值；(2)如果,22=s 求4S 的值．25.直角三角形的三条边长分别为3cm 、4cm 、5cm ，在三角形内部有一点P ，已知点P 到三角形其中两条边的距离分别为3.2cm 和0.5cm ，求点P 到三条边的距离.。

学而思数学复习

第一讲长方形与正方形1、单位换算（1）200厘米＝（）分米＝（）米（2）5㎡=( )dm2 3dm2=( )cm2（3）（）m2＝800dm2＝（）cm2（4）10公顷＝（）m22、一个长方形的面积是40平方米，长是8米，宽是（）米，这个长方形的周长是（）。

3、一个长方形的周长是40米，长是12米，宽是（）米，这个长方形的面积是（）平方米。

4、如果正方形A的连长是正方形B的边长的2倍，那么正方形A的周长是正方形B的（）倍；正方形A的面积是正方形B的面积的（）倍。

一个小正方形的连长是3厘米，一个大正方形的面积是小正方形面积的4倍，大正方形的周长是多少？5、如图，四边形ABCDE ，DEFG 均为正方形，已知CE ＝14，AG ＝2，那么两个正方形的面积之和是多少？第二讲：奇数与偶数进阶 1、判断下面程式结果的奇偶性 3+5+7+9+11+13+15+175+7+9+11+13+15+17+19+212、判断下面各式的奇偶性12×6 37×6 52×7 31×91×3×5×7×9×11×12×13 1×3×5×7×……×1991×1993AB C D EFG3、用4、5、0可以组成多少个没有重复数字的奇数和偶数？4、有四个互不相同的自然数，最大的数与最小的数之差是4，最大的数与最小的数之积是奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，则这四个数分别是多少？5、有一本500页的书，从中任意撕下20X纸，这20X纸上所有页码之和能否是1999？6、沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个，问：8丛植物上能否一共结有225个浆果？说明理由。

第三讲：巧算乘法1、计算99×4×25 125×119×8125×72 25×125×162、计算125×（80+8）（100－4）×25 45×11 23×993、计算：33×66+33×44 155×83－55×8367×22+67×77+674、80×75－150+75×22 68×101 256×10015、36×219+64×220 64×75+65×256、222×555 2×3×5×5×7+3×3×3×5×7第四讲：巧算除法1、计算(140+56+350)÷7 （360－72－30）÷62、计算1÷5+2÷5+3÷5+4÷5756÷8+223÷8+21÷83、计算12200÷25 1428÷68÷7 100÷8×124、计算27000÷4÷5 11100÷3÷25÷375、8250÷（11×5）3232÷2026、42000÷（125×7）（99999+9999+999+99+9）÷9第五讲：和倍问题1、红药丸和白药丸共160颗，红药丸的颗数是白药丸的3倍，红药丸和白药丸各有多少颗？2、博士去年和今年共售书220万册，今年售书量比去年售书量的3倍还多20万册，问去年和今年各售书多少万册？3、甲、乙两观众原来共有观众430人，二十分钟后，从甲区离开50人，乙区进来20人，这时，甲区人数正好是乙区人数的3倍，问甲、乙两区原来有观众多少人？4、甲有95本书，乙有155本书，要使甲的书本数是乙的书本数的4倍，乙应该给甲多少本书？5、鸡、鸭、鹅共112只，已知鸡的只数是鸭的3倍，鹅比鸭少3只，鸡、鸭、鹅各多少只？第六讲：差倍问题1、等等要包饺子，和面需要的面粉配方是：普通面粉比饺子粉多800克，普通面粉的重量是饺子粉的3倍，问：普通面粉和饺子粉各需要多少克？2、艾迪拿来白菜和猪肉准备和馅包饺子，拿来的白菜比猪肉多1500克，白菜的重量是猪肉的4倍还多300克，问艾迪拿来的白菜和猪肉各多少克？3、有大小两个盘子，里面装的饺子一样多，如果从小盘子里拿出102上饺子到大盘子里，则大盘子里的饺子是小盘子里的5倍，那么原来大小两个盘子各有饺子多少个？4、大瓶里有可乐500毫升，小瓶里有可乐200毫升，将两个瓶子里的可乐倒出同样多以后，大瓶里剩下的可乐是小瓶的4倍，问：两个瓶子各剩可乐多少毫升？5、两根同样长的绳子，第一根剪掉31米，第二根剪掉19米，剩下的绳子第二根的长度是第一根的4倍。

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