全国高中数学联合竞赛
全国高中数学联赛 (3)
全国高中数学联赛介绍全国高中数学联赛是中国举办的一项面向高中学生的数学竞赛活动。
该比赛旨在提高学生的数学能力和创造力，激发对数学的兴趣，培养数学人才。
全国高中数学联赛每年举行一次，吸引了全国范围内众多学校和学生的参与。
赛制全国高中数学联赛分为初赛和决赛两个阶段。
初赛通常采取笔试形式，由学生在规定时间内完成试卷答题。
试卷的题目包括选择题、填空题和解答题，涵盖了高中数学的各个知识点。
决赛则是通过选拔初赛中表现出色的学生进入，采用更加综合性和创新性的题目。
决赛阶段通常会有更多的解答题和应用题，需要学生结合数学知识进行推理和分析，展现他们的数学思维能力。
比赛内容全国高中数学联赛的题目难度较高，涉及范围广泛。
题目内容包括但不限于代数、几何、概率与统计等数学领域的知识。
这些题目旨在考查学生的数学推理能力、问题解决能力以及逻辑思维能力。
比赛内容的设计注重培养学生的数学思维，培养他们的创新能力和团队合作精神。
题目中常常设置了一些拓展性的挑战，鼓励学生进行推理和探索，提高他们的创造力和发散性思维。
比赛意义全国高中数学联赛对学生的数学素养和学术能力培养起到了积极的推动作用。
通过参与比赛，学生能够接触到更高层次的数学知识，锻炼自己的数学思维和解决问题的能力。
同时，比赛还促进了学生之间的交流与合作，增强了他们的团队意识和合作精神。
此外，全国高中数学联赛也为学校和教师提供了一个展示和交流教学成果的平台，能够吸引更多的师生参与到数学教育中来。
学生在比赛中的优秀表现也将成为他们未来学术发展和升学申请的重要参考。
总结全国高中数学联赛是一项重要的数学竞赛活动，对学生的数学发展和学术能力提升具有重要意义。
通过参与比赛，学生能够不断挑战自我，提高自己的数学能力和解决问题的能力。
同时，比赛也能够促进学生之间的交流与合作，培养他们的团队意识和合作精神。
全国高中数学联赛不仅是学生展示自我才能的舞台，也是学校和教师展示教学成果的平台。
相信通过这样的竞赛活动，能够培养更多对数学感兴趣并在这个领域有所成就的学生。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案4
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、(满分50分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠ BAD 。
在 CD 上取一点 E ， BE 与 AC 相交于 F ，延长 DF 交 BC 于 G 。
求证：∠ GAC =∠ EAC .解析：连结B D 交A C 于H ．对△BC D 用塞瓦定理，可得因为．A H 是∠B AD 的平分线，由角平分线定理，可得故．过点C 作A B 的平行线A G 的延长线于I ，过点C 作A D 的平行线交A E 的延长线于J ．则 . 所以，从而，CI =C J.又因为 CI ∥AB ，C J∥A D ，故 ∠A CI =π-∠AB C=π-∠DA C=∠AC J ． 因此，△A CI≌△AC J ．从而，∠I AC =∠J AC ，即 ∠GA C=∠EA C ．二、(满分50分)给定实数 a , b , c ，已知复数 z 1 , z 2 , z 3 满足： 1133221+++z z z z z z ，求| az 1 + bz 2 + cz 3 |的值。
解析：记 e i θ=cos θ+is in θ．可设，，则)(31ϕθ+=i e z z ． 由题设，有ei θ+ei φ+e-i (θ+φ)=1.φ两边取虚部，有0=si n θ+si n φ-s in (θ+φ)故θ=2k π或φ=2k π或θ+φ=2k π，k∈Z ． 因而，z 1=z 2或z 2=z 3或z 3=z 1．如果z 1=z 2，代入原式即 ．故．这时，|a z 1+b z 2+c z 3|=|z 1||a +b±c i|=．类似地，如果z 2=z 3,则|a z 1+b z 2+cz 3|=;如果z 3=z 1,则|a z 1+b z 2+cz 3|=．所以，|a z 1+b z 2+c z 3|的值为或或．三、(满分50分)给定正整数 n ，已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…, n 克的所有物品。
2023年全国高中数学联合竞赛训练题
一、概述2023年全国高中数学联合竞赛是我国高中生们期盼已久的一场盛会。
数学作为一门重要学科，对于培养学生的思维能力和逻辑推理能力起着举足轻重的作用。
数学竞赛的训练题也具有相当高的难度和挑战性，能够检验学生的数学基础和解题能力。
二、数学联合竞赛的意义1.培养学生的数学兴趣数学联合竞赛能够为学生提供一个展示自己数学才能的舞台。
通过参加竞赛，学生们可以感受到数学的魅力，激发对数学的兴趣和热情，从而更加努力地学习数学知识。
2.锻炼学生的数学能力数学竞赛的训练题通常涉及到高阶的数学知识和复杂的问题，能够锻炼学生的数学思维和解题能力。
这有利于提高学生的数学水平，培养他们用数学思维解决实际问题的能力。
3.展现学生的综合素质数学竞赛注重的不仅仅是解题技巧，还包括对数学知识的深刻理解和综合运用能力。
参加数学竞赛能够展现学生的综合素质，对于升学和就业都具有积极的意义。
三、2023年数学联合竞赛的训练题特点1.涵盖范围广2023年全国高中数学联合竞赛的训练题将涵盖高中数学知识的各个领域，包括代数、几何、数论、概率统计等。
不仅如此，还会融入跨学科的知识，如物理、化学等，考察学生的综合应用能力。
2.难度大考虑到参加数学竞赛的学生通常都是数学方面的佼佼者，训练题的难度将会相对较大。
不仅需要对基础知识有扎实的掌握，还需要具备创新思维和解决复杂问题的能力。
3.注重综合素质在设计训练题时，将注重考察学生的综合素质，如逻辑思维能力、创新意识、团队合作能力等。
这也与当前教育理念相符，强调学生的全面发展。
四、如何应对数学联合竞赛的训练题1.掌握基础知识学生们需要扎实掌握高中数学的基础知识，包括代数、几何、概率统计等各个领域的知识点。
这是解决训练题的基础，也是提高解题效率的关键所在。
2.培养解题能力在掌握基础知识的基础上，学生们还需要培养解题能力，包括对于问题的分析、归纳、推理能力，还有解决问题的方法和技巧。
3.注重跨学科能力由于2023年的数学联合竞赛将融入跨学科的知识，学生们还需要注重培养跨学科的能力，如将物理、化学等知识与数学进行结合，进行综合运用。
2022年全国高中数学联合竞赛 (A 卷)
2022年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)一、填空题(本题共8小题，每题8分，共64分)1集合A={n|n3<2022<3n,n∈Z}的所有元素之和为.2设函数f(x)=x2+x+16x(2≤x≤a),其中实数a>2,若f(x)的值域为[9,11],则a的取值范围是.3一枚不均匀的硬币,若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9倍,则随机抛掷它两次得到正面,反面各一次的概率为.4若复数z满足:z−3iz+i为负实数(i为虚数单位),z−3z+1为纯虚数,则z的值为.5若四棱锥P−ABCD的棱AB,BC的长均为√2,其他各棱长均为1,则该四棱锥的体积为.6已知函数y=f(x)的图像既关于点(1,1)中心对称,又关于直线x+y=0轴对称.若x∈(0,1)时,f(x)=log2(x+1),则f(log210)的值为.7在平面直角坐标系中,椭圆Ω:x24+y2=1,P为Ω上的动点,A,B为两个定点,其中B的坐标为(0,3),若△P AB的面积的最小值为1,最大值为5,则线段AB的长为.8一个单位方格的四条边中,若有两条边染了颜色i,另两条边分别染了异于i色的另两种不同颜色,则称该单位方格是“i色主导”的.如图,一个1×3方格表的表格线共含10条单位长线段,现要对这10条线段染色,每条线段染为红,黄,蓝三色之一,使得红色主导,黄色主导,蓝色主导的单位方格各有一个.这样的染色方式数为(答案用数值表示).二、解答题(第9题16分,第10,11题各20分,共56分)9.(本题满分16分)若△ABC的内角为A,B,C满足sin A=cos B=tan C,求cos3A+cos2A−cos A的值.10.(本题满分20分)给定正整数m(m≥3).设正项等差数列{a n}与正项等比数列{b n}满足:{a n}的首项等于{b n}的公比,{b n}的首项等于{a n}的公差,且a m=b m.求a m的最小值,并确定当a m取到最小值时a1与b1的比值.11.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,双曲线Γ:x23−y2=1.对平面内不在Γ上的任意一点P.记ΩP为过点P且与Γ有两个交点的直线的全体.对任意直线ℓ∈ΩP,记M,N为ℓ与Γ的两个交点.定义f P(ℓ)=|P M|·|P N|.若存在一条直线ℓ0∈ΩP满足:ℓ0与Γ的两个交点位于y轴异侧,且对任意直线ℓ∈ΩP,ℓ=ℓ0,均有f P(ℓ)>f P(ℓ0),则称P为“好点”.求所有好点所构成的区域的面积.一．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，90ABC ADC ，对角线BD 上一点P 满足2APB CPD ，线段AP 上两点,X Y 满足2AXB ADB ，2AYD ABD ．证明：2BD XY ． YX DBCPA二．（本题满分40分）设整数(1)n n 恰有k 个互不相同的素因子，记n 的所有正约数之和为()n ．证明：()(2)!n n k ．三．（本题满分50分）设12100,,,a a a 是非负整数，同时满足以下条件：（1）存在正整数100k ，使得 12k a a a ，而当i k 时0i a ；（2）123100100a a a a ；（3）123100*********a a a a ．求22212310023100a a a a 的最小可能值．四．（本题满分50分）求具有下述性质的最小正整数t ：将100100 的方格纸的每个小方格染为某一种颜色，若每一种颜色的小方格数目均不超过104，则存在一个1t 或1t 的矩形，其中t 个小方格含有至少三种不同颜色． ２０２２全国高中数学联赛加试（Ａ卷）。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
全国高中数学联合竞赛附答案
全国高中数学联合竞赛（9月19日上午9：00～11：00）一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）若函数x x x f 2sin 2cos 811)(--=的最大值为a ，最小值为b ，则ba 1-等于（ ） （A ）18 （B ）6 （C ）5 （D ）0 （2）若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++（3）已知数列2004，2005，1，2004-，2005-，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和2004S 等于（ ） （A ）2005（B ）2004 （C ）1 （D ）0（4）已知函数xx xx ee e e xf --+-=)(的反函数是)(1x f -，且k f f =---|)6.0(||)8.0(|11，则（ ） （A ）)21,0(∈k （B ）)1,21(∈k（C ）)23,1(∈k（D ）)2,23(∈k（5）正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是（ ） （A ）θγβα<<< （B ）γθβα<<< （C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<<（6）若对任意的长方体A ，都存在一个与A 等高的长方体B ，使得B 与A 的侧面积之比和体积之比都等于k ，则k 的取值范围是（ ） （A ）0>k （B ）10≤<k （C ）1>k（D ）1≥k二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1P 2P 3P AO BC4P 5P 6P（7）若关于x 的方程x ax a x =+-lg 1lg 2只有一个实数解，则a 的值等于 ．（8）在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于 ．（9）若正奇数n 不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的n 的最大值为 ． （10）设a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，且)(2)(2222n n n n n n c b a c b a ++=++，其中*N n ∈，2≥n ，则n 的值等于 ．（11）连接正文体各个顶点的所有直线中，异面直线共有 对．（12）如图，以)0,0(O 、)0,1(A 为顶点作正1OAP ∆，再以1P 和A P 1的中点B 为顶点作正21BP P ∆，再以2P 和B P2的中点C 为顶点作正32CP P ∆，…，如此继续下去．有如下结论：①所作的正三角形的边长构成公比为21的等比数列；②每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP （1=x ）上；③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P 的坐标是)36421,6463(； ④第2004个正三角形的不在第2003个正三角形边上的顶点2004P 的横坐标是20042004211-=x ．其中正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）已知函数a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ）的反函数是)(1x fy -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x f y -=的图象关于点)0,(a 对称．（Ⅰ）求函数)(x g y =的解析式； （Ⅱ）若函数)()()(1x g x f x F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，求a 的取值范围．（14）设边长为1的正ABC ∆的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为1P ，2P ，…，1-n P ，若AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，求证：nn S n 62112-=．（15）已知}{n a 是等差数列，d 为公差且不等于0，1a 和d 均为实数，它的前n 项和记作n S ，设集合}|),{(*N n nS a A n n ∈=，},,141|),{(22R y x y x y x B ∈=-=，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．（Ⅰ）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上； （Ⅱ）B A 至多有一个元素；（Ⅲ）当01≠a 时，一定有∅≠B A ．全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）D 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分） （7）100 （8）55（9）17 （10）4 （11）174 （12）①②③④ 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）【解】（Ⅰ）由a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ），得)3(log )(1a x x fa -=-…………5分又函数)(x g y =的图象与函数)(1x fy -=的图象关于点)0,(a 对称，则)()(1x a f x a g --=+-，于是，)(lo g)2()(1a x x a f x g a---=--=-．（a x -<）…………………………………10分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，有)(log )3(log )()()(1a x a x x g x fx F a a -+-=--=-．要使)(x F 有意义，必须⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x又0>a ，故a x 3>． (15)分由题设)(x F 在]3,2[++∈a a x 上有意义，所以a a 32>+，即1<a ．于是，10<<a ． ……………………………………………………………………… 20分14．【证明】如图，设c AB =，b AC =，a BC =， 令n=1，则p k c BP AB AP k k +=+=（0=k ，1，2，…，n ） 其中，AP =0，AP n =． ∴)(])1([1p k c p k c AP AP k k +⋅-+=⋅-22)1()12(k k k -+⋅-+=（0=k ，1，2，…，n ） ……………5分又∵AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ， ∴2112)]1([)]12([p k k p c k c n S nk n k n ∑∑==-+⋅-+=222)(3)1)(1(n n n n n n -++⋅+= ……………………………………………10分22222231)(31)(nn n n n n n n n n -+⋅+=-+⋅+=． ………………………15分又∵1||||||===，与的夹角为60，∴nn n n n n S n 6211312122-=-++=． ……………………………………………………20分15．【解】（Ⅰ）正确．因为，在等差数列}{n a 中，2)(1n n a a n S +=，所以，21nn a a n S +=． 这表明点),(nS a n n 的坐标适合方程)(211a x y +=．所以，点),(nS a n n 均在直线)(211a x y +=上． ……………………………………………5分 （Ⅱ）正确．设B A y x ∈),(，则),(y x 坐标中的x 、y 应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14,2121221y x a x y 的解． 解这个方程组，消去y ，得42211-=+a x a ．（﹡）当01=a 时，方程（﹡）无解，此时，∅=B A ． …………………………………10分当01≠a 时，方程（﹡）只有一个解12124a a x --=，此时方程组也只有一个解，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.44,24121121a a y a a x 故上述方程组至多有一解，所以B A 至多有一个元素． ………………………………15分（Ⅲ）不正确．取11=a ，1=d ，对一切*N n ∈，有0)1(1>=-+=n d n a a n ，0>nS n． 这时集合A 中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于011≠=a ，如果∅≠B A ，那么根据（Ⅱ）的结论，B A 至多有一个元素（00,y x ），而025241210<-=--=a a x ，043441210<-=-=a a y ．这样的A y x ∉),(00，产生矛盾．所以，11=a ，1=d 时，∅=B A ，故01≠a 时，一定有∅=B A 是不正确的． ……………………………………20分。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案8
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．设x ，y ，z 是正实数，满足()()xy z x z y z +=++，则xyz 的最大值是 ．2．设从正整数k 开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等 于后100个正整数的平方和，则k 的值为 ．3．设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++ 1sin cos n x x + 的最大值是 ．4．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ， 与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．对于任意实数a ，b ，不等式{}max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则 常数C 的最大值是 ．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）6．设2()c o sf x x a x b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为 ．7．在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米， n 平方米，p 平方米，则它的体积为 立方米．8．已知函数:f R +→R 满足：对任意,x y ∈R +，都有()(f x f 则所有满足条件的函数f 二、解答题9．（本题满分1422(0)y px p =>点F ，倾斜角为θ(0θ<<物线于A ，B 两点，连接点），交准线于点B '于点A '，求四边形ABB A ''10．（本题满分14分） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．n n 边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？12．（本题满分16分） 设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a ab b a S --++++= 的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、1272、201003、2n 45、10036、04a ≤<，b ＝0 7、28、1()2006f x x=+二、解答题9．（本题满分14分） 已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．解 当2πθ=时，22ABB A S p ''=．当2πθ≠时，令t a n k θ=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则由()2py k x =-， ①22y px =， ②消去x 得，2220py y p k--=，所以 122py y k+=， 212y y p =-． ③ 又直线AO 的方程为：11y y x x =1坐标为21(,)2p p B y '--，而由③知，221p y y =-，所以B 和B '的纵坐标相等，从而BB x ' 轴．同理AA x ' 轴，故四边形ABB A ''是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为11()22ABB A S AA BB A B AB A B ''''''''=+⋅=⋅21y y =-211()2y y =-21212()4y y y y ⎡⎤=+-⎣⎦ 332222221212(1cot )p p k θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．………………（14分）10．（本题满分14分） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ． 解 由题设易知，0,1,2,n a n >= ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇数时，111n n a a -=<． ………………（4分） 由3019n a =1>，所以n 为偶数，于是23011111919n a =-=<，所以，2n 是奇数． 于是依次可得：1219111n a -=>， 12n -是偶数，24198111111n a -=-=<，24n -是奇数，2141118n a --=>，64n -是偶数，681131188n a -=-=<，68n -是奇数，618813n a --=>，148n -是偶数， 1416851133n a -=-=>，1416n -是偶数， 1432521133n a -=-=<，1432n -是奇数， ……………（9分）14132312n a --=>，4632n -是偶数， 4664311122n a -=-=<，4664n -是奇数， 4616421n a --=>，11064n -是偶数， 110128211n a -=-=，所以，1101128n -=，解得，n ＝238． ……………… （14分） 11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解 设不同的染色法有n p 种．易知36p =． ………………（4分） 当4n ≥时，首先，对于边1a ，有3种不同的染法，由于边2a 的颜色与边1a 的颜色不同，所以，对边2a 有2种不同的染法，类似地，对边3a ，…，边1n a -均有2种染法．对于边n a ，用与边1n a -不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a 颜色相同的情况，而边1a 与边n a 颜色相同的不同染色方法数就是凸n －1边形的不同染色方法数的种数1n p -，于是可得1132n n n p p --=⨯-， ………………（10分） ()1122n n n n p p ---=--．3于是 ()33232(1)2(1)2n n n n p p ---=--=-⋅， 2(1)2n nn p =+-⋅，3n ≥．综上所述，不同的染色方法数为2(1)2n n n p =+-⋅． ………………（16分）12．（本题满分16分） 设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．解 因为)1)(1(11b a ab b a S --++++=)1)(1()1(1)1)(1(122b a ab ab b a b a b a ++--=+++++= 1≤，当0=ab 或1=ab 时等号成立，所以S 的最大值为1． ………………（6分）令)1)(1()1(b a ab ab T ++-=，ab x =，则abab ab ab ab b a ab ab T ++-≤+++-=21)1(1)1(x x x x x x +-=+-=1)1()1()1(2222． ………………（10分） 下证 211551)1(2-≤+-x x x ． ①① 0)25()215(2≥-+--⇔x x ， 所以 21155-≤T ， 从而 25513-≥S ， 当215-==b a 时等号成立，所以S 的最小值为25513-．……………（16分）。
全国高中数学联合竞赛(含答案)
全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且只有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1.函数()142-+=x x x x f 是（ ） （A ）是偶函数但不是奇函数 （B ）是奇函数但不是偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数也不是偶函数2. 已知()x f 对任意整数x 都有()()22-=+x f x f ，若()20030=f ，则()2004f =（ ）（A ）2002 （B ）2003 （C ）2004 （D ）20053. 已知不等式()θθ222sin 45cos +-+m m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）0≤m ≤4 （B ）1≤m ≤4 （C ）m ≥4或m ≤0 （D ）m ≥1或m ≤0 4. 母线长为6的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45. 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为（ ）（A ）23 （B ）34 （C ）43 （D ）32 6. 函数x x x y cos sin cos 23-+=的最大值等于（ ）（A ）2732 （B ）2716 （C ）278 （D ）274 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 已知函数()x xx f 22333+=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1011010121011f f f = . 8. 不等式22-x ≤12+x 的解集为 .9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有 个.10. 若0<a ，b ，c <1满足1=++ca bc ab ，则cb a -+-+-111111的最小值是 . 11. 已知正四棱锥V －ABCD 的棱长都等于a ，侧棱VB ，VD 的中点分别为H 和K ，若过A 、H 、K 三点的平面交侧棱VC 于L ，则四边形AHLK 的面积为 .12. 已知a 、b 、x 是实数，函数()122+-=ax x x f 与函数()()x a b x g -=2的图象不相交。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案7
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A 是( )(A){2} (B){-1} (C){x |x ≤2} (D)∅2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) (A)(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z (C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z 3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( ) (A)33 (B)233 (C)33 (D)634．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) (A)17034 (B)8534 (C)201 (D)301 6．设5sin 5cos ππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( ) (A)x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000︒)=__________.8．设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则n n n a a a 333(lim 3322+++∞→ )=________.9．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.10．在椭圆12222=+b y a x(a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________.11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n n S n S 的最大值.14．若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ,b ].15．已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+b y a x(a ＞b ＞0)。
2023全国高中数学联赛
2023全国高中数学联赛概述2023全国高中数学联赛是一个面向全国高中生的数学竞赛。
该竞赛旨在鼓励和推动高中学生对数学的兴趣和学习，提高数学解决问题的能力和思维能力。
本文档将介绍数学联赛的背景和重要性，赛制和参赛标准，以及竞赛的时间安排和奖励。
希望通过本文档的介绍，能够增加对2023全国高中数学联赛的了解和参与度。
背景与重要性数学是一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决实际问题的能力具有重要意义。
高中阶段是学生数学学习的关键时期，通过参加数学竞赛可以激发学生对数学的兴趣，培养创造性思维和创新能力。
同时，数学竞赛还是选拔人才的重要途径，优秀的数学竞赛成绩可以为学生的升学和就业提供更多机会。
赛制与参赛标准赛制2023全国高中数学联赛将分为初赛和决赛两个阶段。
初赛将采用笔试形式，考察学生的数学知识和解题能力。
决赛将采用面试形式，考察学生的综合素质和数学思维能力。
参赛标准参加2023全国高中数学联赛的学生需要满足以下条件： - 高中在读学生 - 对数学有浓厚兴趣 - 具备一定的数学基础知识和解题能力时间安排2023全国高中数学联赛的时间安排如下： - 报名时间：2022年12月1日至2023年1月31日 - 初赛时间：2023年3月1日 - 决赛时间：2023年4月1日奖励2023全国高中数学联赛设立了丰富的奖项，以鼓励参赛学生的努力和成就。
奖项包括： 1. 一等奖：优秀成绩的前百名参赛学生将获得一等奖，奖金5000元。
2. 二等奖：良好成绩的次百名参赛学生将获得二等奖，奖金3000元。
3. 三等奖：优秀表现的前500名参赛学生将获得三等奖，奖金1000元。
4. 特别奖：部分具有突出表现的学生将获得特别奖项，奖金2000元。
总结2023全国高中数学联赛是一个备受关注的数学竞赛活动。
通过参与竞赛，高中学生能够提升数学解题能力、培养创造性思维和创新能力，并获得丰厚的奖励。
希望广大高中学生能够积极参与数学联赛，发挥自己的才华和潜力。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案5
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，b n=a3n-2+a3n-1+a3n，...，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则（）(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤04.给定下列两个关于异面直线的命题：命题I：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，（）(A)命题I正确，命题II不正确(B)命题II正确，命题I不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)答案不确定二、填空题(每小题9分，共54分)已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是____。
1.已知θ=arctg(5/12)，那么，复数 z＝(cos2θ +i sin2θ )/(239+i)的辐角主值是____。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案9
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案注:本试卷可使用计算器.一、 选择题：本大题共有10小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。
1、 ,a b 为实数，集合{},1,,0,:b M P a f x x a ⎧⎫==→⎨⎬⎩⎭表示把集合M 的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a b +=（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）1± 2、21sin 40cos 201cos 160-︒︒--︒化简的结果为（A ）1sin 40-︒ （B ）1cos 20sin 20︒-︒（C ）1 （D ）1-3、 已知(0,1),(2,2),(4,6)A B C --，则AB 在AC方向上的投影为（A ）741 （B ）741- （C ）713（D ）713-4、 在数列{}n a 中，1111,,4n n n a a a a +==++则99a = （A ）125504 （B ）2500 （C ）124504（D ）24015、 已知函数()sin()(0,)f x x x R ωϕω=+>∈满足(1)()(1)f x f x f x +=--对任意的x R ∈都成立。
若sin(9),sin(9)A x B x ωϕωωϕω=++=+-，则A 与B 的大小关系是（A ）A B > （B ）A B = （C ）A B < （D ）不确定6、 设,,a b c 为实数，440,20a b c a b c -+>++<。
则下列四个结论中正确的是 （A ）2b ac ≤ （B ）2b ac > （C ）20b ac a >>且 （D ）20b ac a <<且 7、 设()sin f x x x =，若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12()()f x f x >，下列结论中必定成立的是 （A ）12x x > （B ）120x x +> （C ）12x x < （D ）2212x x > 8、 曲线5sin(2)6y x π=+与直线y x =的交点个数是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）89、 函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(14,52)f 的值为（A ）364 （B ）182 （C ）91 （D ）无法计算 10、O 是平面上一定点，,,A B C 平面上不共线的三个点，动点P 满足(),c o s c o s A B A C O P O A R A B A B C A C B C Aλλ=++∈，则P 的轨迹一定通过ABC 的 （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心二、 填空题目：本大题共10小题，每小题6分，满分60分。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)与答案
说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，102024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12．又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12．…………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21mC m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ． 若021mm，则121m a k m ．若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121ma a r kr r r m ． …………30分另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n ma m m，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m ma m K m m，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21mC m 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为212(1)m rm r．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)rr ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CFCB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF ABAL KA． …………20分同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE ADAL KA．又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KFAB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2bS n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2wS n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥. 综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ； (4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ． 证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
2023高中数学联合竞赛预赛分数线
2023高中数学联合竞赛预赛分数线一、背景介绍随着社会的发展和对数学人才的需求增加，高中数学联合竞赛成为了选拔和培养数学人才的重要途径。
每年的预赛分数线都备受关注，成为了学生、家长和学校的焦点。
2023年高中数学联合竞赛预赛分数线的公布也备受瞩目，以下将就这一话题进行深入探讨。
二、分数线的重要性1. 预赛分数线是选拔优秀学生的重要标准高中数学联合竞赛是为了选拔和培养数学人才而举办的，预赛分数线是对学生数学水平的客观评价。
高于分数线的学生将有机会参加决赛，获得更多的锻炼和提升机会。
2. 分数线对学生的学习动力具有重要影响学生们通常会以预赛分数线作为目标，努力提高自己的数学水平，这也能够有效地激发学生的学习动力，帮助他们在数学学习中取得更好的成绩。
3. 分数线的公布对学校和家长也具有重要指导作用学校和家长可以通过预赛分数线了解学生的数学水平和竞赛情况，从而针对不同的学生给予不同的指导和帮助。
分数线的公布也有助于学校和家长对学生进行更全面的评估。
三、分数线的确定标准1. 公平公正原则高中数学联合竞赛的预赛分数线应该遵循公平公正原则，确保每一位参赛学生都能够根据自己的实际水平得到公正的评价。
分数线的确定需要考虑到考试难度、学生整体水平等因素，确保分数线的公正性。
2. 应试能力和创新能力的兼顾预赛分数线既要考虑学生的应试能力，也要能够对学生的数学创新能力进行一定的考量。
这有助于选拔出既有扎实基础又富有创新精神的优秀学生。
3. 科学性和合理性分数线的确定需要建立在科学的分析和合理的推理之上，避免片面追求高分数或低分数而导致分数线不合理的情况发生。
四、对2023年预赛分数线的期望和建议1. 对2023年预赛分数线的期望希望2023年高中数学联合竞赛的预赛分数线能够既能够体现学生的基本数学水平，又能够对学生的创新能力进行一定的考察。
同时希望分数线的确定能够更加公平公正，对学生的整体水平有更好的反映。
2. 对2023年预赛分数线的建议建议在确定2023年高中数学联合竞赛预赛分数线时，可以更多地考虑到考试题目的难易程度、学生的整体水平等因素，确保分数线的公平性和科学性。
全国高中数学联赛 (2)
全国高中数学联赛简介全国高中数学联赛是我国中学生数学竞赛的一个重要赛事。
该赛事旨在提高中学生的数学素养和解决问题的能力，培养他们的创新思维和团队合作精神。
全国高中数学联赛每年都受到广大中学生的热情参与，被认为是中学生数学领域的奥林匹克竞赛。
赛制全国高中数学联赛分为初赛和决赛两个阶段。
初赛为线上选拔赛，选拔出一定数量的优秀学生进入决赛。
决赛则是线下竞赛，参赛学生在一定时间内解答一系列题目，考察他们的数学知识和解题能力。
根据团队的成绩以及个人的表现，评选出个人和团队的奖项。
赛事举办地全国高中数学联赛的决赛每年在不同的城市举办，以此来促进各地中学生之间的交流和合作。
同时，赛事的举办地也会为中学生提供一个学习和交流的平台，促进数学教育的发展。
赛事内容全国高中数学联赛的题目涵盖了中学数学的各个领域，包括代数、几何、数论、概率与统计等。
这些题目既考察了学生的基础知识，又注重培养学生的创新思维。
比赛中的题目设计精妙，旨在激发学生的兴趣和思考能力。
奖项设置全国高中数学联赛设有个人奖和团体奖两个方面的奖项。
个人奖分为一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，根据个人的得分评定。
团体奖则是根据团队的集体表现评选出的，分为一等奖、二等奖、三等奖和优胜奖。
影响全国高中数学联赛作为我国中学生数学竞赛的重要组成部分，对提高中学生的数学素养和解决问题的能力有着重要的作用。
参与赛事的学生通过与其他中学生的交流和比拼，能够拓宽自己的视野，收获更多的数学知识和解题技巧。
同时，赛事的举办还推动了全国中学数学教育的发展，促进了教师间的经验交流和教育资源的共享。
总结全国高中数学联赛是我国中学生数学竞赛中的一项重要赛事。
通过比赛，中学生们能够锻炼自己的数学思维和解题能力，提高数学素养。
同时，赛事的举办也促进了中学数学教育的发展，为中学生提供了学习和交流的平台。
全国高中数学联赛以其崇高的目标和严谨的赛制，对中学生的成长和数学教育的推动起到了积极的作用。
全国高中数学联合竞赛优秀教练员 证书
全国高中数学联合竞赛优秀教练员证书全国高中数学联合竞赛是一项具有重要意义的学术竞赛活动，旨在提高中学生数学素养，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
而优秀的教练员则扮演着至关重要的角色，他们的辅导和指导是学生取得优异成绩的关键。
因此，全国高中数学联合竞赛优秀教练员证书的颁发具有重要的意义。
首先，优秀教练员对于学生的培养起到了积极的促进作用。
数学是一门需要长期积累和深入思考的学科，而教练员作为学生数学学习的引导者，能够帮助学生理清思路，开拓思维。
他们经验丰富，对于数学问题有着独到的见解和解题思路，能够引导学生正确的思考方式和解题方法。
在竞赛前，优秀教练员能够对学生进行重要知识点和解题技巧的总结和归纳，为比赛做好准备。
在竞赛中，教练员的指导和鼓励能够让学生保持良好的竞技状态，克服困难，取得优异成绩。
其次，优秀教练员注重学生的全面发展。
数学竞赛不仅考察学生的数学水平，还考察学生的逻辑推理能力、分析问题的能力等综合素质。
优秀的教练员关注学生的团队协作能力，鼓励学生之间相互合作、讨论和交流，提高团队整体的竞赛水平。
他们也注重学生的个人能力培养，为学生提供各种学习资源和素材，推动学生的自主学习和自主思考。
优秀教练员会制定个性化的学习计划，针对学生的不同需求和特长，进行有针对性的指导和培养，激发学生的学习兴趣和潜能。
最后，优秀教练员在学生培养中更加注重培养学生的实践能力和创新思维。
数学竞赛并不仅仅是解题，更强调学生分析和解决实际问题的能力。
优秀教练员会引导学生熟悉实际应用背景，并从实际问题的角度出发，激发学生的创新思维，帮助学生培养运用数学知识解决实际问题的能力。
通过数学竞赛，学生能够更好地理解数学的应用价值，并将其运用到实际生活中。
总结起来，全国高中数学联合竞赛优秀教练员证书的颁发是对教练员教学工作的肯定和鼓励。
他们的指导和培养对于学生的数学素养提高和综合能力的培养起到了重要的推动作用。
而学生的优异成绩也证明了教练员的辛勤工作和付出。
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2
2
4
当 a 1 时， y [a 1, a] ， g( y) max a 2 3a 2 8 a 2 ，
所以 g ( y ) min 2 2 3 2 1 2
1
.
4
综上 f ( x) 在 x [ 1,1] 上的最小值为
1
.
4
6. 同时投掷两颗骰子点数和大于
6 的概率为 21
7
，从而先投掷人的获胜概率为
3 3,
3，
3 3 3.
5. 令 a x
y, 则原函数化为 g( y)
y2
3y
3 2 , g ( y) 在 ( ,+ ) 上是递增的 .
2
当 0 a 1 时， y [ a, a 1 ] , g ( y) max a 2 3a 1 2 8
a1 2
1 a，
2
所以 g ( y ) min
12 ()
1
3
2
1
3. 双曲线 x 2 y2 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整
数的点）的个数是 ____________
7. 正三棱柱 ABC A1B1C1 的 9 条棱长都相等， P 是 CC1的中点，二面角 B A1P B1
,则
sin _______
4. 已知 { a n} 是公差不为 0 的等差数列， { bn } 是等比数列，其中 a1 3,b1 1, a2 b2 ,3a5 b3 ，且
4. 设 { a n} 的公差为 d ,{ bn } 的公比为 q ，则
7. 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 中点 O 为原点， OC 所在直线为 y 轴，建系 . sin
10
.
4
8. 首先易知 x y z 2010 的正整数解的个数为
C2 2009
2009 1004 .
把 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解分为三类：
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从而满足 x y z 的正整数解的个数为
1 1003 335671 336675.
9. f ( x) 3ax 2 2bx c,
f (0) c,
由
1 f( )
3 a b c,
得 3a
2 f (0)
2 f (1) 4 f ( 1) .
最小值是 _____________
2. 已知函数 y (a cos2 x 3)sin x 的最小值为 3 ，则实数 a 的取值范围是 _____________
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 人投掷 . 先投掷人的获胜概率是 __________
6 者为胜，否则轮由另一
（ 1）
当 t 0, 1时（ 1）总成立；
对 0 t 1,0 t 2 t 2 ；
对1t
从而可知
1 0,
t2
t
0.
4
3 a 12 . 2
3. 由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k( k 1,2, ,99) 与双曲线右半支于 Ak , 交直线
从而 log 9 6, 3 log 9 ，
求得
存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 an log bn
，则
__________
8. 方程 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解（ x, y, z）的个数是 336675 .
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二、解答题
9. 已知函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d(a 0) ，当 0 x 1时， f ( x) 1，试求 a 的最大值 .
36 12
7 ( 5 )2 7 ( 5 )4 7 12 12 12 12 12
7 1 12
.
12 1 25 17 144
x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的个数为
99
(99 k) 99 49 4851 .
k1
又 x 轴上有 98 个整点，所以所求整点的个数为 2 4851 98 9800 .
2 令 sin x t ，则原函数化为 g(t ) ( at 2 a 3)t ，即 g(t ) at 3 (a 3)t .
由 at 3 (a 3)t 3 ，
at (t 2 1) 3(t 1) 0，
(t 1)( at (t 1) 3) 0 及 t 1 0 知
at (t 1) 3 0 即 a(t 2 t ) 3 .
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2010 年全国高中数学联赛
一、填空（共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分）
姓名 :_____________班级 : _________
1. 函数 f (x) x 5 24 3x 的值域是 _____________
5. 函数 f ( x) a 2x 3ax 2(a 0, a 1) 在区间 x [ 1,1] 上的最大值为 8，则它在这个区间上的
10. 已知抛物线 y 2 6 x 上的两个动点 A(x1, y1 )和 B ( x2 , y2 ) ，其中 x1 x2 且 x1 x2 4 . 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 面积的最大值 .
11. 证明：方程 2 x3 5 x 2 0 恰有一个实数根 r ，且存在唯一的严格递增正整数数列
2
r a1
r a2
r a3
.
5
{ an} ，使得
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即 6n 3 (n 1) log 9
对一切正整数 n 都成立 .
（ 2010 年全国高中数学联赛 答案 ） 1. 易知 f (x) 的定义域是 5,8 ，且 f ( x) 在 5,8 上是增函数，从而可知 f ( x) 的值域为 [ 3, 3] .
对一切正整数 n 都成立，
(3) 设 x, y, z两两均不相等的正整数解为 k .
易知 1 3 1003 6k 2009 1004， 6k 2009 1004 3 1003 1 2006 1005 2009 3 2 1 2006 1005 2004 ， k 1003 335 334 335671.
（1） x, y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1； （2） x, y, z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数，易知为
1003 ；
3 d q,
（ 1）
3(3 4d )
2
q，
（ 2）
（1）代入（ 2）得 9 12d d 2 6d 9 ，求得 d 6,q 9 .
从而有 3 6(n 1) log 9 n 1