常见分布的期望和方差

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概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()(

)X F x P X x μ

σ

-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞

=

⎰⎰

具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y

F x y πππ2=++22的概率密度为：2222

6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度：

()(,)()(,)X Y f x f x y dy

f y f x y dx

+∞

-∞+∞

-∞

==⎰⎰

边缘分布函数：

()(,)[(,)]()(,)[(,)]x

X y

Y F x F x f u y dy du

F y F y f x v dx dv

+∞

-∞-∞+∞

-∞

-∞

=+∞==+∞=⎰⎰

⎰⎰

二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

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6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞

+∞

-∞

-∞

=

-=-⎰

⎰

其中Z ＝X ＋Y

8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即2222

1212(,Z aX bY

N a b a b μμσσ=+++)。

9、期望的性质：……（3）、()()()E X Y E X E Y +=+；（4）、若X ，Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =。

10、方差： 2

2

()()(())D X E X E X =-。 若X ，Y 不相关，则()()()D X Y D X D Y +=+，否则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，

()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-

11、协方差：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--，若X ，Y 独立，则(,)0Cov X Y =，此时称：X 与Y 不相关。 12

、相关系数：(,)

()()

XY Cov X Y X Y ρσσ=

=

1XY ρ≤，当且仅当X 与Y 存在线性关系时1XY ρ=，且1,b>0;1,b<0XY ρ⎧=⎨-⎩

　当 当。

13、k 阶原点矩：()k k v E X =，k 阶中心矩：[(())]k

k E X E X μ=-。

14、切比雪夫不等式：{}

{}2

2

()

()

(),()1D X D X P X E X P X E X εεεε-≥≤

-<≤-

或。贝努利大数定律：0

lim 1n m P p n ε→⎧⎫

-<=⎨

⎬⎩⎭

。 15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因2111n i i P X n n σμεε2

=⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑，所以011lim 1n i n i P X n με→=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭

∑　。

16、独立同分布序列的中心极限定理：

(1)、当n 充分大时，独立同分布的随机变量之和1

n

n i

i Z X

==

∑的分布近似于正态分布2

(,)N n n μσ。

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(2)、对于12,,...n X X X 的平均值11n i i X X n ==∑，有11()()n i i n E X E X n n

μ

μ===

=∑，221

1()()n

i i n D X D X n n n σσ22

====∑，即独立同分布的随机变量的均值当n 充分大时，近似服从正态分布()N n

σμ2

,

。

(3)、由上可知：{}{}lim ()()()()n n n P a Z b b a P a Z b b a →∞

<≤=Φ-Φ⇒<≤≈Φ-Φ。

17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设m 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任意x

,

lim ()n P x x →∞

⎧⎫⎪

≤=Φ⎬⎪⎭

， 其中1q p =-。 (1)、当n 充分大时，m 近似服从正态分布，()N np npq ,。 (2)、当n 充分大时，

m

n

近似服从正态分布，(,)pq N p n 。

18、参数的矩估计和似然估计：(参见P200)

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