随机变量的独立性

例3
§4随机变量的独立性
将两个球等可能地放入 编号为1，2，3的三个盒子中．
令：X：放入1号盒中的球数； Y：放入 2号盒中的球数．
试判断随机变量 X 与Y 是否相互独立？
X 的可能取值为 0，1，2；Y 的可能取值为 0，1，2． 由 §3.1 知 X 与Y 的联合分布律及边缘分 布律为
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§4随机变量的独立性
设X， Y 是二维连续型随机变量，其联合密度函
数为 f x， y，
又随机变量 X 的边缘密度函数为 fX x，随机变量 Y的边
缘密度函数为 fY y，如果对于几乎所有的 x， y 有，
f x， y fX x fY y
则称 X， Y 是相互独立的随机变量 ．
特别地，上式对 f x， y的所有连续点 x， y必
⑵．如果随机变量 X 与Y 相互独立，则由
Fx， y FX xFY y
可知，
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第三章 随机变量及其分布
例1
§4随机变量的独立性
设二维随机变量 X， Y 的联合分布函数为
F x，
y
2 1
2
arctan
5 x
2
10 arctan y
x ， y
试判断 X 与Y 是否相互独立？
x
2x
2
2 3
x
0
当0 y 2 时，
0 x 1 其它
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以，随机变量 Y 的密度函数为
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第三章 随机变量及其分布
例 4（续）
§4随机变量的独立性
fY
y
1 3
1 6
y
0 y2
0
其它
由于当0 x 1， 0 y 2 时，
由此得
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第三章 随机变量及其分布
例 2（续）
§4随机变量的独立性
1 9
P X
1，
Y
2
P X
1 PY
2
1 1 3 9
由此得 2 ；
9
又由
1 18
P X
1， Y
3
P X
1 PY
3
1 3
1 18
由此得 1 ．
9
而当 2， 1 时，联合分布律及边缘分布律为
9
9
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2
arctan
5 x
2
arctan
10 y
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第三章 随机变量及其分布
例 1（续）
2
10
1 arctan y
§4随机变量的独立性
y ，
所以，对于任意的实数 x， y，有
F x，
y
2 1
2
arctan
5 x
2
10 arctan y
2
5 2
10
1 arctan x 1 arctan y FX xFY y
须成立．
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第三章 随机变量及其分布
说明
§4随机变量的独立性
这里所谓的“对几乎所 有的 x， y”是指：
那些使得等式
f x， y fX x fY y
不成立的全体点 x， y所成集合的“面积”为 0．
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第三章 随机变量及其分布
例4
百度文库
§4随机变量的独立性
设二维随机变量 X， Y 的密度函数为
第三章 随机变量及其分布
说明
§4随机变量的独立性
⑴．由于
Fx， y PX x， Y y
以及 FX x PX x， FY y PY y
可知，随机变量 X 与Y 相互独立，实际上是指 ：
对于任意的x， y，随机事件
X x 与 Y y
相互独立．
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说明
第三章 随机变量及其分布
§4随机变量的独立性
X 的边缘分布函数为
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第三章 随机变量及其分布
例 1（续）
§4随机变量的独立性
FX x ylim Fx， y
ylim
2 1
2
arctan
5 x
2
arctan
10 y
2
5
1 arctan x
x ，
Y 的边缘分布函数为
FY y xlim Fx， y
xlim
2 1
第三章 随机变量及其分布
例 3（续）
§4随机变量的独立性
Y
X
0
1
2
pi
0
1 9
2 9
1
4
9
9
1
2 9
2 9
0
4 9
2
1 9
0
0
1 9
p j
4 9
4 9
1 9
P X 1， Y 2 0 PX 1PY 2 4 1
99
随机变量 X 与Y 不独立．
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第三章 随机变量及其分布
连续型随机变量的独立性
2
1 3
试确定常数 ， 使得随机变量 X 与Y 相互独立．
由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
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第三章 随机变量及其分布
例 2（续）
§4随机变量的独立性
Y X
1
2
3
pi
1
1 6
1 9
1
1
18
3
2
1 3
1 3
p j
1 2
1 9
1 18
如果随机变量 X 与Y 相互独立，则有
pij pi p j i 1， 2； j 1， 2， 3
第三章 随机变量及其分布
例 2（续）
§4随机变量的独立性
Y X
1
2
3
pi
1
1 6
1 9
1
1
18
3
2
1 3
2
1
9
9
2 3
p j
1 2
1 3
1 6
可以验证，此时有
pij pi p j
i 1， 2； j 1， 2， 3
因此当 2， 1 时，X 与Y 相互独立．
9
9
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第三章 随机变量及其分布
f x， y fX x fY y
所以，随机变量 X 与Y 不独立．
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第三章 随机变量及其分布
例5
§4随机变量的独立性
甲、乙两人约定在某地相会，假定每人的到达时间
是相互独立的，且均服从中午12时到下午1时的均匀
分布．试求先到者需等待10分钟以内的概率．
f
x，
y
x2
1 3
xy
0 x 1，0 y 2
0
其它
试判断随机变量 X 与Y 是否相互独立？
当0 x 1时，
fX
x
f
x，
ydy
2 0
x2
1 3
xy dy
2x2
2 3
x
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第三章 随机变量及其分布
例 4（续）
§4随机变量的独立性
所以，随机变量 X 的密度函数为
f
X
随机变量 Y 的分布律为
p j P Y y j
j 1， 2，
如果对于任意的 i， j pij pi p j
则称 X， Y 是相互独立的随机变量 ．
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第三章 随机变量及其分布
例2
§4随机变量的独立性
设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
Y X
1
2
3
1
1 6
1 9
1 18
所以 X 与Y 是相互独立的随机变量 ．
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第三章 随机变量及其分布
离散型随机变量的独立性
§4随机变量的独立性
设X， Y 是二维离散型随机变量 ，其联合分布律为
pij P X xi， Y y j
i，j 1， 2，
又随机变量 X 的分布律为
pi P X xi
i 1， 2，