对数与对数运算学案二

2.2.2 对数与对数运算（2）

【学习目标】

1.会运用指数与对数互化关系以及指数幂运算性质去发现对数的运算性质；

2.能熟练地运用对数运算法则解决问题；

3.能记住对数的换底公式并能用它进行求值．

【学习重点】对数运算性质及其推导过程

【难点提示】对数运算性质的正确理解与运用；

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材6469P -结合进行自主学习（对教材中的文字、

图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一、学习准备

上节课我们学习了指数与对数运算，请同学们仔细回顾后独立完成下列填空或问题： 1.对数定义．如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做 ，记作 ．

对数性质：0,1,x

a a a N >≠=⇔ 当时（1）；（2）log 1a = ；

（3）log a a = ；（4）负数和零 对数； （5）log n a a = ；（6）log a N a = . 3.有理数指数幂的运算性质（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = ． 4.根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题．

（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a += ，；m n += ； （2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．

二、探究新知 1.对数运算性质及推导

●观察动手思考（1）把对数式log a M p =， log a N q =改写成指数式M =p a ，N =a

（2）结合上述1．将p q a +用M ，N 表示出来． MN =p a q a =p q a +

（3）将2中结论用对数式表示，探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？ log a MN =p +q ，替换即得log a MN =log a M + log a N

将上面的内容结合感悟关系式log a MN =log a M + log a N 是如何得到的？你能进行类比，用类似方法探究出下列关系吗？

log log log a a a M M N N

=-； l o g l o g (n

a a M n M

n R =∈ ●归纳概括: 对数运算性质，如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则

（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M

M N N

=-；

（3）log log ()n a a M n M n R =∈．请写出你的推理过程．

思路启迪：运用转化思想，先通过换元，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式

证：

2.换底公式

●观察思考 （1）通过验证观察下列各式是否成立 ○

12lg 4log 4lg 2= ；○23lg9log 9lg3

=；○34lg8

log 8lg 4=；○

47log =．

（2）我们使用的计算器中，“log ”通常是常用对数，我们使用的数学用表中的对数表也是常用对数表，如何使用科学计算器或数学用表计算㏒215？请想想下列解答过程:

设㏒215=x ，写成指数式得215x

=两边取常用对数得x lg2=lg15， 所以x =

2lg 15lg 这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2

lg 15

lg ≈3．9068906． 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=

2

ln 15

ln ≈3．9068906． ●归纳概括(依据上述观察思考，你能否得到下列公式) 对数换底公式: log log log c a c b

b a

=

( 01;0a a c >≠>≠>且且c 1;b 0)． 你能给出证明过程吗？(不妨动手试试)

快乐体验 1.判断下列命题或式子的正误：（1）lg(2)(3)lg(2)lg(3);--=-+-

6422233

(2)(2)6log (2);(3)3;(4)lg(23)lg 2lg3;2

lon lon lon lon -=-=

+= ＋ ()22

(5)lg 2ln 3lg 6;(6)ln 2ln 3ln 6(0);(7)lg 2lg3lg lg 6lg lg 2lg3(0).

x x x x x x x x x +=⋅=>⋅=+⋅+⋅>

解：

2.用log a x ， log a y ， log a z 表示下列各式（1）2log a xy

z ；（2）

log a ．

解：

3.计算下列各式：（1）852log (42)⨯；（2）

(3) ㏒927；

2255331(4)63;(5)lg5lg 2;(6)3;(7)515.3

lon lon lon lon lon lon -+--

解：

4.求证：（1）1

log (0,1,0,1)log a b b a a b b a

=>≠>≠； （2）log log (0,1,0)n m a a m

b b a a b n

=>≠>． 证明：

挖掘与拓展 1.上面三个运算性质和一个公式，分别具有哪些特征？如何记忆与掌握？ 你能用文字语言来描述上面的性质吗？（链接1）

2. 性质与公式有怎样的运用方法？各自运用的条件是什么？

3. 重要的二手结论：（1）1

log (0,1,0,1)log a b b a a b b a

=>≠>≠； （2）log log (0,1,0)n m

a a m

b b a a b n

=>≠>； 三、典例赏析

例1.计算下列各式的值：

7lg 243lg8(1)lg142lg lg 7lg18;(2);(3)3lg 9lg1.2

--+-

解：

例2.设5l g 2o a =，5l g 3o b =，试用a 、b 表示5log 12．

思路启迪：注意观察三个对数的联系与转换，重在看底数与真数的联系？

解:

解后反思 该题题型是怎样的？求解时运用了哪些知识与方法？关键点在哪里？ 变式练习 若102a

=，103b

=，试用,a b 表示36log 45．

例3.设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：111

2c a b

-=．

变式练习 设45100a

b

==，求122()a b

+的值． 解: