对数与对数运算学案二
对数与对数的运算(学案)
2.2.1对数与对数的运算（学案）一、学习目标：知识目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系；2.掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。
能力目标：1.通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；2.通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。
培养学生的类比、分析、归纳，等价转化能力。
情感目标：培养学生大胆探索，不断创新的研究精神；培养学生严谨的思维品质。
使学生认识到数学的科学价值，应用价值和文化价值。
二、自主学习1.对数的概念（1）定义一般地，如果xa＝N（a＞0，且a≠1），那么数叫做以为底的对数，记作。
其中叫做对数的底数，叫做对数的真数。
（2）常用对数与自然对数：叫常用对数（common logarithm）,N10log记为；叫自然对数（natural logarithm）。
Nelog记为。
2.对数与指数的关系3.对数的性质（1）没有对数（2）log1a=；（3）logaa=（4）对数恒等式log a Na=log naa=三、技能训练1、利用对数的定义解题例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
(1)54=625 (2)2－6=6411(3)() 5.733m=124log164=-（）(5)lg0.01=－2 (6)ln10=2.303例2、求下列各式中x的值：（1）32log64-=x（2）8logx＝6（3）lg100＝x（4）－lne2＝x康保一中高一年级数学学科集体备课学案课题：对数与对数的运算主备课人：边燕霞参加人：王志平、武鹏云、刘艳红、郝再忠、楮明玉时间2011年9月26日2、练习：教材P64 第1、2题3、探究活动（合作学习）1.求下列各式的值：（1）=3log 22 （2）=6.0log 77（3）=89log 4.04.0 思考:你发现了什么? 结论：对数恒等式: log a Na =2.求下列各式的值:（1）=433log （2）=59.09.0log（3）=8ln e 思考:你发现了什么? 结论：对数恒等式: log n a a =四、巩固练习 1.求下列各式的值： （1）43log 3 （2） 3log 43（3）5log 293（4） 531log 352.课本P64 练习 第3、4题3.提高训练已知yx a a ==3log ,2log ，求y x a 23+的值五、作业 习题2.2A 组第1、2题 六、小结1、 对数的概念2 、指数与对数的关系3、对数的基本性质七、学习反思康保一中高一年级数学学科集体备课学案 课题：对数与对数的运算主备课人：边燕霞 参加人：王志平、武鹏云、刘艳红、郝再忠、楮明玉 时间2011年9月26日。
对数及对数函数教案8篇
写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。
对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。
2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。
3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。
2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。
三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。
2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。
2对数函数性质的初步应用。
教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。
对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。
它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。
将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。
其理论依据为建构主义学习理论。
它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。
2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。
对数运算学案
对数运算学案一、学习目标1、理解对数的概念，掌握对数的基本运算性质，能够运用对数进行简单的计算。
2、通过学习对数的概念和运算性质，培养学生的数学思维能力和实践能力。
3、通过对对数的学习，让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，提高学生的学习兴趣。
二、学习内容1、对数的定义和性质2、对数的运算性质3、对数在生活中的应用三、学习过程1、导入新课：通过一些生活中的例子，引导学生了解对数在生活中的应用，从而引出对数的概念和运算性质。
2、学习新课：通过讲解、演示和小组讨论等方式，让学生了解对数的定义、性质和运算方法。
3、巩固练习：通过一些例题和练习题，让学生巩固所学知识，并能够运用对数进行简单的计算。
4、归纳小结：通过回顾和总结，让学生明确本节课的学习重点和难点，并对所学知识进行梳理和归纳。
四、学习评价1、课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括听讲、思考、回答问题等情况。
2、作业情况：通过检查学生的作业情况，了解学生对所学知识的掌握情况。
3、测试成绩：通过测试学生的成绩，了解学生的学习效果，以便及时调整教学策略。
五、学习反思1、总结收获：让学生回顾本节课的学习内容，总结自己的收获和不足之处。
2、提出建议：让学生针对本节课的学习内容提出自己的建议和意见，以便改进教学方法和提高教学质量。
如果log2 x = 3，那么x等于（）A. 6B. 8C. 10D. 12对于任何一个实数x，下列四个选项中，一定为负数的是（）A. log1 xB. log2 x - 2C. log3 x + 1D. log4 x - 1对于对数式log2 (x - 3)，当x等于（）时，对数式有意义。
对于对数式log2 (x - 3)，当x等于（）时，对数式无意义。
若log2 x + log2 y = 0，则x + y的最大值为（）若log2 x + log2 y = 0，则x与y的关系是。
若log4 x + log4 y = 5，则x与y的关系是。
《对数与对数运算(2)》的教学设计
《对数与对数运算2》导学案一、温故而知新：1、指数与对数间的关系 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,底数范围是 ＿＿＿, 真数范围是 ＿＿＿＿ 。
2、常用的对数等式： ㏒a a=＿＿＿ , ㏒a 1= ＿＿＿ .3、指数的运算性质：(1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ , (2) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ , (3) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。
二、探究对数的运算性质：1.自主完成表格，并从对数值间关系的角度，分析表中各列数据，你有哪些发现？如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：M a (log =)N ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ,=NMa log ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ,n a M log =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。
学生任选一组验证：log a M + log a N = ＿＿ ，M a (log =)N ＿＿ ,log a M - log a N = ＿＿ ， =NMalog ＿＿＿ ， n ·log a M = ＿＿ ， n a M log =＿＿＿＿ 。
（充分验证后填好前面的结论）2.运算性质的证明：① M a (log =)N M a log ＋N a log ；证明如下：NM MN n m MN a MN N n M m N a M a a a a a a a a n m a a n m n m n m log log )(log )(log log ,log ,,,+=+=======++，即，于是则令② =NMa log M a log －N a log ；证明一下？③ n a M log n =M a log )(R n ∈．证明一下？三、变式训练1.求值： （1）㏒（2）㏒31272.化简：㏒1014—2㏒1073+㏒107—㏒1018四、本节我学到了什么？（有总结才有提高噢！）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。
人教版高一数学必修1第二章《对数与对数运算》学案第二课时换底公式及对数的应用
§2.2.1对数与对数运算3（换底公式及对数的应用）班级：高一（ ） 姓名： 学号：学习目标：1、理解并掌握对数的换底公式2、运用对数运算性及公式质解决有关问题学习重点、难点：对数的换底公式，对数运算性质及公式的灵活应用自主预习：一、知识梳理：问题引入：数学史上，人们通过大量努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就可求出任意正数的常用对数或自然对数。
那么有没有方法把其他底的对数转换为以10或e 为底的对数呢？对数的底数能否随意转换?探究：设M b a =log （0>a 且 1≠a ,b>0）由对数的意义有，b a M =，显然M a ＞0，两边取常用对数得：_______________∵ 0>a ，∴M b a lg lg =•，又1≠a ,∴0lg ≠a ，∴M a b lg lg = ，即 【总结】更一般地，可得对数的换底公式：【归纳提升】1. 注意换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数。
2. 当b ≠1且b ＞0时，存在倒数关系：二、自我检测1、计算下列各式的值 (1) log 98 log 3227 ; (2) 235111log log log 125323••三、学点探究探究1：对于底不同的对数的运算例1、 计算（1）32log 9log 38⨯ （2）a c c a log log •（3）)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+变式训练一：应用对数换底公式化简下列各式1、（1）16log 25log 9log 125274••（2）)3log 3)(log 2log 2(log 8493++方法小结1：利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用3、换底公式的正用与逆用探究2、对数换底公式的应用例2、已知518,9log 18==b a ，用a 、b 来表示45log 36变式训练二：1、30log ,53,2log 33表示、用b a a b ==2.已知32=x ，y =38log 4，则x+2y= .3.设p =3log 8，q =5log 3，则lg5= （用含p 、q 的式子表示） 课后作业：1、应用对数换底公式化简下列各式(1) 84log 27log 9； (2) log 225 log 34 log 59 ;2、 若0>a 且 1≠a ，x ，y ∈R 且xy ＞0则下列各式正确的是 ： ① x x a a log 2log 2= ； ②||log 2log 2x x a a =； ③y x xy a a a log log )(log +=； ④||log ||log )(log y x xy a a a +=3、已知lg2=a,lg3=b ，用a,b 表示代数式log 2716=4、已知 lgN=alnN ; lnN=b lgN, 则a= , b=5、已知514,7log 14==b a ，求28log 356、设3a =4b =36，求21a b +的值7、已知m a =8log ,n a =5log ,请求n m a 2+的值.课后反思：。
2.2.1对数与对数运算(二) 教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.2.1对数与对数运算（二） 教案学习目标：对数的运算性质．熟练运用对数的运算性质进行化简求值；学习重点：证明对数的运算性质．学习难点：对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．学习过程一、 复习1．对数的定义 b N a =log 其中 ),1()1,0(+∞∈Y a 与 ,0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a ⑶对数恒等式N a N a =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明⑴：设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =p a ，N =q a ．∴MN = p a q a =q p a + ∴a log MN =a log q p a + ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．证明⑵：设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =p a ，N =qa ． ∴q p q p a a a N M -== ∴q p N M a -=log ∴q p N M a -=log 即证得N M NM a a a log log log -=．证明⑶：设a log M =P 由对数定义可以得M =p a ,∴n M ＝npa ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+．③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是否成立？ 不成立)10(log 2)10(log 10210-=-是否成立？ 不成立 ④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：（1）()z x y log a ===332log )3((2)log z y x zy x a a（4）z y x a3log =例2． 计算（1）25log 5（1）解：5log 25= 5log 25=2 （按照范例，求解（2）、（3）（4）题）（2）1log 5.0=（3）)24(log 572⨯=（4）5100lg =例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+(1)解： 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+ ＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1； （按照范例，求解（2）、（3）题）(2);25log 20lg 100+ (3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+-评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.例4．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1). 解：（1）M ＝lg20－lg0.001= lg 001.020=lg20000= lg2+ lg104≈4.3 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg 0A A <=> 0A A =10M <=> A= A 0 · 10M 当M=7.6时，地震的最大振幅为A 1= A 0·107.6 ；当M=5时，地震的最大振幅为A 2= A 0 · 105，所以，两次地震的最大振幅之比是 21A A = 507.6010A 10••A =5-7.610= 2.610≈ 398 答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。
对数运算学案
2.2.1对数与对数运算（一）（一）教学目标①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②掌握对数式与指数式的关系 .（二）教学重点、难点；对数式与指数式的互化 （三）教学过程（课本P 57例8）13 1.01x y =⨯中，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……，该如何解决？ 即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？ 象上面的式子，已知_____________，求_______，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.一．对数概念：_________________________________________________________________________________________________________________________________________例：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数 二. 对数式与指数式的互化（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1； N ＞0（2）log xa aN N x =⇔= 例：若log (x —1)（2x —1），则x 的取值范围为＿＿＿log a N 可看作一记说明：对数式号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为程xaN =（a ＞0，N 的指数,也表示方以看作一种运算，即且a ≠1）的解. 也可已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求此，对数式log aN幂指数的运算. 因又可看幂运算的逆运算. 三. 对数的性质：（1）负数和零没有对数 （2）l og a 1=__ , l og a a =___（3） 恒等式：log a N a= ___, l og aa n = ___应用：log a N =b ⇔a b=N （a ＞0，a ≠1，N ＞0）四. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .②以无理数e =2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N . 五．例题分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625； （2）2－6=641； （3）（31）m =5.73； （4）log 2116=－4； （5）lg0.01=－2； （6）ln10=2.303.例2：求下列各式中x 的值 （1）642log 3x =- （2）log 86x =（3）lg100x =（4）2ln e x -=例3 求下列各式中的x .（1）0)22(log 22=--+x x x ；（2） log ２（log ５ｘ）＝１；（3）0)(log log 52=x ； （4）21log 5424log 3log 54-+练习：课本P 64 1、2、3、4．课堂小结： 1.对数的定义及其记法； 2.对数式和指数式的关系；3.自然对数和常用对数的概念.2.2.1对数与对数运算（二）（第一课时）（一）教学目标:掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题. （二）教学重点、难点1.掌握对数的运算性质.2.应用对数运算性质求值、化简.（三）教学过程一、复习回顾，引入新课上一节课我们学习了对数的概念、指数式与对数式的互化，我们知道，对数和指数都是一种运算，而且对数运算是指数运算的逆运算，指数有它自己的一套运算性质.从指数与对数的关系以及指数运算性质，能得出相应的对数运算性质吗？这就是本节课所要探究的知识.二、讲解新课（一）对数的运算性质的探究问题：指数幂运算有哪些性质？a m·a n=＿， a m÷a n=＿＿，（a m）n=＿，m n a=＿.根据对数的定义可得：log a N=b a b=N（a＞0，a≠1，N＞0），那么，对数运算也有相应的运算性质吗？如果有，它们的运算性质会与指数幂的运算性质之间有什么联系呢？探究（1）：由于a m·a n=a m+n（a＞0，且a≠1），＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿探究（2）：由a m÷a n=a m－n和（a m）n=a mn，得出对数运算的其他性质.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿探究（3）：∵（a m）n=a mn，设M=a m，∴M n=a mn.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(二)对数的运算性质：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0l og a（MN）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿M=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿log aNlog a M n=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（1）三个性质可归纳为：（1）积的对数等于各因式对数的和；（2）商的对数等于被除数的对数减除数的对数；（3）幂的对数等于指数乘以底数的对数.分析：这几条运算性质会对我们进行对数运算带来以下方便：利用以上性质，可以使两正数的积、商的对数运算问题转化为两正数各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简、求值.（2）概念理解底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.性质推广性质（1）可以推广到n 个正数的情形，即log a （M 1M 2M 3…M n ）=log a M 1+log a M 2+log a M 3+…+log a M n （其中a ＞0，且a ≠1，M 1、M 2、M 3…M n ＞0）. 知识拓展：当a ＞0，a ≠1，M ＞0时，还有log m a M n =mnlog a M . （三）运算性质的应用 例1（课本P 65例3）、 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a zxy；（2）log a32zy x .例2（P 65例4）、求下列各式的值：（1）log 2（47×25）；（2）lg 5100.例3、 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值：（结果保留4位有效数字）（1）lg12；（2）lg 1627.例4、 计算： （1）lg14－2lg37+lg7－lg18；（2）9lg 243lg ；（3）21lg 10lg 38lg 27lg ∙-+.（4）2log 2log 4log 7101.0317103-+（5）lg 25 + 32lg8 + lg5 ×lg20+ l 2g2例5解方程（1）lg(x 2+11x+8)-lg(x+1)=1．（2）l 2g (x+10)-3lg(x+10) -4=0．（四）课堂小结:1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质.2.2.1对数与对数运算（三）（第二课时）（一）教学目标:1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明； 2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. （二）教学重点：1.换底公式及其应用；2.对数的应用问题. 教学难点：换底公式的灵活应用. （三）教学过程一、复习与引入： 对数和指数比较：引入新课：我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？例如：求ｌｏｇ２３×ｌｏｇ３４的值从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e 为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.二、讲解新课（一）探求换底公式，明确换底公式的意义和作用 根据对数的定义推导出下面的换底公式log a N =aNc c log log （a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；N ＞0）.推导：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一般地，log a N =aNc c log log （a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；N ＞0），这个公式称为换底公式.log a b ·log b a =＿＿＿， log a b ·log b c =＿＿＿＿换底公式作用：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，为使用运算法则创设条件，如换底公式可以解决如下问题：例如 1． n a b m log =mnlog a b （a 、b ＞0且均不为1）. ｌｏｇ２３×ｌｏｇ３４＝2.求我国人口达到18亿的年份，就是计算x =log 1.011318的值，利用换底公式与对数的运算性质， （查表得：1139.113lg ,2553.118lg ≈≈）x =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （二）换底公式的应用例1． 求值.（1）log 89·log 2732； （2）（log 25+log 4125）·5lo g 2l o g 33.例2． 计算： log 34·log 48·log 8m =log 416，求m 的值.方法：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底. 知识拓展：（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log m a M n =m nlog a M 及换底公式log a N =a N b b log log .（三）对数的应用问题：用已学过的对数知识解决实际问题例3． 20世纪30年代，里克特（C.F .Richter ）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M =lg A －lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.分析：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.例4．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.三、课堂小结1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.2.解决实际问题的一般步骤：。
学案2：4.2.1 对数运算
4.2.1对数运算【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题：1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？2．什么是常用对数、自然对数？3．对数恒等式是什么？4．如何进行对数式和指数式的互化？【新知初探】1．对数的概念(1)在表达式a b＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作，其中a称为对数的，N称为对数的．(2)当a>0且a≠1时，b＝log a N的充要条件是，由此可知，只有时，log a N才有意义，这通常简称为．(3)log a1 ＝；log a a＝；a log a N＝；log a a b＝．2．常用对数和自然对数(1)以10为底的对数称为，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log ”写成“lg ”，即把log10N简写为lg N.(2)以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为，自然对数log e N通常简写为．■名师点拨log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．【自我检测】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log 32与log 23的意义一样．( )(3)因为1a ＝1，所以log 11＝a .( )(4)log (－2)(－2)＝1.( )若log 8x ＝－23，则x 的值为( ) A.14 B ．4C ．2 D.122log 23＝________．若log 3(log 2x )＝0则x 12＝________．【探究互动】探究点一 对数的概念【例1】在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A ．b <2或b >5B ．2<b <5C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4 【规律方法】由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0.【跟踪训练】求f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域．探究点二 对数式与指数式的互化【例2】(1)将下列指数式化成对数式：①54＝625；②2－6＝164；③3a ＝27；④⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. (2)将下列对数式化成指数式并求x 的值：①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x .【规律方法】(1)指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：(2)要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．【跟踪训练】1．如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有()A．log2a＝b B．log2b＝aC．log b a＝2 D．log b2＝a2．计算：(1)log927；(2)log 4381；(3)log354625.探究点三对数基本性质的应用【例3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.【规律方法】log a N＝0⇒N＝1；log a N＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．【跟踪训练】若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为() A．9 B．8C．7 D．6【达标反馈】1．log b N＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是()A．a b＝N B．b a＝NC．a N＝b D．b N＝a 2．若log a x＝1，则()A．x＝1 B．a＝1C．x＝a D．x＝10 3．已知log x16＝2，则x等于() A．±4 B．4C．256 D．24．设10lg x＝100，则x的值等于() A．10 B．0.01C．100 D．1 000【参考答案】【新知初探】1．(1) b ＝log a N底数 真数 (2) a b ＝NN >0 负数和零没有对数 (3) 0 1 N b2．(1)常用对数(2)自然对数 ln N【自我检测】答案：(1)× (2)× (3)× (4)×解析：选A.因为log 8x ＝－23， 所以x ＝8－23＝2－2＝14，故选A. 解析：由对数恒等式得，2log 23＝3. 答案：3解析：因为log 3(log 2x )＝0，所以log 2x ＝30＝1，所以x ＝2，即x 12＝ 2. 答案：2【探究互动】探究点一 对数的概念【例1】【解析】因为⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，所以2<b <5且b ≠4.【答案】D【跟踪训练】解：要使函数式f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1. 所以f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域为(0，1)． 探究点二 对数式与指数式的互化【例2】【解】(1)①log 5625＝4；②log 2164＝－6；③log 327＝a ；④log 135.73＝m . (2)①x ＝64－23＝(43) －23＝4－2＝116. ②因为x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23)16＝212＝ 2. ③因为10x ＝100＝102，所以x ＝2.【跟踪训练】1．解析：选C.log b a ＝2，故选C.2．解：(1)设x ＝log 927，则9x ＝27，32x ＝33，所以x ＝32. (2)设x ＝log 4381，则(43)x ＝81，3x 4＝34，所以x ＝16. (3)令x ＝log 354625，则(354)x ＝625，543x ＝54，所以x ＝3.探究点三 对数基本性质的应用【例3】【解】(1)因为log 2(log 5x )＝0.所以log 5x ＝20＝1，所以x ＝51＝5.(2)因为log 3(lg x )＝1，所以lg x ＝31＝3，所以x ＝103＝1 000.【跟踪训练】解析：选A.因为log 2(log 3x )＝0，所以log 3x ＝1. 所以x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.所以x ＋y ＋z ＝9.【达标反馈】1．答案：B2．答案：C3．答案：B4．答案：C。
对数与对数运算教案
对数与对数运算教案篇一：对数和对数的运算2.2.1对数与对数运算（三课时）教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．4．对数的初步应用.教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导教学方法：学导式教学过程设计第一课时师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？20生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）=1.07220，所20以20年后国民生产总值是原来的1.072倍．师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经某年后国民生产总值是原来的4某倍．列方程得:1.072=4．我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的某次幂等于N，就是aN，那么数某就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作某=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．对数这个定义的认识及相关例子:(1)对数式logaN实际上就是指数式中的指数某的一种新的记法．(2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．实际上aN这个式子涉及到了三个量a，某，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，某可求N，即前面学过的指数运算；知道某（为自然数时）、N可求a，即初中学过的开根号运算，a；知道a,N可以求某，即今天要学习的对数运算，记作logaN=某．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆某某11(1)5625;(2)2;(3)5.7364346m练习2把下列对数形式写成指数形式：(1)log1164;(2)lg0.012;(3)ln102.3032练习3求下列各式的值：（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）2因为2=4，所以以2为底4的对数等于2．因为5=125，所以以5为底125的对数等于3．（注意纠正学生的错误读法和写法．）例题（教材第73页例题2）师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？生：a＞0且a≠1；某∈R；N∈R．师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）某生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而a=N中N总是正数．师：要特别强调的是：零和负数没有对数．师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？（根据本班情况决定是否设置此问．）生：因为若a＜0，则N取某些值时，某可能不存在，如某=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，某不存在，如log02不存在；当N为0时，某可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，某不存在，如log13不存在，N为1时，某可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．某（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从a=N出发回答较为简单．）练习4计算下列对数：3lg10000，lg0.01，2log4，3log27，10lg105，51og1125．235师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．生：2生：3log24=4．这是因为log4=2，而2=4．22log327lg105=27．这是因为log327=3，而3=27．=105．logN1og11253生：10生：我猜想aaN，所以55=1125．师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．师：（板书）alogaNN（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）生：（板书）证明：设指数等式a=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以a=aaN师：你是根据什么证明对数恒等式的？生：根据对数定义．b师：（分析小结）证明的关键是设指数等式a=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．bblogN师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．生：a＞0，a≠1，N＞0．师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．（给学生一分钟时间．）师：（板书）2=？24=？log8log2生：22=8；24=2．师：第2题对吗？错在哪儿？师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式aaN．（师用红笔在两处a上重重地描写．）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？生：化简！师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．师：负数和零有没有对数？并说明理由．某生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论某是什么数，都有a＞0，这某就是说，不论某是什么数，N=a永远是正数．因此，由等式某=logaN可以看到，负数和零没有对数．师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．师：（板书）性质1：负数和零没有对数．师：1的对数是多少？生：因为a=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．师：（板书）1的对数是零．师；底数的对数等于多少？生：因为a=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．师：（板书）底数的对数等于1．师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．练习：课本第74页练习1、2、3、4题。
学案2：4.2.2 对数运算法则
4.2.2 对数运算法则【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题：1．对数运算法则是什么？2．换底公式是如何表述的？【新知初探】1．对数运算法则log a (MN )＝ ，log a M α＝ ，log a M N＝ ． (其中，a >0且a ≠1，M >0，N >0，α∈R )2．换底公式log a b ＝ ．(其中a >0且a ≠1，b >0，c >0且c ≠1)■名师点拨对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．【自我检测】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a xy ＝log a x ·log a y .( )(3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )计算log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.38若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75等于( )A ．a ＋bB ．a －b C.b a D.a blg 20＋lg 50的值为________．【探究互动】探究点一 具体数的化简求值【例1】计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； (4)log 29·log 38.【规律方法】具体数的化简求值主要遵循两个原则：(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．【跟踪训练】计算：(1)2log 63＋log 64；(2)⎝⎛⎭⎫lg 25－lg 14÷100－12； (3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －0.06413.探究点二 代数式的化简命题角度一：代数式恒等变换【例2】化简log a x 2y 3z .【规律方法】使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2 lg x ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N . 【跟踪训练】已知y >0，化简log ax yz.命题角度二：用代数式表示对数【例3】已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.【规律方法】用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．【跟踪训练】已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.【达标反馈】1．log 513＋log 53等于( ) A ．0B ．1C ．－1D ．log 51032．(2019·广西南京市期中)在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．{a |a >5或a <2}B ．{a |2<a <5}C ．{a |2<a <3或3<a <5}D ．{a |3<a <4}3．log 29×log 34等于( )A.14B.12 C ．2 D ．44．log 327＋lg 25＋lg 4＋7log 72＋(－9.8)0＝________．【参考答案】【新知初探】1．log a M ＋log a Nαlog a Mlog a M －log a N2． log c b log c a【自我检测】答案：(1)√ (2)× (3)×解析：选C.原式＝log 3224·log 2334＝42log 32·43log 23＝83. 解析：选D.log 75＝lg 5lg 7＝a b. 解析：lg 20＋lg 50＝lg 1 000＝3.答案：3【探究互动】探究点一 具体数的化简求值【例1】【解】(1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2. (2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13.(3)原式＝lg （27×8）－lg 1032lg 1210＝lg （332×23÷1032）lg 1210＝lg ⎝⎛⎭⎫3×41032lg 1210＝32lg 1210lg 1210＝32. (4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6. 【跟踪训练】解：(1)原式＝log 632＋log 64＝log 6(32×4)＝log 6(62)＝2log 66＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2514÷102×(－12)＝lg 102÷10－1＝2×10＝20.(3)原式＝lg 3lg 4·lg 8lg 9＝lg 32lg 2·3lg 22lg 3＝34. (4)原式＝log 2.5(2.5)2＋12－⎝⎛⎭⎫641 00013＝2＋12－410＝2110. 探究点二 代数式的化简命题角度一：代数式恒等变换【例2】 【解】因为x 2y 3z>0且x 2>0，y >0，所以y >0，z >0. log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a |x |＋12log a y －13log a z . 【跟踪训练】解：因为x yz >0，y >0，所以x >0，z >0. 所以log a x yz ＝log a x －log a (yz )＝12log a x －log a y －log a z . 命题角度二：用代数式表示对数【例3】【解】法一：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 法三：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a . 【跟踪训练】 解：因为log 23＝a ，则1a＝log 32， 又因为log 37＝b ，所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.【达标反馈】1．答案：A2．解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5. 3．答案：D4．解析：原式＝12log 333＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132. 答案：132。
对数与对数的运算详细教案
课题2.2.1 对数与对数的运算 教学内容：对数与对数的运算 教学目标:1.知识目标：理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化以及认识特殊对数的意义和表示方式；2.能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力与思维灵活性的能力；3.情感目标：在知识的探索和发现过程中让学生认识事物之间的相互联系与相互转换；感受探索新知的乐趣和成功的喜悦．教学重点:对数的概念，对数与指数的关系． 教学难点:对数概念的理解． 课型：新授课. 教学方法：1 教法:讲解法，合作法.2 学法:类比学习法，合作学习法.3 教学用具:彩色粉笔；多媒体.教学过程：1.创设情境，引入新知（1）庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.①取5次，还有多长？ ②取多少次，还有0.125尺？（2）截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后我国人口数可达18亿？ 可抽象出：51,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.125?2xx ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭()1311%18y⨯+=即181.01?13y y =⇒=师：上一节我们已经知道指数运算就是我们以前学的乘方运算，同样也知道乘方运算的逆运算开方运算.对512a⎛⎫=⎪⎝⎭，大家认为是什么运算呢？a的值为多少呢？对于1180.125 1.01213xy⎛⎫==⎪⎝⎭和，这两个式子有什么共同的地方没有？是什么？（已知底数和幂值，求指数）.是我们熟悉的运算吗？和我们所熟知的指数也能算和开方运算有联系吗？其中的x y和的值怎么表示呢？带着这些问题进入我们今天的课堂：对数.2.探究新知⑴对数定义如果x a N=(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x =loga N（01a a>≠且）其中a叫对数的底数，N叫做真数.师：从上述定义要知道对数的记法为：logaN；读作：以a为底N的对数.师：得出logaN表示a的多少次幂为N.师：在上节我们学的指数函数中，我们知道a＞0且a≠1才有意义，所以在考虑对数的时候我们也规定a＞0且a≠1．师：知道了对数的定义，我们就根据定义来把刚刚的第三和四小题中的,x y表示出来了：因为10.1252x⎛⎫=⎪⎝⎭，所以12log0.125x=；因为181.0113y=，所以1.0118log13y=.师：我们根据对数定义，可以看出指数和对数存在密不可分的关系，那么究竟有怎样的关系呢？我们一起来看看.⑵指数式和对数式的关系师: 讨论两者之间的关系前要明确a的取值范围是a＞0且a≠1，也要知道两个式子中相同字母代表的是同一个数，只是数的位置发生了变化，到底是怎样的变化呢？下面我们就一起来学习：师: 这便是指数式和对数式的关系，在此我还要强调一下，x a N =和x =log a N 其实表示的一种关系，它们是一种关系的不同表达式，x a N =是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们是一回事。
优秀教案20-对数与对数运算(2)
2.2.1对数与对数运算（2）教材分析本节内容是数学1第二章 基本初等函数 2.2.1对数与对数运算 的第二课时.对数与对数运算是学生学习了指数运算后学习的又一重要运算，要求理解对数的运算性质，能灵活运用对数运算性质进行对数运算.本节课是在学习了“对数的概念”后进行的，是上节内容的延续与深入，也是为研究学习后续知识对数函数与性质的作必备的知识和思想上的准备，起到了承上启下的重要作用.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解对数运算性质的推导、证明及应用运算性质进行简单的对数运算、解决简单的数学问题.教学目标重 点: 探究、发现对数的运算性质及运算性质的简单应用. 难 点：对数运算性质的发现与证明以及正确使用对数的运算性质. 知识点：对数的运算性质.能力点：能利用对数运算性质解决简单的数学问题，通过自主探究发现对数的运算性质及证明，提高学生合情推理、等价转化和类比归纳等数学思维能力.教育点：经历由特殊到一般、由已知到未知、由具体到抽象的研究数学问题的过程，培养学生的观察力与团队合作精神，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：探究发现对数的运算性；并利用类比的方法证明对数的运算性质（2）和（3）. 考试点：利用对数的运算性质进行对数运算.易错易混点：运用对数运算性质时，学生容易忽略对数式中的底数、真数的取值范围；容易自创公式、误用公式，如：log ()log log a a a M N M N ±=±，log ()log log a a a M N M N ⋅=⋅等.拓展点：课外探究怎样进行不同底数的对数间的运算？为换底公式的讲解做铺垫.教具准备 多媒体课件、投影仪 课堂模式 学案导学 一、引入新课（一）知识回顾：（教师出示多媒体课件并提出问题） 1.对数是怎样定义的？2.对数与指数有怎样的相互转化关系？3.指数有哪些运算性质？【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答问题，教师根据学生回答进行板书.【设计意图】“温故知新”学习新知识前的简单知识回顾，能唤起学生的记忆，引发学生的学习兴趣．通过知识回顾为学习新内容作好知识上的准备，更为学生自主探究铺平道路．二、探究新知 （一）归纳运算性质1.猜想问题：类比指数的运算性质，你能猜想对数的一些运算性质吗？[设计意图]培养学生自主发现问题、提出问题的能力，并为下一步探究发现对数运算性质指明方向. 2.探究、发现计算下列各式的值：（出示多媒体课件） （1）2log 64，2log 4，2log 16； （2）3243log 27，3log 9，3log 27； （3）23log 9，32log 9⋅. 师：请计算上述各组的对数值. 生：学生解答，得出答案：（1）2log (416)6⨯=，2log 42=，2log 164=； （2）3243log 227=，3log 2435=，3log 273=； （3）23log 94=，32log 94⋅=.师：引导学生分组讨论，你能发现各组对数值之间有哪些等价关系吗？ 生：分组讨论，同学间交流各自的意见，得出各组对数值之间的等价关系.222log (416)log 4log 16⨯=+； 333243log log 243log 2727=-；23log 932log 9=⋅. 师：将上述等式关系进行板书，并继续提问：你能发现一般形式的结论吗？例如：2log ()=?M N ⋅，3log =?MN，3log =?n M . 生：学生经过思考给出答案.222log ()=log +log M N M N ⋅，333log =log log MM N N-，33log log n M n M =.师：要注意M 和N 的取值范围(0)M N >，.对任意的底数a （01a a >≠，且）有没有更一般的结论呢？ 生：思考得出各自的成果，然后进行分组讨论，并最终分析得出小组成果. 师：将小组得出的成果进行投影展示.经过师生对话将小组成果进行完善，分析得出对数可能的运算性质：如果01a a >≠，且，00M N >>，，那么 （1）log ()log log a a a M N M N ⋅=+； （2）log log log aa a MM N N=-； （3）log log ()na a M n M n R =∈【设计意图】通过具体对数计算进行引入，为学生的自主探究创设情景，引发学生探究知识的兴趣，培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力和由特殊到一般的科学思维方法.避免直接将公式抛给学生． 【设计说明】通过问题探究发现公式，培养学生分析、归纳、猜想的数学思维能力；通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的观察力与团队合作精神.（二）公式证明在上节课中，我们知道，指数式与对数式可以互化，即对数式可看作指数运算的逆运算，那么我们能不能把未知的对数问题转化为已知的指数问题呢？【设计意图】沟通本节内容与前面章节内容的联系，启发引导学生利用指数幂的运算性质及指数与对数的关系进行证明.分析：运用转化思想，通过假设，将对数式化成指数式，并利用指数幂的运算性质进行等价变形，进而证明对数运算性质．证明：设log log a a M m N n ==， ，由对数定义得：m na M a N ==，.+m n m n M N a a a ∴⋅=⋅=，log ()log log a a a M N m n M N ∴⋅=+=+.【设计意图】让学生明确由“归纳一猜想”是发现数学结论的有效方法；回归对数定义，让学生体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用，回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略． 师：你能按照以上的方法证明对数运算的其它性质吗？ 生：学生板演展示自己的证明过程.请同学们观察证明过程，若有问题引导学生一起指正、完善. 通过师生对话，最终给出完整的证明过程.【设计意图】通过自己推导证明另两条运算性质，使学生进一步理解对数与指数间的关系；培养学生的逻辑推理能力和自主发现问题、解决问题的能力，进而激发学生自主学习的热情.三、理解新知1.师：对数的运算性质中，各字母的取值范围有何限制条件？ 生：01a a >≠，且，00M N >>，． 师：判断下列两式的正误：（1）222log (10)2log (10)-=-； （2）lg[(2)(5)]lg(2)lg(5)-⋅-=-⋅-． 生：（1），（2）都不对，因为负数没有对数．师：很好，只有所给对数和所得结果中的对数都存在时，等式才能成立． 【设计意图】通过即行练习，进行辩错巩固，深化对运算性质适用范围的理解． 2.师：分析对数运算性质的结构特点，能用语言叙述运算性质吗？ 生：通过合作交流，分组讨论，得出结论. 师生共同总结运算口诀：（1）两个正数乘积的对数等于这两个正数对数的和； （2）两个正数商的对数等于这两个正数对数的差； （3）一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数的n 倍.即：积的对数=对数的和；商的对数=对数的差；n 次方的对数=对数的n 倍.【设计意图】通过师生共同总结加强对公式正确形式的理解，正确认识公式、记忆公式，学会学习． 3.性质（1）可以推广到n 个正数的情形：111230,,,,01n a a M M M M >≠> ，且，123123log ()log log log log +++a n a a a a n M M M M M M M M ⋅⋅=+ .4.对数运算性质既可正用，也要注意逆用.【设计意图】为准确地运用新知——利用对数运算性质进行化简、求值、证明作必要的铺垫.四、运用新知例1（见教材例3） 用log a x ， log a y ，log a z 表示下列各式：（１）log a xy z ； （２）log a分析：正向利用对数运算性质直接化简.学生自主完成例1，并请学生到前面板演解题过程.教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，并校对自己的答案．解：（1）log axyzlog ()log log log log a a a a a x y zx y z =⋅-=+-；（2）log a22log (log log log log 112log log log .23a a a aa a a a x x x y z =-=+=+-[设计意图]培养学生反思、总结的习惯． 例2(见教材例4) 求下列各式的值：（1）752log (42)⨯； （2） （3）2(2)log (8)--. 解：（1）752log (42)⨯7522=log 4log 2+227log 45log 2=+72519=⨯+=；（2）15lg100=21lg105= 25=. （3）2(2)log (8)-- 2221log log 224-===- 点评：本题运算的实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减运算.第（1）小题是性质（1）和性质（3）的综合运用，注意先做积的对数，后做幂的对数；第（3）小题若拆成22log (2)log (8)---就要犯错了，要当心真数大于零（回扣理解新知部分）．[设计意图]巩固所学的运算性质，提高计算能力；通过简单的对数计算，使学生进一步熟悉对数运算性质的结构特点，学会正确选择公式，而不是死记公式．练习：教材68P ：1、2[设计意图] 通过练习规范学生的解题步骤，加强熟练应用公式的能力． 例3计算1324lg 2493- 分析：解本题的关键是充分运用对数的运算性质，把式子中的项拆开，在重新组合；运算时，一般先化简合并同类项． 解：（1）1324lg 2493-1411(lg32lg 49)lg8lg 2452322=--⨯+ 52321411(lg 2lg 7)lg 2lg(57)2322=--⨯+⨯ 51lg 2lg 72lg 2lg5lg 722=--++ 11lg 2lg522=+1lg(25)12=⨯= 思考：本题还有其它解法吗？学生：有！给出解法.（如有困难，提示学生逆向运用对数运算性质，引导学生将原式变形）方法二：1324lg 2493-213232lg()lg8lg(749=-+23lg lg8lg(77=-+17lg 42===．[方法总结]这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.[设计意图]“通过一题多解”发散思维，掌握对数运算的变形技巧，体会运算性质的正用和逆用.（回扣理解新知部分）五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：1．知识：对数运算性质：如果01a a >≠，且，00M N >>，，那么（1）log ()log log a a a M N M N ⋅=+； （2）log log log aa a MM N N=-； （3）log log ()na a M n M n R =∈2．思想：合情推理、等价转化、类比归纳和由特殊到一般的思想． 教师总结: 1.对数的运算性质2.对数运算的易错点（请同学们一定不要自创公式,要灵活运用公式）在发现对数运算性质的过程中运用了观察，归纳，猜想，类比等数学方法，体现了由特殊到一般的数学思想。
人教版高中数学必修一学案：《对数与对数运算》(含答案)
2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④对数运算性质的应用【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1)．课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]【例2】 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2) ＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189 ＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
《对数与对数运算》教案全面版
《对数与对数运算》教案全面版（一）学习目标：⒈理解对数的意义、符号，能正确进行指数式与对数式的互相转化；⒉通过阅读材料，了解对数的发展历史以及其对简化运算的作用．教学重点：对数的意义．教学难点：对数概念的理解．教学方法：讲授式．教具准备：《几何画板》演示课本例8．教学过程：（I）新课引入：师：在上节课的例题8中，我们得到了一个指数型函数．通过函数的解析式，我们可以计算得到任意一个年头的人口数．反之，哪一年的人口数将会达到18亿、20亿、30亿……呢？（学生思考，教师引导、演示）要解决这样一个问题，现在对我们来说是很困难的，但是我们可以通过电脑软件《几何画板》的演示来得到问题的近似解大约分别是33，43，84，…，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年，43年，84年，我国人口分别约为18亿，20亿，30亿．解决这个问题，实际上就是要要从，，，…中分别求出的值，也就是已知底数和幂的值，求指数．这就是本节课开始学习的对数问题．（II）讲授新课：⒈对数的意义：师：一般地，如果（且），那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫对数的底数，N叫真数．请同学们把前面的人口问题中的时间用对数表示出来．生：，，．师：由于我们实际应用的进制记数方法，所以在实际应用中将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作．另外，在科学技术和工程计算中常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数成为自然对数，并且把记作．请同学们用计算器计算下面几个对数的值：，，，．生：（计算得），，，．师：由对数的定义，我们可以得到对数与指数间的关系式：．请同学们填写下表中空白处的名称：式子名称指数式对数式生：略．2、对数的性质：师：在对数中，我们规定且，这是为什么呢？生：在指数式中，为了使对任意实数都有意义，我们规定了；而当时，式子的值恒为1，但是在对数式中的值就是不确定的了，所以，在对数式中，我们和指数式一样规定了且．师：在学习指数函数的性质时我们知道，，这反映在对数中是怎样的性质呢？生：由于，所以在对数中必须有．师：这样我们就得到了对数的一条性质：负数和零没有对数．在指数式中我们知道：，，这反映到对数式中是怎样的呢？生：，．师：这就是对数的另一条性质．根据指数与对数间的关系，我们还可以得到，这个公式我们一般称为对数恒等式．例⒈例⒉见课本．（Ⅲ）课后练习：课本练习．（Ⅳ）课时小结⒈指数与对数的比较：式子名称幂的底数幂的指数幂值对数的底以为底的对数真数⒉要能够熟练的进行指数式与对数式的互相转化；⒊关于对数的发展历史，同学们可以阅读课本的阅读与思考．（Ⅴ）课后作业⒈课本习题2、2 A组⒈⒉⒉阅读课本～，思考下列问题：⑴对数有哪些运算性质？怎样用对数的定义证明这些性质？⑵什么叫对数的换底公式？它有什么用途？怎样用定义证明对数的换底公式？板书设计：2、2、1 对数与对数运算（一）⒈对数的意义：⒉根式的性质例⒈⑴常用对数⑴⑵自然对数⑵例⒉⑶ 小结：预习提纲：教学后记:2、2、1 对数与对数运算（二）学习目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算；⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数．教学重点：对数的运算性质．教学难点：用定义证明对数换底公式．教学方法：讲授式．教具准备：投影．教学过程：（I）复习引入：师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？生：如果（且），那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫对数的底数，N叫真数．师：对数有哪些基本性质呢？生：对数有下面的基本性质：⑴负数和零没有对数；⑵，；⑶．师：对数与指数之间有怎样的关系？生：．师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．（II）讲授新课：⒈对数的运算性质：师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如：设，，则有，，∴．将上式化为对数形式，得．这样我们就得到了对数的一个运算性质：．请同学们仿照上述过程，由和得出对数运算的另外两条性质．生：（推导得出），．师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．例题：课本例3、例4、⒉对数换底公式：师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或为底的对数，以方便我们的计算呢？为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：．你能根据对数的定义推导出上面的换底公式吗？（在教师的指导下，学生讨论、探究换底公式的证明方法，教师板书）证明：设，，，那么，，．将后面的两个式子代入前面的式子，得．根据指数函数的单调性，得，即．∴．师：对数换底公式的证明方法较多，例如也可以证明．对数换底公式还有如下常用的推论：⑴；⑵；⑶．请同学们应用对数的换底公式计算下面各式的值：，，．（Ⅲ）课后练习：课本练习．（Ⅳ）课时小结⒈要理解对数运算性质的推导方法，能够熟练应用对数的运算性质进行化简、求值；⒉应用对数换底公式可以方便的求出任意不为1的正数为底的对数．（Ⅴ）课后作业⒈课本习题2、2 A组⒊⒋⒉阅读课本～，思考下列问题：⑴怎样的函数叫对数函数？对数函数的定义域是什么？⑵对数函数的图象是怎样的？函数和的图象有什么关系？⑶对数函数有哪些性质？板书设计：2、2、1 对数与对数运算（二）⒈对数的运算性质：例题⒉对数换底公式⑴ 推论⑴⑵⑵⑶ ⑶小结：预习提纲：教学后记:你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。
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2.2.2 对数与对数运算（2）
【学习目标】
1.会运用指数与对数互化关系以及指数幂运算性质去发现对数的运算性质；
2.能熟练地运用对数运算法则解决问题；
3.能记住对数的换底公式并能用它进行求值．
【学习重点】对数运算性质及其推导过程
【难点提示】对数运算性质的正确理解与运用；
【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材6469P -结合进行自主学习（对教材中的文字、
图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；
2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
【学习过程】 一、学习准备
上节课我们学习了指数与对数运算，请同学们仔细回顾后独立完成下列填空或问题： 1.对数定义．如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做 ，记作 ．
对数性质：0,1,x
a a a N >≠=⇔ 当时（1）；（2）log 1a = ；
（3）log a a = ；（4）负数和零 对数； （5）log n a a = ；（6）log a N a = . 3.有理数指数幂的运算性质（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = ． 4.根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题．
（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a += ，；m n += ； （2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．
二、探究新知 1.对数运算性质及推导
●观察动手思考（1）把对数式log a M p =， log a N q =改写成指数式M =p a ，N =a
（2）结合上述1．将p q a +用M ，N 表示出来． MN =p a q a =p q a +
（3）将2中结论用对数式表示，探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？ log a MN =p +q ，替换即得log a MN =log a M + log a N
将上面的内容结合感悟关系式log a MN =log a M + log a N 是如何得到的？你能进行类比，用类似方法探究出下列关系吗？
log log log a a a M M N N
=-； l o g l o g (n
a a M n M
n R =∈ ●归纳概括: 对数运算性质，如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则
（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M
M N N
=-；
（3）log log ()n a a M n M n R =∈．请写出你的推理过程．
思路启迪：运用转化思想，先通过换元，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式
证：
2.换底公式
●观察思考 （1）通过验证观察下列各式是否成立 ○
12lg 4log 4lg 2= ；○23lg9log 9lg3
=；○34lg8
log 8lg 4=；○
47log =．
（2）我们使用的计算器中，“log ”通常是常用对数，我们使用的数学用表中的对数表也是常用对数表，如何使用科学计算器或数学用表计算㏒215？请想想下列解答过程:
设㏒215=x ，写成指数式得215x
=两边取常用对数得x lg2=lg15， 所以x =
2lg 15lg 这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2
lg 15
lg ≈3．9068906． 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=
2
ln 15
ln ≈3．9068906． ●归纳概括(依据上述观察思考，你能否得到下列公式) 对数换底公式: log log log c a c b
b a
=
( 01;0a a c >≠>≠>且且c 1;b 0)． 你能给出证明过程吗？(不妨动手试试)
快乐体验 1.判断下列命题或式子的正误：（1）lg(2)(3)lg(2)lg(3);--=-+-
6422233
(2)(2)6log (2);(3)3;(4)lg(23)lg 2lg3;2
lon lon lon lon -=-=
+= ＋ ()22
(5)lg 2ln 3lg 6;(6)ln 2ln 3ln 6(0);(7)lg 2lg3lg lg 6lg lg 2lg3(0).
x x x x x x x x x +=⋅=>⋅=+⋅+⋅>
解：
2.用log a x ， log a y ， log a z 表示下列各式（1）2log a xy
z ；（2）
log a ．
解：
3.计算下列各式：（1）852log (42)⨯；（2）
(3) ㏒927；
2255331(4)63;(5)lg5lg 2;(6)3;(7)515.3
lon lon lon lon lon lon -+--
解：
4.求证：（1）1
log (0,1,0,1)log a b b a a b b a
=>≠>≠； （2）log log (0,1,0)n m a a m
b b a a b n
=>≠>． 证明：
挖掘与拓展 1.上面三个运算性质和一个公式，分别具有哪些特征？如何记忆与掌握？ 你能用文字语言来描述上面的性质吗？（链接1）
2. 性质与公式有怎样的运用方法？各自运用的条件是什么？
3. 重要的二手结论：（1）1
log (0,1,0,1)log a b b a a b b a
=>≠>≠； （2）log log (0,1,0)n m
a a m
b b a a b n
=>≠>； 三、典例赏析
例1.计算下列各式的值：
7lg 243lg8(1)lg142lg lg 7lg18;(2);(3)3lg 9lg1.2
--+-
解：
例2.设5l g 2o a =，5l g 3o b =，试用a 、b 表示5log 12．
思路启迪：注意观察三个对数的联系与转换，重在看底数与真数的联系？
解:
解后反思 该题题型是怎样的？求解时运用了哪些知识与方法？关键点在哪里？ 变式练习 若102a
=，103b
=，试用,a b 表示36log 45．
例3.设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：111
2c a b
-=．
变式练习 设45100a
b
==，求122()a b
+的值． 解:
四、学习反思
1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如： 对数运算有哪些运算性质？运用对数运算性质解题应注意什么？本节课遇见了那些题型？求解的数学思想方法怎样？有哪些易错点？
2.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？
五、学习评价
1.下列等式成立的是（ ）
A ．222log (35)log 3log 5÷=-；
B ．222log (10)2log (10)-=-；
C ．222log (35)log 3log 5+=⨯；
D ．3322log (5)log 5-=-． 2.若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）．
A ．y x =；
B ．2y x =；
C ．3y x =；
D ．4y x =． 3.计算下列各式：99log 3log 27+=
：15
lg 23
= ；
4..求下列各式的值：（1
（2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+．
9355.(1)log 5,379.(2)log log ,n a a m m n lon x b c ===+已知，试用含、的式子表示已知：求x ．
6.教材第68页练习的第4题（可以做在书上）
◆承前启后 我们学习了对数的概念、运算、运算性质，那么对数运算在实际生活
有哪些运用呢？
【学习链接】
链接1.两个正数的积的对数等于这两个数的对数的和（其余的请同学们类比表达）；。