等差数列前n项和的综合应用练习题含答案

课时分层作业(十二) 等差数列前n 项和的

综合应用

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．1

B [等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.]

2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )

A ．②③

B ．①②

C ．①③

D ．①④

B [∵S 6>S 7，∴a 7<0，

∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，

∴a 6>0，∴d <0，①正确；

又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确；

S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确；

{S n }中最大项为S 6，④不正确．

故正确的是①②.]

3．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )

A ．15

B ．35

C ．66

D ．100

C [易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.

|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，

令a n>0则2n－5>0，∴n≥3.

∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|

＝1＋1＋a3＋…＋a10

＝2＋(S10－S2)

＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]

4．设数列{a n}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使S n达到最大值的n是()

A．18 B．19

C．20 D．21

C[a1＋a3＋a5＝105＝3a3，

∴a3＝35，

a2＋a4＋a6＝99＝3a4，

∴a4＝33，

∴d＝a4－a3

4－3

＝－2，

∴a n＝a3＋(n－3)d＝41－2n，令a n>0，∴41－2n>0，

∴n<41

2，

∴n≤20.]

5．1

1×3＋

1

2×4

＋

1

3×5

＋

1

4×6

＋…＋

1

n（n＋2）

等于()

A．

1

n（n＋2）

B．

1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

n＋2

C．1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

3

2－

1

n＋1

－

1

n＋2D．

1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

n＋1

C [通项a n ＝1

n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫13－15＋…＋ ⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2.] 二、填空题

6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________．

5 [∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.]

7．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．

6或7 [由|a 5|＝|a 9|且d >0得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小．]

8．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．

5或6 [∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0， ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0.

故当n ＝5或6时，S n 最大．]

三、解答题

9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？

[解] (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，

得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，

∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .

(2)法一：a 1＝9，d ＝－2，

S n ＝9n ＋n （n －1）2

·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，

∴当n ＝5时，S n 取得最大值．

法二：由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，

∴{a n }是递减数列．

令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.

∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.

∴当n ＝5时，S n 取得最大值．

10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .

[解] ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .

当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n

＝na 1＋n （n －1）2d ＝13n ＋n （n －1）2

×(－4) ＝15n －2n 2；

当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |

＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )

＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n