《复变函数与积分变换》试题及答案.
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换试题及答案5
复变函数与积分变换试题及答案5复变函数与积分变换试题与答案 1．若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数，则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。
（） 2．因为|sin |1z ≤，所以在复平⾯上sin z 有界。
（）3．若()f z 在0z 解析，则()()n f z 也在0z 解析。
（） 4．对任意的z ，2Ln 2Ln z z =（）⼆填空（每题3分）1．i 22i =-- ， ia r g 22i =-- 。
2．ln(3i)-= ， i i = 。
3.在映照2()24f z z z =+下，曲线C在iz =处的伸缩率是，旋转⾓是。
4.0z =是241e zz -的阶极点，241Re [,0]ze s z -=。
三解答题（每题7分）设2222()i()f z x axy by cx dxy y =++-++。
问常数,,,a b c d为何值时()f z 在复平⾯上处处解析？并求这时的导数。
求(1)-的所有三次⽅根。
3．2d Cz z其中C 是0z=到34i z =+的直线段。
4．||2e cos d z z z z=?。
(积分曲线指正向)5．||2d (1)(3)z zz z z =+-?。
(积分曲线指正向)6 将1()(1)(2)f z z z =--在1||2z <<上展开成罗朗级数。
7.求将单位圆内||1z <保形映照到单位圆内||1w <且满⾜1()02f =，1πarg ()22f '=的分式线性映照。
四解答题（1,2,3题各6分, 4题各9分）1．求0 0()e 0ktt f t t -设22()e e sin 6()t t f t t t t t δ-=+++, 求()f t 的拉⽒变换。
设221()(1)F s s s =+，求()F s 的逆变换。
4. 应⽤拉⽒变换求解微分⽅程23e (0)0, (0)1t'==? 复变函数与积分变换试题答案 1若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数，则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷Q(z) f(z)=复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i,)1(1Re 221 （3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题及解答
复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。
处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。
]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。
是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。
)4. 尸——二~＜公J 。
1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。
复变函数与积分变换试题及答案9
∂u ∂v =x= ∂x ∂y
∴ u = xy + g ( x )
∂v ∂u =y= ∂y ∂x
∴ u = xy + c （3 分）
∴ u = xy + g ′( x )
∵ f (0) = u (0,0) + iv (0,0) = c = 0 ∴ f ( z ) = (−
（2 分）
x2 1 2 i + y )i + xy = − z 2 2 2 2
v = 3x 2 y − y 3
∂u ∂u ∂u ∂u = 3x 2 − 3 y 2 = ， = −6 xy = − 且四个偏导连续 ∂x ∂y ∂y ∂x
∴f(z)在整个复平面上解析 ∴ f ′( z ) = 3x − 3 y + i 6 xy = 3 z
2 2
2
(4 分) （3 分）
2．解：∵ −
原式（4 分）= 2πi
∑ Re s ⎢ z ( z − i)
k =1
2
⎡ ⎣
1
3
⎤ , zk ⎥ ⎦
z1 = 0, z 2 = i
（3 分）= 2πi⎜ +
⎛1 ⎝i
1 2⎞ ⋅ ⎟ =0 2! i 3 ⎠
7
4．解：∵
1 1 1 = = z i + z −i z −i
1 1+ i z −i
=
1 ∞ 1 (−i) n ∑ z − i m=0 ( z − i) n
4．解： s 3 F ( s ) + 3s 2 F ( s ) + F ( s ) =
1 s
（4 分）
F (S ) =
1 1 1 1 = = ⋅ 2 3 s( s + 3s + 3s + 1) s ( s + 1) s ( s + 1) 3
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ）.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z e π=34.i B z π=712.i C z eπ=3.iD z π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1B C.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
复变函数与积分变换试题及答案26
复变函数与积分变换试题与答案一、填空（3分×10）1．ln( 1 3i ) 的模。
2．-8i 的三个单根分别为：，幅角，，。
3．Ln z 在4．f (z) = z 的解极域为：5．f (z) = x2 y2+ 2xyi 的导数 f 2(z) =的区域内连续。
ϒ z /6．Re s'≤sinz3,0∞ƒ =7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若F(⎤)=F [f(t)]，则f (t) = F 1f [(⎤)]。
10．若f（t）满足拉氏积分存在条件，则L [f(t)]= 。
二、判断题（每题 2 分，共20 分，请在正确的题打“√”，错误的题后打“×\u8221X）） （ （ 5．如果 f 2(z o ) 存在，那么f (z)在zo 解析。
（ ） 6．如果zo 是f (z)的奇点，那么f (z)在zo 不可导。
（ ） 7．如果 u(x,y)，v (x,y)的偏导数存在，那么 f(z)=u+iv 可导。
（ ） 10．在zo 处可导的函数，一定可以在zo 的邻域内展开成泰勒级数。
） 二、计算题(6 分×4) 1．求 p ，m ，n 的值使得函数 3 2 3 2 数。
f ( z) = my +nx y +i (x + pxy ) 为解析函函数 f ( z) = u(x ，y ) +iv ( x ，y ) 1 2 （积分沿正向圆周进行） 3. + = |z| 4 z +1+ z 3 dz z 4． +|z|=2z 2 1dz （积分沿正向圆周进行）四、（5分）将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数1f z( ) =z z(1 )（1<|z|<+∞）五、（5分）求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数。
六、解答题：1．（5 分）已知某函数的傅氏变换为F w = ™+ + ™+求该函数。
( ) [ (w w0) (w w0)]y 22 +2y 2 3y = e t 满足初始条件 y 2 = ， = 的解。
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷468复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换试题及答案1
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题3分）1.i 31--的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤⎰z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++ 的和函数的解析域是 。
5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 。
二、 判断正确与错误（画对错号，每题3分）1．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上sin z 有界。
（ ） 2、若函数()z f 在0z 处解析，则)()(z f n 也在0z 解析。
（ ） 3．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。
（ ） 4．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成罗朗级数。
（ ）5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （ ）三、解答题（每题8分）1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？2．已知f （z ）的虚部为222121),(y x y x v +-=，求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。
4.求sin d (1)Czz z z -⎰，其中C 为||2z =。
5.求e d cos zCz z ⎰ ，其中C 为||2z =。
6．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
7．指出 6sin )(zzz z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。
8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足0)21(=f ，2)21(arg π='f 的分式线性映照。
四、利用拉氏变换求解微分方程（6分）⎩⎨⎧='==+'+''-1)0()0(34y y e y y y t （提示：1[]1t L e s -=+）试题答案一、填空题：（每题3分） 1.i 31--的三角表达形式：222[cos(2)sin(2)]33k i k ππππ-++-+; 指数表达形式：2(2)32k i eππ-+ ；几何表达形式：|12,-=2(1(2)3Arg k ππ-=-+. 2．=-i 2)3(222ln3k ieππ--+；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则()d Cf z z ML ≤⎰.4．级数21nz z z +++++ 的和函数的解析域是||1z <。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)1．一、填空(3 分×10)1．ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在的区域内连续。
4． f ( z ) = z 的解极域为： 。
5． f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是： 。
9．若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。
10．若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。
、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6． Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2．c(z co-s i z)3 C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。
1．0 | z - i | 12．1 | z - i | +六、证明以下命题：(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。
+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。
八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）= 2i [-1+1] =02 分）一、1． 3. 8.二、解： 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解： 四、 4. 空集 5. 2z 6． 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分） - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= （2分）Re s 5 分） -2i z 2 2 分）z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21．解：原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解：①定义； ②C-R 充要条件 Th ； ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解：∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S （2）-（1）：∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2．解： 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1．解：f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分）n =0 n =-12． 解： f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分）11+1 分）1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1．+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分） ∴结论成立++e -i t dt = 2() -（2 分）sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 （2） （3 分） Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2（ w ） 与 1 构成傅氏对七、解：∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分）=1=02 分）复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7．若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。
复变函数及积分变换试题及答案
第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
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年级专业： 教学班号：
学号： 姓名:
装订线
课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟
课程代码：7100031试卷总分：100_分
一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）
1
; 2、； 3、'
|和它的主值
二、（8分）设
'，函数
'■在•平面的哪些点可导？若可导，
求出在可导点的导数值。
三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。
四、（25分，每小题各5分）计算下列积分:
的正向;
-de + sin 0
5.
五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数
1.
2.
；・伫一
15界 ^： M=i
? ・
的正向;
3. ，■:
的正向; 4.
们；＜：6山「：
的正向;
(1)
(2)
六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足
arg r（n =匸
■，的分式线性映射，。
I
U-1"=—-
2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？
「2 （f
f（t）--
七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。
八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。
九、（5分）求的拉氏逆变换。
十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程：
一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）
1、
* _ JT It &
(1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + +
4 4
=16(QDS(-2JT)-F /SII M -2«))
=16 (2)
3 3、
2
1
四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分）
由柯西-黎曼方程得： '
即 '.所以’在 ’可导.
三、参考答案及评分标准：（10分）
v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “
&x
J A 2 dy
得,
卩二
J(-6砂必=-3A y 十 g(y}
-
r
故 -?」；、’；J/'
二、参考答案及评分标准：（ 8 分)
解： ■
异上F ，因为
dv ov
=乩——=
0,——=2y Ex
d 2u 沪 口
W C?j/
，所以
为调和函数.
证明:
P V (? u
由"M 得3A1 d g\y}= 2- ?A
2
2 四、参考答案及评分标准：（每小题5分，共25分）
3
1
1
5~
/ -1
-4 Sill 0
—+ - 4
4 2 iz
2? + 5J >-2
JZ
一心
2/1(2 d
3+2
4 .因为
-上在c 内无奇点,
所以:
cir = 0
r
/ -J6
(Z4 2fl(2z+ “
vsinZ? --- -------
2J >
4
2.
1
-------------------------------- S -------------
所以洛朗级数为
H m _送
JJ-0
所以洛朗级数为
原式- 六、参考答案及评分标准: 1解：将上半平面 内点• （每小题 5分，共10分）
lm （z>0映射到单位圆域 的变换为 为上半平面
，所以
-，故 ,
所以
解：边界1： ,
..= i =i "丄 “0
x 〉n ,
忑〔故 羔
K ;>= f ^df
V . -uj
解：
r (s}= Hr + 3sin(20■+ /cos Z] =
r 2] + 3i(sin 2/J + Zj/cos 小八 (2)
2 3x 2
=—十 -------------------------
$ S~ + 4 2 b
二—+ — ------
解：
设二也上一在方程的两边取 拉氏变换并考虑初始条件得:
，故
七、 Z
特殊点：
作图
参考答案及评分标准：（5分）
十、
参考答案及评分标准：（6分） 3+2
八、 参考答案及评分标准：（6分）
S 1 + 1
I - y (/ 4 1)? 九、 参考答案及评分标准: (5分)
解:
取逆变换得:。