《复变函数与积分变换》试题及答案.

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课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟

课程代码：7100031试卷总分：100_分

一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）

1

; 2、； 3、'

|和它的主值

二、（8分）设

'，函数

'■在•平面的哪些点可导？若可导，

求出在可导点的导数值。

三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。 四、（25分，每小题各5分）计算下列积分:

的正向;

-de + sin 0

5.

五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数

1.

2.

；・伫一

15界 ^： M=i

? ・

的正向;

3. ，■:

的正向; 4.

们；＜：6山「：

的正向;

(1)

(2)

六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足

arg r（n =匸

■，的分式线性映射，。

I

U-1"=—-

2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？

「2 （f

f（t）--

七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。

八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。

九、（5分）求的拉氏逆变换。

十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程：

一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）

1、

* _ JT It &

(1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + +

4 4

=16(QDS(-2JT)-F /SII M -2«))

=16 (2)

3 3、

2

1

四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分）

由柯西-黎曼方程得： '

即 '.所以’在 ’可导.

三、参考答案及评分标准：（10分）

v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “

&x

J A 2 dy

得,

卩二

J(-6砂必=-3A y 十 g(y}

-

r

故 -?」；、’；J/'

二、参考答案及评分标准：（ 8 分)

解： ■

异上F ，因为

dv ov

=乩——=

0,——=2y Ex

d 2u 沪 口

W C?j/

，所以

为调和函数.

证明:

P V (? u

由"M 得3A1 d g\y}= 2- ?A

2

2 四、参考答案及评分标准：（每小题5分，共25分）

3

1

1

5~

/ -1

-4 Sill 0

—+ - 4

4 2 iz

2? + 5J >-2

JZ

一心

2/1(2 d

3+2

4 .因为

-上在c 内无奇点,

所以:

cir = 0

r

/ -J6

(Z4 2fl(2z+ “

vsinZ? --- -------

2J >

4

2.

1

-------------------------------- S -------------

所以洛朗级数为

H m _送

JJ-0

所以洛朗级数为

原式- 六、参考答案及评分标准: 1解：将上半平面 内点• （每小题 5分，共10分）

lm （z>0映射到单位圆域 的变换为 为上半平面

，所以

-，故 ,

所以

解：边界1： ,

..= i =i "丄 “0

x 〉n ,

忑〔故 羔

K ;>= f ^df

V . -uj

解：

r (s}= Hr + 3sin(20■+ /cos Z] =

r 2] + 3i(sin 2/J + Zj/cos 小八 (2)

2 3x 2

=—十 -------------------------

$ S~ + 4 2 b

二—+ — ------

解：

设二也上一在方程的两边取 拉氏变换并考虑初始条件得:

，故

七、 Z

特殊点：

作图

参考答案及评分标准：（5分）

十、

参考答案及评分标准：（6分） 3+2

八、 参考答案及评分标准：（6分）

S 1 + 1

I - y (/ 4 1)? 九、 参考答案及评分标准: (5分)

解:

取逆变换得: