《复变函数与积分变换》试题及答案.

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课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟
课程代码：7100031试卷总分：100_分
一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）
1
; 2、； 3、'
|和它的主值
二、（8分）设
'，函数
'■在•平面的哪些点可导？若可导，
求出在可导点的导数值。

三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。

四、（25分，每小题各5分）计算下列积分:
的正向;
-de + sin 0
5.
五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数
1.
2.
；・伫一
15界 ^： M=i
? ・
的正向;
3. ，■:
的正向; 4.
们；＜：6山「：
的正向;
(1)
(2)
六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足
arg r（n =匸
■，的分式线性映射，。

I
U-1"=—-
2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？
「2 （f
f（t）--
七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。

八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。

九、（5分）求的拉氏逆变换。

十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程：
一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）
1、
* _ JT It &
(1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + +
4 4
=16(QDS(-2JT)-F /SII M -2«))
=16 (2)
3 3、
2
1
四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分）
由柯西-黎曼方程得： '
即 '.所以’在 ’可导.
三、参考答案及评分标准：（10分）
v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “
&x
J A 2 dy
得,
卩二
J(-6砂必=-3A y 十 g(y}
-
r
故 -?」；、’；J/'
二、参考答案及评分标准：（ 8 分)
解： ■
异上F ，因为
dv ov
=乩——=
0,——=2y Ex
d 2u 沪 口
W C?j/
，所以
为调和函数.
证明:
P V (? u
由"M 得3A1 d g\y}= 2- ?A
2
2 四、参考答案及评分标准：（每小题5分，共25分）
3
1
1
5~
/ -1
-4 Sill 0
—+ - 4
4 2 iz
2? + 5J >-2
JZ
一心
2/1(2 d
3+2
4 .因为
-上在c 内无奇点,
所以:
cir = 0
r
/ -J6
(Z4 2fl(2z+ “
vsinZ? --- -------
2J >
4
2.
1
-------------------------------- S -------------
所以洛朗级数为
H m _送
JJ-0
所以洛朗级数为
原式- 六、参考答案及评分标准: 1解：将上半平面 内点• （每小题 5分，共10分）
lm （z>0映射到单位圆域 的变换为 为上半平面
，所以
-，故 ,
所以
解：边界1： ,
..= i =i "丄 “0
x 〉n ,
忑〔故 羔
K ;>= f ^df
V . -uj
解：
r (s}= Hr + 3sin(20■+ /cos Z] =
r 2] + 3i(sin 2/J + Zj/cos 小八 (2)
2 3x 2
=—十 -------------------------
$ S~ + 4 2 b
二—+ — ------
解：
设二也上一在方程的两边取 拉氏变换并考虑初始条件得:
，故
七、 Z
特殊点：
作图
参考答案及评分标准：（5分）
十、
参考答案及评分标准：（6分） 3+2
八、 参考答案及评分标准：（6分）
S 1 + 1
I - y (/ 4 1)? 九、 参考答案及评分标准: (5分)
解:
取逆变换得:。