应力莫尔圆(课堂PPT)

下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2a 2a0 )] R sin( 2a 2a0 )
( R cos 2a0 ) sin 2a ( R cos 2a0 )cos 2a
解： (1)主应力坐标系如图 (2)在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 95
150° 25 3
a0
B(45,25 3)
(3)AB的垂直平分线与sa
轴的交点 C 即是圆心，
a (MPa)
B
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
s3
O
s2
应力圆
A
2a 0
C
s1
20MPa
s1
sa
(MPa)
§9.3 应力圆 （ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
《来由》 一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
或者说，
把a看成参数，能否找到 s a与 a的函数关系？
sy
一、斜截面应力
s3 s y
D
2a o s x s1
a0
180 36.86 2
71.57
C
O
s 5、画出主单元体
B
（1）A点对应于右垂面
（2）右垂面逆时针转a o
30
得主单元体的最大
80
s 2 80
s1
ao
拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的
单位：MPa
另一个面
例 求图示单元体的主应力及主平面的位置 (单位：MPa)
曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位
实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线
60
s3
O
s2
a 0 30
(6)在图上画主单元体、主应力
B
A
D
2a 0
E C F s1
20MPa
sa
(MPa)
§9.4 梁的主应力及其主应力迹线
q
梁发生横力弯曲， M与Q > 0，试确定截面上 各点主应力大小及主平面 位置
单元体上：
s
x
My Iz
xy
QS bI
z
z
s s
1 3
s x
2
（s x）2
2
2 xy
1
s3 s3
a0 s1
s3
3 –45°
s1s3
a0 s1 5 s1
D1 A2
A1 D2
CO
s
D1
A2
2a0
A1
CO
s
D1
D2
D1
CO
2a0= –90°
s
D2
D2 A2
A1 D1
OC
s
A2
2a0
O
D1 A1
C
s
D2
主应力迹线（Stress Trajectories) 主应力方向线的包络线 ——
(4)按图计算 心标 和 半径
OC = (A 横坐标 + B 横坐标)/2
= 70
R AC AD2 DC2 50
(5)计算主应力及方位角
45 95
25 3
B
A
s2
a0 25 3
s1
s1 OC R 120 s 2 OC R 20
a (MPa)
s3 0
2a0 arc
tg
AF FC
s
(
x
s
y
,0)
2
半径？—
R
s
x
s
2
y
2
2 xy
二、应力圆的画法
•第一种画法
a
（1）在sa轴上作出
A0(sx,0), B0(sy,0) （2） A0, B0的中点为圆心C 0
B0 C
（3）过A0垂直向上取xy 得
B
A， CA为半径
sy
sx
（4）以C 为圆心、CA为半径
画圆
A
A0 sa
sy
n
sa
a
1 3
OC
R半径
sx
s
2
y
（
sx
s y2）2源自2 xymax min
R半径
（s
x
s
2
y
）2
2 xy
五、平面应力状态的分析方法
1、解析法 精确、公式不好记 —— 7个 一般公式2个（正、切应力），极值应力5个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角）
2、图解法 不必记公式、数值不精确
y
sx
xy
s
a
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
cos2a
xy
sin
2a
a
s
x
s
2
y
sin
2a
xy
cos2a
Ox
往下是关键的一步---平方和相加，得
sa
a
sx
a
y
sy xy
0x
s a
sx
s
2
y
2
2 a
s x
s
2
y
2
2 xy
n 在 s a - a 坐标系中，sa 与 a
落在一个圆上
（应力圆 或 莫尔圆）
圆心？—
2、算出心标 0C = -40，半径
R AC AD2 DC2 50
A (80, 30)
3、算出主应力、切应力极值
s3 sx
D
C
s y s1
O
s
s s
1 3
0C
R
10MPa 90MPa
max - min R 50MPa
B 4、算出方位角
A (80, 30)
ACD arc tg AD 36.86 DC
s
2
y
s
x
s
2
y
cos
2a
xy
sin 2a
sa
sy
n
单元体与应力圆的对应关系
sa
a
sx
a xy
y
（1）单元体的右侧立面 ——
应力圆的 A 点（2a 0 ）
（2）斜截面和应力(s a ， a) —— 应力圆上一点 D 点
Ox
a n D( sa , a)
x
和坐标(s a ， a) （3）单元体上夹角a ——
sx
a xy
y
Ox
a n D( sa , a)
x
2a A(sx ,xy)
C
sa
O
B(sy ,yx)
第二种画法 （1）坐标系内画出点
A(s x，xy) B (sy，yx) （2） AB与sa 轴的
交点C是圆心
（3） 以 C 为圆心 以AC为半径 画 圆 ——
应力圆 或 莫尔圆
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
应力圆上 CA 与 CD 夹角
2a A(sx ,xy)
2a 且转向一致
C
O
2a0
B(sy ,yx)
sa
（4）主单元体上s 1所在面法向
是由x 轴逆时针转 a 0 ——
s a 轴上应力圆最右端
四、应力极值
a
max
x
2a1
A(sx ,xy)
OC
s3 s2
2a0 s1 sa
B(sy ,yx)
min
s s
s
x
s
2
y
sin 2a
xy
cos 2a
a
a
OE OC EC
s
x
s
2
y
R cos[180o
(
2a
2a 0
)]
0
s
x
s
2
y
R cos(
2a
2a 0
)
n D( sa , a)
x
2a
A(sx ,xy)
E
C
2a0 sa
B(sy ,yx)
s
x
s
2
y
R(cos
2a
cos 2a0
sin 2a
sin 2a0
)
s
x
有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？ 我提出了这种方法 ——
3、图算法 • 前半部 —— 画莫尔圆 • 后半部 —— 看图精确计算
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
30
80
80
30
单位：MPa
s x 80, s y 0, 30
1、取s x ,s y的中点C为圆心
以 AC 为半径画莫尔圆