2016年内蒙古自治区高考理科数学试题与答案

2016年内蒙古自治区高考理科数学
试题与答案
（满分150分，时间120分）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题，共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-
（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则A B U =
（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}
（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=
（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8
（4）圆2
2
x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=
（A ）4-3 （B ）3
-4
（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移
12
π
个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26
k x k Z ππ
=
-∈
（B ）()26
k x k Z π
π
=
+∈ （C ）()212
k x k Z π
π
=
-∈
（D ）()2
12
k x k Z π
π
=
+
∈
（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （
4π-α）=3
5
，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-7
25
（10）从区间
[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,n
x x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），
22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得
到的圆周率π的近似值为
（A ）
4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n
（11 1F ,2F 是双曲线E ：22
221a x y b
+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴
垂直，121
sin 3
MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A （B ）3
2
（C （D ）2
（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（）
，若函数x 1
y=x
+与y=f x （）图像的x 1
y=f x x +（）
交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1
()m
i i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c 若cosA=
45，cosC=5
13
,a=1，则b= 。

（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n//β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n//α，那么m ⊥n. ③如果α//β，m ⊂α，那么m//β
④如果m//n ，α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ___________ （填写所有正确的命题序号）。

（15）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_____________。

（16）若直线y=kx b +的曲线，y=1nx+2的切线，也是曲线y=1n(x+1)的切线，则b=_________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的的前n 项和，且1a =1，7S =28，记n b =[]lg n a ，其中[x]表示不超过显得最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. (Ⅰ)求1b ，11b ，101b ；
（Ⅱ）求数列{n b }的前1000项和. （18）（本小题满分12分）
某种保险的基本保费为a （单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，
EF 交于BD 于点H ，将DEF 沿EF 折到 D ′EF 的位置，OD ’=
.
（Ⅰ）证明：D ′H ⊥平面ABCD; （Ⅱ）求二面角B- D ′A-C 的正弦值。

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆E：
2
x
t
+
2
3
y
=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为K（K>0）的直线交
E于A，M两点，点N在E上，MA⊥ＮＡ.
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求K的取值范围。

（21）
（本小题满分12分）
（Ⅰ）讨论函数f(X)=
且f(X)>0,并证明当x>0时，（x-2）+ x+2>0;
（Ⅱ）证明：当a[0，1)时，函数g(X)=（x>0）有最小值。

设g(X)的最小值为
h(a)，求函数h(a)的值域。

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与
端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =,
求l 的斜率.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数11
()22
f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b
M 时，1a b ab +<+.
答案：
一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.A 12.C 二、13.
13
21
14. ② ③ ④ 15.1和3 16.1-1n2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）n
a
n =，[lg ][lg ]n n b a n ==，10b =，11[lg11]1b ==，101[lg101]2b ==．
（Ⅱ）因为lg10=，lg101=，lg1002=，lg10003=．所以19n ≤≤时，[lg ]0n =． 当100999n ≤≤时，[lg ]2n =．当999n =时，[lg ]3n =． 所以数列{}n
b 的前1000项和
1000121000[lg1][lg2][lg3][lg1000]0901900231893T b b b =+++=++++=+⨯+⨯+=L L ．
18．（Ⅰ）设一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为1
p ，
则1
0.200.200.100.050.55p =+++=．
（Ⅱ）设所求概率为2
p ，则2
0.100.050.153
0.200.200.100.050.5511
p
+=
==+++．
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05 1.23a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以续保人本年度的平均保费1.23a 与基本保费a 的比值为1.23 1.23a a
=．
19．（Ⅰ）略．2
95
．
20．（Ⅰ）当||||AM AN =时，1k =，直线:2l y x =+．代入椭圆方程整理得2
71640x x ++=．
因为直线l 与椭圆E 的交点为(2,0)A -，0
(,)M x y ，所以0
16
27
x
-+=-
，得0
27
x
=-
，
所以点212(,)77
M -，又212(,)7
7
N --，所以△AMN 的面积1242144(2)2
7
7
49
S =⨯⨯-+=．
（Ⅱ）令2
t a =，则直线AM 方程()y k x a =+．
联立椭圆直线方程，消去y 整理得22
2
23222(3)2(3)0a k x
k a x a a k +++-=．
于是23022
23k a a x
a k -+=-
+，所以2323
02222
2333k a a k a x
a a k a k -=-
=
++，
所以
22
6||3a AM a k +，22
2266||133a ak AN k a a k
++．
因为
2||||AM AN =，所以222
2
6633a ak
a k k a ++，即2
3
2(2)63a k
k k
-=-．
所以2
3632
k
k t k -=-，
因为
3t >，所以2
36332k
k
k ->-，整理得320
2
k k ->-2k k <，
所以
k 的取值范围是．
21．（Ⅰ）对2()e 2
x
x f x x -=+求导，得2
2
()e (2)x
x f x x '=
+．
当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增， 所以()(0)f x >． 因为(0)1f =-，所以2e
12
x
x x ->-+，
所以(2)e 20x
x x -++>．
（Ⅱ）对
2
e ()x ax a
g x x --=
求导，得3
3
2(2)[
e ]e (2)(2)
2()x
x
x x a x a x x g x x x -++-+++'==
，0x >．
记2()e 2
x
x x a x ϕ-=++，0x >．
由（Ⅰ）知函数()x ϕ区间(0,)+∞内单调递增，所以()(0)x ϕϕ>， 又(0)10a ϕ=-+<，(2)0a ϕ=>，所以存在唯一正实数0
x ，使得0
02()e 02
x x
x a x ϕ-=+=+．
于是，当0
(0,)x x ∈时，()0x ϕ<，()0g x '<，函数()g x 在区间0
(0,)x 内单调递减；
当0
(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0g x '>，函数()g x 在区间0
(,)x +∞内单调递增．
所以()g x 在(0,)+∞内有最小值0
00
20e
()x ax a g x x --=，由题设
002
0e ()x ax a
h a x --=．
又因为0
02e 2
x x
a x --=+．所以0
01
()e 2
x g x x =
+．
根据（Ⅰ）知，()f x 在(0,)+∞内单调递增，0
002e (1,0]2
x x a x -=-∈-+， 所以0
02x <≤．
令1()e (02)2
x
u x x x =
<≤+，则1()e
2
x
x u x x +'=>+，
函数()u x 在区间(0,2)内单调递增，所以(0)()(2)u u x u <≤，
即函数()h a 的值域为2
1e (,]24
．
22．（Ⅰ）在Rt △DEC 中，因为DF EC ⊥， 所以90FDC DCE FCB ∠=︒-∠=∠，
且DF CF DE
DC
=，因为DE DG =，BC CD =，所以DF FC DG
CB
=，
所以△DFG ∽△CFB ．
所以DGF CBF ∠=∠．所以180FGC CBF ∠+∠=︒． 所以B ，C ，G ，F 四点共圆．
（Ⅱ）因为12
DE AD =，DG DE =，所以12
DG DC =．
因为B ，C ，G ，F 四点共圆，所以90GFB GCB ∠=∠=︒． 所以△GFB ≌△GCB ．
所以△GCB 的面积11112
2
4
S =⨯⨯=．
23．（Ⅰ）由圆C 的标准方程2
2(6)25x y ++=，得221290x y x +++=，
所以圆C 的极坐标方程为2
12cos 90ρ
ρθ++=．
（Ⅱ）将cos ,sin x t y t αα
=⎧⎨
=⎩代入2
2(6)25x y ++=，
整理得2
12cos 110t
t α++=．
设A ，B 两点对应参数值分别为1
t ，2
t ，
则1
2
12cos t t
α
+=-，12
11t t
=．
所以1
2||||AB t
t =-2
3cos 8
α=，
解得cos α=，
所以tan α
或tan α=．
24．（Ⅰ）函数
12,,21
1()1,,
2
212,.2x x f x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
，则不等式
()2f x <可化为1,
2
22,x x ⎧
≤-⎪⎨⎪-<⎩或1
1,22
12,x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩
或
1,
222,x x ⎧
≥⎪⎨⎪<⎩
解得11x -<<．
所以不等式()2f x <的解集为(1,1)-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知(1,1)a ∈-，(1,1)b ∈-，所
以2
10a
->，210b ->，于是22(1)(1)0a b -->，即22(1)()0ab a b +-+>，
所以|1|||ab a b +>+．。