解决复数问题的根本大法——实数化教学课件
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复数的公开课课件
复数的意义
复数扩展了实数的概念，使得我们能够 处理更广泛的数学和物理问题。
复数的定义及表示法
复数的定义
复数的表示法
复数是形如 a + bi 的数，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
复数可以用直角坐标形式和极坐 标形式表示，每种表示法都有其 独特的优势和应用。
复数平面
我们可以将复数在平面直角坐标 系中表示，实部对应 x 轴，虚部 对应 y 轴，每个复数对应一个唯 一的点。
欧拉公式的形式
欧拉公式是 e^(iθ) + 1 = 0，连接 了五个重要的数学常数。
欧拉公式的意义
欧拉公式将指数形式的复数与三 角函数联系起来，并在复平面上 形成了美丽的图形。
欧拉公式的应用
欧拉公式在数学和物理中广泛应 用，包括信号处理、波动理论和 量子力学等方面。
欢迎你加入复数之旅
复数的几何意义
加、减、乘、除复数的运算
加法
复数的加法是将实部 和虚部分别相加，得 到一个新的复数。
减法
复数的减法是将实部 和虚部分别相减，得 到一个新的复数。
乘法
复数的乘法是根据公 式 (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i 进行计算。
除法
复数的除法是根据公 式 (a+bi)/(c+di) = ((ac+bd)/(c²+d²))+((bcad)/(c²+d²))i 进行计算。
复数可以表示平面上的点和向 量，它们在几何学中有着重要 的应用。
三角函数中的复数
三角函数中的复数可以帮助我 们计算角度的正弦、余弦和正 切值。
复数的应用
复数在许多领域中都有重要的 应用，包括电路、信号处理和 量子力学。
复数扩展了实数的概念，使得我们能够 处理更广泛的数学和物理问题。
复数的定义及表示法
复数的定义
复数的表示法
复数是形如 a + bi 的数，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
复数可以用直角坐标形式和极坐 标形式表示，每种表示法都有其 独特的优势和应用。
复数平面
我们可以将复数在平面直角坐标 系中表示，实部对应 x 轴，虚部 对应 y 轴，每个复数对应一个唯 一的点。
欧拉公式的形式
欧拉公式是 e^(iθ) + 1 = 0，连接 了五个重要的数学常数。
欧拉公式的意义
欧拉公式将指数形式的复数与三 角函数联系起来，并在复平面上 形成了美丽的图形。
欧拉公式的应用
欧拉公式在数学和物理中广泛应 用，包括信号处理、波动理论和 量子力学等方面。
欢迎你加入复数之旅
复数的几何意义
加、减、乘、除复数的运算
加法
复数的加法是将实部 和虚部分别相加，得 到一个新的复数。
减法
复数的减法是将实部 和虚部分别相减，得 到一个新的复数。
乘法
复数的乘法是根据公 式 (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i 进行计算。
除法
复数的除法是根据公 式 (a+bi)/(c+di) = ((ac+bd)/(c²+d²))+((bcad)/(c²+d²))i 进行计算。
复数可以表示平面上的点和向 量，它们在几何学中有着重要 的应用。
三角函数中的复数
三角函数中的复数可以帮助我 们计算角度的正弦、余弦和正 切值。
复数的应用
复数在许多领域中都有重要的 应用，包括电路、信号处理和 量子力学。
《复数四则运算》课件
《复数四则运算》PPT课 件
本课件介绍复数四则运算的基本概念和技巧。
复数的基本概念
什么是复数
复数是由实数和虚数构成的数。
复数的实部和虚部
复的实部是a，虚部是b。
复数的表示形式
复数可以用a + bi的形式表示。
复数的加减法
1
复数加法的运算法则
将复数的实部分别相加，再将虚部分别相加。
2
复数减法的运算法则
将除数和被除数同时乘以共轭复数，然后进行乘法运算。
复数除法的练习题
通过练习题巩固除法的运算技巧。
复数的应用
复数在电路分析中的应用
复数在电路分析中可以帮助解 决交流电路的问题。
复数在信号处理中的应用
复数在信号处理中可以用于频 谱分析和滤波器设计。
复数在量子物理中的应用
复数在量子物理中用于描述波 函数和量子态。
将复数的实部分别相减，再将虚部分别相减。
3
复数加减法的练习题
通过练习题巩固加减法的运算技巧。
复数的乘法
1 复数乘法的运算法则 2 共轭复数的概念
3 复数乘法的练习题
将两个复数的实部和虚 部进行运算，得到新的 复数。
将复数的虚部取相反数， 得到共轭复数。
通过练习题巩固乘法的 运算技巧。
复数的除法
复数除法的运算法则
结语
本课件介绍了复数四则运算的基本概念和技巧，希望能够帮助大家更好地掌 握复数的运算方法。
本课件介绍复数四则运算的基本概念和技巧。
复数的基本概念
什么是复数
复数是由实数和虚数构成的数。
复数的实部和虚部
复的实部是a，虚部是b。
复数的表示形式
复数可以用a + bi的形式表示。
复数的加减法
1
复数加法的运算法则
将复数的实部分别相加，再将虚部分别相加。
2
复数减法的运算法则
将除数和被除数同时乘以共轭复数，然后进行乘法运算。
复数除法的练习题
通过练习题巩固除法的运算技巧。
复数的应用
复数在电路分析中的应用
复数在电路分析中可以帮助解 决交流电路的问题。
复数在信号处理中的应用
复数在信号处理中可以用于频 谱分析和滤波器设计。
复数在量子物理中的应用
复数在量子物理中用于描述波 函数和量子态。
将复数的实部分别相减，再将虚部分别相减。
3
复数加减法的练习题
通过练习题巩固加减法的运算技巧。
复数的乘法
1 复数乘法的运算法则 2 共轭复数的概念
3 复数乘法的练习题
将两个复数的实部和虚 部进行运算，得到新的 复数。
将复数的虚部取相反数， 得到共轭复数。
通过练习题巩固乘法的 运算技巧。
复数的除法
复数除法的运算法则
结语
本课件介绍了复数四则运算的基本概念和技巧，希望能够帮助大家更好地掌 握复数的运算方法。
实数完整版课件
实数完整版课件一、教学内容本节课我们将学习教材第十章“实数”部分，详细内容如下：1. 实数的定义及分类；2. 实数的性质及运算规则；3. 实数与数轴的关系；4. 实数在数学中的应用。
二、教学目标1. 理解实数的定义，掌握实数的分类；2. 学会实数的性质和运算规则，并能熟练运用；3. 理解实数与数轴的关系，能将实数在数轴上表示出来。
三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的性质及运算规则；2. 教学重点：实数的定义、分类及与数轴的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入实数概念，如温度、长度等；2. 新课导入：讲解实数的定义、分类及性质；3. 例题讲解：讲解实数运算规则，如加减乘除、乘方等；4. 随堂练习：让学生进行实数运算的练习，巩固所学知识；5. 知识拓展：介绍实数与数轴的关系，引导学生将实数在数轴上表示出来；7. 课堂作业：布置实数相关的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 实数的定义及分类；2. 实数的性质及运算规则；3. 实数与数轴的关系。
七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列数哪些是实数，哪些不是：2、3/2、√2、π；（2）计算：2/3 + 5/6 1/2；答案：（1）实数：2、3/2、√2、π；（2）2/3 + 5/6 1/2 = 3/2；（3）见附图。
八、课后反思及拓展延伸1. 了解无理数的概念，探究无理数与有理数的关系；2. 探索实数在生活中的应用，如测量、计算等。
重点和难点解析1. 实数的定义及分类；2. 实数的性质及运算规则；3. 实数与数轴的关系；4. 作业设计中实数在数轴上的表示；5. 课后拓展延伸的无理数概念及实数在生活中的应用。
一、实数的定义及分类实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，如分数、整数等；无理数则不能表示为两个整数之比，如π、√2等。
复数的几何意义课件(公开课)
复数的几何意义课件(公 开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
《实数》实数课件
微积分
实数在微积分中有着重要的地位，如函数的极限、导数、积分等概念都涉及到实数的运算 ，实数在微积分中的应用推动了人类对自然界的认识。
04
总结与回顾
本章重点回顾
实数的概念与分类
实数的运算和性质
平方根和立方根
绝对值和比较大小
进一步学习建议
加强练习
拓展知识
多做习题，加深对实数概念和性质的理解。
学习其他数学知识和技能，如三角函数、不 等式等。
实数a的算术平方根记作sqrt(a)，定义有sqrt(a)≥0，且[sqrt(a)]^2=a。
乘方
对于任何实数a和正整数n，an叫做a的n次方，记作a^n，定义有a^0=1，且 a^n=a*a*...*a(n个a相乘)。
实数与数轴
定义
在数学中，可以用一条直线上的点来表示实数，这条直线叫做数轴。
数轴上的表示
03
金融计算
利率、汇率等金融数据可以用实数来表示，实数在金融领域的应用为
投资理财和经济分析提供了计算基础。
实数在数学领域中的拓展
代数基础
实数在代数中有着广泛的应用，如解方程、因式分解、求函数最值等，实数的引入为代数 领域提供了更多的运算工具和研究对象。
三角函数
三角函数是实数在三角学中的应用，如正弦、余弦、正切等，实数与三角函数的结合为数 学和物理等学科提供了重要的分析工具。
无理数
无限不循环小数叫做无理数，例如π、根号2等。
复数
在数系中加入虚数后，数学上将数集分为实数和复数两类。其中实数又分为有理数和无理 数，有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数。复数包括实数和虚数，虚数包 括纯虚数和非纯虚数，非纯虚数包括实数和虚数。
02
实数的运算与几何意义
实数在微积分中有着重要的地位，如函数的极限、导数、积分等概念都涉及到实数的运算 ，实数在微积分中的应用推动了人类对自然界的认识。
04
总结与回顾
本章重点回顾
实数的概念与分类
实数的运算和性质
平方根和立方根
绝对值和比较大小
进一步学习建议
加强练习
拓展知识
多做习题，加深对实数概念和性质的理解。
学习其他数学知识和技能，如三角函数、不 等式等。
实数a的算术平方根记作sqrt(a)，定义有sqrt(a)≥0，且[sqrt(a)]^2=a。
乘方
对于任何实数a和正整数n，an叫做a的n次方，记作a^n，定义有a^0=1，且 a^n=a*a*...*a(n个a相乘)。
实数与数轴
定义
在数学中，可以用一条直线上的点来表示实数，这条直线叫做数轴。
数轴上的表示
03
金融计算
利率、汇率等金融数据可以用实数来表示，实数在金融领域的应用为
投资理财和经济分析提供了计算基础。
实数在数学领域中的拓展
代数基础
实数在代数中有着广泛的应用，如解方程、因式分解、求函数最值等，实数的引入为代数 领域提供了更多的运算工具和研究对象。
三角函数
三角函数是实数在三角学中的应用，如正弦、余弦、正切等，实数与三角函数的结合为数 学和物理等学科提供了重要的分析工具。
无理数
无限不循环小数叫做无理数，例如π、根号2等。
复数
在数系中加入虚数后，数学上将数集分为实数和复数两类。其中实数又分为有理数和无理 数，有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数。复数包括实数和虚数，虚数包 括纯虚数和非纯虚数，非纯虚数包括实数和虚数。
02
实数的运算与几何意义
《实数》数学教学PPT课件(3篇)
5
| 3 | 3 , | 0 | 0 , | - | .
例2 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）3.14与π；
3
（2）-√3与√-3.
解：（1）∵π≈3.141，
∴3.14<π.
（2）∵ -√3 ≈-1.732，
3
√-3
≈-1.442
3
∴ -√3< √-3
例3 求下列各数的相反数和绝对值：
随堂测试
1 3
1．在实数− 5 , −27, 2 , 16, 8, 0中，无理数的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【详解】
1 3
5
2
解：在实数− , −27, , 16, 8, 0中，无理
数有 2 , 8这2个，
故选：B．
随堂测试
2．下列说法不正确的是(
)
A．如果数轴上的点表示的数不是有理数，那么就一定是无理数
（）
2 3 2．
（）
1 5π ；
解: （1） 5 π 2.236 3.142 5.38；
（2） 3 2 1.732 1.414 2.45 .
探究
问题1.能在直角坐标系中描示出点( ,1)吗？
2
y
直角坐标系中
的点和有序实数对
是一一对应的.
－2
－1
有序实数对
( 2,1)
A．点A
B．点B
C．点C
）
D．点D
【答案】B
【详解】
解：∵ 1＜ 3＜ 4，即1＜ 3＜2，
∴﹣2＜− 3＜﹣1，
∴由数轴知，与− 3对应的点距离最近的是点B，
| 3 | 3 , | 0 | 0 , | - | .
例2 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）3.14与π；
3
（2）-√3与√-3.
解：（1）∵π≈3.141，
∴3.14<π.
（2）∵ -√3 ≈-1.732，
3
√-3
≈-1.442
3
∴ -√3< √-3
例3 求下列各数的相反数和绝对值：
随堂测试
1 3
1．在实数− 5 , −27, 2 , 16, 8, 0中，无理数的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【详解】
1 3
5
2
解：在实数− , −27, , 16, 8, 0中，无理
数有 2 , 8这2个，
故选：B．
随堂测试
2．下列说法不正确的是(
)
A．如果数轴上的点表示的数不是有理数，那么就一定是无理数
（）
2 3 2．
（）
1 5π ；
解: （1） 5 π 2.236 3.142 5.38；
（2） 3 2 1.732 1.414 2.45 .
探究
问题1.能在直角坐标系中描示出点( ,1)吗？
2
y
直角坐标系中
的点和有序实数对
是一一对应的.
－2
－1
有序实数对
( 2,1)
A．点A
B．点B
C．点C
）
D．点D
【答案】B
【详解】
解：∵ 1＜ 3＜ 4，即1＜ 3＜2，
∴﹣2＜− 3＜﹣1，
∴由数轴知，与− 3对应的点距离最近的是点B，
《复数——复数的四则运算》数学教学PPT课件(4篇)
＝(1－i)(1＋i)－12＋
3
2
i
＝(1－i2)－12＋
3
2
i
＝2－12＋ 23i＝－1＋ 3i.
第七章 复 数
栏目 导引
第七章 复 数
(2)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等 的条件知，a2＋a－2bb＝＝43，，解得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
栏目 导引
第七章 复 数
复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
(2)
1＋i 1－i
2
019
＝
（1＋i）（1＋i） （1－i）（1＋i）
2
9
＝
2i
2
2
019
＝
i2
019 ＝
(i4)504·i3＝1504·(－i)＝－i.
【答案】 (1)B (2)－i
栏目 导引
第七章 复 数
(1)i 的周期性要记熟，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i. ③1i ＝－i.
课件4：3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念
i i 1 引入一个新数：
满足
2
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立.
设a,b都是实数
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
复数通常用小写字母z表示，
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 即m 1时，复数z 是
m 1 0 纯虚数．
练习1:当m为何实数时，复数
Z m2 m 2 (m2 1)i
其根：x1
1;
x2,3
1 2
3 i；共三个根 2
复系数的一元n次方程在复数Байду номын сангаас围内恰有n个根
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi
虚数b
0
纯虚数a 0，b 0 非纯虚数a 0，b
用图形表示包含关系：
RQ Z N
数系的不断扩充体现了人类在数 的认识上的深化.就像人类进入太 空实现了对宇宙认识的飞跃一样, 复数的引入是对数的认识的一次 飞跃.
复数引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
复数的有关概念PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
……
复数的有关概念
问题一 问题二 问题三 问题四 课堂小结
问题一：
对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)， 你认为满足什么条件时，可以说这两个 复数相等？
a=c,并且b=d，即实部与虚部分别 相等时，叫这两个复数相等。
记作a+bi=c+di。 复数相等的内涵：
复数a+bi可用有序实数对(a,b)表示。
(简Байду номын сангаас复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
概念辨析
例题
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值
实数a在数轴上所 对应的点A到原点O 的距离。
a
(复数的模) 的几何意义:
复数 z=a+bi在复 平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
y
O
A
X
z=a+bi
a (a 0)
|
a
|
=
|
OA
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
《实数》PPT教学课件
任何一个有理数对在坐 标戏中都可以用唯一的 一个点来表示
y
6
5
B（-3，3）
4
3
2
1
A（2，3）
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 O
-1
-2
-3
C（-3，-4）
-4
-5
-6
12345
x
D（3，-3）
那么像有序实数对（ 2,1） （ 3，1）（0，- 5）你能用坐标系中的
点来表示吗？ 并在坐标系中找出他们的位置
- 2 -1 O
-1
C
（- 2，- 3） - 2
A（ 2，3）
M
1
2
x
（ 2，- 3）
D
例5 在直角坐标系中，已知点A（ 2 ，3）.
（1）分别作出与点A关于y轴对称的点B，关于x轴对称 的点D，并写出它们的坐标； （2）如果A，B，D是矩形的三个顶点，写出第四个顶点 的坐标； （3）求点D到原点O的距离.
B
解： （3)连接OD,在 RtOMD 中∠OMD=90°，
因为点D的坐标为 （ 2，- 3） ，
-2
所以OM的长为 2 ，MD的长为 3.由勾股定理
OD OM 2 MD2 ( 2)2 ( 3)2 5
C
所以，点D到原点O的距离为 5 .
y
3
N2
1
-1 O
-1
-2
A
2M
1
2
x
3
5
（ 2，- 3）
解：
由图可知，顶点A，C的坐标 分标为（0,0）（-2,0）.
过点B作BD⊥x轴，垂足是D，由△ABC是等边 三角形可知，点D是边CO的中点，所以DO=1.
y
6
5
B（-3，3）
4
3
2
1
A（2，3）
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 O
-1
-2
-3
C（-3，-4）
-4
-5
-6
12345
x
D（3，-3）
那么像有序实数对（ 2,1） （ 3，1）（0，- 5）你能用坐标系中的
点来表示吗？ 并在坐标系中找出他们的位置
- 2 -1 O
-1
C
（- 2，- 3） - 2
A（ 2，3）
M
1
2
x
（ 2，- 3）
D
例5 在直角坐标系中，已知点A（ 2 ，3）.
（1）分别作出与点A关于y轴对称的点B，关于x轴对称 的点D，并写出它们的坐标； （2）如果A，B，D是矩形的三个顶点，写出第四个顶点 的坐标； （3）求点D到原点O的距离.
B
解： （3)连接OD,在 RtOMD 中∠OMD=90°，
因为点D的坐标为 （ 2，- 3） ，
-2
所以OM的长为 2 ，MD的长为 3.由勾股定理
OD OM 2 MD2 ( 2)2 ( 3)2 5
C
所以，点D到原点O的距离为 5 .
y
3
N2
1
-1 O
-1
-2
A
2M
1
2
x
3
5
（ 2，- 3）
解：
由图可知，顶点A，C的坐标 分标为（0,0）（-2,0）.
过点B作BD⊥x轴，垂足是D，由△ABC是等边 三角形可知，点D是边CO的中点，所以DO=1.
复数概念说课稿课件
复数概念说课稿课件
目录
• 引言 • 复数的基本概念 • 复数的运算 • 复数在日常生活中的应用 • 复数在数学中的重要性 • 如何学好复数
01
引言
课程背景
01
数学是研究数量、结构、变化以 及空间等概念的抽象科学，其基 础概念包括整数、有理数、无理 数和实数。
02
随着数学的发展，为了解决一些 数学问题，人们引入了复数这一 概念，它是实数概念的扩展。
总结词
复数的加法与减法运算规则
详细描述
复数的加法与减法运算可以通过将两个复数的实部和虚部分别相加或相减来得出结果。例如，对于两个复数$z_1 = a + bi$和$z_2 = c + di$，其和或差为$(a+c) + (b+d)i$或$(a-c) + (b-d)i$。
乘法与除法
总结词
复数的乘法与除法运算规则
05
复数在数学中的重要性
代数方程的解
代数方程的解是数学中的基础问题，而复数为我们提供了更广泛的解的范围。例 如，一元二次方程的解可以通过使用复数来找到所有的实数和虚数解。
复数可以解决一些在实数范围内无法解决的问题，例如求解高次方程或分式方程 。通过引入虚数单位i，我们可以找到这些方程的解。
三角函数与复数的关系
复数在解决微积分问题时具有很大的优势，例如在求解偏微 分方程、积分方程和傅里叶分析等领域中，复数被广泛用于 简化计算和推导过程。
06
如何学好复数
掌握基本概念
复数的定义
复数由实部和虚部组成，表示为 a+bi，其中a和b分别为实部和虚 部，i为虚数单位。
复数的几何意义
复数在平面坐标系中可以用点或 向量表示，实部为x轴上的坐标， 虚部为y轴上的坐标。
目录
• 引言 • 复数的基本概念 • 复数的运算 • 复数在日常生活中的应用 • 复数在数学中的重要性 • 如何学好复数
01
引言
课程背景
01
数学是研究数量、结构、变化以 及空间等概念的抽象科学，其基 础概念包括整数、有理数、无理 数和实数。
02
随着数学的发展，为了解决一些 数学问题，人们引入了复数这一 概念，它是实数概念的扩展。
总结词
复数的加法与减法运算规则
详细描述
复数的加法与减法运算可以通过将两个复数的实部和虚部分别相加或相减来得出结果。例如，对于两个复数$z_1 = a + bi$和$z_2 = c + di$，其和或差为$(a+c) + (b+d)i$或$(a-c) + (b-d)i$。
乘法与除法
总结词
复数的乘法与除法运算规则
05
复数在数学中的重要性
代数方程的解
代数方程的解是数学中的基础问题，而复数为我们提供了更广泛的解的范围。例 如，一元二次方程的解可以通过使用复数来找到所有的实数和虚数解。
复数可以解决一些在实数范围内无法解决的问题，例如求解高次方程或分式方程 。通过引入虚数单位i，我们可以找到这些方程的解。
三角函数与复数的关系
复数在解决微积分问题时具有很大的优势，例如在求解偏微 分方程、积分方程和傅里叶分析等领域中，复数被广泛用于 简化计算和推导过程。
06
如何学好复数
掌握基本概念
复数的定义
复数由实部和虚部组成，表示为 a+bi，其中a和b分别为实部和虚 部，i为虚数单位。
复数的几何意义
复数在平面坐标系中可以用点或 向量表示，实部为x轴上的坐标， 虚部为y轴上的坐标。
课件7：3.1.1 实数系~3.1.2 复数的概念
【解析】 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假 命题，因为当 a∈R 且 b＝0 时，a＋bi 是实数．②假命题， 如当 z＝i 时，则 z2＝－1<0.③是假命题，因为由纯虚数的
条件得
，解得 x＝2，当 x＝－2 时，对应复数
为实数．④是假命题，因为没有强调 a，b∈R.⑤是假命题，
只有当 a、b、c、d∈R 时，结论才成立.
∴④错.
⑤－1的平方根为±i，∴⑤错. ⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，∴⑥错．故选A. 【答案】 A
规律方法 正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键， 另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明， 但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可， 所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、 “先否定，后肯定”的方法进行解答.
互动探究 在本例中，若x是纯虚数，y∈R，求x，y. 解：设 x＝bi(b∈R，b≠0)，则 (bi－y)＋(2bi－3)i＝(3bi＋y)＋(bi＋2y)i 即(－y－2b)＋(b－3)i＝(y－b)＋(3b＋2y)i 根据复数相等得－b－y－3＝2b3＝b＋y－2yb，
解得by＝＝32－3，∴x＝－3i，y＝32.
A．1， 3
B．1＋ 3，0
C．0，1＋ 3 D．0，(1＋ 3)i
【解析】 根据复数的代数形式的定义可知(1＋ 3)i
＝0＋(1＋ 3)i，
所以其实部为 0，虚部为 1＋ 3，故选 C. 【答案】 C
3．如果用C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集， 其中C为全集，那么有( )
A．C＝R∪I
变式训练 已知下列命题： ①复数a＋bi不是实数； ②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a，b，c，d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c，且b＝d. 其中真命题的个数是____0____.
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高中数学 选修1-2
姓名：黄智华
单位：南京航空航天大学附属高级中学
基础知识：
1．复数的定义及其分类. 形如：a＋bi（a，b∈R）的数叫复数． 若b＝0，则复数为实数；若b≠0，则复数为虚数．
2．两个复数相等的充要条件是：实部与实部相等，且虚部与 虚部相等．即 a＋bi＝c＋di d∈R）
a＝c， 当且仅当 （其中 b＝d．
所以 z＝2＋i 或 z＝－2－i．
例 4 若关于 x 的方程 x2＋mx＋2xi＋1＋mi＝0 有实根， 求实 数 m 的值，并求此方程的实根．
解 此实根为 x＝a，(a∈R)代入原方程得：
2 2
a ＋ma＋2ai＋1＋mi＝0，即(a ＋ma＋1)＋(2a＋m)i＝0，
a2＋ma＋1＝0， 由复数相等的充要条件得： 2a＋m＝0．
(4－b2)＋(2b－4)i＝0，求得 b＝2，所以 x＝2i．
解2
此实根为 x＝a，(a∈R)代入原方程得： (a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
a2＋a＋3m＝0， 由复数相等的充要条件得： 2a＋1＝0．
1 1 1 解得 a＝－ ，m＝ ，所以此方程的实根为－ ． 2相等的充要条件可以实现“复数问题”实
数化，这是解决复数问题的根本大法，突出等价转化的
数学思想．
例 1 已知复数 z 满足(1＋2i)z＝3i， 则复数 z 在复平面内的对 应点在第 象限．
3i 6 3 解法一 由已知可得 z＝ ＝ ＋ i．答案：第一． 1＋2i 5 5
(x－2)＋(2y－3)i 例 2 若 x，y∈R，且 ＝1＋3i． 3－2i 求 x，y 的值．
解 设 z＝a＋bi，(a，b∈R)，则－＝a－bi． z 由已知得 z－＝a2＋b2＝5，① z 因为(1＋2i)(a＋bi)＝a－2b＋(2a＋b)i 为纯虚数，
a－2b＝0， a＝2， a＝－2， 所以 ②，解①、②得 或 2a＋b≠0． b＝1． b＝－1．
(x－2)＋(2y－3)i 解 因为 ＝1＋3i， 3－2i 所以(x－2)＋(2y－3)i＝(1＋3i)(3－2i)＝9＋7i，
x－2＝9， x＝11， 由复数相等的充要条件得： 求得 2y－3＝7． y＝5．
例 3 设复数 z 满足 z－＝5，且(1＋2i)z 为纯虚数，求复数 z． z
解得 m＝2 或 m＝－2，a＝－1 或 a＝1.
所以x＝1或x＝－1.
练习： 1．若纯虚数 x 满足 x2＋2x＋4－4i＝0，则 x＝ ．
2．关于 x 的方程 x2－(2i－1)x＋3m－i＝0 有实根，求实数 m 的值，并求此方程的实根． 解 1 设 x＝bi，(b∈R，且 b≠0) 代入原方程得：
姓名：黄智华
单位：南京航空航天大学附属高级中学
基础知识：
1．复数的定义及其分类. 形如：a＋bi（a，b∈R）的数叫复数． 若b＝0，则复数为实数；若b≠0，则复数为虚数．
2．两个复数相等的充要条件是：实部与实部相等，且虚部与 虚部相等．即 a＋bi＝c＋di d∈R）
a＝c， 当且仅当 （其中 b＝d．
所以 z＝2＋i 或 z＝－2－i．
例 4 若关于 x 的方程 x2＋mx＋2xi＋1＋mi＝0 有实根， 求实 数 m 的值，并求此方程的实根．
解 此实根为 x＝a，(a∈R)代入原方程得：
2 2
a ＋ma＋2ai＋1＋mi＝0，即(a ＋ma＋1)＋(2a＋m)i＝0，
a2＋ma＋1＝0， 由复数相等的充要条件得： 2a＋m＝0．
(4－b2)＋(2b－4)i＝0，求得 b＝2，所以 x＝2i．
解2
此实根为 x＝a，(a∈R)代入原方程得： (a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
a2＋a＋3m＝0， 由复数相等的充要条件得： 2a＋1＝0．
1 1 1 解得 a＝－ ，m＝ ，所以此方程的实根为－ ． 2相等的充要条件可以实现“复数问题”实
数化，这是解决复数问题的根本大法，突出等价转化的
数学思想．
例 1 已知复数 z 满足(1＋2i)z＝3i， 则复数 z 在复平面内的对 应点在第 象限．
3i 6 3 解法一 由已知可得 z＝ ＝ ＋ i．答案：第一． 1＋2i 5 5
(x－2)＋(2y－3)i 例 2 若 x，y∈R，且 ＝1＋3i． 3－2i 求 x，y 的值．
解 设 z＝a＋bi，(a，b∈R)，则－＝a－bi． z 由已知得 z－＝a2＋b2＝5，① z 因为(1＋2i)(a＋bi)＝a－2b＋(2a＋b)i 为纯虚数，
a－2b＝0， a＝2， a＝－2， 所以 ②，解①、②得 或 2a＋b≠0． b＝1． b＝－1．
(x－2)＋(2y－3)i 解 因为 ＝1＋3i， 3－2i 所以(x－2)＋(2y－3)i＝(1＋3i)(3－2i)＝9＋7i，
x－2＝9， x＝11， 由复数相等的充要条件得： 求得 2y－3＝7． y＝5．
例 3 设复数 z 满足 z－＝5，且(1＋2i)z 为纯虚数，求复数 z． z
解得 m＝2 或 m＝－2，a＝－1 或 a＝1.
所以x＝1或x＝－1.
练习： 1．若纯虚数 x 满足 x2＋2x＋4－4i＝0，则 x＝ ．
2．关于 x 的方程 x2－(2i－1)x＋3m－i＝0 有实根，求实数 m 的值，并求此方程的实根． 解 1 设 x＝bi，(b∈R，且 b≠0) 代入原方程得：