4-5解析几何吕林根第四版

y 0.
③用x = 0 截曲面
z2 Cx0： c 2
y2 b2
1，双曲线
x
x 0.
z
o
y
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
（1）用 z h h c 截曲面
②当 h c 时,
x2 Czh： a2
y 22 b 22
hh22 cc22
11,,
z h.
结①论当：h双叶c双时曲,面可看
2 轴、顶点
与 x 轴、 y 轴无交点；交点 0,0, c 称为顶点.
与 z 轴相交，
3 范围 方程（4.5-2）表示的曲面分成 z c 与 z c 两叶.
六、双叶双曲面的图形
ⅰ） 用坐标面截割
①用z = 0 截曲面 无交点
②用y = 0 截曲面
z2 C y0： c 2
x2 a2
1，双曲线
y2
:
b2
z2 c2
1,
x 0
x
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.
单叶旋转双曲面
o
b
y
二、单叶双曲面的性质 1 对称性 关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称；
关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心. 2 顶点
与 z 轴无交点；交点 a,0,0 ,0, b,0 称为顶点.
与 x 轴与 y 轴相交，
§4.5 双曲面
一、单叶双曲面的概念
定义 4.5.1 在直角坐标系下，由方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（4.5-1）
所表示的曲面叫做单叶双曲面，方程（4.5-1）叫做单叶双
曲面的标准方程，其中 a,b, c 是任意的正常数.
当 z2 1 a2 b2 c2
4
x k
为使交线（*）为二相交直线，则须：1 k 2 0，即 k 2
4
所以，要求的平面方程为： x 2
同理，平行于 xoy 的平面要满足它与单叶双曲面的
交线为二相交直线，则该平面为：y 3
例：设直线 l，m为互不垂直的两条异面直线，C 是l 与 m
的公垂线的中点，A, B 两点分别在直线 l，m 上滑动，且
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
当取 a b 时,
x2 y2 b2
z2 c2
1
z
c
O
y
z
例3 （2）
y2 z2
将双曲线
:
b2
c2
1
x 0
（即 z 轴）旋转
绕实轴
b
O
y
x2 b2
y2
z2 c2
1
x
双叶旋转双曲面
五、双叶曲面的性质 1 对称性 关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心.
当三平方项系数 A, B,C 中只有一项为正，另两项为负，（1） 表示双叶双曲面；
而当 A, B,C 均为负时，方程（1）不表示任何图形，或者称 它为虚曲面.
例如当 A 0, B 0,C 0 时，方程（1）可改写为
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
其中 1 A, 1 B, 1 C ，这是单叶双曲面的标准方程.
y2 Cx0： b2
z2 c2
1，双曲线
x 0.
z
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(1)用z = h 截曲面
x2 Czh： a2
y2 b2
1＋
h2 c2
, 椭圆
z h.
结论：单叶双曲面可看 作由一个椭圆的变动 （大小位置都改变）而 产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面
平行，且两对顶点分别 在两定双曲线上滑动.
定义 4.5.2 在直角坐标系下，由方程
x2 y2 z2 a2 + b2 c2 1
（4.5-2）
所表示的曲面叫做双叶双曲面，方程（4.5-2）叫做双叶双
曲面的标准方程，其中 a,b, c 是任意的正常数.
例3 （2）
y2 z2
将双曲线
:
b2
c2
1
x 0
（即 z 轴）旋转
绕实轴
双叶双曲面
截线为双曲线
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 (2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
②当 h b时
ACB 90o，试证直线A, B的轨迹是一个单叶双曲面。
证明：以 l, m 的公垂线作为 z 轴 C 作为坐标原点，再令
x 轴与l，m的夹角均为 ，公垂线的长为2c
若设 tg l，m的方程分别为：
yx 0
l : z c yx 0
m : z c
lA
x O (C)
y
xB m
令 A( x1, y1, c) ，B( x2 , y2 , c)
③当 h ＝b 时
x2 C yh： a2
z2 c2
0，
y h.
注：在直角坐标系下，方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
所表示的图形也是单叶双曲面.
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹.
3 范围 方程（4.5-1）表示的图形是无界曲面.
z
三、单叶双曲面的图形(平行截割法) ⅰ） 用坐标面截割
(1) 用z = 0 截曲面
x2 y2
Cz0： a2 b2 1, 腰椭圆
z 0;
O
(2) 用y = 0 截曲面
x2 C y0： a2
z2 c2
1, 双曲线
x
y
y 0;
(3) 用x = 0 截曲面
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x 2
a2
y2 b2
z2 c2
1
用y = h 截曲面
①当 h b 时
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
②当 h b 时
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
例、已知单叶双曲面 x2 y2 z2 1 ，试求平面的方程，
4 94
使这平面平行于 yoz 面（或 xoz 面）且与曲面的交线
是一对相交直线。
解：设所求的平面为 x k
则该平面与单叶双曲面的交线为： x2 y2 z2 1
（*） 4 9 4 x k
亦即
y2 z2
k2
1
9 4
a2
b2
c2
例 给定方程
x2 y2 z2 1 A B C 0 ,
A B C
试问当 取异于 A, B,C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？
分析：
ⅰ）当 A , B ,C 都取正，即 C 时，表示椭球面； ⅱ）当 A , B ,C 中有一项为负，即 C B 时，表示单叶双曲面； ⅲ）当 A , B ,C 中有两项为负，即 B A时，表示双叶双曲面； ⅳ）当 A , B ,C 都取负， 即 A 时，不表示任何图形.
截线为双曲线
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
③当 h ＝b 时
x2 C yh： a2
z2 c2
0，
x
y h.
截线为直线
z
o
y
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
x2 y2
h2
分析：
这一族的椭圆方程为
a2
b2
1
c2
,
z h,
x2
即
a2
1
z h.
h2 c2
y2
b2
1
h2 c2
1,
x
从而, 椭圆焦点坐标为 y 0,
z h.
a2 b2
1
h2 c2
,
消去参数
h
得
x2
a2
b2
z2 c2
1,
y 0.
四、双叶双曲面的概念
变为
x2 y2 b2
z2 c2
1.
此时的单叶双曲面是双曲线
o
b
y
y2
:
b
2
z2 c2
1,
x 0
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.
单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形. z
当 a b时, 方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
变为
x2 y2 b2
z2 c2
1.
此时的单叶双曲面是双曲线
则有： y1 x1 0, y2 x2 0
又 AC CB，所以：
（1）
x12 y12 c2 x22 y22 c2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (2c)2
亦即
x1 x2 y1 y2 c2 0
（2）
又设 M( x, y, z) 为 AB 上任一点，则
双曲面及其渐进锥面