4-5解析几何吕林根第四版

的截口椭圆任意接近，即： x
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
§4.5 双曲面
一、单叶双曲面的概念
定义 4.5.1 在直角坐标系下，由方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（4.5-1）
所表示的曲面叫做单叶双曲面，方程（4.5-1）叫做单叶双
曲面的标准方程，其中 a,b, c 是任意的正常数.
当 a b时,
z
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
4
x k
为使交线（*）为二相交直线，则须：1 k 2 0，即 k 2
4
所以，要求的平面方程为： x 2
同理，平行于 xoy 的平面要满足它与单叶双曲面的
交线为二相交直线，则该平面为：y 3
例：设直线 l，m为互不垂直的两条异面直线，C 是l 与 m
的公垂线的中点，A, B 两点分别在直线 l，m 上滑动，且
截线为双曲线
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 (2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
②当 h b时
截线为双曲线
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
③当 h ＝b 时
x2 C yh： a2
z2 c2
0，
x
y h.
截线为直线
z
o
y
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
③当 h ＝b 时
x2 C yh： a2
z2 c2
0，
y h.
注：在直角坐标系下，方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
所表示的图形也是单叶双曲面.
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹.
ACB 90o，试证直线A, B的轨迹是一个单叶双曲面。
证明：以 l, m 的公垂线作为 z 轴 C 作为坐标原点，再令
x 轴与l，m的夹角均为 ，公垂线的长为2c
若设 tg l，m的方程分别为：
yx 0
l : z c yx 0
m : z c
lA
x O (C)
y
xB m
令 A( x1, y1, c) ，B( x2 , y2 , c)
当三平方项系数 A, B,C 中只有一项为正，另两项为负，（1） 表示双叶双曲面；
而当 A, B,C 均为负时，方程（1）不表示任何图形，或者称 它为虚曲面.
例如当 A 0, B 0,C 0 时，方程（1）可改写为
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
其中 1 A, 1 B, 1 C ，这是单叶双曲面的标准方程.
作由一个椭圆的变动
（大交小点位坐置标都改 0变, 0）, 而c
产生，该椭圆在变动中，
保②持当所在h平面c与时x,Oy 面
平行，且两轴的端点分 别在两截定线双为曲椭线圆上滑动. x
x2 y2 h2 Czh： a2 b2 c 2 1,
z h.
z
o
y
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
（2）用 y t截曲面
O x
y
z
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
O
①当 h b时
x
y
截线为双曲线
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 (2)用y = h 截曲面
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
①当 h b时
y 0.
③用x = 0 截曲面
z2 Cx0： c 2
y2 b2
1，双曲线
x
x 0.
z
o
y
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
（1）用 z h h c 截曲面
②当 h c 时,
x2 Czh： a2
y 22 b 22
hh22 cc22
11,,
z h.
结①论当：h双叶c双时曲,面可看
双曲面及其渐进锥面
双叶：x 2 y 2 z 2 1 a2 b2 c2
渐进锥面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0
单叶： x 2 y 2 z 2 1 a2 b2 c2
在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面
变为
x2 y2 b2
z2 c2
1.
此时的单叶双曲面是双曲线
o
b
y
y2
:
b
2
z2 c2
1,
x 0
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.
单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形. z
当 a b时, 方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
变为
x2 y2 b2
z2 c2
1.
此时的单叶双曲面是双曲线
定义 4.5.2 在直角坐标系下，由方程
x2 y2 z2 a2 + b2 c2 1
（4.5-2）
所表示的曲面叫做双叶双曲面，方程（4.5-2）叫做双叶双
曲面的标准方程，其中 a,b, c 是任意的正常数.
例3 （2）
y2 z2
将双曲线
:
b2
c2
1
x 0
（即 z 轴）旋转
绕实轴
双叶双曲面
x x1 y y1 z c x2 x1 y2 y1 2c
从(1)—(3)中消去 x1, y1, x2 , y2
得： 2 (1 2 )x2 (1 2 ) y2 2z2 2c2
x2
y2
z2
即：
c2 2c2 c2 1
(4)
12 12
Q l, m 不垂直 1
（4）表示单叶双曲面，即 AB 的轨迹是一单叶双曲面
y2 Cx0： b2
z2 c2
1，双曲线
x 0.
z
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
(1)用z = h 截曲面
x2 Czh： a2
y2 b2
1＋
wk.baidu.com
h2 c2
, 椭圆
z h.
结论：单叶双曲面可看 作由一个椭圆的变动 （大小位置都改变）而 产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面
平行，且两对顶点分别 在两定双曲线上滑动.
a2
b2
c2
例 给定方程
x2 y2 z2 1 A B C 0 ,
A B C
试问当 取异于 A, B,C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？
分析：
ⅰ）当 A , B ,C 都取正，即 C 时，表示椭球面； ⅱ）当 A , B ,C 中有一项为负，即 C B 时，表示单叶双曲面； ⅲ）当 A , B ,C 中有两项为负，即 B A时，表示双叶双曲面； ⅳ）当 A , B ,C 都取负， 即 A 时，不表示任何图形.
截线为双曲线
z2 x2
t2
C yt： c 2
a2
1 , b2
y t.
x
z
o
y
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
（3）用 x t 截曲面
截线为双曲线
z2 y2
t2
Cxt： c2 b2 1 a2 ,
x t.
x
z
o
y
注：在直角坐标系下，方程
x2 y2 z2 1 与 x2 y2 z2 1
例、已知单叶双曲面 x2 y2 z2 1 ，试求平面的方程，
4 94
使这平面平行于 yoz 面（或 xoz 面）且与曲面的交线
是一对相交直线。
解：设所求的平面为 x k
则该平面与单叶双曲面的交线为： x2 y2 z2 1
（*） 4 9 4 x k
亦即
y2 z2
k2
1
9 4
3 范围 方程（4.5-1）表示的图形是无界曲面.
z
三、单叶双曲面的图形(平行截割法) ⅰ） 用坐标面截割
(1) 用z = 0 截曲面
x2 y2
Cz0： a2 b2 1, 腰椭圆
z 0;
O
(2) 用y = 0 截曲面
x2 C y0： a2
z2 c2
1, 双曲线
x
y
y 0;
(3) 用x = 0 截曲面
a2 b2 c2
a2 b2 c2
所表示的图形也是双叶双曲面.
椭球面与双曲面都是中心二次曲面，它们的方程可以写成统
一的形式： Ax2 By2 Cz2 1, ABC 0.
（1）
当三平方项系数 A, B,C 均为正时，（1）表示椭球面；
当三平方项系数 A, B,C 中有两项为正，另一项为负，（1） 表示单叶双曲面；
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
当取 a b 时,
x2 y2 b2
z2 c2
1
z
c
O
y
z
例3 （2）
y2 z2
将双曲线
:
b2
c2
1
x 0
（即 z 轴）旋转
绕实轴
b
O
y
x2 b2
y2
z2 c2
1
x
双叶旋转双曲面
五、双叶曲面的性质 1 对称性 关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心.
y2
:
b2
z2 c2
1,
x 0
x
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.
单叶旋转双曲面
o
b
y
二、单叶双曲面的性质 1 对称性 关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称；
关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心. 2 顶点
与 z 轴无交点；交点 a,0,0 ,0, b,0 称为顶点.
与 x 轴与 y 轴相交，
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x 2
a2
y2 b2
z2 c2
1
用y = h 截曲面
①当 h b 时
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
②当 h b 时
x2 C yh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
则有： y1 x1 0, y2 x2 0
又 AC CB，所以：
（1）
x12 y12 c2 x22 y22 c2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (2c)2
亦即
x1 x2 y1 y2 c2 0
（2）
又设 M( x, y, z) 为 AB 上任一点，则
x2 y2
h2
分析：
这一族的椭圆方程为
a2
b2
1
c2
,
z h,
x2
即
a2
1
z h.
h2 c2
y2
b2
1
h2 c2
1,
x
从而, 椭圆焦点坐标为 y 0,
z h.
a2 b2
1
h2 c2
,
消去参数
h
得
x2
a2
b2
z2 c2
1,
y 0.
四、双叶双曲面的概念
2 轴、顶点
与 x 轴、 y 轴无交点；交点 0,0, c 称为顶点.
与 z 轴相交，
3 范围 方程（4.5-2）表示的曲面分成 z c 与 z c 两叶.
六、双叶双曲面的图形
ⅰ） 用坐标面截割
①用z = 0 截曲面 无交点
②用y = 0 截曲面
z2 C y0： c 2
x2 a2
1，双曲线