逻辑学 第六讲：命题逻辑的自然演绎系统一二节

推理规则3：析取否定或析取消去（）规则
PQ P Q
王芳或者是公务员或者是教师。 王芳不是公务员。 所以，王芳是教师。
推理规则4：合取化简或合取消去规则（）
PQ P
袁媛有一本美学书和一本逻辑书。 所以，袁媛有一本美学书。
推理规则5：合取引入规则（+）
/R（ST）
（证明略）
/QR
（证明略）
/AB
（证明略）
/CD
（证明略）
（附录）练习题：
一，请为以下推理构造形式证明：
（1）（PQ）R，Q /PR （2）（PQ）R，PS /RS （3）P（RQ），PQ，SRQ，S /R （4）PQR，QPS，ST，PH /T （5）PQ，QPR，QPRS /PS
（一），如果推理前提真，则结论一定真。 （二），所依据的只有推理的规则，没有公理。
自然演绎推理有不同的系统，那是因为人们选择了不同的规 则作为前提。我们仅介绍其中一种，这样的系统主要包括以 下三个方面的内容：
（一），初始符号 （二），形成规则 （三），推演规则
有的公式比较复杂，其中辖域最大的联结词 我们称之为主联结词。 （ABCD）（EFG） 从公式我们也可以看出，联结词的结合力依 以下次序递减： ，，，，
PR PR PR （1）、（2） （4）DeM （3）Ep （6） （5）、（7）MT （8） （9）DeM

例5： PQRS P（QR） PRRT 例6： PQR P 例子7： ABCD CDEF （EF） 例8： AB A（BC） A（BD ）
P（QQ） P
如果曹雪芹登上了月球，那么地球不是圆的并且地球是圆的。 所以，曹雪芹没有登上月球。
推理规则10：破坏式二难推理（DD）
PR Q S RS PQ
如果他有容人之量，他就能团结人。 如果他有感恩之心，他就懂得回报。 或者他不能团结人或者他不懂得回报。 所以，他或者没有容人之量或者没有感恩之心。
P：古励考上剑桥大学 Q：古励的英语水平高 R：古励上职业技术学院 S：古励打算将来从事涉外工作

PQ PR QS S
/R
（证明略）
（二）置换规则
置换规则的含义：对于任何命题 P ，无论它是以整个命题出现 ，还是作为一个命题的一部分出现，都可用与它重言等值的命 题Q来置换。
第二节：推演规则
（一）整推规则 （二）置换规则 （三）条件证明规则 （四）间接证明规则
（一）整推规则
通常，整推规则有10条。
推理规则1：肯定前件（MP）或蕴涵消去规则（-）
PQ P Q
PQPQ
如果这一地区的阳光充足，那么植被就好。 这一地区的阳光的确充足。 所以，这一地区的植被好。
整推规则小结：
上述10条推理规则，构成了本自然 演绎系统的推演基本依据。在应用 时，我们强调：以上10条规则不论 哪一条都必须应用于整个命题，而 不能应用于命题的某一个部分；或 者说，这10条规则必须应用于主Fra Baidu bibliotek 结词，而不能应用于非主联结词。 正因为如此，这10条推理规则也被 称之为“整推规则”。

6，分配律（Dist） A（BC）（AB）（AC） A（BC）（AB）（AC） 7，结合律（Ass） A（BC）（AB）C A（BC）（AB）C 8，移出律（Exp） （AB）C（A（BC）） 9，蕴析律（Impl） （AB）（AB） 10，等值律（Ep） AB（AB）（BA）
例1： 如果王蓉是优秀教师，那么她既认真教书又潜心育人；王 蓉没有认真教书或者没有潜心育人；所以，王蓉不是优秀 教师。
P：王蓉是优秀教师 Q：王蓉认真教书 R：王蓉潜心育人 P（QR） QR
/P

P（QR） QR 证明： （1）P（QR） （2）QR （3）（QR） （4）P 证毕
第一种情况：P作为整个命题出现。（PQ） 第二种情况，P作为命题的一部分出现。（（P）=（Q）） 以上两种情况，都能保证推论的有效性。

1，双否律（DN） AA 2，易位律（Tran） （AB）（BA） 3，德摩根律（DeM） （AB）AB （AB）AB 4，交换律（Com） ABBA ABBA 5，幂等律（Tant） AAA AAA
注意：P、Q即可是命题变元，也可使简单命 题，还可以是复合命题。 （AB）（BC） AB BC
推理规则2：否定后件（MT）或蕴涵否后规则
根据重演蕴涵式（AB ） BA，我们得到否定后件 规则： PQ Q P 如果这一地区的阳光充足，那么植被好。 这一地区的植被不好。 所以，这一地区的阳光不充足。 （AB）C C （AB）
第六讲
命题逻辑的自然演绎系统概论
目标： 本章主要讨论命题演算。首先
我们要能熟练的运用推导规则， 其次在此基础上理解形式化的 逻辑系统与具体推理论证的关 系。
第一节：自然演绎系统概述 第二节：推导规则 第三节：条件证明规则 第四节：间接证明规则
第一节：自然演绎系统概述
强调两点：
/P
PR PR （2），DeM （1）、（3）MT

例2： （PQ） （RS） Q
/（SP）
（证明略）
例3： （AB）（CB） CA /A （证明略）

例4： P Q PQR /（RS） （1）P （2）Q （3） PQR （4）PQ （5）（PQ） （6）（PQR）（RPQ） （7） RPQ （8）R （9）RS （10） （RS）
推理规则8：二难推理（CD）假言选言推理
PQ R S PR Q S
如果我读博士研究生，我将成为学者。 如果我当教师，我将成为人类灵魂的工程师。 我或者读博士研究生或者当教师 所以，我或者成为学者或者成为人类灵魂工程师。
推理规则9：归谬推理
根据重言蕴涵式（ABB）A，我们得到归谬推理规则 ：从ABB可以推得A。也就是：
（1）pq （2）rs （3）qst （4）tg （5）pr （6）tg

（1）pq （2）rs （3）qst （4）tg （5）pr
/tg
证明过程如下：
证明：
（1）pq （2）rs （3）qst （4）tg （5）pr （6）qs （7）t （8）g （9）tg 证毕 PR PR PR PR PR （1）、（2）、（5）CD （3）、（6）MP （4）、（7）MP （7）、（8）+
P Q PQ
袁媛有一本美学书。 袁媛有一本逻辑学书。 所以，袁媛有一本美学书和一本逻辑学书。
推理规则6：析取引入规则（+）（附加律）
P PQ
袁媛有一本美学书。 袁媛有一本美学书或逻辑学书。
推理规则7：假言连锁（HS）假言三段论
PQ Q R PR
如果我志存高远，就刻苦学习。 如果我刻苦学习，就一定能考上研究生。 所以，如果我志存高远，就一定能考上研究生。
二，用整推规则或置换规则构造以下推理的有效性证明。
（1）P（QT），PQ，TS，Q /QS （2）M（NL），JK，M，M（NJ） /LK （3）PQ（RS），P，（RS）（TU），U /T （4）Q，（（PQ）（QS））R，（PQ） /S （5）J（HRST），S，（RH）J /T
（1）如果小张参加长跑比赛，那么小林参加短跑比赛。 （2）如果小汪参加跳远比赛，那么小莫参加跳高比赛。 （3 ）如果小林参加短跑比赛，或者小莫参加跳高比赛，那 么A班比赛得分将提高。 （4）如果A班比赛得分提高，那么A班同学受到鼓舞。 （5）小张参加长跑比赛或者小汪参加跳远比赛； （6）所以，A班比赛得分提高并且A班同学受到鼓舞。
一般情况下，自然演绎推理的证明过程大致模式是：
P1 Pn S1 Sm C 结论
前提
过渡命题
如果古励能考上剑桥大学，那么古励的英语水平高；古励或 者上剑桥大学或者上职业技术学院；如果古励英语水平高， 那么古励打算将来从事涉外工作；所以，古励上职业技术学 院；因为古励不打算将来从事涉外工作。