高等数学各章知识点总结——第9章

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高等数学第九章知识要点

高等数学第九章知识要点二重积分三重积分概念来源 1、曲顶柱体体积、曲顶柱体体积 ()()()()ini i i DiDn i i i u d y x M m f d x f v s h x s s h x s l l D ==D ==åòòòòå=®=®1010,lim ,2,lim 、平面薄片质量空间中立体的质量()()ini iiiv u dv z y x u M D ==òòòåW=®1,,lim,,z h x l基本性质 1、线性性质：()()[]()()òòòòòò+=×+×DDDdxdy y x g ldxdy y x fkdxdy y x g l y x fk ,,,,2、关于区域的可加性：()()()21,,,,21D DD dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f D DD +=+=òòòòòò3、()()()òòòò===D D D d dxdy y x f y x f 的面积时，s s ,1,4、()()()()()òòòò£Þ£ÎDDdxdy y x g dxdy y x f y x g y x f D y x ,,,,,时，5、()()òòòò£DDdxdy y x f dxdy y x f ,, 6、估值定理：()s s M dxdy y x f m D££òò,7、中值定理：()()()D f dxdy y x f D Î×=òòh x s h x ,,,,三重积分有类似的性质计算方法1、直角坐标系下()()()()()òòòò=Dba x x X D dy y x f dxd y x f 21,,f f s 型为()()()()()òòòò=Dd cy yY D dx y x f dyd y x f 21,,y y s 型为2、极坐标下()()()()òòòò=D d f d d y x f 21211sin ,cos ,q qq r rq rr q r q r qs 1、直角坐标系下）（1投影法投影法 ()()()()òòòòòòúûùêëé=W Dxy y x z y x z dxdy dz z y x f dv z y x f ,,21,,,, （2）截面法）截面法()()òòòòòò=Dc c Dz dxdy z y x f dz dv z y x f 21,,,,2、在柱面坐标系下()òòòWdv z y x f ,,()()()()()òòò=212121,,,sin ,cos q q q r q r q r q r q r q r rqz z dz z f pd d3、球面坐标系下()òòòWdv z y x f ,,()()()òòò=212121,.2sin cos ,cos sin ,sin sin j jq j q j q qj q q j q j jqr r drr r r r f d d几何及物1、体积 ()òò=Ddxdy y x f v ,2、曲面面积 òò++=Dy x dxdy f f A 221 1、体积 òòòW =dv v 2、质量 ()òòòW=dv z y x M ,,r理中的应用 3、质量 ()òò=Ddxdy y x m ,r4、质心坐标 ()()òòòò==DDy d y x d y x x M M x s r s r ,,()()òòòò==D D x d y x d y x y M M y s r sr ,, 5、转动惯量()òò=Dx d y x y I s r ,2，()sr d y x x I Dy òò=,2()()òò+=DOd y x y xI s r ,226 6、平面薄片对空间质点的引力、平面薄片对空间质点的引力设面密度为()xoy y x 的,r 面上的闭区域D 对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=，则，则òòòò==Dy D x d r y G F d r x G F s rs r 33,òò-=D z dr GaF s r 3其中G 为引力常数，222a y x r ++=3、质心坐标 ()()òòòòòòW W ==dv z y x dvz y x x M M x yz,,,,r r ()()òòòòòòW W ==dvz y x dv z y x y M M y zx ,,,,r r ()()òòòòòòWW==dvz y x dv z y x z MM z xy ,,,,r r 4、转动惯量()()òòòW +=dvz y x z y I x,,22r ()()òòòW+=dvz y x x z I y,,22r ()()òòòW++=dvz y x z y x I O,,222r 5、物体对空间质点的引力设物体密度为()z y x ,,r ，占有空间闭区域W 的物体对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=则dv r yp G F dv r xpG F y x òòòòòòW W ==33,,()dv r a z GF z òòòW-=3r 其中G 为引力常数，()222a z y x r -++=对称性在计算中的应用 1、若（、若（11）D 关于x 轴对称，且1D 为D 内0³x 部分（2）()y x f ,是关于y 的奇函数或偶函数，则有的奇函数或偶函数，则有()òòD d y x f s,=()()()()()ïîïíì=--=-òòDy x f y x f d y x f y x f y x f ,,,,2,,,0当当s 当D 关于y 轴对称，而()y x f ,关于x 为奇函数或偶函数时，有类似的结论函数时，有类似的结论2、若D 关于直线x y =对称，则对称，则()()òòòò=D Dd x y f d y x f s s ,,3、若D 关于原点对称，则关于原点对称，则()òòD d y x f s,()()()()()ïîïíì=--=--=òòy x f y x f d y x f y x f y x f D ,,,,2,,,01当当s 01³x D D 内为部分部分若（若（11）W 关于xOy 面对称；部分为01³W z（2）()z y x f ,,是关于z 的奇函数或偶函数，则有的奇函数或偶函数，则有()òòòWdv z y x f ,,=()()()()()ïîïíì=--=-òòòW 1,,,,,,,2,,,,0z y x f z y x f dv z y x f z y x f z y x f 当当，当W 关于()zOx yOz 面对称，而()z y x f ,,是关于)(y x 的奇函数或偶函数时，有类似结论函数时，有类似结论..。

大学高数第九章知识点总结

大学高数第九章知识点总结本章的内容可以分为多元函数的导数、方向导数和全微分、隐函数与参数方程、复合函数的偏导数等四个部分。

下面我将对第九章的主要知识点进行总结和归纳。

一、多元函数的导数1、定义：假设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)附近有定义，当自变量x和y分别以x=x0,y=y0为自变量时，关于z的增量Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)与增量Δx,Δy之间的比值分别为：(1) 当Δx≠0,Δy=0时，称为f对x的偏导数，记为fx(x0, y0)，即f对x的偏导数是指在y=y0时，f对x的导数。

fx(x0, y0)=lim(Δx→0){f(x0+Δx, y0)-f(x0,y0)}/Δx;(2) 当Δx=0,Δy≠0时，称为f对y的偏导数，记为fy(x0, y0)，即f对y的偏导数是指在x=x0时，f对y的导数。

fy(x0, y0)=lim(Δy→0){f(x0, y0+Δy)-f(x0,y0)}/Δy.2、几何意义：函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别等于曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,f(x0,y0))处沿着x轴、y轴的方向导数。

3、求导法则：多元函数的导数具有以下性质：（1）线性性：若z=f(x,y)可导，则对任何常数α、β，函数αf(x,y)+βg(x,y)也可导，并且有（αf(x,y)+βg(x,y))' = αf'(x,y) + βg'(x,y)；（2）乘积法则：如果z=u(x,y) v(x,y)可导，则z' = u(x,y) v'(x,y) + u'(x,y) v(x,y)；（3）复合函数的求导法则：如果z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都可导，则z' = f_u(x,y) u' +f_v(x,y) v'。

二、方向导数和全微分1、方向导数：函数z=f(x,y)在点P(x0, y0)处沿任一方向l=(α,β)的方向导数是函数f在这一方向上的变化率，其定义为：D_uf(x0,y0)=fa(x0, y0)α+fb(x0,y0)β;2、全微分：若z=f(x,y)在点P(x0, y0)可导，Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)近似等于其全微分：df(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.三、隐函数与参数方程1、隐函数存在定理：若z=f(x,y)在点(x0,y0)邻域内连续且fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在且至少有一个不为0，则z=f(x,y)=0在此点邻域内确定一个连续且具有连续导数的隐函数。

高中数学第九章知识点总结（精华版）--立体几何

高中数学第九章-立体几何考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质。

高等数学第九章第一节多元函数的基本概念

28
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
29
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
第一节多元函数的基本概念
一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性
1
一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集，称为平面点集，记作
边界上的点都是聚点也都属于集合．
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否断定 lim f ( x, y) A？

《高等数学》第九章复习要点

第九章重积分复习要点§1 二重积分一、二重积分的概念及性质1. 了解二重积分的定义01(,)lim (,)n i ii i D f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰2. 知道二重积分的几何意义当(,)0f x y ≥时, (,)D f x y d σ⎰⎰表示：以区域D 为底,以曲面),(y x f 为顶的曲顶柱体的体积3. 二重积分的主要性质(1) 线性性 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([(2)可加性若21D D D +=，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ(3) σσ=⎰⎰Dd (σ为区域D 的面积.)二、掌握二重积分的计算基本思想：化为两次单积分来计算1. 二重积分在直角坐标系下的计算在直角坐标系下 dxdy y x f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰=),(),(σ(1) 当积分区域D 为x 型区域，即D 为：b x a ≤≤，)()(21x y y x y ≤≤时，二重积分可化为先y 后x 的两次积分积分 21()()(,)(,)b y x a y x D f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(2) 当积分区域D 为y 型区域，即D 为：d y c ≤≤，)()(21y x x y x ≤≤时，二重积分可化为先x 后y 的两次积分积分21()()(,)(,)d x y c x y D f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰ 2. 二重积分在极坐标系下的计算在极坐标系下 θρρθρθρσd d f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰=)sin ,cos (),(其中θρcos =x ，θρsin =y几种常见的类型为：（1）若积分区域D 为圆域：222a y x ≤+时⎰⎰⎰⎰=aD d f d d y x f 0 2 0 )sin ,cos ( ),(ρρθρθρθσπ （2）若积分区域D 为圆域：ay y x ≤+22)0(>a 时⎰⎰⎰⎰=θρπρρθρθρθσsin 0 0 )sin ,cos ( ),(d f d d y x f D（3）若积分区域D 为圆域：ax y x ≤+22)0(>a 时⎰⎰⎰⎰-=θρππρρθρθρθσcos 0 2 2 )sin ,cos ( ),(d f d d y x f D要求：会利用直角坐标或极坐标计算二重积分,会改变二重积分的积分次序，会利用二重积分求立体的体积。

《高等数学》各章知识点总结——第9章

《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。

微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。

本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。

本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。

-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。

- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。

2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。

- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。

3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。

-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。

4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。

-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。

-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。

6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。

同济高数（第七版）--第九章

一：多元函数概念1.空间：R n 称为n 维空间。

2.邻域：),(000y x P 是二维空间（平面xoy ）上一个点，δ为某一正数，则与点P 0的距离小于δ的点R P y x P 2),,(∈全体，称为P 0的δ邻域。

记作),(0δP U ，即),(0δP U }|||{0δ<=P P P ，几何意义为，以点P 0为圆心，δ为半径的圆内所有点，当该领域不包括圆心P 0时，就称为为P 0的去心δ邻域，记为),(0δP U。

3.点与点集关系：（1）内点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则),(y x P 为点集E 的一个内点。

证：有),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，假设),(y x P 不是点集E 的内点，此时假设),(y x P 是点集E 的外点，则对于),(y x P 的任意邻域)(P U 都不可能满足E P U ⊂)(，因为该邻域中至少有一点【例如：邻域中心),(y x P 】就不属于该点集，故),(y x P 不是点集E 的外点，若),(y x P 是点集E 的边界点，则P 的δ邻域),(δP U （无论δ多么小），都会使得该邻域有不属于点集E 的部分（除非0=δ），综合上述：),(y x P 既不是点集E 的外点，也不是边界点，所以),(y x P 是点集E 的内点，而此时能找到),(y x P 的某个邻域)(P U 满足题意。

（2）外点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得∅=⋂E P U )(，则),(y x P 为点集E 的一个外点。

证明从上，用反证法能得出结论。

（3）边界点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，),(y x P 的任意邻域)(P U ，使得⎩⎨⎧⊄∅≠⋂E P U E P U )()(，则),(y x P 为点集E 的一个边界点。

高数第九章知识点总结

高数第九章知识点总结第九章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。

数列和级数是数学中研究数值规律和求和的重要工具，具有广泛的应用价值。

下面将对第九章的知识点进行总结。

一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用一个公式或递推关系来表示。

2. 数列的分类：数列可以分为等差数列和等比数列，其中等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两项之比为常数。

3. 数列的通项公式：对于等差数列，可以通过求出公差和首项来得到通项公式；对于等比数列，可以通过求出公比和首项来得到通项公式。

4. 数列的性质：数列可以进行加法、乘法、递推等运算，可以通过这些性质来研究数列的规律和性质。

二、级数的概念和性质1. 级数的定义：级数是将数列的各项相加所得到的和，可以用求和符号来表示。

2. 部分和数列：级数的部分和数列是指将级数的前n项相加所得到的和，可以用Sn表示。

3. 级数的收敛与发散：如果级数的部分和数列Sn的极限存在，则称该级数收敛，否则称该级数发散。

4. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列是有界的，且任意两个部分和之间的差值可以任意小。

5. 收敛级数的判定：通过级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法可以判断级数的收敛性。

三、数列和级数的应用1. 数列的应用：数列可以应用于等差数列和等比数列的求和问题，常见的应用有求等差数列和等比数列的前n项和，求解等差数列和等比数列的最大值和最小值等。

2. 级数的应用：级数可以应用于求解无穷级数的和问题，常见的应用有求解几何级数的和，求解幂级数的收敛区间等。

以上就是高数第九章的主要知识点总结。

掌握数列和级数的概念和性质，对于理解高等数学的整体框架和解题思路具有重要作用。

在实际应用中，数列和级数也有广泛的应用价值，能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。

因此，我们要认真学习和掌握这些知识点，提高数学素养和解题能力。

高等数学下册复习第九章(二重积分)

1 1 x 2 0 1 x
1 x2 0 0
典型例题
13 把下列积分化为极坐标形式并计算积分值（2） dx x y dy (4) dy (x y )dx 14 利用极坐标计算下列各题
a x 2 2 0 0
a
a2 y2
2
2
0
0
(2) ln(1 x y )d ，其中 D 是由圆周 x2y2 1 及坐标轴
(x2

y 2 )]d
y 轴上半平面部分
定理3
设 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，若 D
关于原点对称，则

D
0 f x，y d 2 f x，y d D3
f x，-y ＝ f x，y ， x，y D f x，-y f x，y ， x，y D
第九章二重积分
内容要点一、二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义：和式的极限
n
f ( i ,i ) i D f ( x , y )d lim 0
i 1
2.曲顶柱体的体积: V f ( x, y )d

D
平面薄片的密度: M ( x, y )d
将D分割, 如图. 则 2 2 xyf ( x y )d 0, D2 xd 0. D
D xd D1 xd
2
0 x3 xdx x 3 dy 1

0 4 dx x 1
2 , 5 2 . 5
所以, D x[1 yf
x 2 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy

《高等数学》-各章知识点总结——第9章

《高等数学》-各章知识点总结——第9章第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。

3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。

nR 为n元数组),,,(21nx x x 的全体，称为n 维空间。

n维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离：2221122||()()()n n PQ y x y x y x =-+-++-邻域:设0P 是nR 的一个点，δ是某一正数，与点0P距离小于δ的点P 的全体称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R|||}nU P P PP δδ=∈<空心邻域: 0P 的δ邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ空心邻域,记为0(,)U P δ=0{0||}PPP δ<<。

内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。

如果存在点P 的某个邻域),(δP U ，使得EP U ⊂),(δ，则称点P 为集合E 的内点。

如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点,E 的边界点的全体称为E的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。

如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。

开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。

设点集nE ⊆R , 如果E 的补集nE-R是开集，则称E 为闭集。

区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ⊆，即E 中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．有界闭区域的直径：设D 是nR 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P Dd D PP ∈=为D 的直径。

高等数学基础第九章

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9.2偏导数—二元函数的偏导数
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9.2偏导数—二元函数的偏导数
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9.2偏导数—高阶偏导数
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9.3全微分—全微分的定义
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9.3全微分—全微分在近似计算中的应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 复合函数的微分法
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 复合函数的微分法
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 隐函数的微分法
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.5多元函数的极值
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9.5多元函数的极值－多元函数的最值
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9.5多元函数的极值－条件极值
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高等数学基础
第九章多元函数微分学
主讲:
多元函数微分学
多元函数的极限与连续性偏导数全微分复合函数与隐函数的微分法多元函数的极值
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9.1多元函数的极限与连续性—多元函数
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9.1多元函数的极限与连续性—多元函数
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9.1多元函数的极限与连续性— 二元函数的极限
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9.1多元函数的极限与连续性— 二元函数的连续性

高一数学九章知识点汇总

高一数学九章知识点汇总一、集合与函数1. 集合的基本概念集合是指具有某种特定性质的事物的总体。

集合中的元素是指具有这种特定性质的事物。

集合可以用描述法或列举法来表示。

2. 集合的运算并集、交集、差集和补集是集合的四种基本运算。

并集是指属于至少一个集合的元素组成的集合，交集是指属于所有集合的元素组成的集合，差集是指属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的集合，补集是指相对于某个全集取补的集合。

3. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，每一个自变量对应且只对应一个因变量。

函数可以用图像、公式、映射法或语言描述来表示。

4. 函数的性质与运算函数的定义域、值域和像集是函数的重要性质。

函数可以进行四则运算、复合运算以及求反函数等。

二、数列与数列的极限1. 数列的概念数列是按顺序排列的无穷多个数的集合。

通常用{an}或{an}来表示数列，其中an表示第n个数。

2. 数列的分类数列可以按照递推关系或元素的性质进行分类，常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

3. 数列的通项公式与递推公式数列的通项公式是指可以用一个公式表示数列中第n项的公式，递推公式是指用前一项或前几项计算后一项的公式。

4. 数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列逐渐趋向于某个确定的值。

数列可以有有限极限、无穷大极限和无极限三种情况。

三、函数的极限与连续性1. 函数的极限的定义函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于某个值。

函数的极限可以用极限符号表示。

2. 函数的极限存在与不存在若当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于有限值，则函数的极限存在；若函数值趋近于无穷大或趋于无穷小，则函数的极限不存在。

3. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内的每一点都满足极限存在的条件。

函数的连续性可以分为间断点、可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。

四、导数与函数的应用1. 导数的概念导数是描述函数变化率的指标，也可理解为函数在某一点的瞬时变化率。

高数(同济第六版)第九章总结

4
③当 AC
时，不能判断
2、条件极值，拉格朗日乘数法：
①构造 L(x,y)=f(x,y)+ (x,y)[其中，f 为原函数，为条件]
② (x0,y0)+
=0
(x0,y0)+
=0
(x0,y0)=0
5
1、方向导：
2、梯度：
=
3、 =(
) 其中为方向角，
记某点
处的方向导为记梯度为
则
[其中
]
① =0 时，f 增长最快
② = 时，f 增长最慢
③ = 时，f 不变
第八节多元函数的极值及其求法
1、极值存在必要条件：，
充要条件：有
C
①当 AC
A>0 时，有极小值
A<0 时，有极大值
②当 AC <0 时，无极值
1、偏导的符号不可拆
2、偏导数的几何意义
第三节全微分
1、全增量： z=f(x+ x,y+ y)-f(x,y)
可表示为： z=A x+B y+o( )[其中 o( )=
]
2、全微分：
[其中
]
3、全微分存在条件： 4、各个关系
函数连续
互推不出
推不出
推不出
函数可导
推得出
函数可导
推
推
得
不
出
出
推得出
偏导连续
记 Jacobi 式：J=
(在解方程组式的隐函数时，可用可不用 Jacobi 式) 第六节多元函数微分学几何应用
1、
3
[称其为一元向量值函数] 2、空间曲线的切线与法平面

高数同济第七版-第九章重点内容

第九章基本知识点1. 偏导数的定义及其计算方法（详细概念见书P65起，在此不再赘述）2. 全微分若函数 z = f (x , y ) 在点(x, y ) 可微 ,则该函数在该点偏导数yzx z ∂∂∂∂,必存在,且有y yzx x z z ∆∂∂+∆∂∂=d ，习惯上把自变量的增量用微分表示,于是y d yz x x z z ∂∂+∂∂=d d 3. 多元复合函数的求导法则（1）链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”若函数,可导在点)(,)(t t v t u ψϕ==),(v u f z =),(在点v u 处偏导连续,则复合函数))(),((t t f z ψϕ=在点 t 可导, 且有链式法则tvv z t u u z t z d d d d d d ⋅∂∂+⋅∂∂= （2）全微分形式不变性,),(对v u f z =不论 u , v 是自变量还是因变量，v v u f u v u f z v u d ),(d ),(d +=4. 隐函数求导公式（1）一个方程的情形yx F Fx y -=d d （隐函数求导公式）（2）方程组的情形利用雅可比行列式求导（P88起）5. 多元函数微分学的几何应用（1）空间曲线的切线与法平面1) 参数式情况.空间光滑曲线⎪⎩⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z t y t x ωψϕ切向量))(,)(,)((000t t t T ωψϕ'''=，切线方程)(')(' )(' 000000t z z t y y t x x ωψφ-=-=-法平面方程))((00x x t -'ϕ)()(00y y t -'+ψ0))((00=-'+z z t ω2) 一般式情况空间光滑曲线⎩⎨⎧==Γ0),,(0),,(:z y x G z y x F 切向量⎝⎛=T ,),(),(M z y G F ∂∂,),(),(Mx z G F ∂∂My x G F ),(),(∂∂⎪⎪⎭⎫，切线方程与法平面方程利用点法式即可求之（2）曲面的切平面与法线1) 隐式情况 .空间光滑曲面0),,(:=∑z y x F 曲面 ∑ 在点),,(000z y x M 的法向量)),,(,),,(,),,((000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =切线方程与法平面方程利用点法式即可求之 2)显式情况空间光滑曲面),(:y x f z =∑法向量)1,,(y x f f n --=，法线的方向余弦22221cos ,1cos yx y yx x f f f f f f ++-=++-=βα,2211cos yx f f ++=γ切平面方程：)(),()(),(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 法线方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x6. 多元函数的极值（1）利用充分条件求极值（P113）第一步利用必要条件在定义域内找驻点.第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点（2）条件极值1) 简单问题用代入法，转化为无条件极值 2) 一般问题用拉格朗日乘数法（P116起）。

高等数学第9章线性方程组

m 0,m 1,m 9
时方程组有非零解。
9.3 齐次线性方程组
例 5 求方程组的一般解。
解：
x1 2x2 3x3 4x4 0

x1
x2 3x2
x3 x4 0 3x4 0
7x2 3x3 x4 0
1 2 3 4
解：原方程组可化成
(1m)x1 2x2 3x3 0， 2x1 (1m)x2 3x3 0， 3x1 3x2 (6m)x3 0．
9.3 齐次线性方程组
根据定理9.3，它有非零解的充分必要条件是
1m 2 3 2 1m 3 0 3 3 6m
m (m 1 )(m 9 ) 0
A~

a2 1
a2 2
a2n
b2
am1 am2 amn bm
9.2 非齐次线性方程组
经过初等行变换后可以化成以下的形式：
1 0 0 a1 r1 a1n c1
0 1 0 a2 r1 a2 n c2

9.2 非齐次线性方程组
当r<n时，这个线性方程组可相应地化为
x1
a1r1xr1a1nxn c1
x2
a2r1xr1a2nxn c2

xr arr1xr1arnxn cr
9.2 非齐次线性方程组
2
4 3
1 5 31 2 3 ( ① , ② ) 1 1 2 2
5 3
1 3
4 3
1 5 31 2 3 ② ③ ① ① (( 2 1 2)) 1 0 0 5 32 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2

《高等数学》各章知识点总结——第9章

第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续1、n维空间R2为二元数组(x, y)的全体，称为二维空间。

R3为三元数组(x,y,z)的全体，称为三维空间。

R n为n元数组(x「X2, ,X n)的全体，称为n维空间。

n维空间中两点卩任％丄X),Q(y i, 丫2丄，y n)间的距离：|PQ| . (y i X i)2 (y2 X2)2 L (% X n)2邻域：设F0是R n的一个点，是某一正数，与点F0距离小于的点P的全体称为点P o的空心邻域：P o的邻域去掉中心点P o就成为P o的空心邻域，记为oU(P o, )={P o |PP o| }。

内点与边界点：设E为n维空间中的点集，P R n是一个点。

如果存在点P的某个邻域U(P,)，使得U(P, ) E ,则称点P为集合E的内点。

如果点P的任何邻域内都既有属于E的点又有不属于E的点，则称P为集合E的边界点，E的边界点的全体称为E的边界.聚点：设E为n维空间中的点集，P R n是一个点。

如果点P的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P为集合E的聚点。

开集与闭集：若点集E的点都是内点，则称E是开集。

设点集E R n,如果E的补集R n E是开集，则称E为闭集。

区域与闭区域：设D为开集，如果对于D内任意两点，都可以用D内的折线(其上的点都属于D )连接起来，则称开集D是连通的•连通的开集称为区域或开区域•开区域与其边界的并集称为闭区域•有界集与无界集：对于点集E,若存在M 0，使得E U(O,M)，即E中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E为有界集，否则称为无界集.如果D是区域而且有界，则称D为有界区域.有界闭区域的直径：设D是R n中的有界闭区域，则称d(D) max{| PP21}为D的直径。

二、多元函数n元函数就是R n的一个子集D到R的一个函数，即对任意的P D，都存在唯一的y R，使得y f(P)。

习惯上，我们用y f (x)表示一元函数，用z f (x, y)表示二兀函数，用w f (x, y, z)表示一兀函数• 一; 般用y f(P), P R n或y f(X i,X2,L ,X n)表示n兀函数.三、多元函数的极限设多元函数z f(P)在D有定义，P o是D的一个聚点，A为常数。

高等数学-第九章二重积分部分

第九章重积分知识总结
一. 二重积分的计算二. 三重积分的计算三. 重积分的运用
一. 二重积分的计算
1. 二重积分的性质
例. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
D f (x, y)d
Dr2()
Df(cos,sin) d d
r1()
o
注：若积分区域为圆域、扇形域、环形域、或由极坐标曲线围成的区域，可考虑选择极坐标;
若被积函数为 f( x 2 y 2 ) 或 f(y ) 型可考虑选择极坐标 x
例. 计算二重积分
R2x2y2d,
0
2 0
h 1 2
d
h
2 4
d
z
202 h12(h42)d
[1 (4h)ln 1(4h)4h]
4
o x
y
4、球坐标代换
设 M (x,y,z) R 3,其柱坐(标 ,,为 z),令OM r,
ZOM , 则(r,,) 就称为点M 的球坐标.
xrsinco s yrsin sin
zrco s
0 r
z { ( x ,y ,z ) |a z b ,( x ,y ) D z }b
f(x,y,z)dv
b
z a
adzD Zf(x,y,z)dxdy
x
Dz
y
适用范围：
积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;
在平行于坐标面的截面上二重积分易算典型题目：被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求

高数第九章内容总结

) + ( ) dxdy;
∂z 2 ∂y
(3) 重心
设有一平面薄片，设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ρ ( x , y )，假定 ρ ( x , y )在上连续， D 上连续，平面薄片的重心为
∫∫ xρ ( x , y )dσ x= , ∫∫ ρ ( x, y )dσ
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
Ω = {( x , y , z ) ( x , y ) ∈Dz , c1 ≤ z ≤ c2 }.
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫
Ω
c2
c1
dz ∫∫ f ( x , y , z )dxdy .
Dz
(２) 柱面坐标２
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
2
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
Ω
∫∫∫
Ω
f ( r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sinθ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ .
10、 10、三重积分的应用
(１) 重心１
设物体占有空间闭区域Ω ，在点( x , y , z ) 处的上连续，密度为 ρ ( x , y , z ) ，假定 ρ ( x , y , z ) 在Ω 上连续，则该物体的重心为
∫∫ f ( x , y )dσ
D
= f (ξ ,η ) ⋅ σ .
（二重积分中值定理）二重积分中值定理）
４、二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : a ≤ x ≤ b, －

高等数学第9章知识点

z
Fx
k
D
x(x, y)
(x2
y2
a2
3
)2
d,
Fy
k
D
(x2
y(x, y)
y2 a2
)
3 2
d
,
M0(0,0,a)
O
y
x
(x, y,0)
D
Fz
k
D
a(
(x2 y2
x,
y) a2
)
3 2
d
,
k为引力常数
第九章重积分习题课—天津大学数学学院
22
二、三重积分的主要内容
1、三重积分的定义
b) 若f (x, y, z)关于x是偶函数，即 f (x, y, z) f (x, y, z),
则 f (x, y, z)dV 2 f (x, y, z)dV.
1
第九章重积分习题课—天津大学数学学院
32
a) 若f (x, y, z)关于y是奇函数，即 f (x, y, z) f (x, y, z),
z
(１) 直角坐标系下
先投影，再穿区域
a) 投影法（“先一后二”、“穿针法”）
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
上下型: : z1(x, y) z z2(x, y);
O a
穿入曲面 a x b,
穿出曲面 b
y1 ( x) y y2 ( x).
x
（投影区域）
1
r1 ( , )
第九章重积分习题课—天津大学数学学院
30
4、三重积分的对称性
z
a) 若f (x, y, z)关于z是奇函数，即 f (x, y,z) f (x, y, z),

高等数学 各章知识点总结——第9章

高等数学第九章知识要点

大学高数第九章知识点总结

高中数学第九章知识点总结（精华版）--立体几何

高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念

《高等数学》第九章复习要点

《高等数学》各章知识点总结——第9章

同济高数（第七版）--第九章

高数第九章知识点总结

高等数学下册复习第九章(二重积分)

《高等数学》-各章知识点总结——第9章

高等数学基础第九章

高一数学九章知识点汇总

高数(同济第六版)第九章总结

高数同济第七版-第九章重点内容

高等数学第9章 线性方程组

《高等数学》各章知识点总结——第9章

高等数学-第九章 二重积分部分

高数第九章内容总结

高等数学第9章知识点

高等数学各章知识点总结——第9章

高等数学第九章第一节多元函数的基本概念

高等数学第9章线性方程组

高等数学-第九章二重积分部分