微积分发展简史

微积分发展简史

微积分是17世纪发现的最具威力的数学工具，是人类思维最珍贵的成果. 正如美国当代数学家柯朗所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗结晶，这种奋斗已经历了两千五百年之久，它深深地扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已.” 恩格斯也对微积分的发现予以高度评价，认为这是“人类精神的最高胜利.”

一、微积分思想萌芽

微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代. 在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏有朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子. 在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子 天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，是我国较早出现的极限思想. 但把极限思想运用于实践解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽. 他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元. 刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次边数加倍，则正多边形面积愈来愈接近圆面积. 正如他说的：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣.”按照这种思想，计算到圆内接正192边形面积，则得圆周率的近似值为3.14. 大约两个世纪后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于“与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一. 其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，在西方称为“卡瓦利原理”，应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题.

欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题. 较为重要的当数安提芬的“穷竭法”. 他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积. 但他的方法却没有被数学家接受. 后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯那里得到补充和完善. 之后，阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题. 他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法. 他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较. 但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的. 平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形.

与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了. 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题. 阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分）

来处理，从而回避了连续变化率.

二、微积分的起源与孕育

微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后. 1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒. 一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提供了大量的素材. 这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段.

微积分的创立，首先是为了处理17世纪的一系列主要的科学问题. 有四种主要类型的科学问题：

（1）已知物体移动的距离和时间的函数式，求物体在任意时刻的速度和加速度，使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；

（2）望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；

（3）确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极值问题也亟待解决；

（4）问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究.

在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.下面我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作.

德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法. 他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积之和.

意大利数学家卡瓦利里在他的著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法. 他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量. 他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦利里原理，即我国的祖氏原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积. 利用这个原理解决了开普勒的旋转体的体积问题.

英国的数学家巴罗在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用微分三角形求出了曲线的斜率. 他的方法实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限. 他是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员. 当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学

生——当时才27岁的牛顿来担任，巴罗让贤已成为科学史上的佳话.

笛卡尔和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋. 笛卡尔在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法. 代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡尔的圆法为起点而踏上微积分的研究道路.

沃利斯是在牛顿和莱布尼兹之前，将分析方法引入微积分贡献突出的数学家. 他在著作《无穷算术》中，利用算术不可分量法获得了一系列重要结果. 其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等.

17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生. 前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性. 虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视. 因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务.

三、微积分的创立

1．牛顿的“流数术”

牛顿1642年生于英格兰乌尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书. 17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校. 史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的务农中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说这是科学史上最幸运的预言. 1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗. 对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路.

1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡. 在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的.

牛顿于1664年开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性的进展. 1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文——《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献. 在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）：从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”：将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”. 该定理也称为牛顿——莱布尼兹定理，牛顿和莱布尼兹各自独立地发现了这一定理. 它是微积分中最重要的定理，建立了微分和积分之间的联