微积分发展简史
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。
1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1. 运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2. 曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3. 有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4. 当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler ）、伽利略（Galileo ）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes ）、卡瓦列里（Cavalieri ）等学者都做出了杰出贡献。
1669,巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）至V质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
微积分的发展历史
微积分的发展历史1. 古希腊时期：微积分的起源可以追溯到古希腊时期，早在公元前5世纪，数学家祖克里斯特斯（Zeno of Elea）就提出了诸如阿基里斯赛跑等著名的悖论，引发了对无穷小和无穷大的思考。
2. 阿基米德和群测强微积分：在古希腊和古罗马时期，一些数学家如阿基米德和群测强（Archimedes）开始探索几何学和代数学的基本概念，在解决实际问题的过程中也涉及到了微积分的雏形。
3.牛顿和莱布尼兹的发现：17世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹几乎同时独立发现了微积分的基本原理。
牛顿将微积分用于机械学和物理学的研究，而莱布尼兹则用它来解决代数和几何方程。
这两位伟大的数学家将微积分作为一门独立的学科加以发展并系统化。
4. 微积分的形式化建立：18世纪，欧拉（Leonhard Euler）将微积分的概念进一步抽象化和形式化，构建了函数和级数的理论，为微积分的应用奠定了坚实的基础。
5. 国际象棋问题的解决：19世纪初，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）研究国际象棋中的一个问题，首次利用微积分的方法进行了解决。
这个问题不仅使微积分在数学界引起了重视，也增强了人们对微积分的研究兴趣。
6. 分析学的发展：19世纪，数学分析学迎来了一个又一个的里程碑。
来自法国的布尔巴基（Augustin-Louis Cauchy）和庞加莱（Henri Poincaré）等人对极限、连续性和导数等概念进行了严格的定义和证明，进一步完善了微积分的理论。
7.微积分的应用：20世纪初期，微积分得到了广泛应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
爱因斯坦的相对论理论、量子力学的发展以及现代金融学等都离不开微积分的支持。
8.持续发展和改进：自20世纪起，微积分一直在不断发展和改进。
函数论、复分析及它们与微积分的关系等新理论的出现，使微积分的应用更加广泛，对更加复杂的问题提供了更加深入的分析。
微积分的历程
微积分的历程
微积分是数学中一个重要的分支，它的发展历程可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家们就曾经探索过函数的概念，他们发现函数的变化可以用数学表达式来描述，并且可以用来解决实际问题。
17世纪，英国数学家斯特劳斯·斯特劳斯发现了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本概念，即“微分”和“积分”，并且提出了微积分的基本定义。
18世纪，德国数学家勃兰特发展了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本定义，并且提出了微积分的基本定理，如勃兰特定理、勃兰特-拉格朗日定理等。
19世纪，微积分发展迅速，德国数学家卡尔·马克思发展了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本定义，并且提出了微积分的基本定理，如马克思定理、马克思-拉格朗日定理等。
20世纪以来，微积分发展迅速，微积分的基本概念和定理得到了进一步的发展，如拉格朗日定理、拉普拉斯定理、拉普拉斯变换等。
微积分的发展历程可以追溯到古希腊时期，它的发展历程经历了17世纪、18世纪、19世纪和20世纪，它的基本概念和定理也得到了进一步的发展，为数学的发展做出了重要贡献。
论述微积分发展简史
论述微积分发展简史1一、微积分的萌芽微积分的思想萌芽可以追溯到古代，早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念。
这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。
公元前五世纪，希腊的德谟克利特提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。
在中国，《庄子．天下篇》中所言的一尺之捶，日取其半，万世不竭，亦指零是无穷小量。
这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。
二、微积分的创立微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微积分的互逆关系。
最后一个阶段是由牛顿、莱布尼茨完成的。
前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。
中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。
中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。
在积分方面，一六一五年，开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。
而伽利略的学生卡瓦列里即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。
这些想法都是积分法的前驱。
在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。
费马在一封给罗贝瓦的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数為零，然后求出函数极点的方法。
另外，巴罗亦已经懂得透过「微分三角形」（相当於以dx、dy、ds為边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。
由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。
英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分(1675—1676)．莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中．1684年他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．这是历史上最早发表的关于微积分的文章．1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。
微积分发展史简述
微积分发展史简述微积分是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域。
它的发展历史可以追溯到古希腊时期，但直到17世纪才得到了系统的发展和完善。
本文将简要介绍微积分的发展史。
1. 古希腊时期：微积分的雏形在古希腊时期，数学家们对于几何学有着深入的研究。
亚里士多德和欧几里得等人提出了许多与微积分相关的概念，如无穷小量和极限。
然而，由于当时的数学工具和观念的限制，微积分的发展受到了很大的阻碍。
2. 牛顿和莱布尼茨：微积分的创始人17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发展出微积分学。
牛顿创立了微积分的主要思想和方法，他提出了差分和积分的概念，并建立了微分方程和牛顿运动定律等基本理论。
莱布尼茨独立地发展出了微积分的符号表示法，引入了微积分中的极限和导数的概念。
牛顿和莱布尼茨的工作为微积分的发展奠定了基础。
3. 微积分的完善：极限与连续性18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对微积分进行了深入的研究和发展。
欧拉进一步完善了微积分的符号表示法，并提出了欧拉公式等重要结果。
拉格朗日则对微积分中的极限和连续性进行了系统的研究，提出了拉格朗日中值定理和泰勒展开等重要定理。
这些工作使微积分的理论更加严谨和完备。
4. 微积分的应用：物理学和工程学19世纪，微积分的应用开始扩展到物理学和工程学等实际问题中。
拉普拉斯和傅里叶等数学家使用微积分的方法解决了一系列的物理学问题，为微积分的应用奠定了基础。
同时，微积分也在工程学中得到了广泛的应用，如力学、电磁学和流体力学等领域。
微积分的应用使得工程学的发展取得了重大的突破。
5. 微积分的发展与现代数学的关系20世纪，微积分的发展与现代数学的发展密切相关。
在集合论和数理逻辑的基础上，数学家们对微积分的理论进行了深入的研究和推广。
勒贝格和黎曼等数学家提出了测度论和黎曼积分等新的概念和方法，为微积分的发展带来了新的思路和工具。
同时，微积分也成为了现代数学的重要组成部分，在数学的其他分支中得到了广泛的应用。
微积分的发展历程
微积分的发展历程微积分是数学中一个重要的分支，它涉及到极限、导数、积分等概念和方法，被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将简要介绍微积分的发展历程。
一、古代的预备工作在微积分出现之前，人们对于一些基本数学问题已经有了一些认识和解决方法。
例如，古希腊的毕达哥拉斯学派就研究了直线的长度、面积和体积等问题。
此后，阿基米德提出了可以计算曲线面积的方法，称为阿基米德法则。
这些古代数学家为微积分的发展打下了基础。
二、牛顿和莱布尼茨的贡献17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发明了微积分学。
牛顿通过研究物体的运动和力学问题，提出了“极限”的概念，并建立了微分和积分的基本运算法则。
莱布尼茨则通过研究曲线的切线和面积问题，独立地发展了微积分的方法和符号体系。
他们的贡献使得微积分有了系统的理论基础。
三、分析学的建立18世纪，欧拉、柯西等数学家对微积分进行了深入研究，逐渐建立了分析学的框架。
欧拉通过引入指数和对数运算，为微积分提供了更加方便的计算工具。
柯西则对极限、连续和导数等概念进行了严格的定义和证明，奠定了微积分的数学基础。
此后，分析学成为了微积分的主要研究方法。
四、微积分的应用微积分的发展不仅带来了丰富的数学理论，还在实际应用中发挥了巨大的作用。
在物理学中，微积分被应用于描述质点的运动、电磁场的变化等问题，成为了理论物理学的基础工具。
在工程学中，微积分被用于求解曲线的切线、曲面的切平面等问题，为工程设计提供了精确的计算方法。
在经济学中，微积分被用于分析经济变量之间的关系、优化经济模型等，为经济研究提供了理论支持。
五、微积分的发展趋势随着科学技术的不断进步，微积分的应用领域也在不断扩展。
例如，微分几何将微积分与几何学相结合，研究曲线的性质和空间的几何结构。
微分方程则将微积分与方程学相结合，研究动力系统、波动现象等。
此外，近年来的计算机技术的发展也使得微积分的计算更加便捷和高效。
总结起来，微积分是一个源远流长、发展迅速的学科。
微积分的发展历史
微积分的发展历史微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究一些连续变化的函数之间的关系，以及这些函数的一些量的变化规律。
微积分的历史可以追溯到古希腊时期，但是直到17世纪初期，微积分才真正成为独立的数学分支。
以下是微积分的发展历史。
1. 古希腊时期古希腊数学家阿基米德（287 BC - 212 BC）就是微积分的先驱之一。
他发明了一种称为“方法论”的技术，这种技术可以用来求解一些几何问题，例如圆的面积和球体的体积。
这种技术可以用来求解一些连续变化的函数的面积或体积问题。
2. 17世纪初期17世纪初期，数学家牛顿（1643-1727）和莱布尼茨（1646-1716）几乎同时发明了微积分。
他们的发现彻底改变了数学的面貌。
牛顿的微积分是基于几何直觉的发现，而莱布尼茨的微积分则是基于代数记号的发现。
3. 18世纪在18世纪，微积分的研究得到了进一步发展。
法国数学家欧拉（1707-1783）和拉格朗日（1736-1813）在微积分的研究中做出了重要的贡献。
欧拉在微积分中引入了复数，这对微积分的发展具有重要的意义。
拉格朗日发现了微积分中的一些基本定理，例如拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
4. 19世纪19世纪是微积分的发展中最重要的一个世纪。
数学家高斯（1777-1855）和魏尔斯特拉斯（1815-1897）在微积分的研究中做出了重要的贡献。
高斯发现了极值问题的解法，魏尔斯特拉斯则首次使用了极限的概念来解决微积分中的一些问题。
5. 20世纪20世纪是微积分发展的最后一个世纪。
在这个世纪里，微积分的研究得到了深入的发展。
数学家费曼（1918-1988）提出了路径积分理论，这个理论对微积分的研究有着重要的意义。
同时，微积分还应用于物理学、工程学和经济学等领域，在这些领域中发挥着至关重要的作用。
微积分的发展历史可以追溯到古希腊时期，但是直到17世纪初期，微积分才真正成为独立的数学分支。
在18世纪和19世纪，微积分得到了进一步的发展，20世纪中期，微积分已经成为了一个重要的数学分支，并被广泛应用于各个领域。
微积分发展简史
微积分发展简史一．微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话："一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说，就是："割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理："幂势既同，则积不容异。
"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的"穷竭法"。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。
之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
微积分发展简史课件
实的理论基础。
柯西序列
02 通过柯西序列，解决了实数系连续性的问题，并建立
了极限理论。
布尔查诺-维尔斯特拉斯定理
03
证明了实数系连续性的唯一性，为实数理论的发展提
供了重要的支撑。
泛函分析的兴起
函数空间
研究函数集合的性质和结构，为泛函分析提供了基础 。
傅里叶分析
研究函数的傅里叶级数展开和性质，为泛函分析提供 了重要的工具。
极限理论是微积分的基础，19 世纪之前，数学家们一直在探索 如何用极限的概念来描述函数的
变化趋势。
极限理论的建立经历了漫长的发 展过程，最终由德国数学家魏尔 斯特拉斯、戴德金和康托尔等人
完成。
极限理论的严格定义和证明，为 微积分的进一步发展提供了坚实
的数学基础。
导数与积分的进一步发展
导数和积分是微积分的两个 核心概念，19世纪数学家们 对这两个概念进行了更深入
例如，常微分方程理论的建立，为解决各种 实际问题提供了重要的数学模型。
同时，偏微分方程的发展也取得了 重大进展，例如热传导方程、波动 方程等，这些方程在物理、工程、 化学等领域都有广泛的应用。
03
20世纪微积分的新发展
实数理论的发展
魏尔斯特拉斯的ε-δ定义
01
对实数进行严格的数学定义，为实数连续性提供了坚
描述物体运动规律
微积分可以用来描述物体的运动规律，例如物体的速度、加速度 、位移等。
电磁学研究
在电磁学中，微积分被用来研究电磁场的分布和变化规律。
量子力学
在量子力学中，微积分被用来描述微观粒子的运动规律和分布情 况。
在经济中的应用
01
供需关系
微积分可以用来描述商品的供需 关系，例如价格与销售量的关系 。
《微积分发展简史》PPT课件
主要内容
微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等，系 由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语 中“差”（Differentia ）的第一个字母。积 分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语 “总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长 (和Σ有相同的意义)。
微积分发展史
微积分的萌芽
微积分的发展 微积分的建立 微积分的严格化
微积分的发展
4、费马求极大值和极小值方法 按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极
值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使 f(a+e)与f(a)逼近,即：
f(a+e)～f(a) 这里所提到的“e”就是后来微积分学当
中的“ x ”
微积分的发展
5、巴罗的“微分三角形” 巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一
出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率
为
．如果是在区间[a,b]上，由[0,b]
上的面积减去[0,a]上的面积,便得到
b
ydx zb za
a
微积分的严格化
自牛顿和莱布尼兹之后，微积分得到了 突飞猛进的发展，人们将微积分应用到自然 科学的各个方面，建立了不少以微积分方法 为主的分支学科，如常微分方程、偏微分方 程、积分方程、变分法等等形成了数学的三 大分支之一的“分析”。微积分应用于几何 开拓了微分几何，有了几何分析；应用于理 学上，就有了分析力学；于天文上就有了天 体力学等。但是微积分的基础是不牢固的， 尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱，一 会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人 们对他们的理论的怀疑与批评。
主要内容
微积分的基本概念还包括函数、无穷 序列、无穷级数和连续等，运算方法主要 有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数 学归纳法紧密相连。
微积分简史
微积分简史微积分是数学中的一门重要分支，它研究的是变化率、面积和体积等概念的数学描述。
微积分的发展经历了多个阶段，包括古希腊的贡献、文艺复兴时期的发展、牛顿和莱布尼茨的贡献、欧拉和拉格朗日的贡献、柯西和魏尔斯特拉斯的贡献，以及现代微积分的应用和计算机与微积分的交叉学科发展。
1.古希腊的贡献古希腊时期，数学家们开始研究变量和变化率的概念。
毕达哥拉斯学派是最早研究这些概念的学派之一，他们提出了“万物皆数”的观点，并研究了整数之间的关系。
亚里士多德等哲学家也研究了无穷小和量的变化，虽然这些研究并不涉及现代微积分的概念，但为微积分的发展奠定了基础。
2.文艺复兴时期的发展在文艺复兴时期，数学得到了快速发展，微积分也开始萌芽。
艺术家和科学家们开始研究透视和线性比例，这些问题与微积分中的一些概念相关。
同时，哲学和科技进步也对微积分的发展产生了影响，例如笛卡尔的解析几何和莱布尼茨的机械学。
3.牛顿和莱布尼茨的贡献微积分的发展在牛顿和莱布尼茨的贡献下取得了突破。
牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》中提出了微积分的基本概念，例如导数和积分。
莱布尼茨也独立发现了这些概念，并发展出了微积分的基本算法。
这两位学者的贡献为微积分的发展奠定了基础。
4.欧拉和拉格朗日的贡献欧拉和拉格朗日对微积分的发展做出了重要贡献。
欧拉在研究无穷级数和函数时，提出了许多重要的概念和定理，例如求和公式和欧拉恒等式。
拉格朗日则发展了分析力学和复分析等理论，为微积分的应用提供了更广阔的领域。
5.柯西和魏尔斯特拉斯的贡献柯西和魏尔斯特拉斯在微积分领域做出了卓越的贡献。
柯西给出了极限、导数和积分的严格定义，为后来的数学分析提供了基础。
魏尔斯特拉斯则对实数理论做出了重要贡献，并提出了魏尔斯特拉斯定理。
他们的成果对微积分的基础理论产生了深远的影响。
6.现代微积分的应用现代微积分的应用广泛，包括物理学、化学、生物学、工程学等多个领域。
例如，在物理学中，微积分被用来描述物体的运动规律和作用力；在化学中，微积分可以描述化学反应的平衡条件和反应速率；在生物学中，微积分可以用来描述细胞生长和病毒传播等过程。
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。
1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。
微积分理论发展的历史沿革
微积分理论发展的历史沿革
微积分的发展始于古希腊时代，早在公元前600-300年，古希腊数
学家几何学家艾萨克·欧几里得发明了曲线，把几何学和数学联系在一起，开创了微积分的几何学基础。
欧几里得以著名的《几何原本》首次提出运动曲线及其边对应的形状
面积计算，从几何学角度探讨了计算曲线面积的方法。
与此同时，他
也隐��地引入了积分概念，奠定了数学界的微积分理论发展的基础。
在十七世纪，英国数学家斯托克斯将欧几里得概念发展成功地应用与
一元函数上，并首次证明了此方法的可行性和有效性，此为推动了微
积分理论发展的重要转折点。
在十八世纪，微积分理论再次得到发展，德国数学家勃兰特提出了一
个叫做微积分的理论方法，在他的协助下，一元函数微积分理论逐渐
完善，多元函数微积分理论也得到发展。
在十九世纪，几个主要数学家发展出了外积分和内积分等术语，使微
积分理论更加完整和成熟。
此外，数学家们还发现了微分方程的概念，大大提高了微积分的应用，可以研究的问题更多了。
二十世纪，有着两个著名的微积分运动发起人：瑞士数学家冯·诺伊曼
和德国数学家尤金·布洛佛，使微积分理论提高到一个新层次，奠定了
现代微积分权威的地位。
（以上叙述并不完全准确，这仅仅是大致的历史沿革）。
微积分发展史
微积分发展史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。
着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。
2.建立成型时期。
3.成熟完善时期。
4.现代发展时期。
早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。
公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。
此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。
2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。
另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。
此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。
祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。
建立成型时期：1.十七世纪上半叶：这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。
天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。
意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。
微积分发展简史
微积分发展简史微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论作怎样的估计都不会过分.- 冯·诺依曼287 年: 阿基米德的"逼近法""给我一个支点，我可以撬动地球."对数学和物理学的影响极为深远，被视为古希腊最杰出的科学家. 他与牛顿和高斯被西方世界评价为有史以来最伟大的三位数学家.他利用“逼近法”算出球表面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这种方法加以发展成近代的“微积分”.1620年费地的布面油画《沉思的阿基米德》263 年: 刘徽注释《九章算术》东方古代数学泰斗用割圆术计算圆周率, "割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣".求得圆周率的近似值为3.14, 这种极限思想和无穷可分甚至是古希腊数学不能比拟的.1088 年: 沈括著《梦溪笔谈》中国科学史上的重要文献北宋的沈括所著百科全书式的著作, 因为写于润州（今镇江）梦溪园而得名，收录了沈括一生的所见所闻和见解. 内容涉及天文、数学、物理、化学、生物、地质、地理、气象、医学、工程技术、文学、史事、美术及音乐等学科. 书中开创了“垛积术”(高阶等差级数求和), “会圆术”(求出弧长的方法). "棋局都数"的研究则暗用了组合方法和指数定律.1629 年: 费马“我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来.”皮埃尔·德·费马法国律师和业余数学家(不过在数学上的成就不比职业数学家差). 费马引理给出了一个求出. 可微函数的最大值和最小值的方法。
因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题.费马及费马最后定理1637 年: 笛卡尔"我思故我在. "勒内·笛卡尔, 法国著名哲学家、数学家、物理学家. 对数学最重要的贡献是创立了解析几何. 笛卡尔成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起, 他向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质, 为后人在微积分上的工作提供了坚实的基础.约 1150 : 婆什迦罗印度数学的最高成就婆什迦罗, 印度古代和中世纪最伟大的数学家, 天文学家. 对数学主要贡献: 比牛顿和莱布尼茨早五个世纪就构想了微积分; 采用缩写文字和符号来表示未知数和运算; 他广泛使用了无理数, 并在运算时和有理数不加区别.婆什迦罗及他设计的永动机1665 年: 牛顿与《广义二项式定义》"如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩上. "艾萨克·牛顿, 英格兰物理学家, 数学家, 天文学家, 在老师巴罗的指导下, 1665年发表广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学, 牛顿称之为"流数术".1670 年: 伊萨克·巴罗《几何学讲义》"一个爱书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友，一个良好的老师，一个可爱的伴侣，一个优婉的安慰者."英国著名数学家, 1670 年发布的《几何学讲义》包含了他对无穷小分析的卓越贡献，特别是其中“通过计算求切线的方法”，十分接近微积分基本定理，微积分的最终制定后来由其学生艾萨克·牛顿完成.伊萨克·巴罗（1630年－1677年）1684 年: 莱布尼茨关于微分学的第一篇论文"世界上没有两片完全相同的树叶."戈特弗里德·威廉·莱布尼茨, 德意志哲学家、数学家, 获誉为十七世纪的亚里士多德.在数学上，他从几何角度和牛顿先后独立发明了微积分，1684年发表了第一篇微分学论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法, 它也适用于有理量与无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》 , 他所发明了微积分的数学符号 dx, dy 和∫ 被更广泛的使用.莱布尼茨 1646~17161691 年: 约翰.伯努利著世界上第一本关于微积分的教科书瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的数学世家雅各布和弟弟约翰·伯努利是莱布尼茨的朋友，他们不但迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大, 而且是最先应用微积分于各种问题的数学家.洛必达法则纠纷有一段时间，伯努利被洛必达聘请为私人数学老师。
微积分学发展简史
附录I 微积分学简史概念：微积分学分为微分学和积分学，是专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问.发展简史：1、荫芽阶段：(1)古希腊，欧多克斯(前408~前355)提出了穷竭法：一个量如减去大于其一半的量，再从余下的量中减去大于余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余下的量小于已知的任何量.(2)阿里士多德(前384~332)严格区分实无限和潜无限，且只承认潜无限.(3)庄子(前355~前275)《天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
(4)阿基米德(前287~212)在《抛物求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积。
即，逐次作出与该弓形同底等高的三角形(如图)，然后将这些三角形面积加起来. 第n 步时，这些三角形面积之和为： A(1+41+241+…+1-n 41)，A 为第一个三角形的面积. 又指出：A(1+41+241+…+1-n 41+1-n 4131 )=34A. 最后用穷竭法和反证法证明，抛物线弓形面积不能大于或小于34A. 标志着积分学的萌芽.(5)263年，刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”用正多边形逼近圆周。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合作而无所失矣”。
(6)1328年英国大主教布兰德瓦丁在牛津发表的著作中提到类似于均匀变化率和非均匀变化率的概念.2、酝酿阶段：(1)1615年开普勒在出版《新空间几何》中发展了阿基米德求面积和体积的方法，给出了92个阿基米德未讨论过的体积问题，并研究了酒桶的最佳比例。
在天文学研究中得到公式：⎰θinθs dθ=1-cosθ.(2)1635年卡伐列利出版了《不可分量几何学》，将面积的不可分量比作织成一块布的线，体积的不可分量比作一册书的各页，而不可分量的个数为无穷多，且没有厚薄和宽窄，已到达了积分学的边缘，且发现公式：⎰anx dx=1na1n++，n为正整数.(3)法国数学家帕斯卡(1623~1662)借助了略去高次项(即略去高阶无穷小)的方未能证明体积公式，并且注意到很小的弧和切线是可以相互代替的.(4)法国数学家费马(1601~1665)在求极大极小值上取得了非凡的成功，为微积分开辟了道路。
微积分的发展
微积分的发展微积分是数学中的一个分支，探讨函数的变化率和积分，是一门应用广泛且重要的学科。
自其诞生以来，微积分在数学、物理学和工程学等领域中扮演着重要的角色。
本文将回顾微积分的发展历程，对其重要概念和应用进行介绍。
1. 历史回顾微积分的起源可以追溯至古希腊时期，但其真正的发展始于17世纪。
数学家牛顿和莱布尼兹几乎同时独立地发展出微积分的基本原理和方法。
牛顿以几何和力学的角度解释微积分，而莱布尼兹则以代数和分析的方式探索微积分。
2. 重要概念微积分的核心概念包括导数和积分。
导数描述了函数在某一点上的变化率，表示为函数的斜率。
积分则描述了函数在某一区间上的累积变化，表示为曲线下面积。
这两个概念相辅相成，构成了微积分的基础。
3. 应用领域微积分在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，微积分用于描述物体的运动和力学规律。
在经济学中，微积分用于建立经济模型和分析市场行为。
在工程学中，微积分用于解决复杂的工程问题，如结构设计和电路分析。
此外，微积分还在生物学、计算机科学和统计学等领域中有重要的应用。
4. 发展趋势随着科学和工程技术的进步，微积分的应用范围和深度也在不断扩展。
新的数值方法和计算技术的出现，使得微积分的计算更加高效和精确。
同时，数学家们也在不断研究微积分的理论基础，推动微积分的发展和应用。
总结：微积分的发展有着悠久的历史，起源于古希腊并在17世纪得到了牛顿和莱布尼兹等数学家的初步发展。
微积分的重要概念包括导数和积分，它们对于描述函数的变化率和积累变化起着关键作用。
微积分在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用，随着技术和数学理论的进步，微积分的应用也在不断扩展。
微积分的发展仍在持续，将继续为科学研究和工程技术提供强大的支持。
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微积分发展简史微积分是17世纪发现的最具威力的数学工具，是人类思维最珍贵的成果. 正如美国当代数学家柯朗所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗结晶，这种奋斗已经历了两千五百年之久，它深深地扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已.” 恩格斯也对微积分的发现予以高度评价，认为这是“人类精神的最高胜利.”一、微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代. 在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏有朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子. 在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子 天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，是我国较早出现的极限思想. 但把极限思想运用于实践解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽. 他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元. 刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次边数加倍，则正多边形面积愈来愈接近圆面积. 正如他说的：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣.”按照这种思想，计算到圆内接正192边形面积，则得圆周率的近似值为3.14. 大约两个世纪后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于“与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一. 其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，在西方称为“卡瓦利原理”，应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题.欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题. 较为重要的当数安提芬的“穷竭法”. 他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积. 但他的方法却没有被数学家接受. 后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯那里得到补充和完善. 之后，阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题. 他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法. 他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较. 但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的. 平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形.与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了. 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题. 阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分）来处理，从而回避了连续变化率.二、微积分的起源与孕育微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后. 1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒. 一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提供了大量的素材. 这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段.微积分的创立，首先是为了处理17世纪的一系列主要的科学问题. 有四种主要类型的科学问题：（1）已知物体移动的距离和时间的函数式，求物体在任意时刻的速度和加速度，使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；（2）望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；（3）确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极值问题也亟待解决；（4）问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究.在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.下面我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作.德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法. 他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积之和.意大利数学家卡瓦利里在他的著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法. 他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量. 他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦利里原理，即我国的祖氏原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积. 利用这个原理解决了开普勒的旋转体的体积问题.英国的数学家巴罗在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用微分三角形求出了曲线的斜率. 他的方法实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限. 他是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员. 当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任，巴罗让贤已成为科学史上的佳话.笛卡尔和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋. 笛卡尔在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法. 代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡尔的圆法为起点而踏上微积分的研究道路.沃利斯是在牛顿和莱布尼兹之前，将分析方法引入微积分贡献突出的数学家. 他在著作《无穷算术》中，利用算术不可分量法获得了一系列重要结果. 其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等.17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生. 前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性. 虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视. 因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务.三、微积分的创立1．牛顿的“流数术”牛顿1642年生于英格兰乌尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书. 17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校. 史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的务农中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说这是科学史上最幸运的预言. 1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗. 对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路.1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡. 在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的.牛顿于1664年开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性的进展. 1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文——《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献. 在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）：从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”：将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”. 该定理也称为牛顿——莱布尼兹定理，牛顿和莱布尼兹各自独立地发现了这一定理. 它是微积分中最重要的定理，建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算.这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来. 正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分.《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方．1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》. 在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》，《流数法与无穷级数》，《曲线求积术》，它们反映了牛顿微积分学说的发展过程. 在《运用无穷多项方程的分析学》中牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“瞬”，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩. 在论文《流数法与无穷级数》中，牛顿又恢复了运动学观点. 他把变量叫做“流”，变量的变化率叫做“流数”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的，他更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系方程，求流之间的关系”. 在《流数法与无穷级数》和《运用无穷多项方程的分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法与无穷级数》以动力学连续变化的观点代替了《运用无穷多项方程的分析学》的静力学不可分量法.牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了“首末比方法”. 牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略…在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”. 在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比. 可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导.牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度. 1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作. 而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表.2.莱布尼兹的微积分工作莱布尼兹出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育. 1672年至1676年，莱布尼兹作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作. 这四年成为他科学生涯最宝贵的时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础. 继而，这位博学多才的时代巨人，由于官场的失意、与牛顿关于微积分优先权争论的困扰以及多种病痛的折磨，晚年生活颇为凄凉，据说莱布尼兹的葬礼只有他忠实的秘书参加.在巴黎期间，莱布尼兹结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯，在惠更斯的影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡尔和帕斯卡等人的著作. 与牛顿的切入点不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究. 特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过. 1684年，莱布尼兹整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》，它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用. 1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号，并给出了摆线方程.牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能. 就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的. 然而一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论. 瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼兹的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼兹又被英国数学家指责为剽窃者. 这样就造成了支持莱布尼兹的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方. 这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换.在牛顿和莱布尼兹二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹；就发表时间而言，莱布尼兹先于牛顿. 虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的发展，但这场发明优先权的争论却极大地影响了英国数学的发展，由于英国数学家固守牛顿的传统近一个世纪，从而使自己逐渐远离分析的主流，落在欧陆数学家的后面.3. 18世纪微积分的发展在牛顿和莱布尼兹之后，从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在他的论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们高等数学教材中的“罗尔中值定理”. 微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容. 其中约翰给出了求不等式0型极限的一个定理，现称为洛必达法则，这个定理由约翰的学生洛必达编入其微积分著作《无穷小分析》.18世纪，微积分得到进一步的深入发展，1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理——泰勒定理（以他名字命名的）. 雅各布、法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在考虑无理函数的积分时，发现一些积分既不能用初等函数，也不能用初等超越函数表示出来，这就是我们现在所说的“椭圆积分”，他们还就特殊类型的椭圆积分积累了大量的结果.18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论.这方面的贡献主要归功于尼古拉 伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家.另外，函数概念在18世纪进一步深化，微积分被看作是建立在微积分基础上的函数理论，将函数放在中心地位，是18世纪微积分发展的一个历史性转折. 在这方面，贡献最突出的当数欧拉，他明确区分了代数函数与超越函数、显函数与隐函数、但值函数与多值函数等，并在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”.而18世纪微积分最重大的进步也是由欧拉作出的，他的《无限小分析引论》、《微分学原理》与《积分学原理》都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被都当作标准教材而广泛使用.综上，微积分并非是没有其前身而突然产生的，它的发明是通过许多学者长期的辛勤探索发展起来的一连串数学思想的结晶. 它的出现给数学领域开辟了一个新纪元，很少有其他发明能如此硕果累累.。