工程力学第二章 汇交力系

Fx Fcos
Fy Fcos
α、β分别为力F与Ox、Oy轴的夹角。 (3)分力 Fx , Fy 应按平行四边形法则计算
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结论与讨论
y
y
b
Fy
Fy
b
Fx
O
a
x
Fy
O
Fx
a F x
x
可见，力在轴上的投影和力沿轴的分量的大小不一定相等
包括:
平面汇交力系
空间汇交力系
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§2-1 汇交力系的合成
一、力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体
内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
B
A
F
A
=
F
力的大小 向
作用在刚体上力的三要素： 方
作 用 线
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FA
y
A

B
FB
Fx 0, P FA cos 0 Fy 0, FB FA sin 0
2a
D
求：A、B处约束反力。
a
A
解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）按比例作图求解 由图中的几何关系得
FA
B
FB
FA

FB
FB P tan 0.5P
5 FA P F P 2
2 2 B
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滑 移 矢 量
§2-1 汇交力系的合成
二、合成过程
Fn F3
Pn A P1 P3
平行四边形法则
A
FR
F2 P2
F1
力多边形法则
汇交力系的合成结果： 作用于原力系汇交点的一个合力。 合力矢：
F1
FR
F2
Fn
F3
F1 F2 F3 Fn FR FR
或：
FR Fi
F2
y F1
合力与轴x，y夹角的方向余弦为： FRx cos 0.754 FR
60
O
45
30
FR 所以，合力与轴x，y的夹角分别为： 40.99 49.01
cos
FRy
0.656
45
x
F3
F4
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位置图
力矢图
F2 F1 F3 O F4
F2 F1
F3
力多边形法则
F4
封闭边 O FR FR F1 F2 F3 F4 F
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2. ( a)
F2
F1
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F3
合力投影定理
F1 F4
F2
F3
R
C F3 D F2 F4 B E F1 R A b a c
d
ae ac cd de bc ba cd de = ab + bc + cd + de
合力在任一坐标轴上的投影等于力系中各 力在同一轴上投影的代数和。
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e
例：
已知：F1=12k， F2=4j， F3=3i ( 力的单位为N）。各力作用点的 坐标为： O（0，0，0），A（0，a，0）， B（b1，b2，0)（ b2=0）。 求：该力系的主矢量大小与方 向。
2
k j i
z
则该力的大小和方向分别为：
Fz
2 z
γ
大小： F
方向：
F F F
2 x 2 y
F
β α
Fx
x
O
Fy
y
, , 为F关于x、y、z轴的夹角。 其中，
力的解析表示：
力F沿坐标轴方向的分力 因此，力F的解析表达式为：F F1 F2 F3 Fx i Fy j Fz k
Fx Fx i , Fy Fy j，Fz Fz k
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
而当坐标轴不相互垂直时，轴向分 力与力的投影在数值上不相等。
F
o
x
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结论与讨论

力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系 (1)力的投影是代数量，力的分量是矢量 (2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：
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§2-1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法（投影法）：
力在坐标轴上的投影
b2
Fy
y
B
平面力矢的投影
力在坐标轴上的投影
Fy
A
F

a2
Fx F cos
投影的正负号由 确定。
Fx
x
Fy F sin
FRy F1 cos 60 F2 cos 30 F3 cos 45 F4 cos 45 112.3 N
60
F1
O
45
30
45
x
F3
F4
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合力的大小：
2 2 FR FR F x Ry 171.3 N
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Fy Fx Fz cos , cos , cos F F F
§2-1 汇交力系的合成
力的投影与分力的关系 区别 联系
力的投影是代数量，只有大小和正负。 分力是矢量，有大小和方向。
在直角坐标系中，力F 沿轴向的分力Fx , FY , FZ 大小和力的投影的绝对值相等。 y
FR 0
几何条件： 力多边形自行封闭（各力矢首尾相接） F4
Fn
Fn F2 P2
F3
Pn A P1 P3
F1
F4
F1 F3 F1
FR
F2
Fn
F3
F2
力多边形自行封闭(平衡)
合成的力多边形
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例 题
已知：P，a
P
C
P
§2-2 汇交力系的平衡条件
解析条件：
合力的大小：
FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
=0
空间汇交力系的平衡方程：
汇交力系平衡的解析条件：
Fx 0 Fy 0 F 0 z
力系中各力在直角坐标系每一轴上的投影代数和都等于零。
特别地：
合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有意义。
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思考题：:
力系的汇交点 1.平面汇交力系可合成为___ 1 个合力,其作用线通过______________, 封闭边 表示. 其大小和方向可用力多边形的____________
§2-1 汇交力系的合成 例
已知：F、α、β，
试求：Fx、Fy、Fz。
解：
Fx — F sin cos
Fy F cos
Fz F sin sin
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§2-2 汇交力系的平衡条件
平衡条件：
——刚体在某力系作用下维持平衡状态，该力系各力应满足的条件 对于汇交力系，平衡的充要条件为：
作用点：原力系的汇交点。
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注意： １.要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。 ２.作力多边形时，可以任意变换力的次序， 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 果不改变。
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ２ Ｆ４ Ｆ１ ＦＲ Ｆ３ Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
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§2-1 汇交力系的合成
汇交力系合成的解析法
FR F1 F2 Fn Fi
两边向坐标轴投影得： 合力在坐标轴上投影
Fn
F1 F2
An A3 A1 A2
FRx Fx1 Fx 2 Fxn Fx FRy Fy1 Fy 2 Fyn Fy F F F F F z z1 z2 zn Rz
引
言
力系——作用在物体上力的总称（力的集合） 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系 任意力系
根据力的作用线是否汇交可分为：
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§2-1 汇交力系的合成
汇交力系：各力的作用线汇交于一点的力系
F
O
γ
百度文库
α
y x
O
γ

Fxy
y
x
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
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如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为 Fx，FY，FZ
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F1 F2 F3 F4 0
受力分析小结：
（1）必须明确研究对象，正确取分离体。 （2）正确分析约束反力的方位（或方向）。 ① 须按约束的类型（或性质）确定反力的方位，切忌凭 直观任意猜想。 ② 两物体间的相互作用力须按作用与反作用定律分析。 ③ 光滑铰链约束反力的三种情况（按铰链约束的性质、二 力构件、三力平衡汇交定理分析）。 （3）必须画出研究对象上全部受力，包括：主动力和约束反力。 每解除一个必须有相应的约束反力代替。 （4）必须明确每个力的施加者。 （5）内力在受力图上不画。 （6）正确标注各力的符号：FA 、 FAx 、 FAy
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３.力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力 的起点指向最后一个力的终点。 ４.区分力系的主矢和合力是两个不同的概念。

力系中各力矢的矢量和称为力系的主矢。主矢是一个几何量，有大小和 方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。
x
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例：求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2 y 解： 根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3 N
O
a1
Fx
b1
力的投影是代数量（只有大小、正负号的量）
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空间力矢的投影
①直接投影法 已知力F 与三个坐标轴的夹 角分别为 , 和
z
F β
②二次投影法 已知γ、 ， 为F在xy平面 内的投影与x轴的夹角
z
解： 主矢量的模： ( Fxi ) ( Fyi ) ( Fzi ) 13N FR
2 2
主矢量的方向：
F cos(F , i )
R
Fz 12 Fy 4 3 , k) cos(FR , j) cos(FR FR 13 FR 13 FR 13
F3
F4
( b)
F2
F1
F3
F4
( c)
F2
F1
F3
F4
( a)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________;
F2 F3 F4 F1 ( b)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________; F2 F3 F1 F4 ( c)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________;
平面汇交力系：
平衡方程：
F 0 F 0 F 0
z
x
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y
例 题
已知：P，a
2a
P a
C D
求：A、B处约束反力。 解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）建立坐标系，列方程求解