2简谐振动的合成
谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
大物习题集答案解析第4章机械振动
第4章 机械振动4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν==6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+==8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
大物习题答案第4章机械振动
第4章 机械振动4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν== 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+== 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
第2节_简谐振动的合成
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
简谐振动的合成实验
简谐振动的合成实验一、实验目的1.掌握谐振动的表达与合振动的分析2.掌握信号的相位、幅度、频率等参数的物理含义3.掌握用示波器观察波形以及测量电压、周期和频率的方法。
4.掌握使用信号发生器。
5.利用李萨茹图分析待测信号的相位频率等信息二、实验仪器Waveace1012型数字示波器1台、DG4062型数字信号发生器一台、传输线2条等。
三、示波器的使用（三四节的内容在实验报告中仅需概述即可）示波器就是显示波形的机器，它还被誉为“电子工程师的眼睛”。
它的核心功能就是为了把被测信号的实际波形显示在屏幕上，以供工程师查找定位问题或评估系统性能等等。
它的发展同样经历了模拟和数字两个时代，如图1和图2所示。
图1 模拟示波器图2 数字示波器模拟示波器采用的是模拟电路（示波管，其基础是电子枪）电子枪向屏幕发射电子,发射的电子经聚焦形成电子束,并打到屏幕上。
屏幕的内表面涂有荧光物质,这样电子束打中的点就会发出光来。
而数字示波器则是数据采集，A/D转换，软件编程等一系列的技术制造出来的高性能示波器。
数字示波器一般支持多级菜单，能提供给用户多种选择，多种分析功能。
还有一些示波器可以提供存储，实现对波形的保存和处理。
模拟示波器显示的波形是连续的，是信号真实的波形，而且反应速度特快。
而数字示波器显示的波形是经过数字电路采样得来的点组成的，是个不连续的波形，采样率越高的示波器，越与真实波形接近，但显示速度没有模拟机快。
反应速度快是模拟示波器最大的优点之一，是数字机很难取代的，比如，在测试某一信号时，模拟示波器能在瞬间显示波形，几乎没有延时，而数字机还需要将测试的信号进过数字电路处理后，再显示出模拟的波形，在显示时间上落后模拟示波器。
在此，我们仅介绍数字示波器的使用情况。
示波器可以将输入的波形在屏幕上显示出来，waveace1012型示波器具有两个输入通道，可以同时测量并显示2路信号的变化波形。
示波器的屏幕可以设置成横坐标为时间t，纵坐标为输入信号的电压量的大小，称为“Y-T”时基，如图所示。
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
4
2.简 谐 振 动 的 微 分 方 程 (动力学方程) 动力学方程)
k F
m
o x
x
dx 2 +ω x = 0 2 dt
2
a = −ω x
2
作者 杨 鑫
k ω = m
2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
5
3.简谐振动的运动方程(振动方程) 3.简谐振动的运动方程 振动方程)
ω
2 0 2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
8
1 ω ν= = T= ω = 2πν T 2π ω 1 1 k 弹簧 2π m k ω = T = = 2π ν = T= 2π m 振子 k m ω
2.周期 2.周期 (T )
2π
频率 ( ) ν
圆频率 (ω)
单 摆
作者 杨
鑫
g l 1 1 g 2π ω = T = = 2π ν = = g T 2π l l ω
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
9
求一个振动系统固有ω,T,ν的方法 求一个振动系统固有 的方法 2 ( 1 ) 建立振动系 d x + Bx = 0 统的微分方程 2
dt
x前的系数的开方就是振
( 2 ) 利用公式
ω = 2πν = 2π T 2 (3)利用速度 vm = ωA am = ω A 和加速度幅值
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
1
作者
杨
鑫
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
2
一、简谐振动 的特征方程 1.回复力 1.回复力
高二物理竞赛两个同方向同频率简谐运动的合成PPT(课件)
x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法
4 -5 振动合成
A2 4
AOx
A A12 A22 5 2 cm
A1
5
4
x 5 2 cos (20 t 5 ) cm
4
11
物理学
第五版
4 -5 振动合成
两个简谐运动方向相同，频率相同，振
3
x A co t s ( ) n n 当木块位于平衡位置下方时，x>0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
n
A 例2 已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。
1、图示，木块上放置一质量为 m 的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在
2
x x x x 1 2 （b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
两振动步调反0 向,
1
12
2
（2）若另有一简谐运动
xAco t s() 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
例3、两个同方向、同频率简谐运动方程分别为
当 一
N两≥个0同时方，向砝同码2 频不率脱简离谐木运块动2 的合成
2
合位移 xx1x2
（SI）求：合成谐振动方程
（b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
0.4 （4）推广到 多个同方向同频率简谐运动的合成
（2）若另有一简谐运动
则合振幅为
则合振幅为
6
A2
x
0.12 x 0 .5 co 3 t s0 .1 ( 2 )
3
14
物理学
x 第五版 1
0.4cos3t()
3
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
物理-同一直线上简谐振动的合成 频谱分析
三、同一直线上两个异频谐振动的合成
合振动 x 2Acos(2 1 t ) cos(2 1 t)
2
2
若 2 1 1 2
2
2
随时间缓变
随时间快变
合振动可视作
频率 振幅
1 2 2
2A cos 2 1 t
2
的准周期运动！
两个频率相差不大的同方向简谐运动叠加后， 出现合振动振幅时而加强时而减弱的现象称为“拍”。
一、同一直线上同频谐振动的合成
设一个质点同时参与两个沿同一直线的简谐振动，
这两个简谐振动的频率均为ω ，振幅分别为
初相位分别为
它们的振动表达式分别为：
分振动
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 x x1 x2
A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
t
2
)
(m)
x2 2cos(10 t ) (m)
求：（1）合振动的表达式；
（2）若另有 x3 3cos(10 t ) (m)
则 分别为何值时，三个简谐振动叠加后，合振动
的振幅分别为最大与最小？
三、同一直线上两个异频谐振动的合成
合振动的“振幅”： 2A cos 2 1 t
2 单位时间内合振动振幅加强或减弱的次数——拍频
cos 2 1 t
2
的周期为π ，故振幅变化周期τ 满足：
2 1
2
2 2 1
拍频
三、同一直线上两个异频谐振动的合成
同一直线上两个频率接近的简谐振动的合成
OCP 2CPO (CPO CPP)
二、同一直线上N个同频谐振动的合成
(2) 确定合振动初相位
COP COM
8.5 简谐运动的合成
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
2
t +)
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
ν = (ν 1 + ν 2 ) 2
A = 2 A1 cos 2π
ν 2 ν 1
2
t
Amax = 2A1
Amin = 0
振幅是随时间变化的， 振幅是随时间变化的，由于振幅的改变也是周期 性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。 性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。
y A2
A2 y= x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 = π
3） 2 1 = ± π 2
2 2
A2 y= x A1
o
y
A2
x y + 2 =1 2 A1 A2
π y = A2 cos(ωt + ) 2
合成振动为： 合成振动为： x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ) + A2 cos(ω 2 t + ) 利用三角函数公式可得
x = 2 A cos(
ω2 ω1
2
t ) cos(
ω2 + ω1
2
t +)
= 2 A cos( 2 π
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随 频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随 相近的两个同方向简谐振动的合振动是 时间周期性变化的特殊简谐振动 称为拍振动 的特殊简谐振动， 拍振动。 时间周期性变化的特殊简谐振动，称为拍振动。 单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。 单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。 拍频 由
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成 质点同时参与两个同方向同频率的谐振动:
x1(t) A1 cos(t 1)
A
x2 (t) A2 cos(t 2 )
A2
x x1 x2 Acos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2
tg A1 sin1 A2 sin2
1 2
r A
X
合振动初相位
1 2
两分振动相互加强
A1 X A2
o
x=x1+x2
t
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动反相位：
2 1 (2k 1) k 0,1, 2, r
合振幅最小
r A1
A A1 A2 合振动初相位
r 2 A
A2 o
1
X
若A1>A2 1 若A1<A2 2
A1 cos1 A2rcos2
O
1
x2
A1
x1
x
x
结论 ①合矢量 A即为合振动所对应的旋转矢量。
②合振动仍为简谐振动，振动角频率仍为ω。
分析 A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
合振幅最大
A A1 A2
o
r
A2
r
A1
4
求合振动的振动方程。
解：
2
T
20
x(cm) 5
x1 x2
A1 A2 5cm
0.1
o 0.05
且 t 时0
-5
r
A2
x10 0, v10 f 0; x20 5cm
4.2振动的合成
(1 、振幅2)为2
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动
出现时强时弱的拍现象。
拍频:振幅随时间缓慢变化的频率或单位时间内强弱 变化的次数。
221
2
21
拍22 1 21
3、相互垂直的简谐振动的合成
两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
x A 1 co t s 1)( 0 y A 2 co t s 2) ( 0
y A2 x A1
(3) A x 21 2 2 0 1A y 02 2 2 /22 ，A x 得1A y 2 Axc 122 o Ay2 222 0 s 11) ( 0 s2 i(2 n 01)0
这是坐标轴为主轴的椭圆，质点 的轨迹是顺时针旋转。
(4) 20103/2，仍然得
根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示：
O
a1
M
a5
A a4
a2
a
3
X
M
C
a5
O
A
a2
a
3
a4
a1
X
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 ，上图中
各个矢量的起点和终点都在以C为圆心的圆周上，
C
M
a5
O
A
a2
a
3
a4
OCM N
a1
X
在三角形DOCM中,OM 的长度就是和振动位移矢量
微 扬 读 ， 云 淡 风轻
立 世 ， 有 苦有 甜 泪 水 清 刷 过的 心空 一 定
碧 蓝 相 信 所 有 救赎 终 归 菩 提
三
心无芥蒂 始显事物
本 真 山 巍 峨 ， 水轻柔 花 儿 开 得 像云彩 般 灿 美
一同频率同一直线上的简谐振动的合成
一.同频率、同一直线上的简谐振动的合成 分振动：x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 )
合振动： x= x1+x2 = Acos( t+ )
A A1 A2 2 A1 A2cos( 2 1 )
2
2
A1sin1 A2sin 2 tg A1cos1 A2cos 2
x y 2 1 2 A1 A2
y
2
2
合振动不再是谐振动。
y
x
x 左旋
右旋
2 -1=/2
2 -1=-/2
21
两个频率相同、 振幅不同的互
相垂直简谐
Δ=0 Δ=/4 Δ=/2 Δ=3/4
振动的合成
Δ=
Δ=5/4
Δ=3/2
Δ=7/4
22
四.不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形 x =A1cos(1 t+1 ) y =A2cos(2 t+2 )
2， = 0 （临介阻尼）
x e t C1 C 2 t
3， < 0 （欠阻尼）
xe
e
t
t
C cos
1
C e
1
i 0 2 2 t
C2 e
2
i 0 2 2 t
2 2
0 t C2 sin 0 t
2
2 2
( 2 1 )
2
o
x
10
例题4.17 求同方向、同频率、同振幅、依次间相 位差均为的N个谐振动的合振动方程。 光的衍射 解
选择适当的计时起点，使某个简谐振动的初 相为零，则有
合振幅公式推导
合振幅公式推导合振幅公式是描述两个简谐振动合成后振幅大小的公式。
在推导合振幅公式时，需要使用复数和欧拉公式等数学知识。
首先，假设有两个简谐振动，其振幅分别为A1和A2，角频率分别为ω1和ω2，相位角分别为φ1和φ2。
则两个振动的位移函数可以表示为：y1 = A1sin(ω1t + φ1)y2 = A2sin(ω2t + φ2)将上式转化为复数形式，则有：y1 = A1e^(i(ω1t+φ1))y2 = A2e^(i(ω2t+φ2))其中，i为虚数单位。
由欧拉公式可得：e^(ix) = cos(x) + i sin(x)将上式带入前面两个式子中，得到：y1 = A1(cos(ω1t+φ1) + i sin(ω1t+φ1))y2 = A2(cos(ω2t+φ2) + i sin(ω2t+φ2))将上式相加，得到合振动的位移函数：y = y1 + y2= A1(cos(ω1t+φ1) + i sin(ω1t+φ1)) + A2(cos(ω2t+φ2) + i sin(ω2t+φ2))= (A1cos(ω1t+φ1) + A2cos(ω2t+φ2)) + i(A1sin(ω1t+φ1) + A2sin(ω2t+φ2))根据三角函数的和差公式，可以将上式化简为：y = Acos(ωt + φ)其中，A为合振动的振幅，ω为角频率，φ为相位角，具体表达式为：A = sqrt(A1^2 + A2^2 + 2A1A2cos(φ1-φ2))ω = (ω1 + ω2) / 2φ = arctan((A1sinφ1 + A2sinφ2) / (A1cosφ1 + A2cosφ2))因此，上述公式即为合振幅公式的推导过程及结果。
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简谐振动的合成
1. 两个不同的轻质弹簧分别挂上质量相同的物体1和
2, 若它们的振幅之比A 2 /A 1=2, 周期之比T 2 / T 1=2, 则它们的总振动能量之比E 2 / E 1 是( A )
(A) 1 (B) 1/4 (C) 4/1 (D) 2/1
解:振动能量22
2
22221T
A m A m E E E p
k πω==+= 即 2
12
1
212T A m E π= 2222222T A m E π=
121222222112222
121222
2
222212
12
2
1=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅==∴T T A A T T A A T A m T A m E E ππ 2.有两个同方向的谐振动分别为X 1=4COS(3t+π/4)cm ，
X 2 =3COS(3t －3π/4)cm, 则合振动的振幅为A=1cm, 初周相为φ=π/4.
∵φ2－φ1=－π ∴A=|A 1-A 2|=|4-3|=1cm φ=φ1=π/4
3. 一质点同时参与两个两个同方向, 同频率的谐振动,
已知其中一个分振动的方程为X 1=4COS3t cm, 其合振动的方程为 X=4COS (3t+π/3)cm, 则另一个分振动的振幅为A 2 =4cm , 初位相φ=2π/3.
3 , 0 ,411π
ϕϕ=
===cm A A
解:根据题意作旋转矢量图
21A A A 及平行四边形中和
4. 一质点同时参与了三个简谐振动, 它们的振动方程分别为X 1=A COS(ω
t+π/3), X 2 =A COS (ωt+5π/3), X 3 =A COS(ωt+π), 其合成运动的运动方程为X=0.
解: 作旋转矢量图 已知A 1=A 2=A 3=A,
A 3 且 A A A A =+='21
A 合=0 ∴ x = 0
5. 频率为v 1和v 2的两个音叉同时振动时，可以听到拍
音，若v 1＞v 2，则拍的频率是( B )
(A)v 1+v 2 (B)v 1－v 2 (C)(v 1+v 2)/2 (D)(v 1－v 2)/2
O
1
A :
形的对边组成一个正三角
m
A A A 4c 12===∴ππ
π
π
ϕϕ3
2
3
3
32=
+
=
+
=20
)(321=++=∴A A A A
合。