双曲线的定义及其应用
双曲线的数学基础及应用
双曲线的数学基础及应用双曲线是一种非常有趣的数学曲线，在众多数学领域有着广泛的应用。
这条曲线具有独特的性质，通过对它的深入研究，我们可以发现它在自然科学和工程技术领域的应用价值。
一、什么是双曲线双曲线是一条二次曲线，通常用方程y = a/x或x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1来描述。
其中，a和b分别是曲线的半轴长度，这两个参数决定了曲线的形状。
如果a>b，对应的曲线比y=x^2更扁平；如果a<b，对应的曲线则比y=x^2更细长。
双曲线是一条开口向左右两侧的曲线，两个开口的大小和形状相同。
这种独特的形状使双曲线在几何学、物理学、统计学和经济学等方面有着广泛的应用。
二、双曲线的几何性质双曲线的几何性质是研究双曲线应用的基础。
双曲线的一个重要性质是它是非对称的。
这意味着双曲线的左右两边是不同的，因此它适用于描述各种非对称的现象。
另一个重要的性质是双曲线的对称轴。
双曲线有两条对称轴，它们分别垂直于x轴和y轴。
对称轴被曲线分为两段，每一段对称于另一段。
这种对称结构使得双曲线在数学领域中有重要的应用。
三、双曲线在物理学中的应用双曲线在物理学中有广泛的应用。
其中最突出的应用是描述光学现象中的光偏振。
当光线通过玻璃等材料时，会发生偏振现象，即光线在特定方向上振动，称为偏振方向。
这种现象可以用双曲线来描述。
双曲线还被用来表示热力学变量之间的关系。
例如，温度和热能之间的关系可以用双曲线来描述，这使得双曲线成为热力学中的一种工具。
四、双曲线在工程技术中的应用双曲线在工程技术中也有广泛的应用。
在建筑学中，双曲线被用来设计建筑物的天空线，以使建筑物看上去更加动态和富有层次感。
在航空工程中，双曲线被用来表示飞机的滑行和起降轨迹。
这种曲线的形状使得飞行员可以更容易地控制飞机的速度和方向。
五、双曲线在数学领域中的应用双曲线在数学领域中也有广泛的应用。
其中最重要的应用之一是它在微积分方面的应用。
双曲线的导数和微分方程都可以用来描述复杂的数学问题。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结双曲线，作为数学中的一种重要曲线形式，在高中数学学习中扮演了重要角色。
它们不仅在数学里具有丰富的性质和应用，而且在物理学、工程学以及经济学等领域也有广泛的应用。
本文将对双曲线的定义、特性以及一些常见的应用进行总结。
一、双曲线的定义及基本特性双曲线是通过平面上的点P到两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的几何位置构成的曲线。
其中，F1和F2被称为焦点，2a被称为双曲线的焦距。
与椭圆相比，双曲线的形状更加开放，两个分支分别向无穷远延伸。
双曲线还具有以下特性：1. 双曲线的离心率大于1。
离心率是一个用来衡量曲线形状的参数，对于双曲线而言，离心率大于1可以区分它与椭圆的不同。
2. 双曲线的对称轴是过两个焦点F1和F2的直线，对称轴上的点到两个焦点的距离之差等于2a。
3. 双曲线的渐近线是通过焦点F1和F2的直线。
二、双曲线的标准方程及参数方程双曲线的标准方程可以表示为： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 或 y^2/b^2 -x^2/a^2 = 1。
其中，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
双曲线的参数方程可以表示为： x = a·cosh(t)，y = b·sinh(t) 或 x = a·sinh(t)，y = b·cosh(t)。
其中，t取遍所有实数。
通过标准方程和参数方程，我们可以方便地描述并研究双曲线的性质和变化规律。
三、双曲线的应用1. 物理学中的应用双曲线在物理学中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，双曲线的场线可以用来描述电荷间的相互作用，以及电磁波的传播规律。
在热力学中，则可以用双曲线来表示一维热传导的过程。
2. 工程学中的应用在工程学中，双曲线也发挥着重要作用。
例如，在桥梁设计中，悬链线的形状可以用双曲线描述。
双曲线的对称性和渐近线性质使得它成为了设计优美而稳定的桥梁曲线。
3. 经济学中的应用双曲线在经济学中的应用较为复杂，但却具有重要意义。
高二 双曲线(定义、性质及其应用)
圆锥曲线——双曲线（定义、性质及其应用）重要知识点讲解1. 双曲线第一定义； 标准方程；2. 双曲线相关概念（顶点，焦点，实轴，虚轴，离心率，通径，渐近线）3.重要结论：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线；共渐近线的双曲线；共轭的双曲线；等轴双曲线. 知识点一：求（双曲线）轨迹方程1. 已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为2.点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，求P 点的轨迹方程；知识点二：双曲线相关概念应用 1. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦距为___________2. 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，求△PF 1F 2的面积。
3．若双曲线11622=-mx y 的离心率2=e ，则=m .4．双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为5. 已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 6．与椭圆2214x y +=共焦点且过点()2,1P 的双曲线方程是 7. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为 ；知识点三：重要结论的应用1. 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．2. 求过点)2,2(-且与双曲线1222=-y x 有公共渐近线的双曲线方程3. 求焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程。
知识点四：双曲线综合应用 1. 已知21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积2. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程.3.已知21,F F 是双曲线12222=-by a x 的左，右焦点,点()y x P ,是双曲线右支上的一个动点,且1PF 的最小值为8,双曲线的一条渐近线方程为x y 34=. 求双曲线的方程;4.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为). （Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2•>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围。
双曲线全部知识点
双曲线全部知识点双曲线是一个非常重要的数学概念，它在几何、物理、工程等多个领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍双曲线的全部知识点，包括定义、性质以及应用。
1. 定义双曲线是一种平面曲线，它是由一个固定点F和两条相互垂直的直线L1、L2所确定的点P的轨迹。
这个固定点F被称为焦点，两条相互垂直的直线L1、L2被称为渐近线。
双曲线还可以用以下方程来表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a>b>0）双曲线的图像是一条对称轴为y轴的曲线，它由两条分别关于y轴对称的臂所组成。
同时，该曲线也有两条渐近线，分别为y=b/x和y=-b/x。
2. 性质（1）双曲线的重要直线与点双曲线的中心轴是y轴，切线方程为y=±(b/a)x。
双曲线有两条渐近线，y=b/x和y=-b/x，它们与x轴交于±a，与y轴不交。
（2）离心率双曲线的离心率（eccentricity）定义为e=c/a，其中c是焦点离中心轴的距离，a为双曲线的半轴。
离心率描述了焦点和中心轴之间的距离和半轴之间的比率，离心率越大，双曲线的臂越长。
（3）曲率双曲线上任意一点的曲率为k(x,y)=|b^2/(x^2+y^2)^(3/2)|。
双曲线的曲率在x轴和y轴上都为零，在双曲线的两个焦点处为负无穷。
曲率半径r(x,y)=1/k(x,y)，与曲率呈反比例关系。
（4）面积和弧长双曲线的面积为πab，在中心轴两侧各为πab/2。
在使用极坐标表示时，双曲线的弧长公式为S=∫(a,cosθ/sinθ)dθ，其中a为距离中心轴最近的点到中心轴的距离。
3. 应用双曲线在数学、物理和工程中都有着广泛的应用。
下面列举一些典型的例子。
（1）光学在光学中，双曲线是各种反射和折射问题的重要工具。
例如，反射焦点定理和折射焦点定理都利用了双曲线的性质来描述光的行为。
（2）椭圆轨道问题在物理学中，双曲线用于描述天体的椭圆轨道问题。
在Kepler 定律中，椭圆轨道被视为由两个焦点F1和F2确定的双曲线的一半。
双曲线的定义及应用
一、双曲线的定义及应用1、动点P 到定点)0,1(1F 的距离比它到点)0,3(2F 的距离小2，则点的轨迹是2、已知两圆2)4(:221=++y x C ，2)4(:222=+-y x C ，动圆M 与两圆都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程。
3、若双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31，则=m 4、点P 是双曲线116922=-x y 上支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的上、下焦点，则21F PF ∆的内切圆圆心M 的坐标一定适合的方程是5、已知1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x 的左右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的范围是6、已知定点A 、B 且4=AB ，动点P 满足3=-PB PA ，则PA 的最小值是7、设双曲线14491622=-y x 的右焦点为2F ，M 是双曲线的任意一点，点A 的坐标为)2,9(，则253MF MA +的最小值是 二、求双曲线方程1、与双曲线2222=-y x 有公共渐近线，且过点)2,2(-M 的双曲线的方程是2、已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴，离心率为2，且过点)10,4(-，则此双曲线的方程是3、已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率为2，则此双曲线方程是三、双曲线的性质1、在给定的双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长是2，焦点到相应的准线的距离是21，则此双曲线的离心率是 2、若在双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是3、双曲线12222=-by a x 的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则此双曲线的离心率是四、焦点半径的应用1、已知点P 是双曲线191622=-y x 上的一点，且点P 到双曲线右准线的距离是P 到两个焦点的距离的等差中项，则点P 的横坐标是2、设1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，当21F PF ∆的面积是1时，PF PF ⋅1的值是五、中点问题1、过点)1,8(P 的直线与双曲线4422=-y x 相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程六、直线与双曲线的交点问题 1、已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是2、直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 过点)0,2(-P 和线段AB 的中点，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。
第5节 双曲线的定义及应用
【典例讲解】 【灵活应用】 一、求方程
例 1：求与椭圆
同焦点，且过点
的双曲线的标准方程。
解：∵焦点（±5，0）在 x 轴上， ∴设双曲线方程为
∵点
在双曲线上， ∴根据双曲线第一定义有：
∴a=4 又∵c=5 ∴b=3 ∴双曲线方程为
例 2：已知半圆
交ｘ轴于 AB，点 P 在半圆上，且
；求以 Ay、B
P
设
，
，∠F1PF2=
则有：
y
P
F1
O
F2
x
△F1PF2 的面积
如例 6 中：b2=9， =120°，故△F1PF2 的面积 五、求角度
例 8：点 F1、F2 分别是双曲线
的两个焦点，点 P 在双曲线上，
且满足
，求∠F1PF2 的大小。
F1
解：设
，
y
P
O
F2 x
根据双曲线第一定义有：
,即
又 mn=32 时 ∴ｍ２＋ｎ２=100
y
P
根据双曲线第一定义有：
○1
在△F1PF2 中根据余弦定理有： ｍ２＋ｎ２－２ｍｎcos120°=（２c）２= 52 ○2 由○1 得 ｍ２＋ｎ２－２ｍｎ=１６ ○3 由○2 得 ｍ２＋ｎ２＋ｍｎ=52 ○4
○4 -○3 得 ｍｎ=12
F1
O
F2 x
∴△F1PF2 的面积
[推广]：若双曲线方程为
（点 P 在双曲线上，且 F1、F2 是双曲线的两个焦点）
∴
∴双曲线的渐近线方程为 七、求坐标
例 10 在双曲线
左右焦点）。 解：
上求一点 P 使得 ，∴点 P 在双曲线的右支上
∵双曲线的准线方程为
高中抛物线知识点双曲线
高中抛物线知识点：双曲线双曲线是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形和函数的研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、性质和应用。
一、双曲线的定义双曲线是平面上一条特殊的曲线，它的定义是到两个固定点的距离差的绝对值等于一个常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的数学表示形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 (焦点在 x 轴上时) (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 (焦点在 y 轴上时)其中，(h, k)是双曲线的中心点，a和b分别是 x 轴和 y 轴的半轴长度。
二、双曲线的性质 1. 双曲线的形状：双曲线在中心点附近呈现出两条分离的曲线，形状类似于两个对称的开口。
这两个开口的形状由离心率决定，离心率越大，开口越窄。
2.对称性：双曲线关于中心点对称。
3.渐近线：双曲线有两条渐近线，分别接近于曲线的两个分支。
渐近线的方程为 y = k ± (b/a)(x-h)。
4.焦点和直纹的关系：对于双曲线上的任意一点P，其到两个焦点的距离差的绝对值等于双曲线的离心率。
三、双曲线的应用双曲线不仅仅是一种数学图形，它在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用。
1.物理学中的光学系统：双曲线可以用来描述光线在光学系统中的传播路径。
例如，抛物面镜和椭圆面镜都是双曲线的特殊情况。
2.工程学中的电子设备：双曲线可以用来描述天线的辐射模式和电磁波的传播。
在雷达和卫星通信等领域，双曲线经常被用来分析和设计天线系统。
3.经济学中的成本函数：在经济学中，双曲线可以用来描述成本函数和供应曲线。
这对于研究企业的生产和供应决策非常重要。
双曲线作为一种重要的几何图形和函数形式，在高中数学中占据着重要的地位。
通过了解双曲线的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一知识点，进一步拓宽数学的视野。
双曲线的相关知识点高三网
双曲线的相关知识点高三网双曲线的相关知识点双曲线（Hyperbola）是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及相关的应用。
一、双曲线的定义双曲线可以由一个平面上的动点P到两个固定点F1和F2的距离差的绝对值等于常数2a所确定。
我们把这个差的绝对值定义为双曲线的离心率e。
当e>1时，双曲线为实数轴上对称的开口向左右两侧延伸的曲线；当e=1时，双曲线为一个抛物线；当e<1时，双曲线为虚数轴上对称的开口向上下两侧延伸的曲线。
二、双曲线的性质1. 双曲线的焦点和直线l的关系：平面上直线l上的点P到焦点F1和F2的距离之差等于双曲线的离心率e与PF1之间的距离之积。
2. 双曲线的渐近线：当双曲线的离心率e不等于1时，双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的分支无限接近且是无穷远处的切线。
3. 双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是垂直于双曲线渐近线的直线，过双曲线的中心。
4. 双曲线的顶点：双曲线的两条分支最靠近对称轴的交点称为双曲线的顶点。
5. 双曲线的直径：双曲线的直径是两条分支之间的最长线段，它通过双曲线的顶点。
三、双曲线的应用1. 物理学中的应用：双曲线在天体运动的研究中具有重要地位，如天体轨道、椭圆轨道和双曲线轨道等。
2. 工程学中的应用：双曲线被广泛应用于天线的设计和微波线的计算中，尤其在无线通信和雷达领域。
3. 经济学中的应用：双曲线在经济学中也有应用，如边际效用递减规律的研究、消费者行为的分析等。
4. 数学分析中的应用：双曲线和其它几何图形的研究有助于提供解析几何的基础，为更高阶的数学研究奠定基础。
综上所述，双曲线是一个重要的数学概念，它具有独特的性质和广泛的应用。
通过了解双曲线的定义、性质以及其应用领域，我们可以更好地应用双曲线来解决实际问题，推动科学研究的发展。
双曲线的定义和性质
双曲线的定义和性质
双曲线（Hyperbolic Curve）是数学中一种特殊的曲线，它具有两条反曲线（Hyperbolic curve），沿着直线封闭，它被认为是一种极限曲线，可以收敛到两个不同
的焦点。
虽然双曲线也称为平行双曲线，但它们可以按照任意方向曲折，但不会超过可以
认为是一个自治空间内的某个最大距离。
双曲线常用来描述流动的几何形状，可以用来解
释力的重力学传播效应。
（1）双曲线的最重要的性质就是它收敛到两个焦点，且这两个焦点之间的距离可以
通过一个称为双曲线的焦距的值来衡量。
（2）另外，双曲线完全由两个反曲线（Hyperbolic curves）组成，沿着直线封闭，
且双曲线具有节点，这些节点与直线联系在一起，称为切点，切点与双曲线的凹角相关联。
（3）此外，双曲线还具有两个定点，它们位于曲线上，且称为双曲线的交点，即双
曲线截止点。
双曲线的曲率（Curvature）取决于双曲线的焦距，曲率越大，双曲线的弯
曲越明显。
（4）双曲线的面积是负的，这意味着它的形状并不完全似圆，而是更加具有弯曲性，因此它在空间中形状更复杂。
（5）双曲线具有相反性，也就是说，当它在一个方向运行时，它会在相反的方向运行。
（6）另外，双曲线的拉伸性也很高，可以曲折的的角度和弯曲程度要比普通圆弧更大，这也使它具有很多实用价值。
（7）双曲线可以用于许多不同的几何计算，如极限几何的计算，倒立曲线的计算以
及复杂的曲面的几何计算。
双曲线的定义与性质
双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。
一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。
假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。
二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。
设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。
三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。
3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。
这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。
双曲线的定点到焦点的距离等于a。
四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。
2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。
3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。
总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。
双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。
双曲线相关知识点总结
双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。
具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。
双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。
二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。
2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。
3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。
4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。
5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。
6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。
7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。
三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。
2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。
4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。
四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。
2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。
3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。
五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。
认识双曲线与其性质
认识双曲线与其性质双曲线是二次曲线的一种常见形式，它在数学和几何学中占据着重要的地位。
本文将介绍双曲线的基本定义，性质和一些常见的应用场景。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上一个动点到两个定点的距离差为常数的轨迹。
双曲线的定义可以通过以下方程表示：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1在数学中，双曲线具有以下基本性质：1. 定义域和值域：双曲线是定义在实数域上的。
它的定义域为所有使方程成立的x值，而值域为所有满足方程的y值。
2. 对称性：双曲线是x轴和y轴的对称图形。
这意味着如果(x, y)在双曲线上，那么(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在双曲线上。
3. 渐近线：双曲线拥有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
当x或y 趋于正无穷时，双曲线趋于渐近线，但永远不会触及它们。
4. 焦点和直径：双曲线有两个焦点，分别称为F1和F2。
它们与双曲线上的每个点的距离之差等于常数2a。
双曲线还有两个直径，分别称为长轴和短轴。
5. 双曲率：双曲线具有不同的双曲率。
在焦点处，双曲线的双曲率为负；在其它点，双曲线的双曲率为正。
二、双曲线的分类双曲线可以进一步分为以下三种类型：1. 椭圆型双曲线：当椭圆的长轴与短轴分别与x轴和y轴平行时，双曲线为椭圆型双曲线。
它的方程形式为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 12. 双叶双曲线：当双曲线的长轴与短轴分别与x轴和y轴垂直时，双曲线为双叶双曲线。
它的方程形式为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -13. 异形双曲线：当双曲线的长轴和短轴的方向不同时，双曲线为异形双曲线。
三、双曲线的应用双曲线由于其独特的性质，在许多学科和应用领域中都有广泛的应用。
以下是双曲线的一些常见应用场景：1. 物理学：双曲线在物理学中的应用非常广泛。
例如，在电磁学中，双曲线用于描述场线的形状和传播特性。
在热力学中，双曲线可以用于描述热传导的过程。
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点高中数学中，学习曲线是一个非常重要的内容。
其中，双曲线作为一种特殊的曲线形状，具有一些独特的性质和特点。
在这篇文章中，我们将深入探讨高中双曲线的知识点，包括定义、图像、方程、性质等方面。
一、双曲线的定义双曲线可以通过平面上的一个定点F（焦点）和一条定直线（准线）L来定义。
对于平面上的任意点P，它到焦点F的距离减去到准线L的距离等于一个常数e，即PF - PL = e。
这个常数e被称为离心率，决定了双曲线的形状。
二、双曲线的图像双曲线的图像可以被看作是一条平滑的弧线，同时具有两个非常重要的分支。
这两个分支在焦点F处相交，并逐渐远离准线L。
曲线呈现出向两个方向无限延伸的形状，就好像是两个永远不会相交的直线。
三、双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程如下：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中a和b分别代表椭圆横轴半径和纵轴半径。
这个方程表达了双曲线在坐标平面上的形状和位置。
当a^2大于b^2时，双曲线的分支打开向左右两个方向；当a^2小于b^2时，双曲线的分支打开向上下两个方向。
另外，一般方程形如：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0这个方程描述了双曲线的一般形式，其中A、B、C、D、E和F为常数。
通过求解这个方程，我们可以确定双曲线的具体方程和形状。
四、双曲线的性质双曲线有许多独特的性质和特点，以下是其中一些重要的性质：1. 零点性质：双曲线的方程中，x和y坐标可同时或分开取零值。
这与其他曲线形状有所不同，是双曲线独有的性质。
2. 渐近线性质：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支相切。
这些渐近线在无穷远处与曲线趋于平行，给予双曲线一种无限延伸的视觉效果。
3. 对称性质：双曲线关于y轴和x轴分别具有对称性。
这意味着曲线的左右分支和上下分支在对称轴上是对称的。
4. 焦点性质：焦点是双曲线的重要特征，它定义了曲线的形状和定位。
双曲线函数及其应用
双曲线函数及其应用双曲线函数是一个在数学中非常重要的函数。
在微积分、微分方程、概率论、物理学等领域中都有广泛应用。
本文将从双曲线函数的定义、性质以及应用方面进行探讨。
一、双曲线函数的定义双曲线函数是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a和b为常数。
cosh(x)表示双曲余弦函数，sinh(x)表示双曲正弦函数。
双曲线函数的图像与常见的三角函数图像很相似，都是周期性函数。
不同之处在于，双曲线函数的反函数不是周期函数。
在物理学中，双曲线函数也被称为玻色-爱因斯坦分布函数，用于描述一些量子力学系统的能量分布。
二、双曲线函数的性质1. 双曲线函数的导数双曲线函数的导数很容易求得，有cosh'(x)=sinh(x)，sinh'(x)=cosh(x)。
这个性质在微积分中有着广泛的应用。
例如，在求一些特定函数的导数时，可以通过这个性质简化计算过程。
2. 双曲线函数的积分同样地，双曲线函数的积分也有规律可循，有∫cosh(x)dx=sinh(x)+C，∫sinh(x)dx=cosh(x)+C。
这是一些比较简单的积分，但是可以通过一些数学工具将其推广到更复杂的积分。
在用微积分解决实际问题时，这些规律可帮助人们更好地解决问题。
3. 双曲线函数的对称性双曲线函数有一些特殊的对称性。
例如，cosh(-x)=cosh(x)，sinh(-x)=-sinh(x)。
这意味着双曲线函数在x轴上是对称的。
这个性质在物理学中有着广泛的应用。
例如，在研究热力学系统时，可以用这个性质简化问题。
三、双曲线函数的应用双曲线函数在不同的领域都有着广泛的应用。
1. 概率论在概率论中，双曲线函数被广泛应用于描述一些连续随机变量的分布。
例如，在标准正态分布问题中，正态分布函数相当于cosh函数。
而在t分布和F分布中，t分布函数和F分布函数分别相当于sinh函数和cosh函数。
双曲线函数的应用在概率论中是非常重要的。
双曲线的基本性质与应用
双曲线的基本性质与应用双曲线是数学中的重要概念，它具有许多独特的属性和广泛的应用。
本文将介绍双曲线的基本性质，并讨论其在不同领域的应用。
一、双曲线的定义与公式双曲线是平面解析几何中的一个曲线，其定义可以通过平面上的点到两个不相交焦点的距离之差等于常数的规律来描述。
双曲线的标准方程如下：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别是双曲线的焦点到中心的距离，决定了双曲线的形状和大小。
二、双曲线的基本性质1. 双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是通过双曲线的两个焦点，并且垂直于双曲线的主轴。
2. 双曲线的焦点：双曲线有两个焦点，位于双曲线的对称轴上，与双曲线的中心点等距离。
3. 双曲线的渐近线：双曲线的渐近线是双曲线两侧的两条直线，它们与双曲线的距离趋近于零，且呈无限延伸的趋势。
4. 双曲线的离心率：双曲线的离心率是一个常数，表示双曲线焦点之间的距离与中心到焦点距离的比值。
三、双曲线的应用1. 物理学中的应用：双曲线在物理学中广泛应用于描述光的折射、反射和干涉现象。
例如，光学器件中的双曲面镜能够将入射光聚焦到一个点上，起到集光和成像的作用。
2. 工程学中的应用：双曲线在工程学中有着广泛的应用，特别是在无线通信中的天线设计和信号处理中。
双曲线的特殊形状使得它能够有效地扩大天线的覆盖范围，提高无线信号的接收和传输质量。
3. 经济学中的应用：双曲线在经济学中被用来描述某些经济现象的增长过程。
例如，双曲线的增长曲线可以用来描述飞速增长的市场和产业，以及经济现象中的细微波动。
4. 数学研究中的应用：双曲线是数学中一个重要的研究对象，许多数学家将其作为研究的基础。
双曲线的性质和变换为其他数学领域的研究提供了重要的工具和理论基础。
总结：双曲线作为数学中的一个重要概念，具有许多独特的性质和广泛的应用。
通过了解双曲线的定义与公式，掌握其基本性质，我们可以在物理学、工程学、经济学和数学研究等领域中应用双曲线，从而深化我们对这一概念的理解和应用能力。
双曲线知识点讲解
双曲线知识点讲解双曲线在数学中是一个非常重要的曲线形状。
它具有许多有趣的特性和应用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、基本性质和一些常见的应用。
1. 双曲线的定义双曲线定义为平面上的点P到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a。
也就是说，对于平面上的任意点P，有|PF1 - PF2| = 2a。
这两个给定点称为焦点，常数2a称为双曲线的离心率。
双曲线可以用参数方程表示为x = a * cosh(t)和y = b * sinh(t)，其中a和b分别表示双曲线的半轴长度，cosh(t)和sinh(t)分别是双曲函数的余弦和正弦函数。
2. 双曲线的基本性质双曲线具有许多有趣的性质，以下是其中一些重要的性质：•双曲线是对称的：双曲线关于x轴和y轴都是对称的，即当(x, y)在双曲线上时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在双曲线上。
•双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是x = a和x = -a。
当x 趋近于正无穷大或负无穷大时，双曲线趋近于这两条直线。
•双曲线的焦点和直线关系：双曲线上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即|PF1 + PF2| = 2a。
•双曲线的离心率：离心率e是双曲线的一个重要参数，它等于焦点与顶点之间的距离与顶点到中心的距离的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
3. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•光学抛物面：双曲线是抛物面的一种特殊情况。
抛物面经常用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。
双曲线的抛物面形状可以将平行光线聚焦到一个点上。
•交通流动：交通工程中的交叉口设计通常使用双曲线形状来保证车辆在转弯时平稳过渡。
双曲线的曲率变化较为平缓，能够减小车辆转弯时的离心力。
•经济学中的边际效用曲线：在经济学中，边际效用曲线描述了消费者对不同数量商品的边际效用变化。
数学双曲线的原理及应用
数学双曲线的原理及应用1. 概述双曲线是数学中一类重要的曲线，它的形状特殊且具有许多有趣的性质。
本文将介绍双曲线的原理以及一些常见应用。
2. 双曲线的定义双曲线是平面上的一条曲线，它满足如下定义：•对于任意点P(x, y)到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即 |PF1 - PF2| = 2a。
•曲线上的每个点对应的切线的斜率都不等于0。
根据定点和常数a的不同取值，双曲线可以分为四种类型：椭圆、抛物线、双曲线和直线。
3. 双曲线的性质双曲线具有许多重要的性质，包括但不限于以下几点：•双曲线的渐进线是两条直线，分别与双曲线相交于两个焦点。
•双曲线的离心率大于1，离心率定义为离焦点距离与走廊的一半的比值，表示了双曲线的扁平度。
•双曲线上的点到两个焦点的距离之和等于常数2a，即 PF1 + PF2 = 2a。
4. 双曲线的应用双曲线在不同领域有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：4.1. 物理学中的光学•双曲线方程在光学中用于描述光线的传播路径。
例如，光线在均匀介质和双曲面交互作用时，遵循双曲线方程，这对于研究光学系统的成像性质至关重要。
•焦距的概念也与双曲线相关。
在光学中，焦距指的是一组平行光线被折射或反射后汇聚到焦点的距离。
双曲线方程可以用来计算光学元件的焦距。
4.2. 电磁学中的电场•双曲线方程可以用来描述电场的分布。
在电荷分布对称的情况下，电场的等势线将形成一组双曲线。
这对于理解电场的强度和方向分布至关重要。
4.3. 金融学中的曲线拟合•双曲线在金融学中常用于拟合和预测曲线的发展趋势。
例如，在利率模型中，双曲线被用于拟合债券收益率的曲线，以衡量利率的变化对于债券价格的影响。
5. 双曲线的历史双曲线最早出现在17世纪，由德國數學家约翰·贝恩哈德·里希特（Johann Bernoulli）和其他数学家研究。
随后，双曲线的性质和应用逐渐被人们认识和应用于各个领域。
3、双曲线概念及几何性质
双曲线的概念与几何性质一、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质3.重要结论1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( ) 解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.解析 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案 x 28－y 28＝13.已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝17－1，故|PF2|＝6.答案64.(2018·浙江卷)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).答案B5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝35x x，则a＝________.解析由题意可得3a＝35，所以a＝5.答案56.(2018·北京卷)若双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，则a＝________.解析由题意可得，a2＋4a2＝⎝⎛⎭⎪⎫522，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.答案4考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝c a ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10. 答案 (1)B (2)B考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )81045C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值. 2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝132332(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.解析 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)C (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D.2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.解析 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b2＝1，得3a ＝4b ， 所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516， 又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 答案 (1)B (2)(0，2)三、课后练习1.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±12x C.y ＝±22xD.y ＝±2x解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎨⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案 D2.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2，2＋6] B.[2，3＋1] C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32， ∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]. 又e >1，∴e ∈[2，3＋1].答案 D3.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 答案3－1 24.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 5.已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.解析 由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点， 则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.答案 0 3。
双曲线定义及性质整合
双曲线定义及性质的应用一、双曲线的定义双曲线第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.例1.已知F 是双曲线22:122x y C -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，()0,2A .求APF ∆周长的最小值及此时P 的坐标.【解析】双曲线左焦点1(2,0)F -，则有12PF PF a -=，则12AF AP PF AF AP PF a ++=+++12AF AF a ≥++1262AF AF a =++=，当且仅当1,,A P F 共线时取等号，即APF ∆周长最小为62.此时直线1AF 方程为2y x =+，与双曲线联立得到031(,)22P -.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时，常利用双曲线的第一定义及三角形三边关系. 2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.练习1. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点,则PF PA +的最小值为________.9【解析】双曲线右焦点2(4,0)F -，22229PF PA a PF PA a AF +=++≥+=，当且仅当2,,A P F 共线时取等号.练习 2.P 为双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆22(4)4x y ++=，和22(4)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为__________．【答案】5.提示：例2. 已知双曲线22:14x C y -=，P 是C 右支上的任意点.（1）设点A 的坐标为(3,0)，求PA 的最小值，及此时P 点坐标. （2）设右焦点为2F ，求2PF 的最小值，及此时P 点坐标.【解析】（1）设P 的坐标为(,)x y ，则2x ≥，2222(3)(3)14xPA x y x =-+=-+-225512468()4455x x x =-+=-+，又因为2x ≥，则当125x =时PA 最小值为255，此时1211(,)55P ±. （2）设P 的坐标为(,)x y ，则2x ≥，右焦点2(5,0)F ，2222(5)(5)14xPA x y x =-+=-+-2545()45x =-，又因为2x ≥，则当2x =时PA 最小值为52-（即c a -），此时(2,0)P . 双曲线第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)1(>e e ，则动点M 的轨迹叫做双曲线.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），左、右准线分别为2a x c=±，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.例1.已知点P 为2213y x -=上一点，右焦点2F ，(5,3)A ，（1）求21||||2PA PF +的最小值，及此时P 点坐标. （2）求21||||2PA PF -的最大值，及此时P 点坐标.【解析】（1）易知2e =，设点P 到与右焦点2F 相应的右准线12x =的距离为d ，则2||2PF e d ==，则21||||||2PA PF PA d +=+，则当直线垂直于准线时合题意，且点P 在双曲线的右支上，此时点P 纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P 的坐标为(2,3).（2）21||||||2PA PF PA d -=-，即在双曲线上求点P ，使得点P 到定点A 的距离与到右准线12x =的距离之差最大，则点P 在双曲线的左支上，直线垂直于准线时符合题意，且此时点P 的纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P 坐标为(2,3)-.练习1. 已知点(3,2),(2,0)A F 在双曲线2213y x -=上求一点P ，使1||||2PA PF +的值最小.【答案】21(,2)3. 例2.已知P 是双曲线221169y x -=右支上的动点，点F 是双曲线的右焦点，定点()8,4A ，求45PF PA +的最小值.24【解析】如图，设1P 为P 在右准线165x =上的投影，1A 为A 在右准线165x =上的投影，154F PP P e ==，45PF PA +155PP PA =+1116)55(85()245PP PA AA ≥=⨯-==+，此时P 与1A ，A 共线，在如图0P 位置.练习2. 已知P 是双曲线2211620y x -=右支上的动点，点P 是双曲线的右焦点，定点()7,6A ，求23PF PA +的最小值. 【答案】19.双曲线第三定义第三定义：在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是双曲线上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-==⋅e ab k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PBPA =⋅） 推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=-b y a x ①，1221221=-b ya x ②；由①－②得22122212b y y a x x -=-，所以22212212a b x x y y =--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==-+-为定值． 例1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长为4，若点P 是双曲线上一点，过原点的直线l 与双曲线相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121=⋅k k ，则双曲线的方程为 . 1422=-y x 【解析】由第三定义知4122=a b ，且42=a ，则双曲线方程为1422=-y x . 二、双曲线的性质（1）双曲线的通经长为22b a；（2）设P 双曲线右支上一点，12,F F 分别是左右焦点，则1PF c a ≥+，2PF c a ≥-，当且仅当P 为右支顶点时取等号；（3）双曲线的焦点到准线的距离为b ；（4）双曲线上的任意点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值222a b c；（5）设P 为双曲线上任一点，三角形21F PF ∆的内切圆与x 轴的切点为)0,(a 或)0,(a -（内切圆圆心在直线a x =或a x -=上）；推导过程：（3）)0,0(12222>>=-b a by a x 双曲线的右焦点为(,0)c ，准线为0bx ay ±=，焦点到渐近线的距离bcd b c===；（4）设双曲线上的点00(,)P x y ，则有1220220=-by a x ，即22202202b a y a x b =-，渐近线分别为0bx ay -=，0bx ay +=，则点00(,)P x y 到渐近线的距离0000122bx ay bx ay d cb a --==+，002bx ay d c+=，则22222200000012222()()b x a y bx ay bx ay a b d dc c c--+===. （5）证明：设21F PF ∆的内切圆与三条边分别相切与点S R Q ,,.P 是双曲线右支上的点，由双曲线的定义知a PF PF 221=-，a SF PS QF PQ 2)()(21=+-+①，因为S R Q ,,为切点，则2211,,RF SF RF QF PS PQ ===，则①式即为a RF RF 221=-，设切点)0,(R x R ，则有a x c x c R R 2)(=--+，则a x R =，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴的切点为)0,(a .当P 是双曲线左支上的点时，同理可证切点为)0,(a -.离心率问题1.基本方法：从定义出发，找到,,a b c 的等式或不等式；2.几何法：根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如等腰、钝角、锐角，中垂线，垂直、内外切等.（双曲线本身所具有的不等关系）例1：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别是12,F F ，若P是其上的一点，且122PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是______.(1,3]e ∈【解析】122PF PF a -=，122PF PF =，则124,2PF a PF a ==，则P 在双曲线的右支上，则有可知2PF c a ≥-，即2a c a ≥-，则3e ≤，则(1,3]e ∈.（或由1PF c a ≥+解得(1,3]e ∈）.例2.如图，12,F F 是椭圆2214x y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.62e =【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面124AF AF +=，在12Rt AF F ∆中满足2221212AF AF F F +=，解得1222,22AF AF =-=+，则在双曲线中2,3a b ==，则62e =. （直线和双曲线的位置关系）例3.已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.[2,)+∞【解析】过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线和右渐近斜率的关系，如果这条直线的斜率为k 小于等于右渐近线by x a=的斜率，则与右渐近线只有一个交点，如上图所示可得 3ba≥，解不等式可求出2e ≥. 练习1.设双曲线2221x y a -=与直线:1l x y +=相交于不同的点,A B ，求双曲线的离心率的取值范围.6(,2)(2,)2⋃+∞【解析】联立化简得2222(1)220a x a x a -+-=，所以210,0a -≠∆>，即02,1a a <<≠，22111a e a a+==+，所以62e >且2e ≠. 例4.已知12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
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双曲线的定义及其应用
发表时间：2012-01-09T13:38:48.767Z 来源：《学习方法报·语数教研周刊》2011年第17期供稿作者：缪春玲
[导读] 平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点轨迹叫做双曲线.
云南昭通市鲁甸县第一中学缪春玲
平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点轨迹叫做双曲线.
一、判定点的位置
例已知、是双曲线双曲线的右顶点，在双曲线的右支上（点不在轴上），的内切圆与轴切于点，则点的位置在（）.
A、点的左侧
B、点的右侧
C、点处
D、不能确定
解如图8，设圆利用切线长定理可知
故在双曲线的右支上.
又∵点的轴上，所以和重合.故选C.
二、确定离心率
例2 已知、是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若为锐角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）.
例已知双曲线过点、，它的一个焦点是抛物线的焦点，求它的另一个焦点的轨迹
由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长轴为10的椭圆，其中心是（1，4）
六、求三角形的面积
七、求最值
解如图11，利用双曲线的第一定义可知
若在双曲线标准方程的推导过程中作如下改动：
设 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c ＞0），那么焦点 的坐标分别是 、 ，又设点 与 的距离的差的绝对值等于常数 .
据定义可知，双曲线就是集合 ：
（9）式是一个全新而又具有明显几何意义的式子.。