有理数及其运算知识点

⎪⎪⎪⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪
⎨⎧)3,2,1:()
3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪
⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数有理数及其运算
※
※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。

（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）
※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

（0的相反数是0）
※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。

正数在原点的右边，负数在原点的左边。

※绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作|a|。

※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。

⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>)
0()0(0)
0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a
※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；
互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0
※比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

※绝对值的性质：
①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b
④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
※有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。

¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加；
④几个数相加能得到整数，可以先相加。

※有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。

¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号； ②改变减数的性质符号（变为相反数） 有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。

¤有理数的加减法混合运算的步骤：
越来越大
①写成省略加号的代数和。

在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；
②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。

（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。

） ※有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘，积仍为0。

※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。

（如：-2与21 、 3
5
53与…等）
※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。

¤乘积为1的两个有理数互为倒数。

注意： ①零没有倒数
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。

一个带分数要先化成假分数。

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

※有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

②0除以任何非0的数都得0。

0不可作为除数，否则无意义。

※有理数的乘方 ※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

※乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数；
④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

※有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。

②如果有括号,先算括号里面的。

专题一：正数和负数
1、下列各数中，大于－
21小于2
1
的负数是（ ） A.－
3
2
B.－31
C.3
1
2、负数是指（ ）
A.把某个数的前边加上“－”号
B.不大于0的数
C.除去正数的其他数
D.小于0的数 3、关于零的叙述错误的是（ ）
A.零大于所有的负数
B.零小于所有的正数
C.零是整数
D.零既是正数，也是负数 4、非负数是（ ）
A.正数
B.零
C.正数和零
D.自然数 5、文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（ ） A.文具店 B.玩具店 C.文具店西40米处 D.玩具店西60米处 6、大于－的所有负整数为_____.
=⨯⨯⨯⨯
a n a a a a 个
7、珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为____. 8、请写出3个大于－1的负分数_____.
9、某旅游景点一天门票收入5000元，记作+5000元，则同一天支出水、电、维修等各种费用600元，应记作_____. 10
请回答，该生成绩最好和最差的科目分别是什么
专题二：数轴与相反数
1、下面正确的是（ ）
A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线
B.离原点近的点所对应的有理数较小
C.数轴可以表示任意有理数
D.原点在数轴的正中间 2、关于相反数的叙述错误的是（ ）
A.两数之和为0，则这两个数为相反数
B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数
C.符号相反的两个数，一定互为相反数
D.零的相反数为零
3、若数轴上A 、B 两点所对应的有理数分别为a 、b ，且B 在A 的右边，则a －b 一定（ ）
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.无法确定 4、在数轴上A 点表示－
31，B 点表示2
1
，则离原点较近的点是_____. 5、两个负数较大的数所对应的点离原点较_____.
6、在数轴上距离原点为2的点所对应的数为_____，它们互为_____.
7、数轴上A 、B 、C 三点所对应的实数为－
32，－43，5
4
，则此三点距原点由近及远的顺序为_____. 8、数轴上－1所对应的点为A ，将A 点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A 点距原点的距离为_____. 9、在等式3215⨯
-⨯=的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立。

则第一个方格
内的数是__________.
10、写出大于－小于的所有整数，并把它们在数轴上表示出来..
专题三：绝对值
1、任何一个有理数的绝对值一定（ ）
A.大于0
B.小于0
C.不大于0
D.不小于0 2、若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）
A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数 3、下列说法正确的是（ ）
A.一个有理数的绝对值一定大于它本身
B.只有正数的绝对值等于它本身
C.负数的绝对值是它的相反数
D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 4、下列结论正确的是（ ）
A.若|x |=|y |，则x =－y
B.若x =－y ，则|x |=|y |
C.若|a |＜|b |，则a ＜b
D.若a ＜b ，则|a |＜|b | 5、一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____. 6、绝对值大于小于的所有负整数为_____.
7、甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于本身，请你猜一猜|a-b|=
8、某班举办“迎五一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么最高分高出最低分多少
专题四：有理数的加减法
1、有理数a ,b 在数轴上对应位置如图所示，则a +b 的值为（ ）
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.大于a 2、下列结论不正确的是（ ）
A.若a >0,b >0,则a +b >0
B.若a <0,b <0,则a +b <0
C.若a >0,b <0,则|a |>|b |,则a +b >0
D.若a <0,b >0,且|a |>|b |,则a +b >0
3、如果|c |=－c ，则c －
2
1
一定是（ ） A.正数 B.负数 D.可能为正数也可能为负数
4、下面等式错误的是（ ）
A.
21－31－51=21－(31+5
1
) B.－5+2+4=4－(5+2)
C.(+3)－(－2)+(－1)=3+2－1
－3－4=－(－2)－(+3)+(－4)
5、－
21与3
2
的相反数的绝对值之和是______. 6、已知a 、b 互为相反数，c 是绝对值最小的数，d 是负整数中最大的数，则a +b +c －d =_____. 7、若|2x －3|+|3y +2|=0，则x －y =_____. 8、计算： （1）－
31+41－65+73 （2）31－65+32－61 （3）－341－(－265)+35
2
9、已知a =2，b =－3，c =－1，计算|a －b |+|b －c －a |+|3b －4c |. 10、“学雷锋活动月”活动中，对某小组做好事情况进行统计如下表
姓名 小明 小红 小娟 小青 好事件数 18 16
本人所做好事与人
均好事的差值
+3
－4
（1）完成上表.
（2）谁做的好事最多，谁最少 （3）最多的比最少的多多少
11、10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)：2,3,－,－3,5,－8,,,8,－
这10名学生的总体重为多少10名学生的平均体重为多少
12、一辆货车从货场A 出发，向东走了2千米到达批发部B ，继续向东走千米到达商场C ，又向西走了千米到达超市D ，最后回到货场.
（1）用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A ，批发部B ，商场C ，超市D 的位置.
（2）超市D 距货场A 多远
（3）货车一共行驶了多少千米
专题五：有理数的乘除法
1、若mn >0,则m ,n （ ）
A.都为正
B.都为负
C.同号
D.异号
2、若m 、n 互为相反数，则（ ）
<0 >0 ≤0 ≥0 3、下列结论正确的是（ ）
A.－
31×3=1 B.|－71|×71=－49
1 C.－1乘以一个数得到这个数的相反数 D.几个有理数相乘，同号得正 4、如果两数之和等于零，且这两个数之积为负数，那么这两个数只能是（ ）
A.两个互为相反数的数
B.符号不同的两个数
C.不为零的两个互为相反数的数
D.不是正数的两个数 5、如果一个数的绝对值与这个数的商等于－1，则这个数是（ ）
A.正数
B.负数
C.非正
D.非负 6、如果abcd ＜0，a +b =0，cd ＞0，那么这四个数中负因数的个数至少有（ ）
个 个 个 个 7、下列运算错误的是（ ）
A.31÷(－3)=3×(－3)
B.－5÷(－21
)=－5×(－2) －(－2)=8+2 ÷3=0 8、在某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低 ℃,已知山脚的温度是24 ℃,山顶的温度是4 ℃,试问这座山的高度是 米； 9、计算：
(241343671211-+-)×(－48) (1)121×75－(－75)×221+(－21)×7
5 (2)49
2524×(－5) （3）［432×(－145)+(－÷(－254)］×15
1
10、.某班举办数学知识比赛，共分五个小组，其中四个小组的成绩如表所示，请问
1 2
3 （1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高还是低为什么
专题六：有理数的乘方
1、如果a 2
=a ,那么a 的值为（ ）
或0 D.－1 2、一个数的平方等于16，则这个数是（ ）
A.+4
B.－4
C.±4
D.±8
3、a 为有理数，则下列说法正确的是（ ）
>0 －1>0 +1>0 +1>0 4、下列式子中，正确的是（ ）
A.－102=(－10)×(－10)
=3×2 C.(－
21)3=－21×21×2
1 =32
5、（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32
的底数是_______，结果是_______. 6、n 为正整数，则（－1）2n
=_______,(－1)
2n +1
=_______.
7、一个数的平方等于这个数本身，则这个数为_______；一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是_______. 8、质点P 从距原点1个单位的A 点处向远点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点A 1处，第二次从A 1点跳动到OA 1的
中点A 2处，第三次从A 2点跳动到OA 2的中点A 3处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为_______。

9、将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕
,那么对折四次可以得到 条折痕,
如果对折n 次,可以得到
条折痕.
10、我们平常用的数都是十进制数，例如：8321＝8×103＋3×102＋2×101＋1×100
，表示十进制的数要用十个数码（又叫做数字）0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而在计算机中用的是二进制，它只有两个数码:0、1来表示.
如二进制中101＝1×22＋0×21＋1×20等于十进制中的数5，再如10110＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20
等于十进制中的数22，同学们你看出其中的规律了吗试一试你的能力吧: 二进制中101011等于十进制中多少呢
专题七：有理数的混合运算
1、下列各数中与（－2－3）5
相等的是（ ）
第一次对折 第二次对折 第三次对折
B.－5
5
C.（－2）5+（－3）
5
D.（－2）5－35
2、某数的平方是
4
1
，则这个数的立方是（ ） A.81 B.－81 C.81或－8
1 D.+8或－8
3、下列语句中，错误的是（ ）
的相反数是－a 的绝对值是|a | C.(－1)99
=－99
D.－(－22
)=4
4、计算：(－3)2
÷51×0－4
5=_______.
5、某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示。

例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1∶00，那么这个地点就用代码010045来表示。

按这种表示方式，南偏东40°方向78千米的位置，可用代码表示为 。

6、计算题
（1）－7×6×(－2) （2）(－20)×(－1)7
－0÷(－4)
（3）(－2)2×(－1)3－3×［－1－(－2)］ （4）23－32
－(－4)×(－9)×0
7、当x =－1,y =－2,z =1时，求(x +y )2－(y +z )2－(z +x )2
的值.
8、计算：
(1)－33
×(－5)+16÷(－2)3
－｜－4×5｜+(
8
5－2
(2)(－1)－(－521)×11
4
+(－8)÷［(－3)+5］ (3)［0－(－3)］×(－6)－12÷［(－3)+(－8)÷6］
(4)25×
43－(－25)×21+25×41 (5)3+50÷22
×(－5
1)
10、某股票经纪人，给他的股资者出了一道题，说明投资人的赢利净赚情况：（单位：元）
23×500+［（+×1000+(－3)×1000］－［(－2)×500］
请你计算一下，投资者到底赔了还是赚了，赔或赚了多少元。