第四周数学月考试题
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题含答案
长沙市一中2023届高三月考试卷（四）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}38A x x =∈<<N ，{}6,7,8B =，全集U A B =⋃，则()U A B ⋂ð的所有子集个数（）A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数z 满足i 3i 4z =+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC △中，点N 满足2AN NC = ，记BN a = ，NC b = ，那么BA = （）A ．2a b- B ．2a b + C ．a b - D ．a b +4．已知1lg 2a =，0.12b =，sin 3c =，则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>5．2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运—20专机在两架歼—20战斗机护航下抵达沈阳国际机场。
歼—20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼—20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形则机身头部空间大约（）立方米A B ．33πC D ．22π6．已知函数()1cos 32πf x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（0ω>），将()f x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，已知()g x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的取值范围是（）A ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．72,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．82,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（）A ．518B ．49C ．59D ．13188．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，BC =，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（）A ．2821π27B ．32π3C ．205π3D ．287π9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（）A ．B．C．D ．10．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（）A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为1111．已知数列{}n a 中，11a =，若11n n n na a n a --=+（2n ≥，n *∈N ），则下列结论中正确的是（）A ．3611a =B ．11112n n a a +-≤C ．ln(1)1n a n ⋅+<D ．21112n n a a -≤12．已知偶函数()f x 在R 上可导，()01f =-，()()g x f x '=，若()()112f x f x x +--=，则（）A ．()00g =B ．()20232023g =C ．()33f =D ．()2221f n n -=-（n ∈N ）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆C ：()22116x y -+=，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则ABC △的面积最大值为______．14．若(3nx +的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中3x 项的系数是______．15．已知点1F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于A ，B 两点，M ，N分别是1AF ，1BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______．16．设函数()2322f x x ax =-（0a >）的图象与()2ln g x a x b =+的图象有公共点，且在公共点处切线方程相同，则实数b 的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()231n n S a =-，*n ∈N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本题满分12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠．（1）若2π3BAC ∠=，4AB =，2AC =，求AD 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求BDDC的取值范围．条件①：)2224b c a S +-=；条件②：224sin 8sin102BB --=；条件③：222sin cos cos sin B C A A B +-=．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本题满分12分）如图，点E 在ABC △内，DE 是三棱锥D ABC -的高，且2DE =．ABC △是边长为6的正三角形，5DB DC ==，F 为BC 的中点．（1）证明：点E 在AF 上；（2）点G 是棱AC 上的一点（不含端点），求平面DEG 与平面BCD 所成夹角余弦值的最大值．20．（本题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3-，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线C 于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若动直线l 经过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的定点(),0M m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为a （00.4a <<）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为ξ．（1）证明：在的概率分布中，()1P ξ=最大．（2）对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为()i t P i ξ==（1i =，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．22．（本小题满分12分）已知函数()sin ln f x x x m x =-+，0m ≠．（1）若函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求m 的取值范围；（2）设3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足cos 1sin ααα=+，证明：当20sin m a α<<-时，函数()f x 在()0,2π上恰有两个极值点．长沙市一中2023届高三月考试卷（四）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CAABBDCC1．C【解析】依题意，{}4,5,6,7A =，而{}6,7,8B =，则{}4,5,6,7,8U =，{}6,7A B ⋂=，因此(){}4,5,8U A B ⋂=ð，所以()U A B ⋂ð的所有子集个数是328=．故选：C ．2．A 【解析】由题得3i 434i iz +==-，所以34i z =+．所以z 在复平面内对应点在第一象限．故选：A ．3．A 【解析】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-．故选：A ．4．B 【解析】1lg lg102a =<=，0.10221b =>=，0sin31<<，∴b c a >>．故选：B ．5．B 【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，米，根据圆雉体积公式得213π1π33V =⨯=．故选：B ．6．D【解析】()π1cos 232g x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令π23t x ω=-，由题意()g x 在[]0,π上恰有5个零点，即1cos 2t =在ππ,2π33t ω⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恰有5个不相等的实根，由cos y t =的性质可得11ππ13π2π333ω≤-<，解得723ω≤<．故选：D ．7．C【解析】将3个偶数排成一排有33A 种，再将3个奇数分两种情况揷空有332A 种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有33332A A 72=种，任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有2222A A 4=种；2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有11122222C C C A 16=种；所以个位是偶数共有20种；同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻的数有40种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是405729=．故选：C ．8．C 【解析】解法一：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，所以要使三棱柱的体积最大，则ABC △面积最大，因为1sin 2ABC S BC AC ACB =⋅⋅∠△，令AC x =，因为BC =，所以23sin 2ABC S x ACB =⋅∠△，在ABC △中，2222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅，所以()224224416143216sin 11212x x x ACB x x--+-∠=-=，所以()()22422424123384sin 34434ABC x x x S x ACB ∠--+-+-=⋅=⋅=△，所以当24x =，即2AC =时，()2ABC S △取得最大值3，所以当2AC =时，ABC S △，此时ABC △为等腰三角形，2AB AC ==，BC =，所以22244121cos 22222AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=，由正弦定理得ABC △外接圆的半径r 满足23422πsin3r ==，即2r =，所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径222152AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即R =所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为34π205π33R =．故选：C ．解法二：在平面ABC 中，由2AB =，BC =知，平面ABC 中C 点的轨迹是阿氏圆，建立坐标系．要使三棱柱的体积最大，则ABC △面积最大，此时可计算出外接圆半径为2．所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径2221252AA R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即R =所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为34π33R π=．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案ADBCABCABD9．AD【解析】对于A 选项，由图1可知MN DE AC ∥∥，MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC ，A 正确；对于B 选项，设H 是EG 的中点，由图2，结合正方体的性质可知，AB NH ∥，MN AH BC ∥∥，AM CH ∥，所以A ，B ，C ，H ，N ，M 六点共面，B 错误；对于C 选项，如图3所示，根据正方体的性质可知MN AD ∥，由于AD 与平面ABC 相交，所以MN 与平面ABC 相交．所以C 错误；对于D 选项，如图4，设AC NE D ⋂=，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，，所以MN BD ∥，由于MN ⊄平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC ，D正确．故选：AD ．10．BCD 【解析】拋物线C ：214y x =，即24x y =，所以焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，故A 错误；由21,41,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩即2440x x -+=，解得()24440∆=--⨯=，所以直线1y x =-与C 相切，故B 正确；点(),P x y ，所以()()22222441621212PM x y y y y =+-=-+=-+≥，所以minPM=，故C 正确；如图过点P 作PN ⊥准线，交于点N ，NP PF =，5MF ==，所以周长5611PFM C MF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=△，当且仅当M 、P 、N 三点共线时取等号，故D 正确；故选：BCD ．11．ABC【解析】因为11n n n na a n a --=+，故可得1111n n a a n --=，11221111111111111112n n n n n a a a a a a a a n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对A ：当3n =时，3111111236a =++=，故可得3611a =，故A 正确；对B ：因为1111n n a a n --=，则11111n n a a n +-=+对1n =也成立，又当1n ≥，*n ∈N 时，1112n ≤+，则11112n n a a +-≤，故B 正确；对C ：令()()ln 1f x x x =+-（0x >），则()01xf x x -=<+'，故()f x 在()0,+∞上单调递减，则()()00f x f <=，则当0x >时，()ln 1x x +<，11ln 1x x⎛⎫+< ⎪⎝⎭；则当1n ≥，*n ∈N 时，11ln 1n n⎛⎫+<⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n +-<；则()()()()11ln 1ln 1ln ln ln 1ln2ln111n n n n n n n +=+-+--+⋅⋅⋅+-<++⋅⋅⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-，即()1ln 1nn a +<，又0n a >，()ln 11n a n ⋅+<，故C 正确；对D ：2111111112222n n n a a n n n n -=++⋅⋅⋅+≥⨯=++，故D 错误．故选：ABC ．12．ABD 【解析】因为函数()f x 为偶函数，所以()f x 的图象在0x =处的斜率为0，即()()000g f ='=，故A 正确；函数()f x 为偶函数，所以()g x 为奇函数，()()112f x f x x +--=，所以()()112g x g x ++-=，令0x =，得()11g =，又()g x 为奇函数，所以()()112g x g x +--=，()()()()()()()()202320232021202120193112101112023g g g g g g g g =-+-+⋅⋅⋅+-+=⨯+=，故B 正确；假设()2112f x x =-，满足()f x 为偶函数，()01f =-，()()()()22111111222f x f x x x x +--=+--=，符合题目的要求，此时，()732f =，故C 错；()f x 为偶函数，所以()()112f x f x x +--=，即()()112f x f x x --+=-，()()()()()()()()22222224200f n f n f n f n f n f f f -=---++-+--++⋅⋅⋅+--+()()()()221222122322111212n n n n n --+⎡⎤⎣⎦=-----⋅⋅⋅-⋅--=-=-（n ∈N ），故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8【解析】圆C ：()22116x y -+=的圆心为()1,0，半径为4，设线段AB 的中点为M ，由垂径定理得：2216AM MC +=，由基本不等式可得：22162AM MC AM MC +=≥⋅，所以8AM MC ⋅≤，当且仅当AM MC =时，等号成立，则182ABC S AB CM AM CM =⋅=⋅≤△，故答案为：8．14．15【解析】令1x =，得所有项的系数和为4n，二项式系数和为2n，所以42322n nn ==，即5n =，(53x +的第1r +项为()15552255C 3C 3rrr r r r x x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令532r -=，得4r =，所以3x 项的系数是45C 315⨯=，故答案为：15．15．22⎫⎪⎪⎣⎭【解析】如图所示，当点M ，N 分别是1AF ，1BF 的中点时，OM ，ON 是1ABF △的两条中位线，若以MN 为直径的圆过原点，则有OM ON ⊥，11AF BF ⊥，解法一：所以在直角1ABF △中，122AB OF c ==，即A 、B 为以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆的交点，所以b c ≤，即22b c ≤，所以222a c ≤，故22e ≤，又1e <，所以212e ≤<．解法二：由上可知，11AF BF ⊥，设点()00,A x y ，则点()00,B x y --，又点()1,0F c -，所以()100,AF c x y =--- ，()100,BF c x y =-+，则22211000AF BF c x y ⋅=--= ，又2200221x y a b +=，所以2222020c x b c a +-=，得()222202a cb xc -=，即只需()222220a c b a c -≤<，整理得：222c a ≥，解得22e ≤，又1e <，所以212e ≤<．故答案为：2,12⎫⎪⎪⎣⎭．16．212e【解析】设公共点坐标为()00,x y ，则()32f x x a =-'，()2a g x x'=（0x >），所以有()()00f x g x =''，即20032a x a x -=，解得0x a =（03ax =-舍去），又()()000y f x g x ==，所以有2200032ln 2x ax a x b -=+，故2200032ln 2b x ax a x =--，所以有221ln 2b a a a =--，对b 求导有()21ln b a a =-+'，故b 关于a 的函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数，所以当1ea =时b 有最大值212e ．故答案为：212e ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由已知()231n n S a =-，*n ∈N ，当1n =时，()11231S a =-，解得113a S ==，当2n ≥时，()11231n n S a --=-，则()()123131n n n a a a -=---，即13n n a a -=，所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1333n n n a -=⨯=；（2）由（1）得3n n a =，则3nn n b na n ==⋅，所以()231132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①，()23413132333133n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②，①－②得()()1231131332132333333132n n nn n n n T n n +++-----=+++⋅⋅⋅+-⨯=⨯=-，所以()132134n n n T ++-=．18．【解析】（1）依题意可得ABD ACD S S S =+△△，可得111sin sin sin 222AB AC BAC AB AD BAD AD AC DAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，又因为AD 平分BAC ∠，且2π3BAC ∠=，所以1π3BAD DAC ∠=∠=，则1114242222222AD AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，整理可得43AD =．（2）选条件①：)22214sin 2b c abc A +-=⨯，222sin 2b c a A bc+-=sin A A =，即tan A =∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3A =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，∴sin sin AB BAD BD ADB ⋅∠=∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，∴sin sin AC CAD CD ADC ⋅∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，ADB ∠与ADC ∠互补，∴2πsin 31sin cos sin sin 313sin 22sin sin sin sin 2tan 2sin AB BAD B B BBD AB c C ADB AC CAD DC AC b BB B B ADC⎛⎫⋅∠-+ ⎪⎝⎭∠=======+⋅∠∠．∵ABC △是锐角三角形，∴ππ62B <<，∴tan 3B >，∴131222tan 2B <+<，即BD DC 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．选条件②：∵21cos 4sin 8102BB --⨯-=，∴24sin 4cos 50B B +-=，∴()241cos 4cos 50B B -+-=，∴()22cos 10B -=，∴1cos 2B =，∵π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，∴sin sin AB BAD BD ADB ⋅∠=∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，∴sin sin AC CAD CD ADC ⋅∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，ADB ∠与ADC ∠互补，∴sin sin sin 23sin sin sin πsin 3sin sin 3AB BAD BD AB c C C ADB C AC CAD DC AC b B ADC ⋅∠∠======⋅∠∠．∵ABC △是锐角三角形，∴ππ62C <<，∴1sin 12C <<，∴32323sin 333C <<，∴BDDC 的取值范围为323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．选条件③：∵()()222sin 1sin 1sin sin B C A A B +---=，∴222sin sin sin sin B A C A B +-=，由正弦定理得222a b c +-=，∴根据余弦定理得22233cos 222a b c C ab ab +-===，∵π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π6C =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，∴sin sin AB BADBD ADB⋅∠=∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，∴sin sin AC CAD CD ADC ⋅∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，ADB ∠与ADC ∠互补，∴sin 1sin 1sin 2sin sin sin 2sin sin AB BAD BD AB c CADB AC CAD DC AC b B B BADC∠∠∠∠⋅======⋅．∵ABC △是锐角三角形，∴ππ32B <<，∴sin 12B <<，∴11sin B <<，∴1122sin 3B <<，∴BDDC 的取值范围为13,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．19．【解析】（1）证明：连接EF ，DF ．因为DE 是三棱锥D ABC -的高，即DE ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为5DB DC ==，BC 的中点为F ，所以DF BC ⊥，因为DE DFD ⋂=，DE ，DF ⊂平面DEF ，所以BC ⊥平面DEF ，因为EF⊂平面DEF，所以BC EF⊥．又因为ABC△是边长为6的正三角形，BC的中点为F，所以BC AF⊥，即点E在AF上．（2）结合（1）得，AF=4DF==，EF==，AE AF EF=-=．过点E作EH BC∥，交AC于H，结合（1）可知EF，EH，ED两两垂直，所以以E为坐标原点，EF，EH，ED的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()A，()3,0B-，()C，()0,0,2D所以()2BD=-，()0,6,0BC=．设平面BCD的法向量为()111,,m x y z=，则0,0,BD mBC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111320,60,y zy⎧-++=⎪⎨=⎪⎩取11x=，则(m=．又()AC=，设AG ACλ=，()0,1λ∈．所以()()(),0EG EA ACλλλ=+=+=-．设平面DEG的法向量为()222,,u x y z=，则0,0,ED uEG u⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即(22220,30,zx yλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2x=，则13,0uλ⎫=-⎪⎭．所以1cos,2u mu mu m⋅==≤，当且仅当13λ=时，等号成立．所以平面DEG与平面BCD所成夹角余弦值的最大值为12．20．【解析】（1）∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率ba±=或33±，即b=或33b a=；当b =时，由22491a b-=得：21a =，23b =，∴双曲线C 的方程为：2213y x -=；当33b a =时，方程22491a b-=无解；综上所述，双曲线C 的方程为：2213y x -=．（2）由题意得：()22,0F ，假设存在定点(),0M m 满足题意，则0MA MB ⋅=恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l ：()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ∴212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，∴()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ⋅=--+=-+++-++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2222222222121222431421244033k k k k m k x x k m x x m k m k k k +++=+-++++=-++=--，∴()()()()()222222243142430k k k k m m k k++-+++-=，整理可得：()()22245330k m m m --+-=，由22450,330m m m ⎧--=⎨-=⎩得：1m =-；∴当1m =-时，0MA MB ⋅=恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l ：2x =，则()2,3A ，()2,3B -，当()1,0M -时，()3,3MA = ，()3,3MB =-，∴0MA MB ⋅= 成立；综上所述，存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点．方法二：①当直线l 斜率为0时，l ：0y =，则()1,0A -，()1,0B ，∵(),0M m ，∴()1,0MA m =-- ，()1,0MB m =-，∴210MA MB m ⋅=-= ，解得1m =±；②当直线l 斜率不为0时，设l ：2x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y 由222,13x ty y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，()22311290t y ty -++=，∴()22310,12330,t t ⎧-≠⎪⎨∆=+>⎪⎩∴1221231t y y t +=--，122931y y t =-，∴()()()21212121212MA MB x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++ ()()()()()()222121212121222221244ty ty m ty ty m y y t y y t mt y y m m =++-+++++=++-++-+()()()()222222291122121594420313131t t t mt m t m m m t t t +--+=-+-+=+-=---；当1215931m -=-，即1m =-时，0MA MB ⋅= 成立；综上所述，存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点．21．【解析】（1）由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()()()()22010.610.41P a a ξ==-⋅-=-，()()()()()()21210.6110.6C 10.213P a a a a a ξ==-+-⋅-=-+，()()()()12220.6110.60.432P C a a a a a ξ==⋅-+-=-()230.6P a ξ==∵00.4a <<，∴()()()()100.21130P P a a ξξ=-==-+>，()()()2120.23830P P a a ξξ=-==-+>()()()2130.24230P P a a ξξ=-==-+->所以概率()1P ξ=最大．（2）由（1）知，当00.4a <<时，有()11t P ξ==的值最大，且()()()23230.2670t t P P a a ξξ-==-==->，123t t t >>，所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．证明如下：假设1p ，2p ，3p 为1t ，2t ，3t 的任意一个排列，即若甲、乙、丙按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成项目的概率为1p ，2p ，3p ，记在比赛时所需派出的小组个数为η，则1η=，2，3，且η的分布列为：η123P1p ()121p p -()()1211p p --数学期望()()()()1121212122131132E p p p p p p p p p η=+-+--=--+，∵123t t t >>，∴11p t ≤，()()()()12121111p p t t --≥--，∴()()()()121212112112123221121132p p p p p p p t t t t t t t --+=+---≥+---=--+，所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．22．【解析】（1）()cos 1mf x x x=-+'，因为函数()f x 在()0,+∞上是减函数，所以()cos 10mf x x x=-+≤'在()0,+∞上恒成立，当0m <时，()cos 10mf x x x=-+≤'在()0,+∞上恒成立，满足题意；当0m >时，当0,2m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由2m x >，故()cos 1cos 12cos 10m f x x x x x =-+>'-+=+≥，与()0f x '≤在()0,+∞上恒成立矛盾，所以m 的取值范围为(),0-∞．（2）令()cos 10mf x x x=-+='得cos m x x x =-，令()cos g x x x x =-，()0,2πx ∈，则()1cos sin g x x x x =-+'，所以当(]0,πx ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(]0,π上单调递增，当3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2sin cos 0g x x x x =+'<'，故函数()g x '在3ππ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，因为()π20g '=>，3π3π1022g ⎛⎫=-<⎪⎝⎭'，所以存在13ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，即1111cos sin 0x x x -+=，所以当()1π,x x ∈时，()0g x '>，()g x 在()1π,x 上单调递增；当13π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<在13π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当3π,2π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()3cos sin 0g x x x x '''=->恒成立，所以()g x ''在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为3π202g ⎛⎫=-<⎪⎝⎭''，()2π2π0g ='>'，所以存在23π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x ''=，即2222sin cos 0x x x +=，所以当23π,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当()2,2πx x ∈时，()0g x ''>，()g x '单调递增，因为3π3π1022g ⎛⎫=-<⎪⎝⎭'，()2π0g '=，所以()g x 在3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，综上，函数()g x 在()10,x 上单调递增，在()1,2πx 上单调递减，且()()02π0g g ==，()()1111cos g x x x =-，因为()11111cos sin 0g x x x x '=-+=，即1111sin cos x x x +=，所以()()2111111cos sin g x x x x x =-=-，所以()()21110sin g x g x x x <≤=-，其中13ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当2110sin m x x <<-时，直线y m =与()y g x =的图象在()0,2π上有两个交点，所以()f x '在()0,2π上有两个变号零点，即()f x 在()0,2π上有两个极值点．所以取1x α=，则cos 1sin ααα=+，当20sin m αα<<-时，()f x 在()0,2π上有两个极值点．。
2023-2024学年广东省广州市海珠区六年级(上)第四次月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年广东省广州市海珠区六年级（上）第四次月考数学试卷一、填空。
（共9小题，共32分）1．（2分）48.6%读作 ，百分之零点零六写作 。
2．（2分）小明投篮的命中率是60%，表示 占 的60%。
3．（6分） ÷ ＝＝20%＝ ： ＝ （填小数）。
4．（2分）如图是小明下载某文件的示意图，表示还有 没有完成。
5．（4分）看线段图列式。
（1）列式： 。
（2）列式： 。
6．（6分）把问题和相对应的算式连起来。
六年级有男生80人，比女生多20人。
（1）女生人数是男生的百分之几？20÷80（2）男生人数比女生多百分之几？（80﹣20）÷80（3）女生人数比男生少百分之几？20÷（80﹣20）7．（3分）扇形统计图能比较清楚地反映 和 之间的关系，它用整个圆表示 。
8．（4分）1+3+5+7+9+11+13＝ 2＝ 。
9．（3分）++++++＝ ．二、选择。
（选择正确答案的序号填在括号里）（共6小题，每小题2分，共12分）10．甲数的50%等于乙数的（甲、乙均不为0），则甲数（ ）乙数。
A．大于B．等于C．小于11．罐子里有500克糖，吃了20%后，添加了剩下的20%，现在罐子里的糖重（ ）A．500克B．480克C．520克12．一种商品原来售价250元，降价后售价为200元，这种商品价格降了百分之几？正确的列式是（ ）A．（250﹣200）÷250 B．（250﹣200）÷200C．250÷200﹣113．人离不开水，成年人每天体内47%的水靠喝水获得，39%来自食物含的水，14%来自体内氧化时释放出来的水．最适合选用（ ）统计图．A．条形B．折线C．扇形14．下面的百分率中，（ ）可能大于100%。
A．中奖率B．增长率C．出勤率15．要反映某品牌空调销售的变化情况，适宜选用 统计图；要反映各品牌空调的销售额占销售总额的百分比情况，适宜选用 统计图。
湖南省长沙市2023-2024学年高三上学期月考(四)数学试题(解析版)
大联考2024届高三月考试卷（四）数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合{}{13},2,1,0,1M x x N =-<<=--∣，则M N ⋂=（）A.{}1,0,1- B.{}0,1 C.{11}x x -<<∣ D.{11}xx -<≤∣【答案】B 【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】由已知得{}0,1M N = ．故选：B2.已知i 是虚数单位，若()()2i 1i 4i a ++=，则实数=a （）A.2B.0C.1- D.2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数乘法运算法则，根据复数相等列方程组即可求.【详解】因为R a ∈，()()()2i 1i 22i 4i a a a ++=-++=，所以2024a a -=⎧⎨+=⎩，解得2a =．故选:A3.设随机变量2(,)X N μσ ，且()3()P X a P X a <=≥，则()P X a ≥=（）A .0.75B.0.5C.0.3D.0.25【答案】D 【解析】【分析】利用对立事件的意义，结合正态分布列式计算即得.【详解】随机变量2(,)XN μσ ，显然()()1P X a P X a <+≥=，而()3()P X a P X a <=≥，所以()0.25P X a ≥=.故选：D4.已知43log log 5,log 2a b c ===，则下列结论正确的是（）A.<<b c aB.c b a <<C.b a c <<D.<<c a b【答案】B 【解析】【分析】利用1作为中间量，判断b 、c 的大小，利用换底公式判断a 、b 的大小.【详解】因为2234422log 62log log 21log 5log 6==log log 42c b a =<<=<=，即c b a <<．故选：B ．5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（）A.6πB. C.9πD.12π【答案】C 【解析】【分析】利用圆锥与其内切球的轴截面，由已知数据计算出圆锥底面半径和母线长，可求圆锥的表面积.【详解】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，由已知111,2O D SO ==，可知130O SD ∠=，所以圆锥的轴截面为正三角形，因为3SO =，所以圆锥底面圆半径tan 30AO SO =⋅=cos 06AOSA ==o，则圆锥的表面积为2ππ9πS =⨯+=．故选：C ．6.已知角π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且满足cos 4παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2cos αα+=（）A.2-B.2516 C.2516-D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由条件可得tan α的值，从而可得sin ,cos αα，即可得到结果.【详解】由已知得π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭3(sin cos )cos ααα-=，∴4tan 3α=，∵π(0,2α∈，∴43sin ,cos ,sin 2cos 255αααα==+=.故选：D7.在等腰ABC 中，2,30,AC CB CAB ABC ∠===︒ 的外接圆圆心为O ，点P 在优弧 AB 上运动，则2PA PB PO PC PA PB⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪-+⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦的最小值为（）A.4B.2C.-D.6-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得圆O的外接圆直径，从而可得PA PB PA PB += ，代入计算，即可得到结果.【详解】由已知2,30AC CB CAB ∠===︒，所以圆O 的外接圆直径为24sin BCR A==，因为30APC ABC BPC BAC ∠∠∠∠====︒，所以PA PB PA PB += ，所以22112||2(2622PA PB PO PC PO PC PC PC PA PB PC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪-+⋅=-⋅=-=--⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2AC PC R <≤ ，即24PC <≤，所以PC = 时，取到最小值6-．故选：D ．8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A.221189x y += B.2212718x y += C.2213627x y += D.2214536x y +=【答案】A 【解析】【分析】利用弦中点坐标由点差法即可计算出222a b =，利用焦点坐标即可得2218,9a b ==，即得出椭圆方程.【详解】根据题意设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩；两式相减可得22221212220x x y y a b --+=，整理可得2221211122y y x x b a x x y y --++=-；又因为AB 的中点坐标为()1,1-，可得12122,2x x y y +=+=-；因此过,A B 两点的直线斜率为212212ABy y b k x x a -==-，又()3,0F 和AB 的中点()1,1-在直线上，所以101132AB k --==-，即2212b a =，可得222a b =；又易知3c =，且22229a b c b =+=+，计算可得2218,9a b ==；所以椭圆E 的方程为221189x y +=，代入AB 的中点坐标为()1,1-，得()22113118918-+=<，则其在椭圆内部，则此时直线AB 与椭圆相交两点.故选：A二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中3b a =．则下列结论正确的是（）A.0.01a =B.满意度计分的众数为80分C.满意度计分的75%分位数是85分D.满意度计分的平均分是76.5【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率之和为1即可求解A ，根据众数，中位数以及平均数的计算即可分别求解BCD.【详解】由频率分布直方图可知()0.0150.035101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，所以选项A 正确；满意度计分的众数为75分，所以选项B 错误；前三组的频率之和为0.10.150.350.6++=<0.75，前四组的频率之和为0.60.30.90.75+=>，则75%分位数[80,90)m ∈，故0.750.68010850.90.6m -=+⨯=-，满意度计分的75%分位数为85，所以选项C 正确；满意度计分的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分，所以选项D 正确．故选:ACD ．10.已知函数()sin2(0)f x a x x a =+>的最大值为，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为π2B.3a =C.函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称D.函数()f x =在区间()0,π内有两个不同实根【答案】BD 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()sin2(0)f x a x x a =+>，求出最大值，根据最大值为a 的值，然后利用正弦型函数的性质依次判断即可.【详解】因为()()sin22,sin f x a x x x ϕϕϕ=+=+==所以max 2ππ,()2T f x ===又()f x的最大值是=，又0a >，所以3a =，所以选项A 错误，B 正确；由于()313sin2sin2cos22226f x x x x x x π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，因为πππ2012126f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以选项C 错误；当()00,πx ∈时，0ππ13π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由()00π26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即0π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求得0π2x =或05π6x =，所以选项D 正确．故选：BD ．11.已知数列{}n a 满足()*111,N 12nn na a a n a +==∈-，数列{}nb 满足1n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B.10218211a a a =+C.12n S <-D.1n S ≥-【答案】ABC 【解析】【分析】由题意可得1112n na a +-=-，再根据等差数列的定义及性质即可判断AB ；求出数列{}n a 和{}nb 的通项，再利用裂项相消法即可求出n S ，从而可判断CD .【详解】因为111,12n n n a a a a +==-，所以112112n n n na a a a +-==-，所以1112n na a +-=-，且111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2-，所以10218211a a a =+，所以选项AB 正确；因为()112132n n n a =--=-，所以132n a n=-，所以()()()()1111113212232122321n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪------⎝⎭，所以11111111111211133525232321n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11112212n ⎛⎫=--<- ⎪-⎝⎭，所以选项C 正确，D 错误．故选：ABC ．12.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD的正方形，1,DE BF DE == ,BF DE ⊥平面ABCD ，动点P 在线段EF 上，则下列说法正确的是（）A.AC DP⊥B.存在点P ，使得DP 平面ACFC.当动点P 与点F 重合时，直线DP 与平面AFC 所成角的余弦值为31010D.三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是92π【答案】ABC 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可判断选项A ；由线面平行的判定定理和性质定理可判断选项B ；由面面垂直的判定定理、面面垂直的性质及余弦定理可判断选项C ；由截面是ACF △的外接圆及正弦定理可判断选项D .【详解】令AC BD O = ，连接FO ，令EF 中点为G ，连接DG ，如图所示：由底面ABCD 是正方形可得：O 是,BD AC 的中点，且AC BD ⊥；由DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面DEFB ，BD ⊂平面ABCD 可得：平面ABCD ⊥平面DEFB ，DE BD ⊥；由1,DE BF DE ==BF ，DE BD ⊥可得：四边形BDEF 为矩形.对于选项A ：由AC BD ⊥，平面ABCD ⊥平面DEFB ，平面ABCD ⋂平面DEFB BD =，AC ⊂平面ABCD ，可得AC ⊥平面DEFB .又DP ⊂平面DEFB ，所以AC DP ⊥，故A 正确；对于选项B ：因为在矩形BDEF 中，DO ,FG DO FG =，所以四边形DOFG 是平行四边形，则直线DG OF .因为OF ⊂平面,ACF DG ⊄平面ACF ，则DG 平面ACF .故当P 是线段EF 中点G 时，直线DP 平面ACF ，故B 正确；对于选项C ：因为AC ⊥平面DEFB ，AC ⊂平面AFC ，所以平面BDEF ⊥平面AFC ，所以()DP DF 在平面AFC 内射影在直线OF 上，直线DP 与平面AFC 所成角为()OFD OPD ∠∠.在OFD △中，2223101,210OF DF DO OD OF DF OFD OF DF ∠+-=====⋅，故C 正确；对于选项D ：因为在ACF △中，2,AC AF ==CF FO ==，则6sin 3OF FAC AF ∠==.由正弦定理得：ACF △的外接圆直径2sin FC r FAC ∠==，则半径r =29ππ8S r ==.因为三棱锥A CDE -的外接球的球心在过点O 且与平面ACD 垂直的直线上，四边形BDEF 为矩形，所以点F 在三棱锥A CDE -的外接球上.所以三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面是ACF △的外接圆，因此三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是98π，故D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间中线线垂直的证明、线面平行的证明、线面角的求法及球的截面问题.解题关键在于熟练灵活掌握空间线面位置关系的判断方法.选项D 先判断出截面的形状，再利用正弦定理求出半径即可求解判断.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数()()32,2log 2,2xx f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()7f f 的值为__________．【答案】4【解析】【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】由题意可得，()()37log 272f =+=，所以()()()27224f f f ===．故答案为：414.2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有,,A B C 共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为__________．【答案】29【解析】【分析】根据给定条件，求出该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数，再求出3个窗口各有1辆车在等候的事件含有的基本事件数，利用古典概率公式计算得解.【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为33，3个窗口各有1辆车在等候的事件含有33A 个基本事件，所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为333A 329P ==.故答案为：2915.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作一条直线与双曲线右支交于,A B两点，坐标原点为O ，若1|||5OA BF a ==，则该双曲线的离心率为___________.【答案】2【解析】【分析】由12OA OF OF ==得出12AF AF ⊥，由定义结合勾股定理得出m a =，再由勾股定理得出离心率.【详解】解：如图，1212,OA OF OF c AF AF ===∴⊥因为15BF a =，则21||||23BF BF a a =-=，设2AF m =，则12AF m a =+，则3AB m a =+，由勾股定理可得22211||||||AF AB BF +=，即()()()222235m a m a a +++=，整理可得22560m am a +-=，因为0m >，解得m a =，所以，2AF a =，13AF a =，由勾股定理可得2221212||||||AF AF F F +=，即()22292a a c +=，整理可得210c a =，因此，该双曲线的离心率为10c e a ==.故答案为：10216.已知关于x 的不等式()21e 0xx k x -+>恰有3个不同的正整数解，则实数k 的取值范围是__________．【答案】43169,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意知，关于x 的不等式()21e x x k x >+恰有3个不同的正整数解．设函数()2e x x f x =，()1y k x =+，作出函数图象，由图象观察，可得实数的k 取值范围．【详解】当0k =时，不等式20x >有无数个正整数解，不满足题意；当0k <时，当0x >时，不等式()21e 0xx k x -+>恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意；当0k >时，不等式()21e 0xx k x -+>等价于()21ex x k x >+，令()2e x x f x =，所以()()222e ex x x x x x f x --=='，当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当02x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，又()()2400,2ef f ==，结合单调性可知，当0x >时，()0f x >恒成立，而()1y k x =+表示经过点()1,0-的直线，由图像可知，关于x 的不等式()21e 0xx k x -+>恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件：()()()34111,e 931,e 1641,e k k k ⎧+<⎪⎪⎪+<⎨⎪⎪+≥⎪⎩解得431695e 4e k ≤<．则实数k 的取值范围是43169,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为：43169,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类：（1）解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若利用数形结合的方法，问题将简单化；（2）确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观；（3）证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决.四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin sin sin 2sin 2sin a A c B b C b B c C ++=+．（1）求角A 的大小；（2）设角A 的内角平分线交BC 于点M ，若ABC的面积为AM =b c +的值．【答案】（1）π3A =（2）8+=b c【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；（2）根据=+ ABC ABM ACM S S S 化简整理可得.【小问1详解】由2sin sin sin 2sin 2sin a A c B b C b B c C ++=+及正弦定理得：222222a cb bc b c ++=+，即222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又0πA <<，所以π3A =．【小问2详解】由角A 的内角平分线交BC 于点M 可知π6BAM CAM ∠=∠=，11sin sin 22ABC ABM ACM S S S AM c BAM AM b CAM ∠∠=+=⋅+⋅()1133sin sin 224BAM CAM b c ∠∠=⨯+⨯=+=所以8+=b c．18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足74349,29S a a ==+，数列{}n b 满足114,3n n n b b b a +==-．（1）证明：数列{}n b n -是等比数列，并求{}{},n n a b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足,,,,n n n b n n c a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）证明见解析；21n a n =-，3nn b n=+（2）21233288n n n +++-【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意求得47a =和35a =，得到1d =，得到21n a n =-，再由()()113n n b n b n +-+=-，得到{}n b n -为等比数列，进而得到数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得到3,21,n n n c n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，结合分组求和，即可求解.【小问1详解】解：依题意，设数列{}n a 的公差为d ，因为749=S ，所以()17477492a a a +==，则47a =，因为4329a a =+，即3149a =+，所以35a =，所以43132,21d a a a a d =-==-=，所以()112n a n =+-⨯，即21n a n =-．所以()13321n n n n b b a b n +=-=--，所以()()113n n b n b n +-+=-，又因为14b =，所以1130b -=≠，故数列{}n b n -是首项为3，公比为3的等比数列，所以()11133n n n b n b --=-⋅=，所以3n n b n =+．【小问2详解】解：由（1）知21n a n =-，3nn b n =+，可得3,21,n n n c n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以2123212n n nT c c c c c -=+++++ ()()()()135213333221241221n n -⎡⎤=+++++⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦()()21231934133219288n n n n n n +-+-=+=++--．19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC 与BD 交于点O ，平面11AC CA ⊥平面11,2,ABCD AB AA CC ==与底面ABCD 所成的角为60 ．（1）求证：1C O ⊥平面ABCD ；（2）求平面1ACB 与平面11CDD C 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）过1C 作11C O AC ⊥于1O ，利用面面垂直证明线面垂，再结合线面角证明1,O O 为同一点即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】过1C 作11C O AC ⊥于1O ，因为平面11AC CA ⊥平面ABCD ，又平面11A C CA ⋂平面ABCD AC =，11C O ⊂平面11A C CA ，所以11C O ⊥平面ABCD ，所以11C CO ∠为直线1CC 与平面ABCD 所成的角，所以1160C CO ∠=，112CC AA ==，则11CO =，又因为底面ABCD 为正方形，2AB =，所以2AC =，O 是AC 中点，1CO =，可知1,O O 为同一点，所以1C O ⊥平面ABCD ．【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，以O 为原点，1,,OB OC OC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．2==AC BD ，1CO =，112CC AA ==，3CO =，则()()(()()10,1,0,0,1,0,3,1,0,0,1,0,0A C C B D --．又(110,3BB CC ==-，所以(11,3B -，所以()(10,2,0,3AC AB ==，设平面1ACB 的法向量是(),,n x y z =r ，由120,30,n AC y n AB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令1z =，则3,0x y =-=，得()3,0,1n =，因为(()10,3,1,1,0CC CD =-=--，设平面11CDD C 的法向量为()111,,m x y z =r ，所以1111130,0,m CC y z m CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令11z =，则3,3x y ==，得()3,3,1m =-，所以2222223330117cos ,7(3)01(3)(3)1n m n m n m++⨯⋅==-++-++，所以平面1ACB 与平面11CDD C 的夹角的余弦值为277．20.已知圆22:2C x y x +=，动点P 在y 轴的右侧，P 到y 轴的距离比它到的圆心C 的距离小1．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过圆心C 作直线l 与轨迹E 和圆C 交于四个点，自上而下依次为A ，M ，N ，B ，若2AM NB MN +=，求AB 及直线l 的方程．【答案】（1）24(0)y x x =>（2）||6AB =，2(1)y x =-【解析】【分析】（1）易得圆的半径1r =，圆心(1,0)C ，由题意得到点P 到定点(1,0)C 的距离与到定直线=1x -的距离相等，再利用抛物线的定义求解；（2）由圆C 的半径为1，得到||2MN =，再由||||||||2||AM NB AB MN MN +=-=，得到36AB MN ==，易知直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =+，与抛物线方程联立，利用弦长公式求解.【小问1详解】22:2C x y x +=化为()2211x y -+=，可得半径1r =，圆心(1,0)C ，因为动点P 在y 轴的右侧，P 到y 轴的距离比它到的圆心C 的距离小1，所以点P 到定点(1,0)C 的距离与到定直线=1x -的距离相等，∴由抛物线的定义得(,)P x y 的轨迹E 方程为24(0)y x x =>；【小问2详解】如图所示：由圆C 的半径为1，可得||2MN =，||||2||4AM NB MN ∴+==又||||||||2||AM NB AB MN MN +=-=，36AB MN ∴==，当直线l 的斜率为0时，直线l 与抛物线只有1个交点，不合题意；所以直线l 的斜率不为0，可设直线:1l x my =+，联立2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，216160m ∆=+>恒成立，12124,4y y m y y +==-，因为||6AB =，126y -==，解得212m =，所以直线l 的方程为11)2x y y x =±+⇒=-．21.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T 全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．（1）求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X 的分布列；（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设()*n p n ∈N 表示事件“第n 天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若12n p >恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）可以；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由条件可得X 的可能取值为1,2,3，然后分别求出其所对应的概率，即可得到分布列.（2）根据题意，由条件可得12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，38为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可得到结果.【小问1详解】设计算机4次生成的数字之和为ξ，则14,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()444012444111113C C C 22216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()531316P P ξξ≥=-<=，X 的可能取值为1,2,3，则()5115511616256P X ==⨯=，()25511805216161625616P X ⎛⎫==+⨯==⎪⎝⎭，()211121316256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X123P55256516121256【小问2详解】设1n A -表示事件第n 1-天该企业产品检测选择的是智能检测，n A 表示事件第n 天该企业产品检测选择的是智能检测，由全概率公式可知()()()()()()11111111153511616816n n n n n n n n n n n P P A P A A P A P A A P A P P P -------==+=+-=+则153168n n P P -=+，2n ≥，即1131282n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2n ≥，且11122P -=，所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，38为公比的等比数列，则1113228n n P -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以111312282n n P -⎛⎫=+⋅>⎪⎝⎭恒成立，所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到奖金.22.已知函数()()e 11xf x a x =+--，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，证明：()ln cos f x x x a x >-．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x '，然后对a 进行分类讨论，从而求得()f x 的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，利用构造函数法、放缩法，结合多次求导来研究所构造函数的单调性，进而证得不等式成立.【小问1详解】因为()()e 11xf x a x =+--，所以()e 1xf x a =+-'，当1a ≥时，()e 10xf x a =+->'，函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时，由()e 10xf x a =+->'，得()ln 1x a >-，函数()f x 在区间()()ln 1,a ∞-+上单调递增，由()()e 10xf x a =+-<'，得()ln 1x a <-，函数()f x 在区间()(),ln 1a -∞-上单调递减．【小问2详解】要证()ln cos f x x x a x >-，即证()()e 11ln cos ,0,xa x x x a x x ∞+-->-∈+，即证()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，设()()cos ,1sin 0k x x x k x x =-'=+≥，故()k x 在()0,∞+上单调递增，又()010k =>，所以()1k x >，又因为1a >，所以()cos cos a x x x x +>+，所以()e cos 1ln e cos 1ln xxa x x x x x x x x ++--->+--，①当01x <≤时，因为e cos 10,ln 0x x x x +->≤，所以e cos 1ln 0x x x x +-->；②当1x >时，令()e cos ln 1xg x x x x =+--，则()e ln sin 1xg x x x '=---，设()()h x g x '=，则()1e cos xh x x x=--'，设()1e cos x m x x x =--，则()21e sin xm x x x=++'，因为1x >，所以()0m x '>，所以()m x 即()h x '在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 1cos10h x h >=--'>'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e sin110h x h >=-->，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()1e cos110g x g >=+->，即e cos 1ln 0x x x x +-->．综上可知，当1a >时，()e cos 1ln e cos 1ln 0x x a x x x x x x x x ++--->+-->，即()ln cos f x x x a x >-．【点睛】方法点睛；求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x 的定义域；（2）计算导数()f x '；（3）求出()0f x '=的根；。
宁夏回族自治区银川2023-2024学年高三上学期第四次月考 理数试题及答案
银川2024届高三年级第四次月考数学（理科）（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323【答案】D 公众号：全元高考【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E ABCD -，该几何体的高为EF ，且4EF =，所以该几何体的体积为13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C.D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =.公众号：全元高考在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， 函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。
七年级数学上学期第四周检测试题湘教版
七年级数学第四周测试姓名：分数：一、填空题：（每小题3分，共30分）1、闹钟的时针顺时针旋转45°记作—45°，那么+60°表示。
2、某机器零件的长度设计为100mm，加工图纸标注的尺寸为100mm±0.5mm，表明这种零件的标准尺寸为100mm，加工时要求最大不超过标准尺寸，最小不少于标准尺寸。
3、一潜水艇所在是海拔—62米，一条鲨鱼在艇上方28米处，则鲨鱼所在的海拔是。
4、最小的正整数是，最大的负整数是，绝对值最小的数是。
5、—（—8）是的相反数。
6、一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点离原点越。
7、绝对值等于8的数有个，它们分别是，并且互为。
8、比较两个数的大小：。
9、两个正数之和为，两个负数之和为，任何一个数与0相加仍得。
10、已知一个数是—2，另一个数比—2的相反数小3，则这两个数的和的绝对值为。
二、选择题：（每小题2分，共20分）11、在下列各数：5；—4；7；142；—12；0；—37中，负整数共有（）个。
A、3；B、2；C、1；D、0。
12、下列语句中，正确的有（）。
①不带“—”号的数都是正数；②如果a是正数，那么—a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④向东走100米记为+100米，那么向南走50米记作—50米。
A、0个；B、1个；C、2个；D、3个。
13、下列语句正确的是（）。
A、数轴上的点只能表示正数；B、两个不同的有理数有可能用数轴上的同一个点表示；C、数轴上的一个点，只能表示一个数；D、有一些分数不能用数轴上的点表示。
14、若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（）。
A、正数；B、正数或0；C、负数；D、负数或0。
15、若（）。
A、8；B、±8；C、±8或±2；D、±2。
16、若a、b互为相反数，c的绝对值是2，则a+b+c的值为（）。
A、2；B、—2；C、±2；D、0。
河南省郑州市第四初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
河南省郑州市第四初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．320x +=B ．22x y +=-C ．2210ax x +-=D ．27x x = 2．如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，则下列比例式中错误的是（ ）A ．AD AE AB AC = B ．CE CA CF CB = C ．DE AD BC BD = D ．EF CF AB CB = 3．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A 盘被分成面积相等的几个扇形，B 盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A 盘和B 盘，她赢得游戏的概率是（ ）A ．25B ．16C ．13D ．194．如图，四边形ABCD 是萎形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，∠CAD ＝25°，则∠DHO 的度数是（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°5．如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，AC 与BD 相交于点O ，则ABOV 的面积与CDO V的面积的比为（ ）A．1：2 B 2 C ．1：4 D 46．如图，已知D 是ABC V 的边AC 上一点，根据下列条件，不能判定CAB CBD △∽△的是（ ）A ．A CBD ∠=∠B ．CBA CDB ∠=∠C ．AB CD BD BC ⋅=⋅ D ．2BC AC CD =⋅7．如图，将矩形ABCD 对折，使AB 与CD 边重合，得到折痕MN ，再将点A 沿过点D 的直线折叠到MN 上，对应点为A '，折痕为DE ，10AB =，6BC =，则A N '的长度为（ ）A ．10-B ．4C ．10-D ．38．操场上有一根竖直的旗杆AB ，它的一部分影子()BC 落在水平地面上，另一部分影子()CD 落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m ，地面的影长为2.8m ，同时测得一根高为2m 的竹竿OM 的影长是 1.4m ON =，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ）A ．4.5mB ．104.7mC ．5.2mD ．5.7m9．如图，正方形ABCD 的边长为P 为对角线BD 上动点，过P 作PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F ，连接EF ，则EF 的最小值为（ ）A ．2B ．4CD ．110．如图，OABC Y 的顶点(0,0)O ，(1,2)A ，点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D ．将ODA V 绕点O 顺时针旋转得到OD A ''△，当点D 的对应点D ¢落在OA 上时，D A ''的延长线恰好经过点C ，则点C 的坐标为（ ）A ．B ．C ．1,0)D ．1,0)二、填空题11．若25m n =，则22m n m-的值为 ． 12．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x 人，根据题意，可列方程为 ．13．已知线段MN 的长为1，点P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长是．14．如图，点()0,2A -，()1,0B ，将线段AB 平移得到线段DC ，若90ABC ∠=︒，2BC AB =，则点D 的坐标是．15．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，点P ，Q 分别为AB ，BC 上一个动点，将PQB △沿PQ 折叠得到PQD △，点B 的对应点是点D ，若点D 始终在边AC 上，当APD △与ABC V 相似时，AP 的长为．三、解答题16．解下列一元二次方程：（1）220x x --=（2）()233x x x +=-17．菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A ，B ，C ，D 表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．(1)请根据统计图将下面的信息补充完整：①参加问卷调查的学生共有________人；②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________．(2)若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C 课程的学生有多少人？(3)现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．18．若关于x 的一元二次方程()22110mx m x m +++-=有两个不相等实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且22128x x +=，求m 的值．19．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与树顶B 在同一直线上，已知纸板的两条边30cm EF =，40cm DE =，延长DF 交AB 于点C ，测得边DF 离地面的高度 1.5m AC =，12m CD =，求树高AB ．20．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，过点D 作DE AC ∥，且12D E A C =，连接AE CE ，．(1)求证：四边形OCED 为矩形；(2)若菱形ABCD 的边长为4，60BCD ∠=︒，求AE 的长．21．公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？22．在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，分别从A 、C 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，其中010t ≤≤．(1)若G ，H 分别是AD ，BC 中点，则四边形EGFH 一定是怎样的四边形（E 、F 相遇时除外）？______（不用说明理由）(2)在（1）条件下，若四边形EGFH 为矩形，求t 的值；(3)在（1）条件下，若G 向D 点运动，H 向B 点运动，且与点E ，F 以相同的速度同时出发，若四边形EGFH 为菱形，求t 的值．23．如图1，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边上的动点，DE BC ∥交AC 于点E ．问题发现：（1）如图2，当45BAC ∠=︒时，EC DB=___________；EC 与BD 所在直线相交所成的锐角等于___________． 类比探究：（2）当30BAC ∠=︒时，把ADE V 绕点A 逆时针旋转到如图3的位置时，请求出EC DB的值以及EC 与BD 所在直线相交所成的锐角． 拓展应用：（3）若4AC =，2BC =，点D 为AB 边的中点，ADE V 绕点A 逆时针旋转的过程中，当点B 、D 、E 三点在同一直线上时，请直接写出线段EC 的长度．。
湖北省武汉市第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
湖北省武汉市第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE xAB yAC =+u u u ru u u ru u u r是“//DE 平面ABC ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，则有（）A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 2<k 3<k 13．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ）A ．19B ．89C ．13D ．234．已知直线l 的方向向量为(1,2,2)n =-r，(3,0,1)A 为直线l 上一点，若点(4,3,0)P 为直线l外一点，则P 到直线l 上任意一点Q 的距离的最小值为（ ）A ．2BC D ．15．下列命题：①若向量,a b r r 满足0a b ⋅<r r，则向量,a b r r 的夹角是钝角；②若,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,A B C D 四点共面；③若向量{},,a b c r r r 是空间的一个基底，若向量m a c =+u r r r，则{},,a b m r r u r 也是空间的一个基底；④若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =r ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-r，则直线l 与平面α⑤已知向量(9,8,5)a =--r ，(2,1,1)b =r ，则向量a r在向量b r 上的投影向量是1055,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭；其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 7610 4281 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.757．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为A ．116B ．316C ．14D ．13168的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，则下列结论不正确的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．ACD V 是等边三角形C ．点B 与平面ACD D ．AB 与CD 所成的角为60︒二、多选题9．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()()P A B P A P B =+U ；③若事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，则A ，B 相互独立；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中错误的命题是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB BC ===，E ，F ，N 分别为AC ，1CC 和BC 的中点，D 为棱11A B 上的一动点，且11BF A B ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．BF DE ⊥B ．三棱锥F DEN -的体积为定值C ．13FD AA ⋅=u u u r u u u rD ．异面直线1AC 与1B N 11．如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ，点P 为半圆弧»AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合），下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥P ABD -的四个面都是直角三角形B ．三棱锥P ABD -的体积最大值为1254C ．当30PAD ∠=︒时，异面直线PA 与BD D ．当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面三、填空题12．已知直线1l 的倾斜角为45︒，直线12l l ∥，若直线2l 过点()()2,3,5,A B n ，则n =． 13．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1π3A AB DAB ∠=∠=，1π2A AD ∠=，12AB AD AA ===，则1D B =．14．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为12，乙队中3名选手答对题的概率分别为211,,334.在第一轮比赛中，甲队得x 分，乙队得y 分，则在这一轮中，满足02x y <-≤且0y ≠的概率为.四、解答题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，M 分别是线段1A D ，EC ，1AA 的中点.设AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r .(1)用基底{},,a b c r r r表示向量1A F u u u u r .(2)棱BC 上是否存在一点G ，使得MF EG ⊥？若存在，指出G 的位置；若不存在，请说明理由.16．已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；(2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.(1)证明：1A B CP ⊥.(2)求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.(3)设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，1,2,60PA AD PB BD AB BDC ∠======o ，且BD BC ⊥．(1)若点E 在PC 上，且//BE 平面PAD ，证明：E 为PC 的中点；(2)已知二面角P AB D --的大小为60o ，求平面PBD 与平面PCD 夹角的正切值． 19．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为12，且每局比赛相互独立.(1)求比赛进行四局结束的概率； (2)求甲获得比赛胜利的概率.。
湖南2023-2024学年高三上学期月考卷(四)数学试题含答案
湖南2024届高三月考试卷（四）数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.()4,5- B.()4,3 C.()3,4- D.()5,4【答案】C 【解析】【分析】根据题意得234i z =-+，再分析求解即可.【详解】根据题意得：()22212i 14i 4i 34i z =+=++=-+，所以复数2z 在复平面内对应的点的坐标为：()3,4-.故选：C.2.若随机事件A ，B 满足()13P A =，()12P B =，()34P A B ⋃=，则()P A B =（）A.29B.23C.14D.16【答案】D 【解析】【分析】先由题意计算出()P AB ，再根据条件概率求出()P A B 即可.【详解】由题意知：()3()()()4P A B P A P B P AB ==+- ，可得1131()32412P AB =+-=，故()1()1121()62P AB P A B P B ===.故选：D.3.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，若{}n a 为递减数列，当11a >，则01q <<，所以11n n a a q -=，令111n n a a q -=<，则111n qa -<，所以1111log log qq n a a ->=-，所以11log q n a >-时1n a <，当101a <<，则01q <<，所以111n n a a q -=<恒成立，当11a =，则01q <<，所以11n n a a q -=，当2n ≥时1n a <，当10a <，则1q >，此时110n n a a q -=<恒成立，对任意N*n ∈均有1n a <，故充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <，当10a <且01q <<，则110n n a a q -=<恒成立，所以对任意N*n ∈均有1n a <，但是{}n a 为递增数列，故必要性不成立，故“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的充分不必要条件；故选：A4.设π(0,2α∈，π(0,)2β∈，且1tan tan cos αβα+=，则（）A.π22αβ+=B.π22αβ-=C.π22βα-= D.π22βα+=【答案】D 【解析】【分析】根据给定等式，利用同角公式及和角的正弦公式化简变形，再利用正弦函数性质推理即得.【详解】由1tan tan cos αβα+=，得sin sin 1cos cos cos αβαβα+=，于是sin cos cos sin cos αβαββ+=，即πsin()sin()2αββ+=-，由π(0,)2α∈，π(0,2β∈，得20π,0<ππ2αββ<+-<<，则π2αββ+=-或ππ2αββ++-=，即π22βα+=或π2α=（不符合题意，舍去），所以π22βα+=.故选：D5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和.【详解】由()52345012345(12)1(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，对于A 中，令1x =，可得01a =-，所以A 错误；对于B 中，[]55(12)12(1)x x -=---，由二项展开式的通项得44145C (2)(1)80a =⋅-⋅-=-，所以B 错误；对于C 中，012345a a a a a a +++++与5(12(1))x +-的系数之和相等，令11x -=即50123453a a a a a a +++++=，所以C 正确；对于D 中，令2x =，则50123453a a a a a a +++++=-，令0x =，则0123451a a a a a a -+-+-=，解得5024312a a a -+++=，5135312a a a --++=，可得()()10024135314a a a a a a -++++=，所以D 错误.故选：C.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据()y f x =在[]3,5-的零点，转化为11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]3,5-上有8个交点，即可求出.【详解】因为()()112cos 2023π2cosπ11f x x x x x ⎡⎤=++=-⎣⎦--，令()0f x =，则12cosπ1x x =-，则函数的零点就是函数11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-交点的横坐标，可得11y x =-和2cosπy x =的函数图象都关于直线1x =对称，则交点也关于直线1x =对称，画出两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，函数11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-上有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于直线1x =对称，故所有零点的和为428⨯=.故选：D7.点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.(2-【解析】【分析】依据题目条件可知圆的半径为2b a ，画出图形由PQMc >，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】依题意，不妨设F 为右焦点，则(),M c y ，由圆Ｍ与x 轴相切于焦点F ，M 在椭圆上，易得2b y a =或2b y a =-，则圆的半径为2b a.过M 作MN y ⊥轴垂足为N ，则PN NQ =，MN c =，如下图所示：PM ，MQ 均为半径，则PQM为等腰三角形，∴PN NQ ==∵PMQ ∠为钝角，∴45PMN QMN ∠=∠> ，即PN NQ MN c =>=c >，即4222b c c a ->，得()222222a a c c ->，得22a c ->，故有210e -<，从而解得6202e <<.故选：B8.已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩ 若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（）A.{2,1,0,1}--B.{2,1,0}--C.{1,0,1}-D.{2,1}-【答案】A 【解析】【分析】作出()f x 的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(,1)a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】作出()f x 的函数图象如图所示：()10f x x a-<-表示点()(),x f x 与点(),1a 所在直线的斜率，可得曲线()f x 上只有一个点()(),x f x （x 为整数）和点(),1a 所在直线的斜率小于0，而点(),1a 在动直线1y =上运动，由()20f -=，()14f -=，()00f =，可得当21a -≤≤-时，只有点()0,0满足()10f x x a -<-；当01a ≤≤时，只有点()1,4-满足()10f x x a-<-.又a 为整数，可得a 的取值集合为{}2,1,0,1--.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已知双曲线C过点(，且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点【答案】AC 【解析】【分析】由双曲线的渐近线为3y x =±，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；联立方程组判断D ．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为33y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确；由23a =，21b =，得2c ==，∴双曲线C3=，故B 错误；取20x -=，得2x =，0y =，曲线21x y e -=-过定点(2,0)，故C 正确；联立221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，化简得220,0y -+-=∆=，所以直线10x -=与C 只有一个公共点，故D 不正确．故选：AC ．10.已知向量a ，b 满足2a b a += ，20a b a ⋅+= 且2= a ，则（）A.2b =B.0a b +=C.26a b -= D.4a b ⋅=【答案】ABC 【解析】【分析】由2a b a += ，得20a b b ⋅+= ，又20a b a ⋅+= 且2= a ，得2b = ，4a b ⋅=- ，可得cos ,1a b a b a b⋅==- ，,πa b = ，有0a b += ，26a b -= ，可判断各选项.【详解】因为2a b a += ，所以222a b a += ，即22244a a b b a +⋅+= ，整理可得20a b b ⋅+= ，再由20a b a ⋅+= ，且2= a ，可得224a b == ，所以2b = ，4a b ⋅=- ，A 选项正确，D 选项错误；cos ,1a b a b a b⋅==- ，即向量a ，b 的夹角,πa b = ，故向量a ，b 共线且方向相反，所以0a b += ，B 选项正确；26a b -=，C 选项正确.故选：ABC11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点,P M ，使得二面角--M DC P 大小为23πB.存在点,P M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC 的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD-外接球的体积为3【答案】BC 【解析】【分析】由题意，证得1,CD MD CD DD ⊥⊥，得到二面角--M DC P 的平面角1π0,2MDD ⎡∠∈⎤⎢⎥⎣⎦，可得判定A 错误；利用线面平行的判定定理分别证得11//B D 平面BDP ，1//MB 平面BDP ，结合面面平行的判定定理，证得平面//BDP 平面11MB D ，可判定B 正确；取1DD 中点E ，证得PE ME ⊥，得到2ME ==，得到点M 在侧面11ADD A 内运动轨迹是以E 为圆心、半径为2的劣弧，可判定C 正确；当M 为1AD 中点时，连接AC 与BD 交于点O ，求得OM OA OB OC OD ====，得到四棱锥M ABCD -外接球的球心为O ，进而可判定D 错误.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得CD ⊥平面11ADD A，因为MD ⊂平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，所以1,CD MD CD DD ⊥⊥，所以二面角--M DC P 的平面角为1∠MDD ，其中1π0,2MDD ⎡∠∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以A 错误；如图所示，当M 为1AA 中点，P 为1CC 中点时，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//B D BD ，因为11B D ⊄平面BDP ，且BD ⊂平面BDP ，所以11//B D 平面BDP ，又因为1//MB DP ，且1MB ⊄平面BDP ，且DP ⊂平面BDP ，所以1//MB 平面BDP ，因为1111B D MB B = ，且111,B D MB ⊂平面11MB D ，所以平面//BDP 平面11MB D ，所以B 正确；如图所示，取1DD 中点E ，连接PE ，ME ，PM ，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，且//CD PE ，所以PE ⊥平面11ADD A ，因为ME ⊂平面11ADD A ，可得PE ME ⊥，则2==ME ，则点M 在侧面11ADD A 内运动轨迹是以E 为圆心、半径为2的劣弧，分别交AD ，11A D 于2M ，1M ，如图所示，则121π3D E D M M E ∠=∠=，则21π3M M E ∠=，劣弧12M M 的长为π3π223⨯=，所以C 正确当M 为1A D 中点时，可得AMD 为等腰直角三角形，且平面ABCD ⊥平面11ADD A ，连接AC 与BD 交于点O ，可得OM OA OB OC OD =====，所以四棱锥M ABCD -外接球的球心即为AC 与BD 的交点O ，所以四棱锥M ABCD -，其外接球的体积为348233π⨯=，所以D 错误.故选：BC.12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D.()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.【答案】ABD 【解析】【分析】令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，得到A 正确；设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，根据隔离直线定义可得不等式组22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立；分别在0k =和0k <两种情况下讨论b 满足的条件，进而求得,k b 的范围，得到B 正确，C 错误；根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为y kx e =-；分别讨论0k =、0k <和0k >时，是否满足()()e 0f x kx x ≥->恒成立，从而确定k =，再令()()e G x h x =--，利用导数可证得()0G x ≥恒成立，由此可确定隔离直线，则D 正确.【详解】对于A ，()()()21m x f x g x x x=-=-，()212m x x x '∴=+，()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x ''>，()m x '∴单调递增，()2233220m x m ⎛'∴>-=--+= ⎝，()m x ∴在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，A 正确；对于,B C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx bx ⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立.由210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立得：0k ≤.⑴若0k =，则有0b =符合题意；⑵若0k <则有20x kx b --≥对任意(),0x ∈-∞恒成立，2y x kx b =-- 的对称轴为02kx =<，2140k b ∆+∴=≤，0b ∴≤；又21y kx bx =+-的对称轴为02bx k =-≤，2240b k ∴∆=+≤；即2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩，421664k b k ∴≤≤-，40k ∴-≤<；同理可得：421664b k b ≤≤-，40b ∴-≤<；综上所述：40k -≤≤，40b -≤≤，B 正确，C 错误；对于D ， 函数()f x 和()h x 的图象在x =处有公共点，∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-+，则()()e 0f x kx x ≥->恒成立，若0k =，则()2e 00x x -≥>不恒成立.若0k <，令()()20u x x kx e x =-+>，对称轴为02k x =<()2u x x kx e ∴=-+在(上单调递增，又0ue e =--=，故0k <时，()()e 0f x kx x ≥->不恒成立.若0k >，()u x 对称轴为02kx =>，若()0u x ≥恒成立，则()(22340k e k ∆=-=-≤，解得：k =.此时直线方程为：y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()2ln G x e h x e e x =--=--，则()x G x x-'=，当x =时，()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()min 0G x G==，()()0G x e h x ∴=--≥，即()h x e ≤-，∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图像在点()()11M f ，处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+＝______．【答案】3【解析】【分析】根据导数的几何意义，可得'(1)f 的值，根据点M 在切线上，可求得(1)f 的值，即可得答案.【详解】由导数的几何意义可得，'1(1)2k f ==，又()()11M f ，在切线上，所以15(1)1222f =⨯+=，则()()11f f '+=3，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，33sin 14ACF ∠=，则DEF 的面积为________．【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD △为等边三角形，所以60EFD ∠= ，则120EFA ∠= ，在AFC △中，由正弦定理，则sin sin AF ACACF AFC=∠∠，解得sin 7sin 23314AF AC AFC ACF =⋅∠==∠，由余弦定理，则2222cos AC AF FC AF FC AFC =+-⋅⋅∠，整理可得：21499232FC FC ⎛⎫=+-⨯⋅⋅- ⎪⎝⎭，则23400FC FC +-=，解得5FC =或8-（舍去），等边EFD △边长为532-=，其面积为122sin 602⨯⨯⋅=o .15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+．若123111181n a a a a +++⋅⋅⋅+<，则n 的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】应用等差数列定义得出等差数列,根据差数列通项公式及求和公式求解计算即得.【详解】因为12312133n n n n a a a a ++==+，所以1112,3n n a a +=+，即11123n n a a +-=，且1123a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为23，公差为23的等差数列.可求得()12221333n nn a =+-=，所以()()1232211111212222333n n n n n n a a a a ++⨯+⨯++⨯+++⋅⋅⋅+===，即()()181,12433n n n n +<+<且()*1,N n n n +∈单调递增,1516240,1617272⨯=⨯=.则n 的最大值为15.故答案为:15.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.【答案】6【解析】【分析】以点D 为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得1A C ⊥平面1BC D ，记1AC 与平面1BC D 交于点H ，连接11A C ，1,C O ，AC ，得到12A H HC =，结合点()13,0,3A 关于平面1BC D 对称的点为()1,4,1G --，进而求得1A F EF +的最小值.【详解】以点D 为原点，1,,DA DC DD所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()13,0,3A ，()3,2,3E ，()0,3,0C，因为BD AC ⊥，1BD A A ⊥，且1AC A A A ⋂=，则BD ⊥平面1A AC ，又因为1AC ⊂平面1A AC ，所以1BD A C ⊥，同理得1BC ⊥平面11A B C ，因为1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC A C ^，因为1BD BC B = ，且1,BD BC ⊂平面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D ，记1AC 与平面1BC D 交于点H ，连接11A C ，1C O ，AC ，且AC BD O = ，则11121A H A C HC OC ==，可得12A H HC =，由得点()13,0,3A 关于平面1BC D 对称的点为()1,4,1G --，所以1A F EF +的最小值为6EG ==.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()23sin 2cos 2xf x x m ωω=++的最小值为2-.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值.【答案】（1）2（2）4【解析】【分析】（1）化简函数为()2sin 16f x x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再根据函数()f x 的最小值为2-求解；（2）利用平移变换得到()2sin g x x ω=的图象，再由()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数求解.【小问1详解】解：()23sin 2cos 2xf x x m ωω=++，3sin cos 1x x m ωω=+++，2sin 16x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小值为2-212m ∴-++=-，解得1m =-，则()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最大值为2.【小问2详解】由（1）可知：把函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6πω个单位，可得函数()2sin y g x x ω==的图象.()y g x = 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴函数()g x 的周期22T ππω=4ω∴ ，即ω的最大值为4.18.为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。
北师大版七年级数学上册第四周综合测试题解析
年级数学第四周综合测试（1）姓名：_____________学号：_____班别：_____________一、填空题（1、5、7、每空，1分；2、3、4、6、8每题2分，共21分）1、有理数-43，6.5，-12，-232，0.008，0，∣-3.14∣,1 中属于正分数的有____________,属于正数的有______________,属于整数的有__________,属于负有理数的有____________. 2、41--的相反数是_____________. 3、已知5=a ，则.__________=a4、若m n 与互为相反数，则____________=+m n 。
w W w.x K b 1. c om5、用适当的数填空：（1）9.5+_____=–18； （2）_____–（+5.5）=–5.5；（3）41____)43(-=+-； （4）99.0____1.0-=--. 6、一个n 边形，从一个顶点出发的对角线有______条，这些对角线将n 边形分成了___个三角形．7、比较大小：∣-331∣ _____-(-3.3); -87____-76; -100_____0.001. 8、小红在放风筝，风筝原来的高度是25cm ，然后下降5cm ，接着又上升了7cm ，则风筝现在的高度是_____________m.二、选择题（每小题3分，共30分）1、下列结论正确的是（ ）（A ）0既是正数，又是负数；（B ）0既是最小正数；x k b 1 .c o m（C ）0是最大负数；（D ）0既不是正数，又不是负数；2、、下列图形中，属于数轴的是（ ）3、、 下列说法正确的是( )A ．有理数的绝对值为正数;B.只有正数或负数才有相反数;C.若两数之和为0,则这两个数的绝对值相等;D.若两个数的绝对值相等,这两个数之和为0.4、.若两个有理数的差是正数，那么（ ）（A ）被减数是正数，减数是负数； （B ）被减数和减数都是正数；（C ）被减数大于减数； （D ）被减数和减数不能同为负数.5、冬季的一天，室内温度是c 08，室外温度是c 02-，则室内外温度相差（ ）（A ）c 04；（B ）c 06；（C ）c 010；（D ）c 0166、一个正方体，它的各个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6． 甲、乙、丙三同学从不同角度观察这个正方体，看到的情况如图 所示(不考虑数字的正、倒等)： 下列判断中，正确的是 ( )(A)数字3的对面是数字4 (B)数字l 的对面是数字5(C)数季2的对面是数字6 (D)数字2的对面是数字57、绝对值不大于4的所有整数的和等于（ ）（A ）6； （B ）- 6； （C ）0 ； （D ）128、 已知有理数c b a ,,在数轴上的位置如图，则下列结论错误的是（ ） A 、0<-a c B 、0<+c b C 、0<-+c b a D 、b a b a +=+9、 请注意，大数减小数可以表示这两个数在数轴上的位置之间的距离，请找出下面几对数中距离最大的一对. x k b 1.c o m（1）6和–2 （2）7和0 （3）–1和–14 （4）9和6A 、（1）B 、（2）C 、（3）D 、（4）10、 数轴上的点A 和点B 所表示的数互为相反数，且点A 对应的数是–2，P 是到点A 或点B 距离为3的数轴上的点，则所有满足条件点 P 所表示的数的和为（ ）.A 、0B 、6C 、10D 、16三、做一做1、计算题：（5分）（1）)37(59)17(-++- （2）)8()13(--- ()563--2、列式计算：1025-与41-的和减去32-的差。
开州中学数学七年级上册第四月考试卷(含答案)
开州中学数学七年级上册第四月考试卷（含答案）第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1、- 2的相反数是（）A.1/2B.-2C.-1/2D.22．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1 B．6 C．7 D．103．如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作( )A．+30元B．﹣30元C．+80元D．﹣80元4．下列说法正确的是（）A．一个数的绝对值一定比0大B．一个数的相反数一定比它本身小C．绝对值等于它本身的数一定是正数D．最小的正整数是15．① x－2＝y；② 0.3x =1；③x2－4x=3；④ 5x= 5x －１；⑤x=6；⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56. 当x= -3时，代数式3-2x 的值是（）A．－3 B．9 C．1 D．07.下面几何体的主视图是( )正面 A B C D8、小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为2014(A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（）A．－1006 B．－1007 C．－1008 D．－10099、已知线段AB=6，在直线AB上取一点C，使BC=2，则线段AC的长（）A．2B．4 C．8 D．8或410．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2015个单项式是（）A．2015x2015 B．4029x2014 C．4029x2015 D．4031x2015第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 化简-9/3的结果是 .12、定义“＊”是一种运算符号，规定a﹡b=5a+4b+2013,则(-4)﹡5的值为。
2023年初中生数学第四周测试试卷
下列哪个数是有理数？A. πB. √2C. 3.14159D. 0.1010010001…下列说法正确的是：A. 两个无理数的和一定是无理数B. 无限小数是无理数C. 绝对值等于本身的数是正数D. 两个角的和等于平角时，这两个角互补下列运算正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. a^6 ÷ a^2 = a^3C. (a + b)^2 = a^2 + b^2D. (x^3)^2 = x^6已知函数y = 2x - 1，当x 增加2 时，y 的值：A. 增加1B. 增加2C. 增加4D. 不变下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是：A. 等腰三角形B. 等腰梯形C. 平行四边形D. 圆填空题若|x - 2| = 3，则x = _______ 或_______。
分解因式：x^2 - 9 = _______。
已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的弧长为_______。
已知方程3x + 2y = 10，当x = 2 时，y = _______。
一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形是_______ 边形。
解方程：x^2 - 4x - 5 = 0。
已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为3 和4，求斜边的长。
计算：(a + 2b)(a - 2b) - (a + b)^2。
已知点A(2, 3) 和点B(-1, 0)，求线段AB 的长度。
某商店购进一批单价为20 元的日用品，如果按每件25 元的价格出售，那么每天可销售100 件；经调查发现，这种日用品的销售单价每提高1 元，其销售量相应减少10 件。
将销售价定为多少元时，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？。
2023-2024学年湖南省长郡中学高三上学期月考(四)数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖南省长郡中学高三上学期月考(四）数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则()A.B.C. D.2.已知i 是虚数单位，若，则实数()A.2B.0C.D.3.设随机变量，且，则()A. B.C.D.4.已知，，，则下列结论正确的是()A.B. C.D.5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为()A. B. C.D.6.已知角，且满足，则()A. B.C.D.27.在等腰中，，，的外接圆圆心为O ，点P 在优弧上运动，则的最小值为()A.4B.2C.D.8.已知椭圆E ：的右焦点为，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E 的方程为A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚.某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制满分100分，统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中则下列结论正确的是()A. B.满意度计分的众数为80分C.满意度计分的分位数是85分D.满意度计分的平均分是10.已知函数的最大值为，则下列结论正确的是()A.函数的最小正周期为B.C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间内有两个不同实根11.已知数列满足，，数列满足，记数列的前n 项和为，则下列结论正确的是()A.数列是等差数列B.C. D.12.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为的正方形，，，平面ABCD，动点P在线段EF上，则下列说法正确的是()A.B.存在点P，使得平面ACFC.当动点P与点F重合时，直线DP与平面AFC所成角的余弦值为D.三棱锥的外接球被平面ACF所截取的截面面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年度北师版九上数学-第四周自主评价练习(月考一)【上课课件】
与 BE 的交点为点 O ，连接 BF 和 EG .
数学 九年级上册 BS版
（1）试判断四边形 FBGE 的形状，并说明理由；
解：（1）四边形 FBGE 是菱形.理由如下：
在矩形 ABCD 中， AD ∥ BC ，
∴∠ EFO ＝∠ BGO .
∵ FG 为 BE 的垂直平分线，
∴ BO ＝ OE .
答图
数学 九年级上册 BS版
∴ ED ＝ BF .
又∵ ED ∥ BF ，
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
∵ EF ⊥ BD ，
∴四边形 EBFD 是菱形.
∴ BF ＝ DF ＝6.
∵ CD ⊥ BC ， CD ＝4，
∴菱形 EBFD 的面积为6×4＝24.
答图
数学 九年级上册 BS版
17. （本小题满分10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋2 m
由题易知， BF ＝ EF ，
∴ AF ＝ AE － EF ＝ AE － BF . ①
在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得
AB2＋ AF2＝ BF2.②
7
25
联立①②，得 AF ＝ a ， EF ＝ a .
24
24
1
∴ S菱形 BGEF ＝ BE ·FG ＝ EF ·AB .
2
5
∴ FG ＝ a .
数学 九年级上册 BS版
∠＝∠，
在△ EFO 和△ BGO 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ EFO ≌△ BGO （AAS）.
∴ FO ＝ GO .
又∵ EO ＝ BO ，
∴四边形 FBGE 是平行四边形.
又∵ BE ⊥ FG ，
∴四边形 FBGE 为菱形.
第四周数学月考答案
八年级数学第四周月考答案一、选择题（共12题，每小题4分，共48分）1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.B8.B9.B 10.A 11.C 12.D二、填空题（共6题，每小题4分，共24分）13.x(y－1）；14.．15.16.m≤-2 17.7或－1．18.三、解答题（共9题，共78分）19(每小题3分，共6分).解下列不等式，并将其解集在数轴上表示出来【答案】解：（1）移项，得8x-6x≥3+1，合并同类项，得2x≥4，系数化为1，得x≥2．其解集在数轴上表示为：（2）去分母，得12x-6＜10x+1，移项，得12x-10x＜1+6，合并同类项，得2x＜7，系数化为1，得．其解集在数轴上表示为：20（每题3分，共6分）.解下列不等式组：【答案】解：（1）解不等式①得：解不等式②得：，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤2；（2）解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．（1）先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可.21.因式分解（每小题2分，共12分）(1）解：原式＝ab(3b＋a）．(2）解：原式＝(3x－y）(a－2b）．(3）解：原式＝m(4m＋n）(4m－n）．(4）解：原式＝－(x2－6xy＋9y2）＝－(x－3y）2.22．化简求值(6分）解：当a＋b＝－3，ab＝1时，原式＝12ab(a2＋2ab＋b2）＝12ab(a＋b）2＝12×1×(－3）2＝92.23（8分）．解：（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元，根据题意，得2x＝3y，3x－2y＝1 500.)解得x＝900，y＝600.)答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元．（2）设销售甲种商品m万件，则销售乙种商品（8－m）万件，根据题意，得900m＋600（8－m）≥5 400.解得m≥2.答：至少销售甲种商品2万件．24（8）．（1）15s，15cm/s，31，45；解：（2）设y1＝k1x.∵点A（31，310）在OA上，∴31k1＝310.解得k1＝10.∴y1＝10x.设BC段对应的函数关系式为y2＝k2x＋b，∵点B（17，30），C（31，450）在BC上，∴17k2＋b＝30，31k2＋b＝450，)解得k2＝30，b＝－480.)∴y2＝30x－480（17≤x≤31）．当y1＝y2时，则10x＝30x－480，解得x＝24.∴当x＝24时，乙追上了甲．（3）由图象可知，当x＞24且x≤45时，乙在甲的前面．25（8）．解：（1）设甲种排球的售价为x元，乙种排球的售价为y元，依题意，得x－y＝15，2x＋3y＝255，)解得x＝60，y＝45.)答：甲种排球的售价为60元，乙种排球的售价为45元．（2）设购进甲种排球m个，则购进乙种排球（200－m）个，依题意，得m≥23（200－m），解得m≥80.设该网店购买200个排球共花费w元，则w＝60m＋45（200－m）＝15m＋9 000.∵15＞0，∴w随m的增大而增大．∴当m＝80时，w取得最小值，最小值为10 200.答：购进80个甲种排球、120个乙种排球时，花费的总费用最少，最少费用为10 200元．26（12）．解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意，得2x＋y＝10，x＋2y＝11.)解得x＝3，y＝4.)答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．（2）设租用m辆A型车，则租用（6－m）辆B型车，依题意，得3m＋4（6－m）≥21，m≥1.)解得1≤m≤3.∵m为正整数，∴m可以取1，2，3.∴共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；方案2：租用A型车2辆，B型车4辆；方案3：租用A型车3辆，B型车3辆．（3）方案1的租车费为1×80＋100×5＝580（元）；方案2的租车费为2×80＋100×4＝560（元）；方案3的租车费为3×80＋100×3＝540（元）．∵580＞560＞540，∴方案3最省钱，即租用A型车3辆，B型车3辆，最少租车费用为540元．27（12）．(1）3 , 3；(2）1 , 大，－2；(3）解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.。
2022届高三上册第四次月考数学在线测验(贵州省遵义市第四中学)
2022届高三上册第四次月考数学在线测验（贵州省遵义市第四中学）解答题某单位招聘职工分为笔试和面试两个环节，将笔试成绩合格（满分100分，及格60分，精确到个位数）的应聘者进行统计，得到如下的频率分布表：分组频数频率[60，70]0.16（70，80]22（80，90]140.28（90，100]合计501（Ⅰ）确定表中的值（直接写出结果，不必写过程）（Ⅱ）面试规定，笔试成绩在80分（不含80分）以上者可以进入面试环节，面试时又要分两关，首先面试官依次提出4个问题供选手回答，并规定，答对2道题就终止回答，通过第一关可以进入下一关，如果前三题均没有答对，则不再回答第四题并且不能进入下一关，假定某选手获得面试资格的概率与答对每道题的概率相等.求该选手答完3道题而通过第一关的概率；记该选手在面试第一关中的答题个数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；【解析】【试题分析】（1）借助频率、频数、样本容量之间的关系进行求解；（2）先依据题设中答题的要求，运用互斥事件和对立事件的概率计算公式进行分析求解；（3）先求出随机变量的值进行分类，分别求出其概率，，，列出概率分布表，再运用随机变量的数学期望公式计算求解：解：（I）由频率分布表可得a=8，b=6，x=0.44，y=0.12（II）由频率分布表及（I）的结论可知，该选手能进入面试的概率即答对每道题的概率为0.28+0.12=0.4.记“答对第i道题”为事件Ai，i=1,2,3,4，则P（Ai）=0.4记“该选手答完3道题而通过第一关”为事件A，则=0.192随机变量X的可能取值为2，3，4.故X的分布列为X234P0.160.4080.432所以.填空题若锐角满足_______________.【答案】【解析】因，故，，应填答案。
选择题设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，命题P是假命题，如取；命题q是真命题，故为真命题，应选答案A。
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八年级数学第四周月考试题
一、选择题（共12题，每小题4分，共48分）
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( ）
A．a(x－y）＝ax－ay
B．a2－b2＝(a＋b）(a－b）
C．x2－4x＋3＝x(x－4）＋3
D．a2＋1＝a(a＋1）
2．多项式8m2n＋2mn中各项的公因式是( ）
A．2mn B．mn C．2 D．8m2n
3.不等式组：的解集在数轴上可表示为（）
A. B.
B.C. D.
4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( ）
A．a2＋b2B．2a－b2
C．a2－b2D．－a2－b2
5．把下列多项式因式分解，结果正确的是( ）
A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2
B．a2－2a＋4＝(a－2）2
C．a2－2a－1＝(a－1）2
D．a2－b2＝(a－b）2
6．若x2＋kx－15能分解为(x＋5）(x－3），则k的值是( ）
A．－2 B．2 C．－8 D．8
7.某次知识竞赛共20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分超过了90分．设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为
（）
A. 10x-5（20-x）≥90
B. 10x-5（20-x）＞90
C. 20×10-5x＞90
D. 20×10-5x≥90
8.若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是
（）
A. a-c＞b-c
B. a+c＜b+c
C. ac＞bc
D.
9.某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型
两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（）
A. 2种
B. 3种
C. 4种
D. 5种
10.如图所示，直线l1：与直线l2：交于点P(-
2，3)，不等式的解集是（）
A. x＞-2
B. x≥-2
C. x＜-2
D. x≤-2
11．若a＋b＝3，ab＝－2，则a2b＋ab2的值为( ）
A．1 B．－1 C．－6 D．6
12．若关于x的不等式3x＋a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）
A．－7＜a＜－4 B．－7≤a≤－4
C．－7≤a＜－4 D．－7＜a≤－4
二、填空题（共6题，每小题4分，共24分）
13. xy－x＝；
14.用不等式表示如图所示的解集__________
15.不等式2x+1＞0的解集是
16.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是．
17．若多项式x2＋2(m－3）x＋16是完全平方式，则m的值为
18.我们定义，例如，则不等式组
的解集是．
三、解答题（共9题，共78分）
19(每小题3分，共6分).解下列不等式，并将其解集在数轴上表示出来
；．
20（每题3分，共6分）.解下列不等式组：
（1）；（2）．
21.因式分解（每小题2分，共12分）
(1）3ab2＋a2b； (2）a(3x－y）－2b(3x－y）；
(3）16m3－mn2； (4）－x2＋6xy－9y2；
22．化简求值(6分）若a＋b＝－3，ab＝1，求12a3b＋a2b2＋12ab3的值．
23（8分）．一家科技公司准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1 500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5 400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
24（8）．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450
cm.甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为x（s），甲、乙行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙比甲晚出发15s，乙提速前的速度是15cm/s，m＝31，n＝45；
（2）当x为何值时，乙追上了甲？
（3）何时乙在甲的前面？
25（8）．2019年9月29日，中国女排在取得世界杯11连胜成功卫冕后，掀起体育运动热潮．某网店特别推出甲、乙两种排球，已知甲种排球的售价比乙种排球多15元，学校赵老师从该网店购买了2个甲种排球和3个乙种排球，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种排球的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定购进甲、乙两种排球共200个，且甲种排球的数量不少于乙种排球数量的23倍.请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
26（12）．疫情无情，人间有爱，为扎实做好复学工作，某市教育局做好防疫物资调配发放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个学校配送消毒液．已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11吨．教育局现有21吨消毒液需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完消毒液，其中A车至少租用1辆．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮助教育局设计完成一次配送完21吨消毒液的租车方案；
（3）若A型车每辆需租金80元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
27（12）．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.
∵(x＋2）2≥0，
∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.
∴(x＋2）2＋1≥1.
∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是；
(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝时，y有最值(填“大”或“小”），这个值是；
(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．。