江西省南城县第二中学2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(理)试题
2016级高二下期第二次月考数学试题
2016级高二下期第二次月考数学试题一. 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，请将正确选项前的字母填在答卷相应的答题栏内)21.设z = 1 • i ( i 是虚数单位)U —二z• 1 -i2.已知命题=5，则pA. ~x R,2x =5 B ._x = R,2x = 5 C.X 。
R,2x )=5D.X 。
R,2J523.若复数z =2i •丄，其中i 是虚数单位，则复数1 +iz 的模为• 、、34.条件p :复数a bi a, b R 是纯虚数，条件q : a=0，贝U p 是q 的A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.D.必要而不充分条件既不充分也不必要条件5.已知z^C，且Z—2—2i =1, i为虚数单位，则z + 2—2i的最小值是A.2.B.36.(文)给定集合P={x|0C.4 w x w 2},A. f : x f y= 2x BD.5Q={y|0 w y w 4}，下列从P到Q的对应关系5 C. f : x f y= ^xDf中，不是映射的是x.f : x f y= 2(理)5个人排成一排，若甲不能站排头，也不能和乙相邻，则不同的站法共有A.27 种 B . 54 种 C . 72 种 D • 108种7.定义在闭区间［a,b］上的连续函数y=f(x)有唯一的极值点x^x o,且y极小值二f(X°)，则下列说法正确的是A.函数f (x)有最小值f (x0 )B.函数f (x)有最小值，但不- -定是f (X°)C.函数f ( x)的最大值也可能是f(x())D. 函数f (x)不一定有最小值sin x 1 兀8.曲线y二一竺仝丄在点M (—,0)处的切线的斜率为sin x +cosx 2 4A .1B1C2D22222」：-1(x <0),9 .(文)设函数f(x)= 1若f(x)>1 ,则X0的取值范围是x2(x>0)A .(—1,1) B•(—1,+ ^) C• ( —m，- -2)U (0 ,+s) D• ( —a, —1) U (1 ,+s(理)如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305, 414, 879等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数是C 2 •若对任意的u ・0,曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则 v 的最小值为A. 2B • 4C• 6D• 8二. 填空题(本大题共 5小题，每小题5分，共25分.请将答案直接填在答卷中对应的横线上) 11. ^2的共轭复数是 ___________ • 12. 曲线y- 2x 1在点(0,1)处的切线方程为 _____________ . __________13. 命题：“若x 2 ：：： 1，贝U -1 ：：： x ::: 1 ”的逆否命题是 _______ . 14. (文)定义在区间(-1,1)上的函数f(x),满足2 f (x) -f (-x) =lg( x • 1),则f (x)的解析式.(理)有4张分别标有数字1, 2, 3, 4的红色卡片和4张分别标有数字1 , 2, 3, 4的蓝色卡片，从这 8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的 4张卡片所标数字之和等于 10，则不同的排法共有 ______种(用数字作答)•15. (文)将正整数 12分解成两个正整数的乘积有 1X 12,2 X 6,3 X4三种，其中3X4是这三种分解中， 两数差的绝对值最小的，我们称 3X4为12的最佳分解.当p X q(p Wq 且p , q € N)是正整数n 的最佳分 p 3解时，我们规定函数 f(n) = q ,例如f(12) = 4.关于函数f(n)有下列叙述：13 4 9①f(7)=匚；②f(24)=；；③f(28)④f(144)=—.其中正确的序号为 _______________________ (填入所有正确的序号)•7 8 7 16 (理)用n 个不同的实数 a 1,a 2/' ,a n 可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!行的数阵.对第 i 行a M ,a i2/L,a ,n ,记 h =—a 古 a 厂 3 孑 尢—(1 曲 ，i =1,2,3，…,n!.例如:1用1 , 2 , 3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12 ,所以，b 2 L - -12 2 12-3 12 - -24，那么，在用 1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵中，b 1 b 2 L 020 =三. 解答题：(本大题共6小题，共75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. (本题满分12分)已知命题 p:(x 1)(x -5)乞 0，命题 q:1 — m 乞 x ：：1 m(m 0). (1) 若p 是q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；(2) 若m=5 “ p q ”为真命题，“ p q ”为假命题，求实数 x 的取值范围 17. (本题满分12分)已知复数Z 是方程x 2 2x ^0的解.⑴求z ;A.240B.285C.729D.92010.(文)设 f (x) = 1 x 31ax 2 2bx c ，当 x (0,1)时取得极大值, 32b_2当x ・(1,2)时取得极小值，则a的取值范围为1A (1,4)B -(訐 C1 1 (4,2)1 -(4J)(理)把函数f (x)二x 3 -3x 的图像C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像2 3 1 3 1 23 2 3 1 2 1⑵若复数z的虚部大于0，且-^b i ( a,b • R,i为虚数单位)，求a bi . z增，求实数m 的取值范围.gx i ；=x 3 - 3a 2x-2a,0,11 若对于任意 xr 0,1，总存在 x ° • 0,1 使得 g(X 0)= f(X 1)成立，求 a的取值范围. 21.(本题满分14分)4x 2 _7(文)已知函数 f(x), ^ [0,1]. ( 1)求f (x)的单调区间和值域；(2 )设a —1，函数2 —xg x = x 3 -3a 2x-2a,0,11 若对于任意 x< 0,1，总存在 x 0 • 0,1 使得 g(x 0) = f (x 1)成立，求 a的取值范围.18. (本题满分12分)(文)已知函数 f(x) = x + 2ax + 2, x € [ — 5,5] . (1)当 a =— 1 时，求 f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y = f(x)在区间[— 5,5]上是单调函数.(理)如图，四棱锥 P — ABCD 勺底面是正方形，PDL 底面ABCD 点E 在 棱 PB 上.(1)求证：平面AECL 平面PDB⑵ 当PD= 2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.19. (本题满分12分)(文)如下图，在边长为 4的正方形ABCD 上有一点P ,沿着折线BCDA 由B 点(起点)向 A 点(终点)移动，设 P 点移动的路程为 x ,A ABP 的面积为y=f (x ) (1) 求厶ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式； (2) 作出函数的图象，并根据图象求 y 的最大值.(理)如图，已知长方体 ABCD —ABQQ, AB=2,AA =1,直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30®, AE 垂直BD 于E , F 为A 1B 1的中点. (I )求异面直线 AE 与BF 所成的角的余弦；(II )求平面BDF 与平面AA ,B 所成的二面角的余弦； (III )求点A 到平面BDF 的距离. 20.(本题满分13分) 1(文)已知函数f (x)x 3 mx 2「3m 2x 1 (m 0) . (I)若m =1，求曲线y 二f (x)在点(2, f(2))处的切线方程;(n)若函数f (x)在区间(2m-1,m ，1)上单调递(理)已知函数f (x)二4x 2 -7 2 —x x [0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a_1 ,函数(理)已知函数f(x)」x 1)[1 ln(x 1)].x(1)设g(x)二x f (x),(x 0).试证明g(x)在区间(0,=)内是增函数；⑵若存在唯一实数a (m,m 1)使得g(a)=O成立，求正整数m的值;⑶若x 0时，f(x) .n恒成立，求正整数n的最大值.。
江西省南城县第二中学2015-2016学年高二下学期第二次
南城二中2015—2016年下学期第二次月考高二数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．B 、3C ．D ．12. 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( ) 条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D . 既不充分也不必要 3．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )A ．|r |∈(0，＋∞)，|r |越大，相关程度越大，反之相关程度越小B ．|r |≤1且|r |越接近1，相关程度越大；|r |越接近0，相关程度越小C ．r ∈(－∞，＋∞)，r 越大，相关程度越大，反之，相关程度越小D ．以上说法都不对4．如果函数f （x ）=2x 2﹣4（1﹣a ）x+1在区间[3，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，4]D ． [﹣2，+∞） 5. 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是( )A. 直线、直线B. 圆、直线C. 直线、圆D.圆、圆 6. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）A. 假设至少有一个钝角 B ．假设没有一个钝角C ．假设至少有两个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 7．阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果（ ）A ．7B ．9C ．10D ．118．已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为5，则该双曲线的离心率为（ ）1 9.给出四个命题：①若x 2－3x+2=0，则x=1或x=2；②若x=y=0，则x 2+y 2=0；③已知x,y ∈N ，若x+y 是奇数，则x,y 中一个是奇数，一个偶数；④若x 1，x 2是方程x 2－23x+2=0的两根，则x 1，x 2可以是一椭圆与一双曲线的离心率。
江西省南城县第二中学2015-2016学年高二下学期第二次
南城二中2015-2016高二年级下学期第二次月考试题物理试题一、选择题（共48分， 1-8为单选题，9-12为多选题，每小题4分，少选得4分，错选不得分）1. 真空室内，有质量分别为m和2m的甲、乙两原子核，某时刻使它们分别同时获得3v 和2v的瞬时速率，并开始相向运动．由于它们间的库仑斥力作用，二者始终没有接触，当两原子核相距最近时，甲核的速度大小为（）A. 0B.C. vD.2. 在氢原子光谱中，电子从较高能级跃迁到n=2能级发出的谱线属于巴耳末线系．若一群氢原子自发跃过时发出的谱线中只有2条属于巴耳末线系，则这群氢原子自发跃迁时最多可发出不同频率的谱线的条数为（）A. 3B. 4C. 6D. 83.. U经过m次α衰变和n次β衰变Pb，则（）A. m=7，n=3B. m=7，n=4C. m=14，n=9D. m=14，n=184.. 一个质子和一个中子聚变结合成一个氘核，同时辐射一个γ光子．已知质子、中子、氘核的质量分别为m 1、m 2、m 3，普朗克常量为h，真空中的光速为c．下列说法正确的是（）A. 核反应方程是H+ n→ H+γB. 聚变反应中的质量亏损△m=m 1+m 2-m 3C. 辐射出的γ光子的能量E=（m 3-m 1-m 2）cD. γ光子的波长λ=5.. 劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻（）A. 振子所受的弹力大小为5N，方向指向x轴的正方向B. 振子的速度方向指向x轴的正方向C. 在0～4s内振子作了 1.75次全振动D. 在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为06.. 将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示，某同学对此图线提供的信息做出了下列判断，正确的应是（）A. t=0.2s时摆球正经过最低点B. t=1.1s时摆球正经过最低点C. 摆球摆动过程中机械能守恒D. 摆球摆动的周期T=0.6s7. 一列简谐横波沿x轴传播，在t=0时刻的波形图如图所示．已知x=0.8m处质点的振动方程为：y=0.01sin5πt（m），则该列波的传播方向和波速大小分别是（）A. 沿x轴正方向，4m/sB. 沿x轴正方向，2m/sC. 沿x轴负方向，4m/sD. 沿x轴负方向，2m/s8. 如图，为由两个振动情况完全相同的振源发出的两列波在空间相遇而叠加所产生的图样，每列波振幅均为A，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，则关于介质中的a、b、c、d四点，（b、c为相邻波峰和波谷的中点）下列说法正确的是（）A.a、c振幅为2A，b、d始终不动B.图示时刻d点位移大小为2A，b、c、d三点位移为零C. a点位移大小始终为2A，d点位移始终为零D. 这四个点全部是振动减弱点9. 图中y轴是两种不同介质Ⅰ、Ⅱ的分界面，一波源以坐标系原点为中心沿y轴上下振动，形成的两列简谐波分别沿+x轴和-x轴方向传播，某一时刻的波形如图所示．在介质Ⅰ、Ⅱ中传播的波( )A. 周期之比为1：1B. 波长之比为1：2C. 波速之比为2： 1D. 经过相同的时间，波在介质Ⅰ、Ⅱ中传播距离之比为1：210.. 如图1所示是研究光电效应的电路．某同学利用该装置在不同实验条件下得到了三条光电流I与A、K两极之间的电极UAK的关系曲线（甲光、乙光、丙光），如图2所示．则下列说法正确的是（）A. 甲光对应的光电子的最大初动能小于丙光对应的光电子的最大初动能B. 甲光对乙光的频率相同，且甲光的光强比乙光强C. 丙光的频率比甲、乙光的大，所以光子的能量较大，丙光照射到K极到电子从K极射出的时间间隔明显小于甲、乙光相应的时间间隔D. 用强度相同的甲、丙光照射该光电管，则单位时间内逸出的光电子数相等11. 下列各图分别表示一列水波在传播过程中遇到了小孔（A、B图）或障碍物（C、D 图），其中能发生明显衍射现象的有（）A. B. C. D.12. 图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，a、b两质点的横坐标分别为x a=2m和xb=6m，图乙为质点b从该时刻开始计时的振动图象，下列说法正确的是（）A. 该波沿-x方向传播，波速为1m/sB. 质点a经4s振动的路程为4mC. 此时刻质点a的速度沿+y方向D. 质点a在t=2s时速度为零二、实验题（共8分，每空1分）13 某同学用如图所示的装置通过半径相同的a、b两球的碰撞来验证碰撞中的动量守恒：（1）从图中可以测出碰撞后b球的水平射程应取为______ cm（2）下列说法中不符合本实验要求的是 ______A．安装轨道时，轨道末端必须水平B．需要使用的测量仪器有天平和刻度尺C．在同一组实验的多次碰撞中，每次入射球可以从不同高度由静止释放（3）本实验无须测量的物理量有 ______ ．A．小球a、b的质量m a、m b；B．斜槽轨道末端到水平地面的高度H；C．记录纸上O点到A、B、C各点的距离OA、OB、OC；（4）小球a、b的质量m a、m b应该满足m a______ m b（填“大于”或“小于”或“等于”）（5）实验中记录了轨道末端在记录纸上的竖直投影为O点，经多次释放入射球，在记录纸上找到了两球平均落点位置为A、B、C，并测得它们到O点的距离分别为OA、OB和OC．验证碰撞中的动量守恒的达式为： ______ ．14. （1）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，某一同学用10分度的游标卡尺测得摆球的直径如图甲所示，则摆球的直径为 ______ mm，把摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，当摆动稳定后，在摆球通过平衡位置时启动秒表，并数下“0”，直到摆球第N次同向通过平衡位置时按停秒表，秒表读数如图乙所示，读出所经历的时间t= ______ s（2）该同学根据实验数据，利用计算机作出T 2-L图线如图丙所示．根据图线拟合得到方程T 2=404.0L+3.0．从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是： ______ A．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点开始计时；B．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数；C．不应作T 2-L图线，而应作T-L图线；D．不应作T 2-L图线，而应作T 2-（L+ ）图线．三、计算题（共44分）15. （10分）如图所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：（1）写出该振子简谐运动的表达式．（2）在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？（3）该振子在第100s时的位移是多少？前100s内的路程是多少16. （12分）如图所示，质量为3kg的木箱静止在光滑的水平面上，木箱内粗糙的底板正中央放着一个质量为1kg的小木块，小木块可视为质点．现使木箱和小木块同时获得大小为2m/s的方向相反的水平速度，小木块与木箱每次碰撞过程中机械能损失0.4J，小木块最终停在木箱正中央．已知小木块与木箱底板间的动摩擦因数为0.3，木箱内底板长为0.2m．求：①木箱的最终速度的大小；②小木块与木箱碰撞的次数．17. （10分）如图所示，一带电粒子在云室中运动时，可呈现其运动径迹．将云室放在匀强电场中，通过观察带电粒子的径迹，可以研究原子核发生衰变的规律．现将一静止的放射性14C放入上述装置中，当它发生衰变时，可以放出α粒子或电子或正电子．所放射的粒子与反冲核经过相同的时间所形成的径迹如图所示（衰变后瞬间放射出的粒子与反冲核的速度方向与电场方向垂直，x，y均表示长度），（1）写出14C的衰变方程；（2）判断衰变后放射出的粒子的径迹是哪一条；（3）求衰变后瞬间放射出的粒子与反冲核的动能之比．18. （12分）一列简谐横波在x轴上传播，如图所示，实线为t=0时刻的波形图，虚线为△t=0.2s后的波形图，求：①此波的波速为多少？②若△t＞T且波速为165m/s，试通过计算确定此波沿何方向传播？13. 84.1；C；B；大于；m a OB=m a OA+m c OC14. 22.0；99.8；D15. 解：（1）由振动图象可得：振幅A=5cm，周期T=4s，初相φ=0，则圆频率ω=故该振子做简谐运动的表达式为：x=5sin t（cm）（2）由图可知，在t=2s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t=3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．（3）振子经过一个周期位移为零，路程为5×4cm=20cm，前100s时刚好经过了25个周期，所以第100 s振子位移x=0，振子路程s=20×25cm=500cm=5 m．答：（1）该振子简谐运动的表达式x=Asinωt=5sin0.5πt cm．（2）在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的速度减小，动能减小，弹性势能增大，加速度逐渐增大；（3）该振子在第100s时的位移是零，路程为5m．16. 解：①设最终速度为v，木箱与木块组成的系统动量守恒，以木箱的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：Mv-mv=（M+m）v′，代入数据得：v′=1m/s；②对整个过程，由能量守恒定律可得：mv 2+ Mv 2=△E+ （M+m）v′ 2，设碰撞次数为n，木箱底板长度为L，则有：n（μmgL+0.4）=△E，代入数据得：n=6；答：①木箱的最终速度的大小为1m/s；②小木块与木箱碰撞的次数为6次．17. 解：（1）核反应方程是614C→2 4He+ 410Be（2）由轨迹弯曲方向可以看出，反冲核与放出的射线的受力方向均与电场强度方向相同，带正电，所以放出的粒子为α粒子．由动量守恒得，α粒子与反冲核的动量相同，由半径公式r= 知α粒子的半径大，所以运动轨迹是②．（3）α粒子的动量与反冲核的动量相同，E K= ，所以动能之比等于质量反比，E Kα：E KBe=10：4=5：2答：（1）14C的衰变方程614C→2 4He+ 410Be；（2）判断衰变后放射出的粒子的径迹是②；（3）求衰变后瞬间放射出的粒子与反冲核的动能之比5：2．18.。
江西省抚州市南城一中等七校1516学年度高二下学期期末
高二数学试卷（理科B卷）答案一．选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、简答题 17.解(1) .015822=+-+y y x ;------------------------5分(2)当时，得，点到的圆心的距离为，所以的最小值为.-------------------------10分18.解：0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-=-=（1）若真：；当时，若真：.∵且为真∴∴实数的取值范围为：------------6分（2）∵是的必要不充分条件∴是的充分不必要条件∵若真：∴且等号不同时取得（不写“且等号不同时取得”，写检验也可）∴． ------------------12分19. 解析()()()()，n n n x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ 2210321111（1）令代入得，102046)12(221)21(2=⇒=-=--∴n n n101001010228210119110001001010)1(2)1(2)1(2)1(2)2(x C x C x C x C x -+-+-+-=-101001010377310228210119110001001010)1(2)1(2)1(2)1(2)1(2)2(x C x C x C x C x C x -+-+-+-+-=- 100101037310282101911001001022222x C x C x C x C x C +-+-= -------① 又10010102821019110010010102222)2(x C x C x C x C x +++=+ -------②①+②得)222(2)2()2(1001010282100100101010x C x C x C x x ++=++- 令代入得231222101010821010010+=++C C C ------6分（2）令，代入得，又，所以二项式为，其通项为,2)2(881r r r r r r x C x C T ==+,2,2,22k 1k 1188118++--++∴k k k k k k C C C k 项的系数分别是项，第项，第第 满足条件：项的系数最大，则必然假设第1k +.22,2281188118k k k k k k k k C C C C ≤≤++--且,,65*∈≤≤N k k 解得.17921792)x 2167568x T x T ==+或为：展开式中系数最大的项所以二项式（--------------------------12分20.解（1）由频率分布直方图知，该校文科学生中数学成绩优秀的人数为.85010)002.0004.0010.0(人=⨯⨯++故文科学生中非优秀人数为：50-8=42人；该校理科学生中数学成绩优秀的人数为：.205010)006.0014.0020.0(人=⨯⨯++故理科学生中非优秀人数为：50-20=30人；----------------------2分列表如下:,635.6143.772285050)2042308(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=∴K故有99%的把握认为该校文理科数学成绩有明显差异.----------6分（2）由（1）知，该校随机抽取的学生中一练数学成绩中140分以上为4人，的可能取值为1,2,3，-----------------------------------7分将4人分给两名教授每名教授至少1名学生的不同分法有,14)(2222222414=+A A C C C 则 ,7314)2(2224===C C P ξ,7214)3(1134===C C P ξ------10分的分布列为：.2723732721=⨯+⨯+⨯=∴ξE ----------------------------12分21.（1）首先由几何概型求得指针落在A,B,C 区域所对应事件A,B,C 的概率，而且事件A,B,C 彼此互斥，再注意到某位顾客消费128元，只能转盘一次，返券金额不低于30元等价于指针落在A 或B 区域，即事件Ａ或Ｂ发生，由互斥事件的概率和公式知，所求概率为事件Ａ与事件Ｂ的概率之和；（2）先由题意得知该顾客可转动转盘2次，所以他获得返券的金额记为（元）的所有可能值为0，30，60，90，120；当Ｘ＝０时，相当于两次试验都是事件Ｃ发生，且第一次Ｃ发生与否，与第二次事件Ｃ发生否相互独立，所以Ｐ(Ｘ＝０)=P(C)P(C),同理可求其他概率，从而求得其分布列，最后再利用数学期望公式： +⋅+⋅=2211)(p x p x X E 求出其数学期望．设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C.则111(),(),()632P A P B P C ===．------2分 （1）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域．111()()632P P A P B ∴=+=+=即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是． ---------------------6分（2）由题意得该顾客可转动转盘2次．随机变量的可能值为0，30，60，90，120.11111111115(0);(30)2;(60)2;224233263318111111(90)2;(120).3696636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=--------------------------------10分 其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．--------------------12分22解：（1）,121)(--+='x a x x f 时，取得极值， 故解得经检验符合题意; --------------3分（2）由知,)1ln()(2x x x x f --+=由得.023)1ln(2=-+-+b x x x - 令,23)1ln()(2b x x x x -+-+=ϕ则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根．13(45)(1)()2122(1)x x x x x x ϕ-+-'=-+=++，-------------5分当时，于是在上单调递增； 当时，于是在上单调递减．依题意有(0)0,3(1)ln(11)10,2(2)ln(12)430,b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ 212ln 13ln +<≤-∴b --------8分 （3）x x x x f --+=2)1ln()(的定义域为，由（Ⅰ）知， 令得，舍去），或(230-==x x ∴当时，单调递增；当时，单调递减．为在上的最大值．---------------10分故（当且仅当时，等号成立）．对任意正整数取得，故11ln(2)1n n n n +∴<≥- 则342111ln ln ln 23112n n n++++<++++ 即2111ln (2)212n n n +<+++≥，当时上式也成立，因此 对任意的正整数不等式2111ln 212n n +<+++都成立.---------------12分。
江西省南城县高二数学下学期第二次月考试题 文(2021年整理)
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2016—2017年下学期第二次月考高二数学(文）一、选择题 （本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的。
）1。
已知集合A=｛0，1，2，3,4｝，B={x|x ＜3｝，则A∩B=( ）A ．｛1，2｝B ．{2，3}C ．｛1，2,3｝D ．{0,1,2｝2．下列函数中，既是偶函数又在(0)+∞，上单调递增的是( ） A ．3y x = B ．y cos x = C ．21y x = D ．y ln x = 3．已知()211i i z-=+（i 为虚数单位）,则复数z =（ )A 。
1i + B. 1i -- C 。
1i -+ D 。
1i -4. 在区间［﹣3，2］上随机选取一个实数x ，则x 使不等式｜x ﹣1｜≤1成立的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 5. 下列有关命题中说法错误的是( ）A ．命题“若210x -= ， 则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠ 则210x -≠”。
B ．“1x = ”是“2320x x -+="的充分不必要条件。
C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D ．对于命题p :存在R x ∈，使得012<++x x ；则﹁p ：对于任意R x ∈，均有012≥++x x .6。
江西省南城县第二中学2015-2016学年高二上学期第二次
南城二中2015--2016学年上学期第二次月考高二数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、抚州市某校高二（1）班有学生54人，（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则（1）班和（2）班分别被抽取的人数是( )A. 8，8B. 9，7C. 10，6D. 12，42、如程序框图所示,集合A={y|框图中输出的y 值},当输入的4x = 时， 集合A 为( )A.{7，9}B.{4,5,6,7}C.{5,6,7,9}D.{4,5,6,7，9}3、设命题p ：方程x 2＋3x －1＝0的两根符号不同；命题q ：方程 x 2＋3x －1＝0的两根之和为3，判断命题“p ”、“q ”、“p ∧q ”、“p ∨q ”为假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．34、已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．抛物线C ．双曲线的一支D ．直线5、若点A(x 2+4，4－y ，1＋2z)关于y 轴的对称点是B(－4x ，9，7－z)，则x ，y ，z 的值依次为( ) A ．1，－4，9B ．－2，－5，8C ．2，5，8D ．2，－5，－86、“设,a b 为向量，则"//"a b 是""a b a b ∙=∙的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要7、从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率为( )A.54 B. 53 C. 52 D. 518.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程ˆˆya bx =+中的b =10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为( )A ．112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元9.在正方体为的中点，是棱中，O DD M D C B A ABCD 11111-底面ABCD 的中心，上为棱11B A P 任一点，则直线AM OP 与所成角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．不能确定 10、给出四个命题：①若2320x x -+=，则1x =或2x =； ②若23x ≤<，则(2)(3)0x x --≤；③若0x y ==，则220x y +=； ④若,x y N ∈，且0x y +=是奇数，则,x y 中一个是奇数，一个是偶数，那么( )．A ．①的逆命题为真B ．②的否命题为真C ．③的否命题为假D ．④的逆命题为假11、在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(2,1)D ． (1,2)12、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 1⎤⎥⎣⎦C. ⎣⎦D. ⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分） 13、将某班的60名学生编号为：01，02，，60，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，且随机抽得的一个号码为04，则第二个号码是 14、已知抛物线方程22y x =，其焦点坐标为 .15.茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩, 其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩 的概率为 .16、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．三、解答题（17题满分10分，18题、19题、20题、21题、22题满分各12分）17、按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100ml(不含80)之间，属酒后驾车；在80mg /100ml (含80)以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，右图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；(2)从血液酒精浓度在[)70,90范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．18、给定两个命题, p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根,若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.19.若两集合[]0,3A =,[]0,3B =， 分别从集合A B 、中各任取一个元素m 、n ，即满足m A ∈，n B ∈，记为),(n m ，（Ⅰ）若m ∈Z ，n ∈Z ，写出所有的),(n m 的取值情况，并求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”的概率；（Ⅱ）求事件“方程11122=+++n y m x 所对应的曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长大于倍”的概率.20、如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
江西省南城县第二中学高二数学下学期第一次月考试题理(答案不全)
南城二中2015--2016学年下学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知函数f (x ) = a x 2＋c,且(1)f '=2 , 则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 02. 一物体的运动方程为225s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（ ） A. 8米/秒B. 7米/秒C. 6米/秒D. 5米/秒3．已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为( )A.[1,)-+∞B.(,2]-∞C.(,1),(1,2)-∞-D.[2,)+∞ 4 定义运算a b ad bc c d =- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 的共轭复数z 为Ａ．3i - Ｂ．13i +Ｃ．3i +Ｄ．13i -5 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A.14B.15C.17D. 166．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(12)()z i a i =-+在复平面内对应的点为M ，则“0a >”是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．6C ．9D ．3 8．下面四个图象中，有一个是函数()()()3221113f x x ax a x a R =++-+∈的导函数()y f x '=的图象，则()1f -等于( )A ．13B ．－13C ．53 D ．－13或539.设其中，则的极大值点个数是( )A ．25B ． 27C ．26 D.2810.函数()()()22,20,02x f x x x x --≤<=⎨-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ． 5π- B. 1π+ C. 3π- D. 1π- 11.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xfx f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A (,1)(1,0)-∞-- B (1,0)(1,)-+∞ C (,1)(0,1)-∞- D ．(0,1)(1,)+∞12． 如图所示，连结棱长为2cm 的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A 处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B 到水面的高度h 以每秒1cm 匀速上升，记该容器内水的体积V （cm 3）与时间T （S ）的函数关系是V （t ），则函数V （t ）的导函数y=V ′（t ）的图象大致是（ ）B ．C ．D ． A ．二、填空题（每小题5分，共20分）13、若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .14. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是______15.已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线,则实数m 的取值范围是__________.16.下列命题中 ①若0()0f x '=,则函数()y f x =在0x x =取得极值； ②若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=-12③若z ∈C （C 为复数集），且|22i |1,|22i |z z +-=--则的最小值是3；④若函数2()ln f x x ax x =-+-既有极大值又有极小值, 则a >a < －正确的命题有__________．三、解答题（17题满分10分，18题、19题、20题、21题、22题满分各12分） 17.（1）已知复数z 满足,的虚部为2,求复数z;（2）求函数()xf x e =、直线2x =及两坐标轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得几何体的体积；18. 已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274. （1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.19.某商城销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y=,其中63<<x ,a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该产品11千克。
江西省南城县2016-学年高二数学上学期第二次月考试题理(无答案)
2016-2017学年上学期第二次月考高二数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 命题：“若x 2＜1，则－1 ≤ x ＜1”的逆否命题是 （ ）A ．若x 2≥1，则x ＜－1，或x ≥1 B．若－1≤x ＜1，则x 2＜1C ．若x ≤－1，或x ＞1，则x 2≥1 D．若x ＜－1，或x ≥1，则x 2≥12. ，:q 0)]1([)(≤+-•-a x a x ,若q 是p 的必要而不充分条件,则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2 C 3. 已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是（ ） A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m4. 抛物线281x y -=的准线方程是（ ） A ．321=x B ．41=x C ．2=y D ．4=y 5. 中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）．A. x 281＋y 29＝1B. x 281＋y 272＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 6. △ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 57．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是( )A ． 60°B ．30°C ．45°D ．75°8. 如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面α，AC ⊥面α， BD ⊥AB ，BD 与面α成30°角，则C 、D间的距离为( )A ．1B ．2C. 2D. 39. 已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点,过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点,若1ABF ∆是锐角三角形,则该椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A.1e >B.01e <11e <<11e -<10. 设F 1、F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 ∠F 1PF 2=120º则△F 1PF 2的面积是（ ）A.12 C. 2 D.311. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交抛物线C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE |=则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D. 812. 过双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12=AB BC ，则双曲线的离心率是 ( )A B ．D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知命题p ：函数y=1+log a (2x+3)的图像恒过点（-1, 1）；命题q ：函数()f x =2sin|x |+1的图像关于y 轴对称. 则下列命题: p q ∧, q p ⌝∨⌝, p q ⌝∧,p q ∧⌝,q p ∨⌝, p ⌝中真命题个数是 .14. 已知(,12,1),(4,5,1),(,10,1)-A k B C k ，且A 、B 、C 三点共线，则k = .15. 已知抛物线方程为24=y x , 则以M(4,1)为中点的弦所在直线l 的方程是 .16. 已知椭圆22416x y +=，直线l 过点其左焦点F 1，且与椭圆交于A 、B 两点，若直线l 的F B D C E三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10分) 已知p ：实数m 满足m 2－7am+12a 2＜0（a ＞0）， q ：实数m 满足方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。
江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题 含答案
南昌二中2015—2016学年度下学期期中考试高二数学（理科）试卷一、选择题（每小题5分，共60分)1．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①，②，③，④其中假命题有：（)A．0个B．1个C．2个D．3个2．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切,则第四个球的最高点与桌面的距离（）A．2+B ．C．1+D．33．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A。
8 B。
173C。
273D。
7侧视图正视图21121题图4．点A ，B ,C ，D 在同一个球的球面上,C C 3AB =B =A =，若四面体CDAB 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（)A ．16916πB ．8πC ．28916πD ．2516π 5．如图，四边形ABCD 中，AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°,将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（ )A ．平面ABD⊥平面ABCB ．平面ADC⊥平面BDC C ．平面ABC⊥平面BDCD ．平面ADC⊥平面ABC 6．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为（ ) A ． B ． C ． D ．7．如图,在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ) A ． B ．C ．D ．8．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点,点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为（ ) A．22B ．32C ．34 D ．1第9题图第10题图 第11题图9．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ) A ．2B ．12C ．24D ．2210．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心,2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( ）A ．65πB ．32πC ．πD ．67π11．如图,l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ,AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影长分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，12．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ,则(x)f 的图象大致是（ ）二、填空题（每小题5分，共20分）13．在东经120︒圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬15︒与北纬75︒圈上，地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是 . 14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，6AC =,12BC CC==，P 是15．如图，在三棱锥A BCD -中,2BC DC AB AD ====,2BD =,平面ABD ⊥平面BCD ，O为BD 中点,点,P Q 分别为线段,AO BC上的动点（不含端点)，且AP CQ =,则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．第14题图 第15题图 第16题图16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 的动点,过,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是①当102CQ <<时,S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R=；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S的面积为6三、解答题(共70分）17．（10分）平面⊥PAD 平面ABCD ，ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2==AD PA ，G F E ,,分别是线段CD PD PA ,,的中点．（1）求证:PB //平面EFG ；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为54，若存在，求出DQ 的值；若不存在，请说明理由．18．(12分）如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面CC BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（Ⅰ)证明:;1AB C B ⊥(Ⅱ）若1AB AC ⊥,0160=∠CBB ,2=BC , 求1B 到平面ABC的距离。
江西省抚州市南城一中2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
南城一中2017届高二下学期期中考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1、已知集合2{|30},{1,}A x x x B a =-<=，且A B 有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．(,1)(3,)-∞+∞C ．(0,1)D ． (0,1)(1,3) 2．若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4πθ-的值为( )A ．7B ．17- C ． 7- D ．7-或17-3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ．B.4．下列命题中真命题的个数为（ ）①命题“lg 0,x =则x=1”的否命题为“若lg 0,1x x ≠≠则” ②若“p q ∧”为假命题，则p 、q 均为假命题③命题p ：x R ∃∈，使得sin 1x >；则p ⌝：x R ∀∈，均有sin 1x ≤④“2x >”是“112x <”的充分不必要条件A ．4B ．3C ．2D ．1 5．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ． 2122B ．2021C ．1920D ．22236．=-⎰dx x 4230( )A ．321B ．322C ．325D ． 3237．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的 概率为( )A ．110B ． 14C ．13D ．238．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘 甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生 姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 （ ）A ．48种B ．18种C ． 24种D ．36种9．设12,F F 为椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为( )A ．514B ． 49C ．513D ．5910．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6 号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对 比赛结果，此人是( )A ． 乙B ． 丁C ．丙D ． 甲11.已知函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),Rg x x bx x b =+->∈.若()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为（ ）A ．51)，B．5)+∞， C．(51)-， D．(5)-+∞， 12．已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ,且曲线C 在,A B 处的切线平行， 则实数p 的值为( )A ．4B ．3-C ．3-或1-D ． 4或3-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项， 则公比q = ，通项公式为n a = .14.已知函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，则函数()f x 的最小值为 ， 函数()f x 的递增区间为 15.221(2)n x x+-展开式中的常数项是70，则n = 16．对于函数()f x 给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++= .三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD＝4，AC ＝72，cos∠ADB＝－210．（Ⅰ）求sin∠C 的值；（Ⅱ）若BD ＝5，求△ABD 的面积． 18．（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5－7分钟，乙每次解答一 道几何题所用的时间在6－8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率． （Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究， 记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）． 附表及公式：19．（本小题满分12分）数列{a n }满足S n =2n ﹣a n （n ∈N *）． （Ⅰ）计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．20．(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ,90BCD ∠=,PA ABCD ⊥底面， ABM ∆是边长为2的等边三角形，PA DM == （Ⅰ）求证：平面PAM PDM ⊥平面；（Ⅱ）若点E 为PC 中点,求二面角P MD E --的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆W ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0，其左顶点A在圆O ：2216x y ＋＝上． （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在点P ，使得PQ AP ＝3? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．22. （本小题满分12分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>.（Ⅰ） 判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ） 若()1kf x x >+恒成立, 求整数k 的最大值；（Ⅲ）求证：23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++>.E高二下学期期中考试理数答案1——6 D C B B A D 7——12 B C C B A D13. 12 611232()2n n n a --==⋅ 14. 2- [,](Z)63k k k ππππ-++∈15. 4 16. 2016.17解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=．又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin44C ADB ADBADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅41021025=+=． …………5分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠． 所以11sin 5722ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=． …………10分.18解：(1)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ …………2分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.………3分(2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)设事件A 为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为y x > ……………………………………5分∴ 11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18……………………7分(3) 由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C = 种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种X ∴可能取值为0,1,2， …………………………………………8分15(0)28P X ==， 123(1)287P X ===， yx11O1(2)28P X ==……………………………………10分 X 的分布列为：X 01 2 P2815 73 281 ………………11分151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯= ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=s 1=2﹣a 1，所以a 1=1．当n=2时，a 1+a 2=s 2=2×2﹣a 2，所以．同理：，．由此猜想（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a 1=1，右边=1，结论成立． ②假设n=k （k≥1且k ∈N *）时，结论成立，即，那么n=k+1时，a k+1=s k+1﹣s k =2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k =2+a k ﹣a k+1， 所以2a k+1=2+a k，所以这表明n=k+1时，结论成立．由①②知对一切n ∈N *猜想成立．20．解答：（Ⅰ）ABM ∆是边长为2的等边三角形, 底面ABCD 是直角梯形，CD ∴=又3,DM CM =∴=314,AD ∴=+= 222,.AD DM AM DM AM ∴=+∴⊥又,PA ABCD ⊥底面,DM PA ∴⊥,DM PAM ∴⊥平面 DM PDM ⊂∴平面，平面.PAM PDM ⊥平面 ………6分 （Ⅱ）以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴， 过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则0,0),C 3,0),M (0,4,P设平面PMD 的法向量为1111(,,)n x y z =， 则111130,40y y +=+=⎪⎩取113,(3,2).x n =∴=………8分E 为PC中点，则E ，设平面M D E 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222230,+20y x y +=+=取2213,(3,).2x n =∴=………10分 由121213cos 14n n n nθ⋅==u r u u ru r u u r ．∴二面角P MD E --的余弦值为1314．………12分21解：（1）因为椭圆W 的左顶点A 在圆16:22=+y x O 上，令0=y ，得4±=x ，所以4=a .又离心率为23，所以23==a c e ，所以32=c ,所以2224b a c =-=, 所以W 的方程为221164x y +=.……………………………………4分（2）设点),(),,(2211y x Q y x P ，设直线AP 的方程为)4(+=x k y ，与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=, 因为4-为方程的一个根，所以21232(4)14k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+所以||AP =.………………………………6分因为圆心到直线AP的距离为d =，所以||AQ ===,…………………………8分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-，代入得到22222||1433113||111PQ k k AP k k k +==-==-+++ 显然23331k-≠+，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. ……………………12分22.（Ⅰ）22111()[1ln(1)][ln(1)]11x f x x x x x x x '=--+=-++++----1分 210,0,0,ln(1)0,()01x x x f x x '>∴>>+>∴<+()(0,)f x ∴+∞在上是减函数 ---------------- 3分（Ⅱ）(1)[1ln(1)](),()1k x x f x h x k x x+++>=>+恒成立即恒成立，即()h x 的最小值大于k .----------------4分21ln(1)(),x x h x x--+'= ----------------5分 令()1ln(1)(0)g x x x x =--+>，则()0,()(0,)1xg x g x x '=>∴+∞+在上单调递增, ----------------6分又(2)1ln30,(3)22ln 20g g =-<=-> ，()0g x ∴=存在唯一实根a , 且满足 (2,3),1ln(1)a a a ∈=++，----------------7分当x a >时，()0,()0;g x h x '>>当0x a <<时，()0,()0g x h x '<<∴min (1)[1ln(1)]()()1(3,4)a a h x h a a a+++===+∈，故正整数k 的最大值是3---8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知1ln(1)3(0)1x x x x ++>>+，∴333ln(1)12211x x x x x+>-=->-++----------------10分令(1)(*)x n n n N =+∈, 则3ln[1(1)]2(1)n n n n ++>-+∴ln(112)ln(123)ln[1(1)]n n +⨯++⨯++++333111(2)(2)[2]23[]1223(1)1223(1)1323(1)232311n n n n n n n n n n >-+-++-=-+++⨯⨯+⨯⨯+=--=-+>-++∴23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++> ----------------12分方法二： n 23(112)(123)[1(1)]=n n n a e -+⨯+⨯++令则当n 2n-11(1)n 2=a n n a e ++≥时,， 当n 21n-1n=21,a a a a 时,＜∴＜当n n n-1n-1n 31,aa a a ≥时,＞∴＞n min 2n 21==1,1a a a e∴（）＞∴＞ 23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++∴＞(方法二酌情给分)。
江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题文
XX 二中2021 —2021学年度下学期第二次月考高二数学〔文〕试卷一、选择题 ( 总分值 60 分 ,每题 5分)1. 设集合， A{ 2,3,4} ， B {1,4} ，那么〔〕A. ｛1｝B.{1,5} C.{1,4}D.{1,4,5}2. 集合 AXR | 3 X2 , B x 24x 30 ，那么 A B 〔〕A ． 3,1B ． ( 3,1)C ． 12， D．,2[3,)3. 命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数〞的逆命题是〔〕A ．“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数。
〞B ．“假设一个数的平方是正数，那么它是负数。
〞C ．“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数。
〞D ．“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数。
〞 4. 命题 p :xR, x 1的否认是A. p : x R, x 1B. p : x R, x 1C.p : x R, x 1D.p : x R, x 15. 函数 f (x)1 x lg( x 2) 的定义域为A. 〔 -2,1 〕B.[-2,1]C.2, D.2,16. 幂函数f xx 的图象经过点 (2,2)，那么f4 的值等于121A ． 16B.C ． 216D.27. 曲线 f ( x)1 21〕x ，在点〔1， 〕处的切线方程为〔22A. 2x 2 y 1 0B.2x 2y 1 0C. 2x 2y 1 0D.2x 2 y 3 08. 假设函数 f ( x)x 33 x 2 m 在[ 2,1]上的最大值为9，那么 m 的值为〔 〕22A ． 4B ． 3C ． 2 D． 19. 以下说法 错误 的是A ．命题“假设x 25 x6 0, 那么 〞的逆否命题是“那么2〞x 2x 2, x 5x 6 0B ．命题p 和 q ，假设 p q 为假命题，那么命题p 与 q 中必一真一假C．假设x, y R,那么“x y〞是“xy x y22〞的充要条件D．假设命题p : x0R, x02x0 1 0, 那么p : x R, x2x 10110. 函数f x的定义域为0,, f x 为f x 的导函数，且满足f xxf x，那么不等式f x 1(x 1) f (x 2 1) 的解集是 ( )．1,．2,． (1,2)．0,1ABCD11. 函数 f (x)x 2 2x, x 0,假设 f ( x)ax ，那么a 的取值X 围是〔〕ln( x 1), x 0,A. ,0B.,1C. 2,0D. 2,112. 设函数 f (x)e x(3x 1) ax a, 其中a1,假设仅有两个整数x 0 , 使得 f ( x 0 ) 0 ，那么a 的取值X 围是〔〕A.2,1B.72 ,1C. 0,2D . 7 2 , 2e3ee3e e二、填空题 ( 总分值 20 分, 每题 5 分 )13. 假设a 30.6,blog 3 0.2,c 0.63，那么a, b, c 大小顺序是〔由大到小〕．14. 函数 f ( x)2, x 2假设关于 x 的方程f ( x) k 有两个不同的实根，那么实x( x 1)3 , x2数 k 的取值X 围是.15. 函 数y l o g ( 4( 3 , 6aa x 在 区 间上 递 增 , 那么 实 数a 的 取 值 X 围是.16. 假设 函 数 f( x)x( a0 ,a 1)在[1,2] 上的最大值为 4,最 小 值 为 m ,且 函 数ag( x)(14m ) x 在 [0,) 上是增函数 , 那么a_________.三、解答题17.( 此题总分值10 分)p ： 222x 8x200 ， ：x2x 1 m0(m 0)．q〔Ⅰ〕假设 p 是 q 充分不必要条件，XX 数 m 的取值X 围；〔Ⅱ〕假设“非P 〞是“非Q 〞的充分不必要条件，XX 数 m 的取值X 围．218.( 此题总分值 12 分)函数 f x e x ax b x22x ，曲线 y f x 经过点 P 0,1 ,且在点P处的切线为 l : y 4x1 .（1〕求a、b的值；（2〕当x2, 1 时，求函数f ( x)的最大值.19. (此题总分值12分)f ( x)x2ax a2b 1， x1,1a.(1)假设b 2 ,对任意的x1,1 ,都有f (x)0成立,XX数a的取值X围.(2)设 a 2 ,假设存在x1,1, 使得f (x) 0成立 , 求a2b28a 的最小值,当取得最小值时 , XX数a, b的值 .20. ( 此题总分值12分)函数 f ( x)log a x 3(0 a 1)得定义域为 m x n, 值域是x3l o a ga n (1f ) x( a )a ml o g.( 1 )(1)求证 : m 3 ,(2)XX数 a的取值X围.321. ( 此题总分值 12 分)椭圆 C :x 2y 21,( a b 0) 的离心率 e3,点 (1,15) 在椭圆C 上，求：a 2b 222（ 1〕椭圆的方程； （ 2〕椭圆 C 上两点 A 、 B,O 为坐标原点，假设OA 2OB 2为定值，求 k OA k OB 的值.22. ( 此题总分值 12 分)函数 f ( x) e x 2ax 2 , g( x) ln( x m),( a, m R),(1) 求函数 f ( x) 的单调区间;假设 a 0 时,不等式10 恒成立,XX 数m 的取值X 围.(2) f (x) x g( x)4XX二中2021 —2021学年度下学期第二次月考高二数学〔文〕试卷参考答案一、选择题 ( 总分值 60 分, 每题 5 分)1.【答案】 D【解析】：因为 C A1,5, 所以C U A B1,51,41,4,5.应选 D.U2. 【答案】 A【解析】：因为 B x x24x 3 0x x3或 x 1 ,而 A x R 3 x 2 ，所以 A B x3x 1，应选 A.3.【答案】 B【解析】：命题的逆命题是将条件和结论加以交换构成的命题，所以逆命题为：假设一个数的平方是正数，那么它是负数4.【答案】 A【解析】：特称命题的否认为全称命题，并将结论加以否认，所以命题的否认为：p : x R, x15.【答案】 D1 x0【解析】：由函数解析式得定义域为：，解得：2,1 .x 206.【答案】 D2).那么得：.211【解析】：由题 f x x且过点， (2,2,22 2 ,，12222 11所以； f 4 4 2, f427.【答案】 C【解析】：,, 曲线11f '(x)x f '(1)1y f ( x)在点〔，〕y x 1,1处切线方程为即 2x 2y 10.应选C.228.【答案】 C【解析】： f (x ) 3x23x, 由 f ( x) 0 得x0 ，或 x 1 ．又5 f (0 m) f ( 1 ) m159f ( 1 m),2,m，得 m 2 ．2229.【答案】 B【解析】：由逻辑连接词“或〞的意义，可知命题p 和 q ，假设 p q 为假命题，那么命题p 与 q 必为假，应选B．10.【答案】B【解析】： f x xf xf x xf x0 xf x 'xf x ，所0 ，设g x以函数 g x单调递减， f x 1(x 1) f (x2 1) 变形为5x 10x 1 f x1 ( x 21) f ( x 2 1)x 2 1 0 ，解不等式得解集为x1 x 2111 答案 C.12. 答 案D. 解：g ( x )xe ( 3 x 1 ) , x ( g (a x )hx2, g ( x) 0, g( x) 递减， x2, g ( x) 0, g( x) 递增，33g (0) 1 a h(0), g(1) h(1)e 0 ， g ( 1) h( 1)4e 1 2ag ( 2)7 , h( 2) 3a g( 2) h( 2) 07 e 2 73a0,ae 23e 2应选 D二填空题 ( 总分值 20 分, 每题 5 分) 13. 【答案】 a ＞ c ＞b2,xae ( 3x ，2 0a ，e【解析】：因为 a ＝30.630 1 ，b ＝log 30.2<log 31 0， 0 c ＝0.63 0.60 1 ，所以a ＞ c ＞ b .14. 【答案】 0＜ k ＜1， 【解析】：∵函数 f ( x)2, x 2x，作 图如下图：x(x 1)3 , x 2y k ，〔f x 〕可知要使关于 的方程 f ( x)k有两个不同的实根即件数个交点，由有 2 图可知 0＜ k ＜1，故答案为 0＜ k ＜1，15. 答案：0,2. 解 : 记h(x)4 ax ,那么函数 h( x)4 ax 在区间 (3,6) 上递减,且3h(6) 0 0 a223 0a1 a3a 116. 答案1；【解析】当 a 1 时,有a24, a 1m , 此时 a2, m1, 此时 g( x)x 为减4112函数,不合题意 .当0a 1 ,那么a14,a2m , 故 a, m, 检验知符合题意 .416三解答题17.( 此题总分值10 分)【答案】〔Ⅰ〕 m9;〔Ⅱ〕 0m 3 .解析：解： P ：2x10 ，Q：1m x1m⑴∵ P 是Q的充分不必要条件，6∴2,10 是1 m,1 m 的真子集．m 0, m 9 ． 1 m 2,1 m10,∴实数 m 的取值X 围为m 9 ．5分⑵∵“非 P 〞是“非Q 〞的充分不必要条件，∴ Q 是P 的充分不必要条件．m 0,1 m 2, 0 m 3． 1 m10,∴实数 m 的取值X 围为0 m 3 ．10分18. ( 此题总分值 12 分)解析： (1) f xe x ax a b2x 2 ，依题意，f 04 即a b 2 4 ， 解得a 1, b1b.f 011(2)f ( x) e x ( x 2) 2(x1)且 f ( 2)0, f ( 1) 0 ，x 02, 1 使得 f (x 0 ) 0x ( 2, x 0 ), f ( x 0 ) 0; x ( x 0 , 1), f ( x 0 ) 0;f ( x)max max f ( 2), f ( 1) 而 f ( 2)12 , f ( 1)11 e所以f ( x)maxe219. ( 此题总分值 12 分)解 (1) f ( x) x 2 ax a 2b 1 , x 1,1对于 x1,1 恒有f ( x)a0成立.f ( 1) 01 a a2 2 12a 解得 0a1f (1) 0a 2 11 aa(2) 假设存在x 1,1 ,使得f ( x)0成立.又 a2 ,f ( x) 的对称轴为 xa 1,在此条件下x1,1 时,2f (x)ming( 1) 07f ( 1) 1b12 得 a b 1 0a0 及 ab 2a) 2b 1a1(1于是 a 2b 28aa 2 (1 a)28a 2( a 5)223232 2 2当且仅当 a5, b3 时 , a 2 b 2 8a 取得最小值为23 .2 2220. ( 此题总分值 12 分)x3m x n, 可得n m 3 或解 :0 x 3, x 3 ,又因为函数的定义域x 3 3 n m ,而函数的值域 log a a( n 1)f ( x) log a a( m 1) , 由对数函数的性质知 m1,n 1m 3x 36(2) 设g( x) 1 x , g( x) 在区间 (3,)上递增,又因为 0a 1x 3 3即 f (x) 单调递减的函数.log a n 3 log a a(n 1)x 3x3n 3log a a(x1)log a a( x 1)log a m 3 log a a(m 1)x 3x3m 3即 ax 2(2a1)x 3(a 1) 0 有两个大于 3 的实数根 ,23a 32(2 a 1) 3 3(a1)0 0 a2a1432a21. ( 此题总分值 12 分)解 :3且 1 151 24e2a 2b, 4b 2 4b 2 b椭圆方程是x 2y 2 1 ,164(2) 记k OA k 1 , k OB k 2且 k 1 k 2 m,直线 OA 的方程为yk 1 x ,直线OB 的方程 yk 2 x,y k 1 x (1 4k 12 ) x A 2x A 216x 2y 2 1161 2 1644k 18OA 21 162 (1 k 12 ) 4k 1同理 :OB 216 2 (1 k 22 )1 4k 2OA 2 OB 216 2 (1 k 12 ) (1 k 22 ) 16 2 1 4k 1 1 4k 2(1 k 2 ) 16 (1 m 2 )161 14k 2 k 2 4m2111k 1221616(k 2 m 2 )1 k2 k 2 m 2(1 k 1 )11611k4m21 4kk24m21 4k222111 1k 148m22k 12 m 220516m 2 +1k4k 2 21m4 18m 216m 2+1221即 k 1k 2154m16.为所求.422. ( 此题总分值 12 分)解 :f ( x)2xe x 2 2ax 2 x(e x 2 a) ,当 a 1 时 , x ( ,0) 有 f (x)0 , f ( x) 递减函数; , x (0,) 有 f ( x)0 , f ( x)递增函数 ;假设a 1 时, 令 f( x)0, x ln a , x (0, ln a ), f ( x) 0, f (x) 递减；x ( ln a,0), f ( x) 0 有 f (x) 递增函数;x ( ln a ,) 有 f ( x)0 , f (x) 递增函数x( , ln a ) 有 f ( x) 0 , f ( x) 递减函数;1e x(2)f (x) xg ( x) ln( x m) , 记( ) x ln( ) , ( x m),F x ex mF ( x) e x1, 令F (x) 0 ,x 0 ( m,) 使得ex 0 1,x mx 0 mx ( m, x 0 ) ，F (x) 0 , 那么函数 F ( x) 递减,x(x 0 ,+ ) ，F (x)0 , 那么函数 F( x)递增 ,F ( x) minexln( x 0 m)x 0 1 ln e x 0x 0 1 x 0 m m2 mmm 当且仅当( x 0m) 2 1 等号成立 , 故2 m 0即m2 .9。
高二数学下学期第二次段考试题理word版本
江西省临川区、新余市 2016-2017 学年高二数学放学期第二次段考试题理试卷满分： 150 分考试时间： 120 分钟第Ⅰ卷（选择题：共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项切合题目要求 .1. 设会合 A{ x | x 2 2x}, B { x | x 1 0}，则 AI B （）（- ，-1） B.（- ，1） C.（0，1） D.（1,2 ）A.2. 命题“ x 0(1, ), x 02 2x 0 20 ”的否认形式是（）A.x(1, ), x 02 2x 0 2 0 C. x 0(1, ), x 02 2x 02 0B. x ,1 , x 02 2x 0 2 0 D.x 0,1 , x 02 2x 02 03. 已知 e 1 ,e 2 是夹角为 60 的两个单位向量 , 则“实数 k 4 ”是“ (2e 1 ke 2 ) e 1 ”的（）A. 充足不用要条件B. 充要条件C.必需不充足条件D.既不充足也不用要条件4. 履行以下图的程序框图，若输入的x 2017 , 则输出的 ( ) A.2B.3C.4D.55. 函数 f ( x)cos( x)( 0) 的最小正周期是，则其图像向右平6移 个单位后的单一递减区间是（）3A.k , k (kZ )44C.k , 7k (kZ )12125 k ,k(kZ )B.1212D.k ,3k (kZ )4 46. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有以下问题： “今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为： “已知直角三角形两直角边长分别为8 步和15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）A.3B.C.3 D.102020107. 中国古代数学名著《九章算术》中记录了公元前344 年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图以下图（单位：寸） ，若取 3，其体积为 12.6（立方寸），则图中的（）8. 一名法官在审理一同瑰宝偷窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的口供以下，甲说：“犯人在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实” ．经过检核查实，四人中有两人说的是实话，此外两人说的是谎话，且这四人中只有一人是犯人，由此可判断犯人是 ( )A. 甲B.乙C.丙D.丁9. 以下四个图中，函数10 ln | x 1 |的图象可能是（）yx 1A ．B.C. D ．x 2y 2 1 的左、右焦点 . 若在双曲线右支上存在点 P ，知足10. 设 F 、 F 分别为双曲线12a2b2| 2|=|1 2|，且2到直线 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )PFF FF PFA. 4B. 5C.D.533211. 已知从点出发的三条射线， ， PC 两两成 60 角，且分别与球相切于， ，三点．若球的体积为36π，则，两点间的距离为（）A.3 3B.32C.3D.612. 已知函数 f (x) ax eln x 与 g( x)x2的图像有三个不一样的公共点，此中为自然对x eln x数的底数，则实数的取值范围为（）A. a eB.a 3 或 a 1C. a eD.a1第Ⅱ卷（非选择题：共90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13.复数1 i的虚部为 .2ix y114. 设x, y知足拘束条件x y 4，则 z x 3 y 的取值范围为.x0y015. 设向量OA(1 ,2)，OB(a ,1)， OC( b , 0)，此中为坐标原点， a 0， b0 ，若、、三点共线，则12的最小值为 .a b16. 若数列{ a n}知足a n 1(1) n a n n1，则 {a n} 的前项的和 S40.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分 . 解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.( 本小题满分12 分)设ABC的内角A,B,C的对边分别是a, b, c，且( a2b2c2 ) sin A ab (sin C 2 sin B,)a 1.(1)求角的大小；(2)求 ABC 的周长的取值范围.18.( 本小题满分12 分 )为了整改食品的安全卫生，食品监察部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10 个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是丈量数据的茎叶图（单位：毫克）.规定：当食品中的有害微量元素的含量在[0,10]时为一等品，在[10,20]为二等品，20以上为劣质品 .(1)用分层抽样的方法在两组数据中各抽取 5 个数据，再分别从这 5 个数据中各选用 2 个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；(2)每生产一件一等品盈余 50 元，二等品盈余 20 元，低质品损失 20 元，依据上表统计获得甲、乙两种食品为一等品、二等品、低质品的频次，分别预计这两种食品为一等品、二等品、低质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取 1 件，设这两件食品给该厂带来的盈余为，求随机变量的散布列和数学希望 .19.( 本小题满分12 分)如图，斜三棱柱 ABC ABC111的底面是直角三角形， ACB900，点在底面内的射影恰巧是BC 的中点，且 BC CA 2.(1)求证：平面 ACC1 A1平面 B1C1CB；(2)若二面角 B AB1C1的余弦值为5，求斜三棱柱 ABC A1BC11的高. 720.( 本小题满分12 分)已知椭圆 C : x2y 21( a b 0)的左、右焦点分别为 F1(1,0) ，F2 (1,0) ，点 A( 2 ,3) 在a2b222椭圆上 . (1)求椭圆的标准方程；(2)能否存在斜率为的直线，使适当直线与椭圆有两个不一样交点M , N 时，能在直线y 5 上找到3一点，在椭圆上找到一点，使得PM NQ ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明原因.21.( 本小题满分12 分 )设函数xax .f (x)ln x(1) 若函数f ( x)在(1,) 上为减函数，务实数的最小值；(2) 若存在x1, x2e, e2，使f ( x1) f (x2 ) a 成立，务实数的取值范围.请考生在第22、 23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程x 17 cos在直角坐标系XOY 中，曲线的参数方程为：(是参数 ) ，认为极点，轴的非负y7 sin半轴为极轴成立极坐标系．(1)求曲线的极坐标方程；(2)的交点为，求线段 PQ 的长．23.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲设函数 f (x) x a x .(1)当 a 2 时，求函数 f ( x)的值域；(2)若 g( x)x 1 ，求不等式g( x) 2x f ( x) 恒成即刻的取值范围．。
江西省抚州市南城一中2015-2016学年高二(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．已知a∈R，若复数为纯虚数，则|1+ai|=（）A．10 B． C．5 D．2．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣3．设集合M={y|y=cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x|||＜1，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1）D．[0，1]4．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（0，）D．（，1]5．使函数是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（）A．B．C．D．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10097．已知M=，由图示程序框图输出的S为（）A．1 B．ln2 C．D．08．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（）A．18 B．108 C．216 D．4329．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且双曲线与抛物线x2=﹣4y的准线交于A，B，S△OAB=，则双曲线的实轴长（）A．2B．4C．2 D．411．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．12．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离为h i（i=1，2，3，4），若，则；根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i=1，2，3，4），若，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．14．设不等式组所表示的区域为M，函数y=sinx，x∈[0，π]的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为．15．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则=．16．给出命题：①函数是奇函数；②若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；③在区间上的最小值是﹣2，最大值是；④是函数的一条对称轴．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．18．今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四（Ⅱ）从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．19．已知函数f（x）=x3﹣x2+1，x∈R．（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）求函数图象经过点（，1）的切线的方程；（3）求函数f（x）=x3﹣x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（1）证明：CE⊥AB；（2）若二面角P﹣CD﹣A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．21．已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）22．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．已知a∈R，若复数为纯虚数，则|1+ai|=（）A．10 B． C．5 D．【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，由题意求出a值，则答案可求．【解答】解：∵为纯虚数，∴，解得：a=2，∴|1+ai|=|1+2i|=．故选：D．2．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．3．设集合M={y|y=cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x|||＜1，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1）D．[0，1]【考点】交集及其运算．【分析】集合M中的y利用二倍角的余弦函数公式化简，根据余弦函数的值域确定出M范围，求出集合N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中的y=|cos2x﹣sin2x|=|cos2x|，得到M=[0，1]，由N中的不等式变形得：|x|＜1，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，即N=（﹣1，1），则M∩N=[0，1）．故选：C．4．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（0，）D．（，1]【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，即函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点．而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k=0 的斜率为k，且经过点M（1，2），当直线和半圆相切时，由=1，求得k=．当直线经过点A（﹣1，0）时，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．数形结合可得k的范围为（，1]，故选：D．5．使函数是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ+），由于它是奇函数，故θ+=kπ，k∈z，当k为奇数时，f（x）=﹣2sin2x，满足在上是减函数，此时，θ=2nπ﹣，n∈z，当k为偶数时，经检验不满足条件．【解答】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是奇函数，故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ﹣．当k为奇数时，令k=2n﹣1，f（x）=﹣2sin2x，满足在上是减函数，此时，θ=2nπ﹣，n∈Z，选项B满足条件．当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在上是减函数．综上，只有选项B满足条件．故选B．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由于满足S2016=＞0，S2017=2017a1009＜0，可得：a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵满足S2016==＞0，S2017==2017a1009＜0，∴a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k=1009．故选：D．7．已知M=，由图示程序框图输出的S为（）A．1 B．ln2 C．D．0【考点】定积分；程序框图．【分析】根据积分的定义，分别解出M和N，再判断M与N的大小，代入程序图进行求解．【解答】解：∵M=dx=ln（x+1）|=ln2，N=cosxdx=sinx|=1，∴ln2＜1∴M＜N，由程序图可知求两个数的最大值，输出的是最小的一个数，∴S=ln2，故选：B．8．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（）A．18 B．108 C．216 D．432【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分三步进行：第一步，先将1、3、5成两组，第二步，将2、4、6排成一排，第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，由排列组合公式，易得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分三步进行：第一步，先将1、3、5成两组，共C32A22种方法；第二步，将2、4、6排成一排，共A33种方法；第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，共A42种方法．综上共有C32A22A33A42=3×2×6×12=432；故选D．9．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且双曲线与抛物线x2=﹣4y的准线交于A，B，S△OAB=，则双曲线的实轴长（）A．2B．4C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得==，a=b．抛物线x2=﹣4y的准线为：y=．代入双曲线方程可得A，B的坐标，|AB|．利用S△OAB=即可得出．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，∴==，可得a=b．抛物线x2=﹣4y的准线为：y=．代入双曲线方程可得：，解得x=±．∴|AB|=2．∴S△OAB==×=×，解得a2=2，∴a=．则双曲线的实轴长为2．故选：A．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系．【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到结论．【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线故选A12．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离为h i（i=1，2，3，4），若，则；根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i=1，2，3，4），若，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由可得a i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解答】解：根据三棱锥的体积公式得：，即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=3V，∴，即．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为6014．设不等式组所表示的区域为M，函数y=sinx，x∈[0，π]的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为．【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用积分的应用求出区域N的面积，根据几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：为△AOB，则B（π，0），由得，即A（，），则△AOB的面积S=，由积分的几何意义可知区域N的面积为=2，根据几何概型的概率公式可知所求的概率P=，故答案为：15．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2，整理后两边同除以x A2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x A2（x A2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：316．给出命题：①函数是奇函数；②若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；③在区间上的最小值是﹣2，最大值是；④是函数的一条对称轴．其中正确命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①函数=﹣sin x是奇函数，正确；②若α、β是第一象限角且α＜β，取α=30°，β=390°，则tanα=tanβ，不正确；③在区间上的最小值是﹣2，最大值是2，不正确；④是函数的一条对称轴，正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m 的取值范围；（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．【解答】解：（1）∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴，即，即﹣1＜m＜1，∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1≤m＜3，综上，实数m的取值范围是[1，3）．18．今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四（Ⅱ）从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）根据最高小矩形下底边的中点值为得出众数是多少，根据直方图中各小矩形的面积及底边中点值求出数据的平均数；（Ⅱ）求出A、B等级的频数是多少，利用古典概型求出至少选一家A等级的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵最高小矩形下底边的中点值为75，∴估计评估得分的众数为75；∵直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28、0.16、0.08，∴第二个小矩形的面积为1﹣0.28﹣0.16﹣0.08=0.48；∴=65×0.28+75×0.48+85×0.16+95×0.08=18.2+36+13.6+7.6=75.4，即估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4；（Ⅱ）∵A等级的频数为25×0.08=2，B等级的频数为25×0.16=4，∴从6家连锁店中任选2家，共有=15种选法，其中选1家A等级和1家B等级的选法有2×4=8种，选2家A等级的选法有1种；∴P==，即至少选一家A等级的概率是．19．已知函数f（x）=x3﹣x2+1，x∈R．（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）求函数图象经过点（，1）的切线的方程；（3）求函数f（x）=x3﹣x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．【考点】利用导数研究函数的极值；定积分；定积分在求面积中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）f′（x）=x（x﹣1），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得其单调性与极值；（2）由（1）可得=，由点（，1）为切点时，可得切线方程；若点（，1）不为切点时，设切点为P（x0，y0），则切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0），把点（，1）代入解得x0，即可得出切线方程．（3）由f（x）=x3﹣x2+1=1，解得x=0或．可得函数f（x）=x3﹣x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积为：，利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣x=x（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＜0或x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．∴f（x）的极大值为f（0）=1；f（x）的极小值为．（2）由（1）可得=，∴点（，1）为切点时，切线方程为：；若点（，1）不为切点时，设切点为P（x0，y0），则切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0），把点（，1）代入可得：1﹣=，解得x0=0或，取x0=0，可得切线方程为：y=1．综上可得：切线方程为：y=1或．（3）由f（x）=x3﹣x2+1=1，解得x=0或．∴函数f（x）=x3﹣x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积为：===．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（1）证明：CE⊥AB；（2）若二面角P﹣CD﹣A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．【分析】（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，从而EF⊥AB，AB⊥CF，由此能证明CE⊥AB．（2）推导出PA⊥CD，CD⊥PD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正切值．（3）过P作PG∥CD，推导出∠APD为所求锐二面角的平面角，由此能求出平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴EF⊥AB，∵AB⊥AD，∴AB⊥CF，∵EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，∴AB⊥平面EFC，∵CE⊂平面EFC，∴CE⊥AB．解：（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，∴∠PDA=60°，∴PA=，∵AB=AD=2CD，∴PA==，由（1）知，∠CEF为CE于平面PAB所成角，∵tan∠CEF====，∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．（3）过P作PG∥CD，由PA⊥平面PAD，得PA⊥AB，PA⊥PG，由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，PG⊥PD，∴∠APD为所求锐二面角的平面角，cos=．21．已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a≤0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）＞0 （x∈（0，1）；当a＞0时，只需求f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，让最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的结论，对式子变形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）递减；当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）递减，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值为g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解为a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1 x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．22．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．2016年4月26日。
江西省赣州市高二数学下学期第二次月考试卷理(含解析)
江西省赣州市2016—2017学年高二数学下学期第二次月考试卷理一、选择题(12×5′=60′）1．某汽车启动阶段的路程函数为s(t）=2t3﹣5t2+2，则t=2秒时，汽车的加速度是( ）A．14 B．4 C．10 D．62．已知两非零向量，，则“•=｜｜|｜”是“与共线”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．用数学归纳法证明“5n﹣2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将5k+1﹣2k+1变形为（)A．5（5k﹣2k）+3×2k B．（5k﹣2k）+4×5k﹣2kC．（5﹣2）（5k﹣2k）D．2（5k﹣2k）﹣3×5k4．函数y=x4﹣4x+3在区间上的最小值为（）A．72 B．36 C．12 D．05．曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e26．若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．27．如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°，AB=AC=2,,则AA1与平面AB1C1所成的角为（）A．B．C．D．8．如图是函数y=f(x）的导函数y=f′(x）的图象,给出下列命题：①﹣3是函数y=f（x）的极值点；②﹣1是函数y=f(x）的最小值;③y=f（x)在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x)在区间(﹣3,1）上单调递增．则正确命题的序号是（)A．①②B．①④C．②③D．③④9．设底部为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（) A．B．C．D．10．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞,1）时,（x﹣1)f′（x）＜0，设a=f（0），b=f(),c=f(3），则（)A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a11．已知，且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角范围为( ）A． B．C．D．12．抛物线x2=4y与直线x﹣2y+2=0交于A,B两点，且A，B关于直线y=﹣2x+m对称,则m的值为（)A．﹣6 B．﹣8 C．D．二、填空题（4&＃215;5′=20′）13．如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5)= ．14．设方程x3﹣3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是．15．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|｜•+|｜•=．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC•+S△OCA•+S△OBA•=，将它类比到空间情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有．16．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线与点A，B，C，若BC｜=2｜BF|，且｜AF｜=3，则抛物线的方程是．三、解答题(共70分）17．已知数列｛a n｝前n项和为S n，a1=﹣，且S n++2=a n（n≥2）．（1）计算S1，S2，S3，S4的值，猜想S n的解析式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．18．已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；(Ⅱ）若f（x）有极大值28,求f（x）在上的最小值．19．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD,FB∥ED，且ED=FB=1，G为BC 的中点．(1）求此几何体的体积;（2）在线段AF上是否存在点P,使得GP⊥平面AEF?若存在,求线段AP的长，若不存在，请说明理由；(3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．20．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．(2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．21．如图，已知直线l：y=kx﹣2与抛物线C：x2=﹣2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，．（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积最大值．22．已知x=3是函数f（x)=aln（1+x)+x2﹣10x的一个极值点．(Ⅰ）求a;（Ⅱ)求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ)若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．2016-2017学年江西省赣州市信丰中学高二（下）第二次月考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（12＆＃215;5′=60′）1．某汽车启动阶段的路程函数为s（t）=2t3﹣5t2+2，则t=2秒时，汽车的加速度是( ）A．14 B．4 C．10 D．6【考点】63：导数的运算．【分析】利用导数在物理上的意义，位移的导数是速度;【解答】解：汽车的速度为v（t）=s′（t）=6t2﹣10t，∴a=v′（t）=12t﹣10∴a=v′(2）=24﹣10=14．故选：A．2．已知两非零向量，,则“•=｜|｜｜”是“与共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“•=｜｜｜｜"能推出“与共线"，但由“与共线"，不能推出“•=|｜||”，从而得出结论．【解答】解：两非零向量，,由“•=|｜|｜”，可得cos＜＞=1，∴＜＞=0，∴与共线，故充分性成立．当与共线时,＜＞=0 或＜＞=π,cos＜＞=±1，•=｜｜|，或•=﹣｜|||,故必要性不成立．故“•=｜|||”是“与共线”的充分不必要条件，故选A．3．用数学归纳法证明“5n﹣2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1﹣2k+1变形为( ）A．5(5k﹣2k）+3×2k B．（5k﹣2k)+4×5k﹣2kC．（5﹣2)（5k﹣2k）D．2（5k﹣2k）﹣3×5k【考点】RG：数学归纳法．【分析】本题考查的数学归纳法的步骤，在使用数学归纳法证明“5n﹣2n能被3整除”的过程中,由n=k时成立，即“5k﹣2k能被3整除”时，为了使用已知结论对5k+1﹣2k+1进行论证，在分解的过程中一定要分析出含5k﹣2k的情况．【解答】解：假设n=k时命题成立，即：5k﹣2k被3整除．当n=k+1时，5k+1﹣2k+1=5×5k﹣2×2k=5（5k﹣2k）+5×2k﹣2×2k=5（5k﹣2k)+3×2k故选：A．4．函数y=x4﹣4x+3在区间上的最小值为（）A．72 B．36 C．12 D．0【考点】6D:利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导，然后判断函数在上的单调性，进而确定最值．【解答】解：∵y=x4﹣4x+3，∴y'=4x3﹣4当y'=4x3﹣4≥0时，x≥1，函数y=x4﹣4x+3单调递增∴在上，当x=1时函数取到最小值0当y’=4x3﹣4＜0时，x＜1，函数y=x4﹣4x+3单调递减∴在上，当当x=1时函数取到最小值0故选D．5．曲线y=在点（4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B．4e2C．2e2D．e2【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求曲线上点切线方程,求直线与x轴，与y轴的交点,然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【解答】解:∵曲线y=,∴y′=×,切线过点（4，e2）∴f′（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4)，令y=0，得x=2，与x轴的交点为:（2,0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．6．若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】KC：双曲线的简单性质;K8：抛物线的简单性质．【分析】将抛物线的方程化成标准式：x2=8y，可得它焦点为(0，2），刚好是双曲线线线的上焦点，由双曲线的基本概念可得c=2,所以a+1=22=4，可得a=3，最后根据离心率的公式，可计算出双曲线的离心率值．【解答】解：∵将抛物线的方程化成标准式：x2=8y∴2p=8， =2，可得抛物线的焦点为(0，2）∵双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴a+1=22=4，可得a=3设双曲线的离心率为e，则e2=，所以e=故选A7．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2，,则AA1与平面AB1C1所成的角为（)A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2，，∴建立以A为坐标原点，AC，AB，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图．则A1（0，0，），A（0,0，0)，B1（0，2，）,C1（2,0，），则=（0，2,)，=（2，0,),设平面AB1C1的法向量为=(x,y,z），=（0，0，），则•=2y+z=0，•=2x+z=0，令z=1，则x=﹣，y=﹣，即=（﹣，﹣，1)，则AA1与平面AB1C1所成的角θ满足sinθ=｜cos＜，＞|==,则θ=，故选:A．8．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y=f（x）的极值点;②﹣1是函数y=f（x)的最小值;③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f(x）在区间(﹣3,1)上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点关系，结合图象判断．【解答】解：根据f′（x）＞0，f′（x）＜0，可以确定函数的增区间,减区间，切线斜率的正负．由导函数y=f′（x)的图象，可判断，f′（x）=0，x=﹣3．x=﹣1，﹣3的左边负右边正，两边互为异号，所以可判断f（x)单调性在（﹣∞，﹣3）为上减函数，(﹣3，﹣1）为增函数，由上述条件可判断：①﹣3是y=f（x)的极值点;④y=f(x）在区间(﹣3，1)上单调递增．两个结论正确．②﹣1函数y=f(x）的最小值；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；两个结论错误．故选：B9．设底部为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ）A．B． C． D．【考点】RI：平均值不等式；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh= a2×h，得出 h=，再根据表面积公式得S=+a2，最后利用基本不等式求出它的最大值及等号成立的条件即得．【解答】解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh= a2×h，∴h=，表面积为S=3ah+a2=+a2=++a2≥3=定值,等号成立的条件，即a=,故选C．10．函数f（x）在定义域R内可导，若f(x）=f（2﹣x)，且当x∈（﹣∞，1)时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f(0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】3F：函数单调性的性质；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x)的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时,（x ﹣1)f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0,此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f(2﹣x）可知，f（x)的图象关于x=1对称,根据题意又知x∈（﹣∞，1)时，f′（x）＞0,此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0,f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0)＜f（）,即c＜a＜b，故选B．11．已知，且关于x的函数在R上有极值,则与的夹角范围为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据函数在实数上有极值求出导函数，使得导函数等于零有解，即一元二次方程有解，判别式大于零，得到的模与两向量数夹角余弦值的不等关系，求出角的范围．【解答】解:因为，且关于x的函数=在R上有极值，所以f’(x）=x2+2|x+2|｜2cosθ=0在R上有不等实根，所以判别式△=4|｜2﹣8｜｜2cosθ＞0，所以cosθ＜,所以θ∈（，π]；故选：D．12．抛物线x2=4y与直线x﹣2y+2=0交于A，B两点，且A，B关于直线y=﹣2x+m对称，则m 的值为（)A．﹣6 B．﹣8 C．D．【考点】KG:直线与圆锥曲线的关系．【分析】联立给出的直线方程和抛物线方程,利用根与系数关系求出A，B的横坐标与纵坐标的和，得到AB中点的坐标，由A，B关于直线y=﹣2x+m对称，把AB中点的坐标代入该直线方程求得m的值．【解答】解：如图，联立,得x2﹣2x﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2)，则x1+x2=2，．∴,．∵A,B关于直线y=﹣2x+m对称，∴AB的中点在直线y=﹣2x+m上，即,解得m=．故选:C．二、填空题(4×5′=20′）13．如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= ﹣5 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】根据切点在函数F（x）的图象上，求出切点坐标，然后求出函数F（x）的导函数F'（x），根据F'（5)=﹣1求出f′(5），从而求出所求．【解答】解：F（5）=f（5）+5=﹣5+8=3,所以f(5)=﹣2．又F′（x）=f′(x）+x，所以F′（5）=f′（5）+×5=﹣1，解得f′（5)=﹣3，f（5）+f′（5)=﹣5．故答案为:﹣514．设方程x3﹣3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是(﹣2，2）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题．【解答】解：设f（x）=x3﹣3x，对函数求导，f′（x)=3x2﹣3=0,x=﹣1，1．x＜﹣1时，f（x）单调增，﹣1＜x＜1时，单调减,x＞1时，单调增，f(﹣1）=2,f(1）=﹣2，要有三个不等实根,则直线y=k与f（x)的图象有三个交点，∴﹣2＜k＜2故答案为:（﹣2,2）．15．对于命题：若O是线段AB上一点，则有｜｜•+|｜•=．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC•+S△OCA•+S△OBA•=，将它类比到空间情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有V O﹣BCD•+V O﹣ACD•+V O﹣ABD•+V O﹣ABC•=．【考点】F3:类比推理．【分析】由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中点O在三角形ABC内，则有结论S△OBC•+S△OCA•+S△OBA•=，的结论是二维线段长与向量的关系式，类比后的结论应该为三维的体积与向量的关系式．【解答】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面,或是二维变三维，面积变体积；由题目中点O在三角形ABC内，则有结论S△OBC•+S△OCA•+S△OBA•=，我们可以推断若O为四面体ABCD内一点，则有V O﹣BCD•+V O﹣ACD•+V O﹣ABD•+V O﹣ABC•=．故答案为：若O为四面体ABCD内一点，则有V O﹣BCD•+V O﹣ACD•+V O﹣ABD•+V O﹣ABC•=．16．如图,过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线与点A,B，C，若BC｜=2|BF｜,且｜AF｜=3，则抛物线的方程是y2=3x ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】分别过点A，B作准线的垂线,分别交准线于点E，D，则BD=BF，故∠BCD=30°，于是AC=2AE，从而得出BD，利用△BCD∽△FCG得出p，从而得出抛物线方程．【解答】解:分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E，D，设｜BF|=a，则｜BC|=2a,|BD｜=a，∴∠BCD=30°,在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，｜AC｜=3+3a，∴2|AE|=｜AC|∴3+3a=6，即a=1，∵BD∥FG,∴=，解得p=，∴抛物线方程为y2=3x．故答案为：y2=3x．三、解答题（共70分)17．已知数列｛a n}前n项和为S n，a1=﹣,且S n++2=a n(n≥2）．（1)计算S1，S2,S3，S4的值，猜想S n的解析式；(2）用数学归纳法证明所得的结论．【考点】RG：数学归纳法；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（1）根据数列的递推公式代值计算即可,并猜想其结论，（2）利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1)S1=a1=﹣，S2++2=S2﹣（﹣），解得S2=﹣, S3++2=S3﹣S2⇒S3=﹣，S4++2=S4﹣S3⇒S4=﹣．猜想：S n=﹣（n∈N+）．(2）证:①当n=1时，左边=S1=a1=﹣,右边=﹣=﹣．∵左边=右边，∴原等式成立．②当n=k时,假设S k=﹣成立,由S k+1++2=S k+1﹣S k得=﹣S k﹣2=﹣2===﹣,∴S k+1=﹣=﹣，∴当n=k+1时,原等式也成立．综合①②得对一切n∈N+，S n=﹣成立．18．已知函数f（x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ)求a，b的值；（Ⅱ)若f(x)有极大值28，求f（x）在上的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b,又函数在点x=2处取得极值c﹣16，可得解此方程组即可得出a，b的值；（II）结合（I)判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值,进而可求出函数f（x）在上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ)由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x)=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16∴,即，化简得解得a=1，b=﹣12（II）由（I）知f（x)=x3﹣12x+c，f′(x）=3x2﹣12=3（x+2）(x﹣2）令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2当x∈（﹣∞，﹣2)时,f′（x)＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f(x）在（﹣2，2）上为减函数;当x∈（2，+∞)时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；由此可知f（x)在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2)=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f(2）=c ﹣16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2)=﹣16+c=﹣4因此f（x）在上的最小值f(2）=﹣419．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED,且ED=FB=1,G为BC的中点．(1）求此几何体的体积；（2)在线段AF上是否存在点P,使得GP⊥平面AEF？若存在，求线段AP的长，若不存在，请说明理由；（3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）可把几何体补成一个边长为1的正方体ABCD﹣MFNE，则此几何体的体积：V=13﹣V A﹣MEF﹣V C﹣NEF，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴,DE为z轴，建立空间直角坐标系,由此能求出在线段AF上存在点P，使得GP⊥平面AEF,并能求出线段AP的长．（3)求出平面AEF的一个法向量,平面BAF的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣B的余弦值．【解答】解：（1）如图,可把几何体补成一个边长为1的正方体ABCD﹣MFNE，∴此几何体的体积：V=13﹣V A﹣MEF﹣V C﹣NEF=1﹣﹣=．（2)如图，以D为原点,DA为x轴，DC为y轴,DE为z轴，建立空间直角坐标系,则A（1，0，0)，G(，1,0），E(0，0，1)，F（1，1，1），∴=（0，1，1）,=(1,1，0)，=(﹣,1，0）,设==(0，λ，λ），则==()，由⊥,得=λ﹣1+λ=0，解得，此时=（，），=0，∴此时GP⊥平面AEF，线段AP的长|AP|==．（3）由（2)知平面AEF的一个法向量=（),平面BAF的法向量=（1，0,0)，cod＜,＞===，由图知二面角E﹣AF﹣B的平面角是钝角,∴二面角E﹣AF﹣B的余弦值为﹣．20．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6),年销量为u万件，若已知与成正比,且售价为10元时，年销量为28万件．（1)求年销售利润y关于x的函数关系式．（2)求售价为多少时,年利润最大，并求出最大年利润．【考点】5D:函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据题中条件:“若已知与成正比"可设，再依据售价为10元时,年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．(2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数,根据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间,从而求出极值进而得出最值即可．【解答】解：(1）设，∵售价为10元时，年销量为28万件;∴，解得k=2．∴=﹣2x2+21x+18．∴y=（﹣2x2+21x+18）(x﹣6)=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．（2）y’=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）令y'=0得x=2(∵x＞6,舍去）或x=9显然，当x∈（6,9)时,y’＞0当x∈（9，+∞）时,y’＜0∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9)上是关于x的增函数；在(9,+∞）上是关于x的减函数．∴当x=9时，y取最大值，且y max=135．∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．21．如图，已知直线l：y=kx﹣2与抛物线C:x2=﹣2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点,．（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程;（Ⅱ)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ)把直线与抛物线方程联立，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2的表达式，然后利用求得p和k，则直线l和抛物线C的方程可得．（Ⅱ)设P（x0，y0），依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大;对抛物线方程求导，求得x0，代入抛物线方程求得y0，点P的坐标可得，进而利用点到直线的距离求得P 到直线l的距离把直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求得|AB|，最后求得∴△ABP的面积最大值．【解答】解：（Ⅰ）由得，x2+2pkx﹣4p=0，设A(x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2pk，y1+y2=k（x1+x2）﹣4=﹣2pk2﹣4,因为=（﹣4，﹣12)，所以解得所以直线l的方程为y=2x﹣2，抛物线C的方程为x2=﹣2y（Ⅱ)设P（x0,y0),依题意,抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大，y′=﹣x，所以﹣x0=2⇒x0=﹣2，，所以P（﹣2，﹣2）．此时P到直线l的距离，由得,x2+4x﹣4=0，∴△ABP的面积最大值为．22．已知x=3是函数f(x)=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；(Ⅱ）求函数f（x)的单调区间;（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，再由x=3是函数f（x）=aln （1+x）+x2﹣10x的一个极值点即求解．(Ⅱ）由(Ⅰ）确定f（x）=16ln(1+x)+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知,f(x）在（﹣1，1）内单调增加,在(1，3)内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时,f′（x）=0，可得f(x)的极大值为f（1），极小值为f （3）一，再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3)＜b＜f(1）求解，因此，b的取值范围为(32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【解答】解：（Ⅰ)因为所以因此a=16（Ⅱ)由（Ⅰ）知,f（x)=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1,+∞）当x∈(﹣1，1）∪(3，+∞）时，f′(x)＞0当x∈（1，3）时，f′（x）＜0所以f(x）的单调增区间是（﹣1，1）,（3，+∞)f（x)的单调减区间是（1,3）（Ⅲ)由(Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在(1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加,且当x=1或x=3时，f′（x）=0所以f（x）的极大值为f(1）=16ln2﹣9,极小值为f（3)=32ln2﹣21因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点,当且仅当f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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南城二中2015-2016学年下学期第二次月考
高二数学（理科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1.复数
212i
i
+-的虚部为（ ） A ．i B ．-1 C ．i - D ．1
2、抛物线2
x y =在点)4
1
,21(M 处的切线的倾斜角是（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
3.用数学归纳法证明某命题时，左式为
1
cos cos3cos(21)2
n ααα+++⋅⋅⋅+- (π, ,)k k Z n α*≠∈∈N 在验证1n =时，左边所得的代数式为（ ）
A.
12 B.1cos 2α+ C.1cos cos32αα++ D.1
cos cos3cos52
ααα+++
4．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12. 5，4），（13，5）变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ）
A ．210r r <<
B ． 21r r =
C ． 210r r <<
D ． 210r r <<
5．在极坐标系中，直线:cos l p t θ=（常数t>0）与曲线 :2sin C p θ=相切，则t 为． A ． 2 B. 3 C ． 1 D ．6
6．.随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，且函数()ξ++=x x x f 42
没有零点的概率为
2
1
,则=μ（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．8
7．若5
2345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则 123452345a a a a a ++++等于
A ．-5
B ．-10
C ．10
D ．5
8．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ) A ．
110
B ． 14
C ．13
D ．2
3
9.在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（单位长度
相同）．已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+=6sin 36cos 1ππt y t x （t 为参数）．若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，则满足这样条件的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ． 3
D ．4
10.设函数 ()()n
f x x a =-，其中()()
300,cos 620'
-==⎰π
f f
xdx n ，则()f x 的展开式的各项系数之和为（ ） A ．1 B ． -1 C ．2 D ． -2
11．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a n }
：
，如果S n 为数列{a n }的前n 项之和，那么S 7=3的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.定义在R 上的函数()f x 满足'()1()f x f x >-，其中'()f x 是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，则下列正确的是( )
A. 22(2)(1)e f e ef e +>+
B.2015201520162016(2015)(2016)e f e e f e ->-
C. 22(1)(2)ef e e f e ->-
D.2016201620152015(2016)(2015)e f e e f e +<+ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是
14 如果
2ln 3)1
2(1
+=+⎰dx x x a
，则实数=a 15.221(2)n
x x
+-展开式中的常数项是70，则n =
16．对于函数()f x 给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现任何一个三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115
()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果计算123
2016(
)()()()201720172017
2017
f f f f ++++= .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，
17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为13
x t
y t =+⎧⎨
=-⎩（t 为参数），
在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θ
ρθ
=
．
⑴求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； ⑵若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求弦AB 的长．
18.（本小题满分12分）已知函数n mx x x x f ++-+=2)2ln()(在点1=x 处的切线与直线
0173=++y x 垂直，且0)1(=-f ；
（1）求实数m 和n 的值； （2） 求函数)(x f 在区间]3,0[上的最小值.
19．（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）
（Ⅰ）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5－7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6－8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率． （Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）． 附表及公式：
20.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫
-
⎪⎢⎣
⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 21.（本小题满分12分） 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本．经统计，得到下列关于产品重量的样本频率分布
已知产品的重量合格标准为：重量值落在(495,510]内的产品为合格品；否则为不合格品． （1) 从甲流水线样本．．的合格品中任意取2件，求重量值落在(505,510]的产品件数X 的分布列；
（2) （2）从乙流水线．．．中任取2件产品，试根据样本估计总体的思想，求其中合格品的件数Y 的数学期望；
（3）从甲、乙流水线中各取2件产品，用ξ表示“甲流水线合格品数与乙流水线合格品数的差的绝对值”，并用A 表示事件“关于x 的一元二次方程2
220x x ξξ++=没有实数解”． 试根据样本估计总体的思想，求事件A 的概率．
22．（本小题满分12分）规定),1()1(+--=m x x x A m
x 其中x R ∈，m 为正整数，
且0
x A =1，这是排列数m
n A (,n m 是正整数，n m ≤)的一种推广．
(Ⅰ) 求3
9A -的值； (Ⅱ）排列数的性质： m
n A 1
m n
mA -+1m
n A +=(其中m ，n 是正
整数)．是否都能推广到m
x A (x R ∈，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
(Ⅲ）已知函数3
()4ln x f x A x m =--，试讨论函数()f x 的零点个数．
490
495
500
505
510
515。