伽罗瓦理论的理解

要点：

Galois关于代数方程根式可解等价于它的Galois群可解这一定理的证明思路。（1）存在性证明与数的计算相分离；如极限值、代数学基本定理、方程的根；

（2）三次方程根的置换群和五次方程根的置换群有什么不同？3个根共有3!=6个可能的置换，5个根共有5!=120个可能的置换。为什么说方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映？

（3）方程的对称性质与有无求根公式有关系吗？

（4）GALOIS定理是通过研究根式扩张和根对称性得出来的结果.问题是怎样求一个多项式方程的GALOIS群？怎样判断GALOIS群是否可解？为什么一般的五次以上方程GALOIS群不可解，但是某些特殊的五次以上方程有根式解？x^n-1=0可用根式解，它的n个根是？

（5）假设一个多项式方程有根式解,发现了有根式的情况下,各个根的对称性要满足一定关系.五次以上的方程这个关系不一定满足.那么这个关系是什么呢？

（6）阿贝尔定理：如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．

（7）怎样构造任意次数的代数可解的方程？怎样判定已知方程是否可用根式求解？怎样全部刻画可用根式求解的方程的特性？

（8）一个方程究竟有多少个根？如何预知方程的正、负、复根的个数？方程的根与系数的关系如何？方程是否一定有根式解存在？

（9）方程本身蕴涵的代数结构：

方程根的置换群中某些置换组成的子群被伽罗瓦称之为方程的群（伽罗瓦群），伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群。那么某些置换是哪些置换呢？

四次方程x^4+p*x^2+q=0的四个根的系数在方程的基本域F中有两个关系成立：x1+x2=0,x3+x4=0.在方程根的所有24=4!个可能置换中，下面8个置换

E=(1),E1=(12),E2=(34),E3=(12)(34),E4=(13)(24),E5=(1423),E6=(1324),E7= (14)(23)都能使上述两个关系在F中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。这8个置换就是方

程在域F中的群，即伽罗瓦群。

为什么说方程的群（即伽罗瓦群）与它是否根式可解存在着本质联系呢？

四次方程x^4+p*x^2+q=0有4个根，具体哪个根是x1,x2,x3,x4，对于满足x1+x2=0,x3+x4=0这两个关系来说，有8种情况（伽罗瓦群的阶为8）

（10）描述运算封闭性和可逆性的代数结构

（11）数的分类与函数的分类？

（12）代数的分类与空间的分类？

（13）通过置换群研究有限离散群

（14）群论的研究步骤

低阶群工具http://wims.unice.fr/wims/cn_tool~algebra~smallgroup.html