直角三角形的射影定理

直角三角形的射影定理
学习目标：
了解射影的概念，掌握射影定理,会用射影定理解决简单问题。

学习过程：
一、学习准备——什么叫“射影”
1．如图，太阳光垂直于l 照在A 点，留在直线l 上的影子应是点'A ，线段AB 留在MN 上的影子是线段''B A .
定义：过线段AB 的两个端点分别作直线l 的垂线，垂足'A ，'B 之间的线段''B A 叫做线段AB 在直线l 上的正射影，简称射影.
随堂练习一：
1.如图：CD 是直角三角形ABC 的斜边AB 上的高， 顶点C 在斜边AB 上的射影是：______， 直角边AC 在斜边AB 上的射影是：______， 直角边BC 在斜边AB 上的射影是：______.
2.画出图中各线段在直线MN 上的射影.
二、学习新知——“射影定理”
1.已知：如图，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D .
(1) 图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?
(2) 观察第(1)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?
(3) 由上可得到哪些等积式? 能否用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?
2.直角三角形的射影定理：
直角三角形斜边上的高是 的比例中项； 两直角边分别是 的比例中项. 请同学们自己写出已知条件并证明. 已知： 求证： 证明：
M
N
A
D
C
几何语言：
∵︒=∠90ACB ，AB CD ⊥
∴
三、巩固新知——“射影定理”的使用
例1 已知：ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AB CD ⊥于D . ⑴若6=AD ，24=BD ，求CD ,AC ,BC ；
⑵若4=AC ，3=BC ， 求BD ,DA ,CD ；
⑶若23=
AD ，2
5
=AC ，求AB ,BC ,CD .
随堂练习二：
1.如图，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ,已知6=AD ，4=BD ，则图中其他线段的长 CD =_______，AB =________，AC =_______，BC =_________.
2.如图，已知︒=∠90BAC ，BC AD ⊥于D , 4=AB ，6=AC . 求BD 、DC 的长.
注意：①要用射影定理需有直角三角形，有斜边上的高线.
②射影定理的每一个乘积式中，含有三条线段，需已知其中两条，通过方程就可以求出第三条.
③在解题过程中，要注意和勾股定理联系起来，要注意选择适当的简便方法.
D
C B A
例2 如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F .
求证：AC AF AB AE •=•.
拓展 如图，CD 是ABC ∆的高，CB DF CA DE ⊥⊥,.
求证：CEF ∆∽CBA ∆.
随堂练习三：
1.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，BC DE ⊥. 求证：BC CE BD AD •=•.
2.如图，ABC ∆中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且BD AD CD •=2
. 求证：ABC ∆是直角三角形.
B
A
四、课堂练习
1.在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD
CD
=（ ） A.34 B.43 C.169 D.916
2.ABC ∆中，︒=∠90A ，BC AD ⊥于点D ，6=AD ，12=BD ， 则CD= ，AC= ，22
:AB AC = .
3.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，6=AC ，6.3=AD ， 则BC = .
4.已知，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D .（1）若8=AD ，2=BD ，求AC 的长.（2）若12=AC ，16=BC ，求CD 、AD 的长.
5.如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AM 是BC 边的中线，AM CN ⊥于N 点，连接BN ，求证：AM MN BM •=2
.
C
B
五、课后作业
班级 姓名
1.如图，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，3=AD ，2=BD ，
则BC AC :的值是 ( ) A ．3：2 B ．9：4 C ．3：2 D ．2：3
2.在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥交AB 于点D ，若9=AD cm ，4=BD cm 则AC 的值为 （ ） A ．13cm B ．13cm C ．132cm D ．133cm
3.CD 是ABC Rt ∆斜边上的高,
⑴已知9=AD ，6=CD ，求BD ,BC ；
⑵已知25=AB ，15=BC ， 求BD ,CD .
4.设AD 是ABC Rt ∆斜边BC 上的高，且60=AC ，45=AB , 求 AD ,BD ,CD .
5.在ABC ∆中，90BAC ∠=，AD 是斜边上的高，DE 是ABD ∆的高，
且5=AC ，2=CD ,求 DE .
6.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，CE 平分BCD ∠
求证：AB AD AE •=2 .
7.如图，︒=∠=∠90C B ，BAD ∠，ADC ∠的平分线AE 、DE 交于BC 上一点
E ,AD E
F ⊥于F ，求证：2EF AB DC =•.
8.已知：在ABC Rt ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 上一点，BE CF ⊥于F ，求证：BFD ∆∽BAE ∆.
9如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，延长CA 到E ，使CA EA =，连接BE ，DE ，求证：BE AE AB DE •=•.
E
A
B
B
E。