2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第13讲 函数模型及其应用
2013届高考数学一轮总复习 第12讲 函数的图象与变换课件 文 新课标
①当 a<－3 时，由图可知，函数 y＝|x2－4x＋3|与函数 y ＝x＋a 的图象无交点，不合题意，舍去． ②当 a＝－3 时，由图可知，函数 y＝|x2－4x＋3|与函数 y ＝x＋a 的图象只有一个交点，不合题意，舍去．
2 对称变换：y f x 与y f x 的图象关于⑨ ___ 对称；y f x 与y f x 的图象关于⑩ ______ 对称； y f x 与y f x 的图象关于 ___ 对称；y f x 的图象可将函数y f x 的图象在 __________ ， 其余部分不变；y f | x |的图象可将函数y f x 的
.
易错点：(1)平移方向弄反，h(x)变 g(x)应向右平移 2 个 单位长度，向下平移 1 个单位长度；(2)函数的定义域范围 出错，应根据平移相应改变．
一
函数图象的变换
【例 1】作出下列函数的大致图象： (1)y＝|x－2|(x＋1)； 2 －x (2)y＝ ； x＋1 (3)y＝|lg|x||. (4)y＝x2－2|x|－1.
1 描点法作图的基本步骤是：③ ______ 、④ ______ 、
⑤ ______ .画函数图象时有时也可利用函数的性质如 ⑥ _________________ 以及图象上的特殊点、线 (如对称轴、渐近线等)．
2 图象的变换是指⑦ _________________________ .
上所有点的 _________________ 得到．
【要点指南】
1.下列函数图象中，正确的是(
)
.
【解析】 对 A、 B， 由 y＝x＋a 的图象， 知 a>1， 可知 A、 B 图象不正确； 对 C、D，由 y＝x＋a 的图象知 0<a<1，所以 y＝logax 应为减函数，D 错，故选 C.
2013届高考数学第一轮基础复习课件函数与方程、函数模型及其应用
两个零点，二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相交．若该交
点分别为
A、B，则
A、B
之间的距离为|AB|＝
Δ |a|
二、用二分法求方程近似解 用二分法求方程 f(x)＝0 近似解的一般步骤： 第一步：确定一个区间[a，b]，使得 f(a)·f(b)<0，令 a0＝a，b0＝b. 第二步：取区间(a0，b0)的中点 x0＝12(a0＋b0)． 第三步：计算 f(x0)的值，得到下列相关结论．
第九节
函数与方程、 函数模型及其应用
重点难点 重点：1.函数的零点和方程解的联系 2．运用数形结合判定方程解的分布 3．掌握几种常见的函数模型： (1)一次函数 (2)二次函数 (3)分式函数 (4)指数 函数 (5)对数函数 (6)分段函数 (7)幂函数 (8)三角 函数．
难点：1.二次方程根的分布问题 2．二分法的应用 3．实际问题中，如何选择模拟函数，建立函数关系 式．
2．当 Δ＝b2－4ac＝0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 有两个相等的实根，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 有一 个零点，二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相切；
3．当 Δ＝b2－4ac>0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 有两个不相等的实根，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 有
P(12)＝18040≈1.19，Q(13)＝2107≈1.18. 即 F(12)>F(13)． 所以用 13 名工人制作课桌，17 名工人制作椅子完成 任务最快.
二次函数模型
[例 4] 某市现有从事第二产业人员 100 万人，平均 每人每年创造产值 a 万元(a 为正常数)，现在决定从中分 流出 x 万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业 的人员平均每人每年创造产值可增加 2x%(0<x<100)，而 分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值 1.2a 万元．在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流 出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
2013届高考数学(理)一轮复习课件第二章第九节函数模型及其应用(广东专用)
(2)f(x)＝38x＋005＋6x＝61x＋60100＋(6x＋10)－10， ∵0≤x≤10， ∴6x＋10＞0，
【解析】 当m∈[0.5,3.2]时，[m]所有可能值为0,1,2,3共四个， 故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}．
【答案】 B
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企
业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x
＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业
(2011·四川高考改编)里氏震级M的计算公式为： M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， A0是相应的标准地震的振幅． (1)假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时 标准地震的振幅为0.001，求此次地震的震级；
(2)2011年3月11日，日本东海岸发生9.0级特大地震；2008年5 月12日，中国汶川发生8.0级强震，那么9.0级地震的最大振幅 是8.0级地震最大振幅的多少倍？
，
因此(5－b)2＝0，∴b＝5，k＝1.
(2)由(1)知 p＝2(1－t)(x－5)2，且 q＝2－x，
由 p＝q，∴(1－t)(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5)2＝－x，
因此 t＝1＋x－x 52，0＜x≤4， 又 t′＝x－5x2－－25x4x－5＝－xx－＋553， 当 0＜x≤4 时，(x－5)3＜0，∴t′＞0. ∴t＝1＋x－x 52，在(0,4]上是增函数， ∴当 x＝4 时，t 有最大值为 5. 故关税税率的最大值为 50%.
2013届新课标高中总复习课件(第1轮)(人教A版文科数学)广东专版第13讲函数与方程
D．(21，34)
【解析】显然 f(x)为 R 上增函数，又 f(14)＝e14＋4×14－3 ＝4 e－2<0，f(12)＝e12＋4×12－3＝ e－1>0，
所以在(14，12)内有且仅有一个零点．
3.函数 f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零
点，则 a 的取值范围是(
2．“精确度”与“精确到”是两个不同的概念，精确 度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点 的函数值满足条件，即取近似值之后相同，则此时四舍五 入的值即为零点的近似解．
素材3
若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附近的函数值
用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984
不断的一条曲线，并且④ __________，那么，
函数y f x在区间(a，b)内有⑤ ______，即存在
c (a，b)，使得⑥ __________，这个c也就是
方程f x 0的根．
2．二分法
1对于在区间[a，b]上连续不断且f a f b 0 的函数y f x，通过不断地把函数f x的零点
f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054
那么方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根(精确到
0.1)为(
)
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
【解析】由于 f(1.4375)＝0.162>0，f(1.40625)＝－ 0.054<0，且|1.40625－1.4375|＝0.03125<0.1，所以由二分 法可知其根在区间(1.40625,1.4375)上，故选 C.
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件第1讲集合的概念及运算
【解析】 由 x2－3x＋2＝0，得 x1＝1，x2＝2， 即 A＝{1,2}． 由 x2－(a＋3)x＋3a＝0，得(x－3)(x－a)＝0， 则 x1＝3，x2＝a，从而 3∈B，a∈B.
(1)若 A∪B＝{1,2,3}，则 B⊆{1,2,3}． 又 3∈B，则 a＝1 或 a＝2 或 a＝3. (2)A∩(∁UB)＝A，得 A⊆∁UB， 所以 A∩B＝∅， 则 3∉A 且 a∉A，故 a≠1 且 a≠2. 故 a 的取值范围为{a∈R|a≠1 且 a≠2}．
【解析】 (1)由 M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}， 可知 a1∈M，a2∈M，且 a3∉M. 又 M⊆{a1，a2，a3，a4}，从而 M＝{a1，a2} 或 M＝{a1，a2，a4}，共 2 个．
(2)由 x2＋x－6＝0 得 x＝2 或 x＝－3，所以 M＝{2，－3}． N∩M＝N⇔N⊆M. (ⅰ)当 a＝0 时，N＝∅，此时 N⊆M； (ⅱ)当 a≠0 时，N＝{1a}． 由 N⊆M 得1a＝2 或1a＝－3， 即 a＝12或 a＝－13. 故所求实数 a 的值为 0 或12或－13.
【点评】(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解 题的突破口．
(2)解决集合问题，常用韦恩图或数轴直观地表示． (3)理解补集的意义：∁UA 指在全集 U 中但不在集合 A 中的元素组成的集合．
素材1
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－(a ＋3)x＋3a＝0}．
(1)若A∪B＝{1,2,3}，求实数a的值；
且S1 U S2＝I，则下面论断正确的是
A．ðI S1 I S2＝
B．S1 ðI S2
C．痧I S1 I I S2
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第15讲 导数在函数中的应用
易错点：易错选 C，事实上，f(x)在区间(a，b)内单调递 增， f′(x)≥0， f(x)＝x3， 如 x∈(－2,3)， 此时 f′(x)＝3x2≥0(在 x＝0 时，f′(x)＝0.)
2.已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9 在 x＝－3 时取得极 值，则 a 等于( A．2 C．4 ) B．3 D．5
和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极 值 点 ．2 若 x 0 为 可 导 函 数 f 反之，不一定成立．
3． 函 数 的 最 值 与 其 导 数 的 关 系
1 函 数 的 最 值 ： 如 果 在 函 数 y＝ f x 的 定 义 域 I 内 存 在
x 0， 使 得 对 任 意 的 x I ， 都 有 ⑤ 为 函 数 的 最 大 值 ， 记 作 y m a x＝ f ⑥ ___________ ， 则 称 f 记 作 y m in ＝ f ，则称f
【解析】 因为 f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，
又 f(x)在 x＝－3 时取得极值，所以 f ′(－3)＝30－6a＝0， 解得 a＝5，此时 f′(x)＝(3x＋1)(x＋3)满足条件，故 a＝5.
3.函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上的最大值是 最小值是 －17 .
3
x 的 单 调 递 增 区 间 ；
2 对 于 定 义 在 区 间 ( a， b )内 连 续 不 间 断 的 函 数 y＝ f x ，
由 f x 0 ① 恒 成 立 ， 其 中 区 间 ( a， b ) 为 f f x 0 在 ( a， b )内
一
函数的单调性与导数
－
【例 1】已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ax)· x(x∈R)． e (1)当 a＝－2 时，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若函数 f(x)在(－1,1)内单调递减，求 a 的取值范围； (3)函数 f(x)是否为 R 上的单调函数，若是，求出 a 的取值 范围；若不是，请说明理由．
2013届高考数学(理)一轮复习课件第二章第十二节导数的综合应用(广东专用)
(2011·浙江高考)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a ＞0. (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．(其中， e为自然对数的底数)．
3．解决优化问题的基本思想
函数的极大值一定比极小值大吗？ 【提示】 极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，
即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
1．(教材改编题)函数 f(x)＝ax3＋x 恰有三个单调区间，则
a 的取值范围是( )
A．(－∞，－13]
B．[－13，＋∞)
第十二节 导数的综合应用
1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为 _优__化_____问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义 域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．
2．利用导数研究函数的单调性和最(极)值等离不开方程与不 等式；反过来方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成立 求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利 用导数进行研究．
【答案】 9
4 ． 已 知 f(x) ＝ 1 ＋ x － sin x ， 试 比 较 f(2) ， f(3) ， f(π) 的 大 小 为 ________． 【解析】 f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)＞0. ∴f(x)在(0，π]上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)． 【答案】 f(π)＞f(3)＞f(2)
3．(2012·青岛质检)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年 产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使 该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
2015届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第13讲_函数模型及其应用
【解析】从图中看出，在区间[0,3]上，函数图象上升越 来越快， 表示前三年中产量增长的速度越来越快； 在区间[3,6] 上图象是与 x 轴平行的线段，表示后三年产量保持不变．故 选 B.
4.某人 2010 年 1 月 1 日到银行存入 a 元， 若年利率为 p， 按复利计算，则他到 2013 年 1 月 1 日本利合计为______ 元．( ) B．a＋p3 D．a(1＋p3)
【解析】 设四边形 EFGH 的面积为 S，由题意得 1 2 1 S△AEH＝S△CGF＝2x ，S△BEF＝S△DHG＝2(a－x)(b－x)， 其中 0<x≤b， 1 2 1 所以 S＝ab－2[2x ＋2(a－x)(b－x)] ＝－2x2＋(a＋b)x a＋b 2 a＋b2 ＝－2(x－ 4 ) ＋ 8 (0<x≤b)．
【解析】将各组数据代入验证，选 B.
3.某电脑公司 6 年来每年电脑总产量 y(台)与生产时间 x(年) 的函数关系如图所示，则( )
A．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年停产 B．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年产量保持不变 C．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年停产 D．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年产量保持不变
1600 当且仅当 v＝ v ，即 v＝40 时，t 取最小值 80， 920 所以 y 有最大值，为 ymax＝ 83 ≈11.1(百辆∕小时)．
920v (2)若要求 y>10，即 2 >10， v ＋3v＋1600 又 v2＋3v＋1600>0 恒成立， 化简整理得 v2－89v＋1600<0， 即(v－64)(v－25)<0，所以 25<v<64. 答：(1)当汽车的平均速度为 40 千米∕小时时，车流量最 大，最大车流量约为 11.1 百辆∕小时． (2)当汽车平均速度在 25 千米∕小时至 64 千米∕小时之间 时，车流量超过 10 百辆/小时．
2013届高考数学一轮复习教案2.10函数模型及其应用
§2.10函数模型及其应用1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)①指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于y ＝a x的增长速度快于y＝x n的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有__________.②对数函数y＝log a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________.由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有__________________.2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：[难点正本疑点清源]解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来.1.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________.2.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.3.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是______________.4.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处5.某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是()A.x>22%B.x<22%C.x＝22%D.x的大小由第一年的产量确定题型一一次函数、二次函数模型例1某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？探究提高(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域.用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的高与宽应各为多少？题型二分段函数模型例2为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨). (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 题型三 指数函数、幂函数模型例3 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？ (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0).(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.3.函数建模及函数应用问题试题：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的 优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企 业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全 体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让 费(不计息).在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为 每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关 系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？审题视角 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系.(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的.(3)建立函数模型，确定解决模型的方法. 规范解答解 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20<P ≤26)，[2分]代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20<P ≤26)， [4分](1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元.[8分](2)设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.[12分]解函数应用题的一般程序是：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.批阅笔记(1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式.(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛.(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧解答数学应用题关键有两点：一是认真审题，读懂题意，理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题；二是灵活运用数学知识和方法解答问题，得到数学问题中的解，再把结论转译成实际问题的答案.失误与防范1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.答案要点梳理1.(2)①a x >x n ②log a x <x n a x >x n >log a x 基础自测 1.78℃2.2 5003.y ＝a (1＋r )x ，x ∈N *4.A5.B 题型分类·深度剖析例1 解 (1)设甲、乙两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所获利润分别为f (x )、g (x )万元，由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ， ∴根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)， g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， ∴总利润y ＝8.25(万元)．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元， 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋344.∴当t ＝4时，y max ＝344＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2. ∴当A 、B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元．变式训练1 解 设框架的宽度为x m ，则其高度为 h ＝(6－2x ) m,0<x <3.设框架的面积为y m 2，则y ＝xh ＝ x (6－2x )＝－2x 2＋6x ＝－2(x －1.5)2＋4.5，当x ＝1.5时， y 取最大值4.5，此时h ＝3.故当框架的高度为3 m ，宽度 为1.5 m 时，框架的面积最大，从而窗户通过的阳光最充足． 例2 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ， 则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为：y x ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144).12x ＋80 000x－200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.②当x ∈[144,500]时， y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ×80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 变式训练2 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45<26.4； 当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43<26.4； 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)． 例3 解 (1)1年后该城市人口总数为 y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3. x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x 年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x ＝120，x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.20≈16(年)．(4)由100×(1＋x %)20≤120，得(1＋x %)20≤1.2， 两边取对数得20lg(1＋x %)≤lg 1.2≈0.079， 所以lg(1＋x %)≤0.07920＝0.003 95，所以1＋x %≤1.009，得x ≤0.9， 即年自然增长率应该控制在0.9%.变式训练3 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度， 即θ≥2恒成立，亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.高;考|试*题;库。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：2.11函数的应用
某食品厂购买面粉，已知该厂每天需 用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面 粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元， 购面粉每次需支付运费900元.若提供面粉的 公司规定：当一次购买面粉不少于100吨时， 其价格可享受9折优惠(即原价的 90%)，问 该食品厂是否考虑接受此优惠条件？请说 明理由.
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P= t+20(0＜t＜25，t∈N*) -t+100(25≤t≤30，t∈N*). (2)描出实数对(t，Q)的对应点如图所示.
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从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20， 20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假 设它们共线于直线l：Q=kt+b. 由点(5，35)，(30，10)确定出l的解析式 为：Q=-t+40. 通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也 在直线l上. 所以日销售量Q与时间t的一个函数关系 式为：Q=-t+40(0＜t≤30，t∈N*).
可增加2x%(0＜x＜100)，而分流出的从事第三
产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万
元.在保证第二产业的产值不减少的情况下，分
流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产 值增加最多？ 18
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设分流出x万人，为保证第二产 业的产值不减少，必须满足: (100-x)· (1+2x%)≥100a. a·
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1.电信资费调整后，市话费标准为：通话 时间不超过3 min收费0.2元，超过3 min以后， 每增加1 min收费0.1 元，不足1 min按1 min付费，则通话费 s(元)与通话时间t (min)的函数图象 可表示成图中的( )
[数学]2013届高考数学第一轮讲义复习课件
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∴A 点坐标为2kp2，2kp，B 点坐标为(2pk2，－2pk)，
由 OA＝1，OB＝8，可得4p2k2k＋4 1＝1，
①
4p2k2(k2＋1)＝64， ②
h
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②÷①解方程组得 k6＝64，即 k2＝4. 则 p2＝k2(k126＋1)＝45.
又
p>0，则
p＝2
5
5，故所求抛物线方程为
y2＝4
点 (x0 ， y0) 关 于 点 (a ， b )对 称 点 (2ax0 ， 2by0) 曲 线 f(x,y) 关 于 点 (a ， b )对 称 曲 线 f(2ax ， 2by)
轴对称
h
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点 直 (线 x1A ,y x 1) 与 B 点 y (x C 2, y2 0)对 关 称 于 Ax1 2x2 y2 B y y1 1 2 ( y2A )C 1 0
(a≠0)，从 p＝|a|知准线方程可统一成 x＝－a2的形式，于是从
题设有a2＋m＝5 ， 2am＝9
h
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解此方程组可得四组解
a1＝1
a2＝－1
a3＝9
a4＝－9
m1＝92 ，m2＝－92 ，m3＝12 ，m4＝－12.
∴y2＝2x，m＝92；y2＝－2x，m＝－92；y2＝18x，m＝12；
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法
椭圆
定义及标准方程
双曲线
圆
抛物线
锥
曲
线
直线与圆锥曲 线的位置关系
几何性质
相交 相切 相离
范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴（虚轴） 渐近线（双曲线）、准线、离心率、通径、焦半径
【全国百强校】高考总复习精品课件13函数模型及其应用
【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟” 七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历 史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包 括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不 考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关 于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为
y k[ln m x ln( 2m)] 4ln2( e 1)m 吨(e为自
[反思感悟]本题是有关增长率的问题,在实际应用中,有关人 口增长､银行利率､细胞分裂等增长问题常化为指数函数的 模型.对于变化率的问题有以下公式:
(1)增长率问题:变化前的量(1+增长率)时间=变化后的量; (2)递减率问题:变化前的量(1-递减率)时间=变化后的量.
类型四
对数函数模型
解题准备:对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型叫做 对数函数模型.对数函数模型增长的特点是随着自变量的 增大(底数a>1),函数值增大的速度越来越慢.
C.v= t 2 1 2
答案:C
D.v=2t-2
3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后 初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函 数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(
)
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
答案:D
4.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过 800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000 元的按全稿费的11%纳税.某人出了一本书,共纳税420元, 这个人的稿费为()
A.y 1 ex 100
C.y x100
B.y 100lnx D.y 100 2x
函数模型及其应用讲义
函数模型及其应用讲义一、知识梳理1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n <a x注意：1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(3)不存在x0，使0x a<0n x<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．()(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()题组二：教材改编2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．4．]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．题组三：易错自纠5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．6．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．三、典型例题题型一：用函数图象刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油思维升华：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．题型二：已知函数模型的实际问题典例(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元D ．23 000元思维升华：求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． (2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．题型三：构建函数模型的实际问题 命题点1：构造一次函数、二次函数模型典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元． 命题点2：构造指数函数、对数函数模型典例 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？引申探究：本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 命题点3：构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.命题点4：构造分段函数模型典例某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？思维升华：构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．函数应用问题：典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．四、反馈练习1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.041 87.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝12log x2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元D ．320万元4．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2017年 B ．2018年 C ．2019年D ．2020年5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3D ．26 m 36．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元D ．43.025万元7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－)82(xx (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____m.10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2)20(v km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________ h(车身长度不计)．11．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg )10(12I给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6 W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________.15．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180 种植成本Q11684116Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．16．某店销售进价为2元/件的产品A，该店产品A每日的销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝10x－2＋4(x－6)2，其中2<x<6.(1)若产品A销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A所获得的利润；(2)试确定产品A的销售价格，使该店每日销售产品A所获得的利润最大．(保留1位小数)。
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A．a(1＋p)3 C．a＋a(1＋p)3
【解析】存入一年：本利合计为 a＋a· p＝a(1＋p)， 存入两年：本利合计为 a(1＋p)＋a(1＋p)· p＝a(1＋p)2， 存入三年： 本利合计为 a(1＋p)2＋a(1＋p)2· p＝a(1＋p)3.
5.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每 年生产单位产品成本增加 10 万元，又知总收入 k 是单位产 1 2 品数 Q 的函数，k(Q)＝40Q－20Q ，则总利润 L(Q)的最大 值是 2500 万元，此时单位产品数 Q 为 300 .
【分析】 (1)已知部分变量关系模型，可根据已知数据求参 数．(2)进一步建立利润与销售价格之间的函数关系，根据函数 求最大利润及获得条件，注意利润＝销售收入－成本．
【解析】 (1)因为 x＝5 时，y＝11， a 所以2＋10＝11，所以 a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 2 y＝ ＋10(x－6)2， x－3 单位商品利润为(x－3)元/千克，所以商场每日销售该 商品所获得利润 2 f(x)＝(x－3)[ ＋10(x－6)2] x－3 ＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)．
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一 组数据： x 1.99 y 3 4 5.1 12 6.12 18.01
1.5 4.04 7.5
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的 规律，其中最接近的一个是( A．y＝2x－2 C．y＝log2x )
1 2 B．y＝2(x －1) 1x D．y＝(2)
【分析】 (1)已知车流量与平均速度之间的函数关系式， 只 需解决函数取最值的条件及所取最大值， 由数学问题的解 答，得实际结论；(2)由 y>10 解不等式，得实际结论．
920 【解析】(1)依题意得 y＝ 1600 (v>0)， v＋ v ＋3 1600 又 t＝v＋ v ≥2 1600 v· v ＝80，
10t 所以 y＝ 1 t－0.1 16
0≤t≤0.1 t>0.1 .
1 t－0.1 ②由 y＝(16) ≤0.25，得 2t－0.2≥1，则 t≥0.6， 所以至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室． －x2＋12x－25 y (2)平均利润x＝ x 25 ＝12－(x＋ x ) ≤12－10＝2， 25 当且仅当 x＝ x ，即 x＝5 时，等号成立，故选 C.
①一次函数模型：f x kx b(k、b为常数，k 0)； k ②反比例函数模型：f x b(k、b为常数，k 0)； x ③二次函数模型：f x ax 2 bx c (a、b、c为常数，a 0)，二次函数模型是高中阶段应用 最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的； ④指数型函数模型：f x ka x b (k、a、b为常数，k 0，a 0且a 1)；
1600 当且仅当 v＝ v ，即 v＝40 时，t 取最小值 80， 920 所以 y 有最大值，为 ymax＝ 83 ≈11.1(百辆∕小时)．
920v (2)若要求 y>10，即 2 >10， v ＋3v＋1600 又 v2＋3v＋1600>0 恒成立， 化简整理得 v2－89v＋1600<0， 即(v－64)(v－25)<0，所以 25<v<64. 答：(1)当汽车的平均速度为 40 千米∕小时时，车流量最 大，最大车流量约为 11.1 百辆∕小时． (2)当汽车平均速度在 25 千米∕小时至 64 千米∕小时之间 时，车流量超过 10 百辆/小时．
【点评】已知函数模型求参数时，关键是根据题设条件建 立方程求解；另外要注意实际问题中定义域对最值的影响．
素材1
(1)为了预防流感， 某学校对教室用药熏消毒法进行消毒． 已 知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝ 1 t －a (16) (a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列 问题：
了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义，并能 建立简单的数学模型，利用这些知 识解决应用问题．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述． 那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建 立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象 和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点， 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识． 一般而言，有以下8种函数模型：
a＋b a＋b 故当 4 ≤b，即 b<a≤3b 时，x＝ 4 ， a＋b2 Smax＝ 8 . a＋b 当 4 >b，即 a>3b 时，函数在(0，b]上递增， 则 x＝b 时，Smax＝－2b2＋(a＋b)b＝ab－b2. a＋b 答：若 b<a≤3b，则 x＝ 4 时，四边形 EFGH 面积最大 a＋b2 为 8 ，若 a>3b，则 x＝b 时，四边形 EFGH 面积最大为 ab－b2.
【解析】将各组数据代入验证，选 B.
3.某电脑公司 6 年来每年电脑总产量 y(台)与生产时间 x(年) 的函数关系如图所示，则( )
A．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年停产 B．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年产量保持不变 C．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年停产 D．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年产量保持不变
⑤对数型函数模型：f x m log a x n (m、n、a为常数，m 0，a 0且a 1)； ⑥幂函数型模型：f x ax n b (a、b、n为常数，a 0，n 0)； ⑦“勾”函数模型：f x x (k为常数，k 0)， 这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个 “勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型； ⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
【解析】从图中看出，在区间[0,3]上，函数图象上升越 来越快， 表示前三年中产量增长的速度越来越快； 在区间[3,6] 上图象是与 x 轴平行的线段，表示后三年产量保持不变．故 选 B.
4.某人 2010 年 1 月 1 日到银行存入 a 元， 若年利率为 p， 按复利计算，则他到 2013 年 1 月 1 日本利合计为______ 元．( ) B．a＋p3 D．a(1＋p3)
从而 f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－6)(x－3)] ＝30(x－6)(x－4)． 所以当 x∈(3,4)时，f′(x)>0； 当 x∈(4,6)时，f′(x)<0， 所以 f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当 x＝4 时，f(x)有最大值， 且[f(x)]max＝f(4)＝42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品 所获得的利润最大．
1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三 角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为( A. 3 cm2 C．3 3 cm2 B．2 3 cm2 D．4 3 cm2 )
【解析】 设长为 12 cm 的细铁丝截成 x cm 和 (12－x) cm 的两截，两正三角形面积之和为 S， 其中 0<x<12，则 3 x2 3 12－x 2 S＝ 4 ·3) ＋ 4 · 3 ) ( ( 3 2 ＝ 8 (x －12x＋72) 3 ＝ 18 [(x－6)2＋36]． 所以，当 x＝6 时，S 取最小值，Smin＝2 3， 故面积之和的最小值为 2 3 cm2，选 B.
【分析】 (1)问题分两种情况， 一是待岗员工人数不超过原有 员工人数的 1%，一是超过原有员工人数的 1%，且不超过原 有员工人数的 5%；(2)企业所获利润为留岗人员所创总利润 减去待岗人员的生活补贴．
①从药物释放开始， 每立方米空气中 的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函 数关系式为 10t 0≤t≤0.1 y＝ 1 t－0.1 ； t>0.1 16 ②据测定， 当空气中每立方米的含药 量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进 教室， 那从药物释放开始， 至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
二
根据实际关系建立函数模型பைடு நூலகம்实际问题
【例 3】如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝a，BC＝ b(a>b)，在边 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、 CF 都等于 x，当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求 这个最大面积．
【分析】要确定四边形 EFGH 的面积最 值，关键是建立该面积与 x 之间的函数关 系，四边形 EFGH 的面积为矩形 ABCD 面积减去 4 个三角形面积．
【点评】根据实际意义合理建立函数模型，特别注意实际 问题，自变量取值对函数最值的影响．
【例 4】 已知某企业原有员工 2000 人，每人每年可为企 业创利润 3.5 万元．为应对国际金融危机给企业带来的不 利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分 流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗 人数不超过原有员工的 5%， 并且每年给每位待岗员工发放 生活补贴 0.5 万元．据评估，当待岗员工人数不超过原有 81 员工 1%时， 留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－100x) 万元；当待岗员工人数超过原有员工 1%时，留岗员工每人 每年可为企业多创利润 0.9595 万元． 为使企业年利润最大， 应安排多少员工待岗？
【点评】已知函数模型的实际问题，关键是根据函数特点与实 际要求，解决相关数学问题，确定实际结论．
【例 2】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日 的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系 a 式 y＝ ＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知销售价格 x－3 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．