2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第13讲 函数模型及其应用

A．a(1＋p)3 C．a＋a(1＋p)3
【解析】存入一年：本利合计为 a＋a· p＝a(1＋p)， 存入两年：本利合计为 a(1＋p)＋a(1＋p)· p＝a(1＋p)2， 存入三年： 本利合计为 a(1＋p)2＋a(1＋p)2· p＝a(1＋p)3.
5.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每 年生产单位产品成本增加 10 万元，又知总收入 k 是单位产 1 2 品数 Q 的函数，k(Q)＝40Q－20Q ，则总利润 L(Q)的最大 值是 2500 万元，此时单位产品数 Q 为 300 .
①一次函数模型：f x kx b(k、b为常数，k 0)； k ②反比例函数模型：f x b(k、b为常数，k 0)； x ③二次函数模型：f x ax 2 bx c (a、b、c为常数，a 0)，二次函数模型是高中阶段应用 最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的； ④指数型函数模型：f x ka x b (k、a、b为常数，k 0，a 0且a 1)；
从而 f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－6)(x－3)] ＝30(x－6)(x－4)． 所以当 x∈(3,4)时，f′(x)>0； 当 x∈(4,6)时，f′(x)<0， 所以 f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当 x＝4 时，f(x)有最大值， 且[f(x)]max＝f(4)＝42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品 所获得的利润最大．
①从药物释放开始， 每立方米空气中 的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函 数关系式为 10t 0≤t≤0.1 y＝ 1 t－0.1 ； t>0.1 16 ②据测定， 当空气中每立方米的含药 量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进 教室， 那从药物释放开始， 至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
【解析】从图中看出，在区间[0,3]上，函数图象上升越 来越快， 表示前三年中产量增长的速度越来越快； 在区间[3,6] 上图象是与 x 轴平行的线段，表示后三年产量保持不变．故 选 B.
4.某人 2010 年 1 月 1 日到银行存入 a 元， 若年利率为 p， 按复利计算，则他到 2013 年 1 月 1 日本利合计为______ 元．( ) B．a＋p3 D．a(1＋p3)
【分析】 (1)问题分两种情况， 一是待岗员工人数不超过原有 员工人数的 1%，一是超过原有员工人数的 1%，且不超过原 有员工人数的 5%；(2)企业所获利润为留岗人员所创总利润 减去待岗人员的生活补贴．
⑤对数型函数模型：f x m log a x n (m、n、a为常数，m 0，a 0且a 1)； ⑥幂函数型模型：f x ax n b (a、b、n为常数，a 0，n 0)； ⑦“勾”函数模型：f x x (k为常数，k 0)， 这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个 “勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型； ⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
【点评】根据实际意义合理建立函数模型，特别注意实际 问题，自变量取值对函数最值的影响．
【例 4】 已知某企业原有员工 2000 人，每人每年可为企 业创利润 3.5 万元．为应对国际金融危机给企业带来的不 利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分 流出一部分员工待岗，为维护生产稳定，该企业决定待岗 人数不超过原有员工的 5%， 并且每年给每位待岗员工发放 生活补贴 0.5 万元．据评估，当待岗员工人数不超过原有 81 员工 1%时， 留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－100x) 万元；当待岗员工人数超过原有员工 1%时，留岗员工每人 每年可为企业多创利润 0.9595 万元． 为使企业年利润最大， 应安排多少员工待岗？
(2)某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据 市场分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x∈N*) 的关系式为 y＝－x2＋12x－25， 则为使其营运年平均利润最大， 每辆客车营运年数为( A．2 C．5 B．4 D．6 )
【解析】 (1)①当 0≤t≤0.1 时， 函数图象是线段 y＝10t(0≤t≤0.1)； 1 t－a 当 t>0.1 时，函数图象是指数函数 y＝(16) ； 1 0.1－a 当 t＝0.1 时，由 1＝(16) ，得 a＝0.1.
二
根据实际关系建立函数模型解实际问题
【例 3】如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝a，BC＝ b(a>b)，在边 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、 CF 都等于 x，当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求 这个最大面积．
【分析】要确定四边形 EFGH 的面积最 值，关键是建立该面积与 x 之间的函数关 系，四边形 EFGH 的面积为矩形 ABCD 面积减去 4 个三角形面积．
【分析】 (1)已知车流量与平均速度之间的函数关系式， 只 需解决函数取最值的条件及所取最大值， 由数学问题的解 答，得实际结论；(2)由 y>10 解不等式，得实际结论．
920 【解析】(1)依题意得 y＝ 1600 (v>0)， v＋ v ＋3 1600 又 t＝v＋ v ≥2 1600 v· v ＝80，
【解析】L(Q)＝k(Q)－10Q－2000 1 2 ＝－20Q ＋30Q－2000 1 ＝－20(Q－300)2＋2500. 所以当 Q＝300 时，L(Q)max＝2500.
一
已知函数模型解决实际应用问题
【例 1】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某 公路段汽车的流量 y(百辆∕小时)与汽车的平均速度 v(千米 920v ∕小时)之间的函数关系为：y＝ 2 (v>0)． v ＋3v＋1600 (1)在该时段内， 当汽车的平均速度 v 为多少时， 车流量 最大？最大车流量是多少？(精确到 0.1 百辆∕小时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 百辆∕小时，则汽 车的平均速度应在什么范围内？
1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三 角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为( A. 3 cm2 C．3 3 cm2 B．2 3 cm2 D．4 3 cm2 )
【解析】 设长为 12 cm 的细铁丝截成 x cm 和 (12－x) cm 的两截，两正三角形面积之和为 S， 其中 0<x<12，则 3 x2 3 12－x 2 S＝ 4 ·3) ＋ 4 · 3 ) ( ( 3 2 ＝ 8 (x －12x＋72) 3 ＝ 18 [(x－6)2＋36]． 所以，当 x＝6 时，S 取最小值，Smin＝2 3， 故面积之和的最小值为 2 3 cm2，选 B.
了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义，并能 建立简单的数学模型，利用这些知 识解决应用问题．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述． 那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建 立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象 和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点， 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识． 一般而言，有以下8种函数模型：
【点评】已知函数模型求参数时，关键是根据题设条件建 立方程求解；另外要注意实际问题中定义域对最值的影响．
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(1)为了预防流感， 某学校对教室用药熏消毒法进行消毒． 已 知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝ 1 t －a (16) (a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列 问题：
a＋b a＋b 故当 4 ≤b，即 b<a≤3b 时，x＝ 4 ， a＋b2 Smax＝ 8 . a＋b 当 4 >b，即 a>3b 时，函数在(0，b]上递增， 则 x＝b 时，Smax＝－2b2＋(a＋b)b＝ab－b2. a＋b 答：若 b<a≤3b，则 x＝ 4 时，四边形 EFGH 面积最大 a＋b2 为 8 ，若 a>3b，则 x＝b 时，四边形 EFGH 面积最大为 ab－b2.
【分析】 (1)已知部分变量关系模型，可根据已知数据求参 数．(2)进一步建立利润与销售价格之间的函数关系，根据函数 求最大利润及获得条件，注意利润＝销售收入－成本．
ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】 (1)因为 x＝5 时，y＝11， a 所以2＋10＝11，所以 a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 2 y＝ ＋10(x－6)2， x－3 单位商品利润为(x－3)元/千克，所以商场每日销售该 商品所获得利润 2 f(x)＝(x－3)[ ＋10(x－6)2] x－3 ＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)．
【解析】 设四边形 EFGH 的面积为 S，由题意得 1 2 1 S△AEH＝S△CGF＝2x ，S△BEF＝S△DHG＝2(a－x)(b－x)， 其中 0<x≤b， 1 2 1 所以 S＝ab－2[2x ＋2(a－x)(b－x)] ＝－2x2＋(a＋b)x a＋b 2 a＋b2 ＝－2(x－ 4 ) ＋ 8 (0<x≤b)．
10t 所以 y＝ 1 t－0.1 16
0≤t≤0.1 t>0.1 .
1 t－0.1 ②由 y＝(16) ≤0.25，得 2t－0.2≥1，则 t≥0.6， 所以至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室． －x2＋12x－25 y (2)平均利润x＝ x 25 ＝12－(x＋ x ) ≤12－10＝2， 25 当且仅当 x＝ x ，即 x＝5 时，等号成立，故选 C.
1600 当且仅当 v＝ v ，即 v＝40 时，t 取最小值 80， 920 所以 y 有最大值，为 ymax＝ 83 ≈11.1(百辆∕小时)．
920v (2)若要求 y>10，即 2 >10， v ＋3v＋1600 又 v2＋3v＋1600>0 恒成立， 化简整理得 v2－89v＋1600<0， 即(v－64)(v－25)<0，所以 25<v<64. 答：(1)当汽车的平均速度为 40 千米∕小时时，车流量最 大，最大车流量约为 11.1 百辆∕小时． (2)当汽车平均速度在 25 千米∕小时至 64 千米∕小时之间 时，车流量超过 10 百辆/小时．
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一 组数据： x 1.99 y 3 4 5.1 12 6.12 18.01
1.5 4.04 7.5
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的 规律，其中最接近的一个是( A．y＝2x－2 C．y＝log2x )
1 2 B．y＝2(x －1) 1x D．y＝(2)
【解析】将各组数据代入验证，选 B.
3.某电脑公司 6 年来每年电脑总产量 y(台)与生产时间 x(年) 的函数关系如图所示，则( )
A．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年停产 B．前三年中产量增长的速度越来越快，后三年产量保持不变 C．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年停产 D．前三年中产量增长的速度越来越慢，后三年产量保持不变
【点评】已知函数模型的实际问题，关键是根据函数特点与实 际要求，解决相关数学问题，确定实际结论．
【例 2】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日 的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系 a 式 y＝ ＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知销售价格 x－3 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．