高等数学 期末复习之常微分方程部分

第11章 常微分方程习题课

一. 内容提要

1.基本概念

含有一元未知函数)(x y (即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的)(x y 的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间I 上成为恒等式的函数=y )(x ϕ称为此微分方程在I 上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若n 阶微分方程的解中含有n 个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n 个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出)1(,,,-'n y y y 在同一点0x 处的值)时,称为初值问题.

2.一阶微分方程),(y x f y ='的解法

(1)对于可分离变量方程)()(d d y x x

y ψϕ=, 先分离变量(当0)(≠y ψ时)得x x y ψy d )()

(d ϕ=, 再两边积分即得通解 C x x y y +=⎰⎰d )()(d ϕψ.

(2)对于齐次方程d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭

, 作变量代换x y u =

,即xu y =,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得C x x u u f u +=-⎰⎰

d )(d ,再以x y 代替u 便得到齐次方

程的通解.

(3)形如)(1

11d d c y b x a c by ax f x y ++++=的方程, ①若1,c c 均为零,则是齐次方程;

②若1,c c 不全为零,则不是齐次方程,但

当k b b a a ==1

1时,只要作变换y b x a v 11+=,即可化为可分离变量的方程11

1)(d d a c v c kv f b x v +++=; 当11b b a a ≠时,只要作平移变换⎩

⎨⎧-=-=00y y Y x x X ,即⎩⎨⎧+=+=0

0y Y y x X x (其中),(00y x 是线性方程组⎩⎨⎧=++=++0 0111c y b x a c by ax 的惟一解),便可化为齐次方程

)(d d 11Y

b X a bY aX f X Y ++=. (4)全微分方程

若方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 之左端是某个二元函数),(y x u u =的全微分,则称其为全微分方程,显然C y x u =),(即为通解,而原函数),(y x u 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得. 通常用充要条件x

Q y P ∂∂=∂∂来判定0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P ,可乘上一个函数),(,y x μ使之成为全微分方程

0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ

(注意到当0),(≠y x μ时0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ与原方程同解),并称),(,y x μ为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.

(5)一阶线性微分方程)()(x Q y x p y =+'的通解公式

当)(x Q 不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当)(x Q 恒为零,时,即0)(=+'y x p y 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个

可分离变量的方程,易知其通解为⎰=-x x p C Y d )(e ;由此用“常数变易

法”即可得到非齐次微分方程的通解

)(d e )(e d )(d )(⎰⎰+⎰=-x x Q C y x x p x x p .

(6)对于Bernoulli 方程n y x Q y x p y )()(=+' (1,0≠n ),只需作变换n y z -=1,即可化为一阶线性方程)()1()()1(d d x Q n z x p n x

z -=-+. 3.高阶方程的降阶解法

以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:

(1)对于方程)()(x f y n =,令)1(-=n y z 化为)(x f z =';在实际求解中,只要对方程连续积分n 次,即得其通解

n n n n C x C x C x x f x y ++++=--⎰⎰111d )(d

次

. (2)对于),(y x f y '=''(不显含y ),作变换y P '=,则P y '='',于是 化一阶方程),(P x f P =';显然对),()1()(-=n n y x f y 可作类似处理.

(3)对于),(y y f y '=''(不显含x ),作变换y P '=,则y P P y d d ='',于是可化为一阶方程),(d d P y f y

P P =.

4.线性微分方程解的结构

(1)线性齐次微分方程解的性质

对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.

(2)线性齐次微分方程解的结构

若n y y y ,,,21 是n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为

n n y c y c y c Y +++= 2211.

(3)线性非齐次微分方程解的结构

线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解*y 之和,即*+=y Y y .

(4)线性非齐次微分方程的叠加原理

1 设*k y (m k ,,2,1 =)是方程

)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y k n n n n =+'+++--

的解,则∑=*m

k k y 1是方程

∑=--=+'+++m

k k n n n n x f y x p y x p y x p y

11)1(1)()()()()( 的解. 2 若实变量的复值函数)(i )(x v x u +是方程

=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n )()()(1)1(1)( )(i )(21x f x f +

的解,则此解的实部)(x u 是方程

)()()()(11)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--

的解;虚部)(x v 是方程