广东省2019届高三年级百校联考文科数学试题含答案
2019广东高考文科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科) 一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x x xx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为 2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos3sin 333sin ,(0,),32f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴--=+--+=+--+-===∴=∈解由得又6cos 36()3sin()3sin()3cos 3 6.66323f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011(121123412100)25212.62020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 000:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3):,()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又解法一当时(1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44111111:(),.(1)2(21)(21)(21)22121(:)n n k k a a n n n n a a k k k k k k +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()322422211111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-解法一2000020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,7214x x a x f x f x x a a a a a a ax x a +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即000002574811,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)(1212422a a a a a x a a x f x f a x f x <∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().2f =00:0,110,()3,111,(1)()(0,1),111(0,)(,1),()=();222()30,()(0,11),(11,1),5111),()(0,),(,1),422a a i a a f x x f x f ii a f x a a a f x <∴-+->≤--+-≤∈-<<-+--+-=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;512)3,111,,(11,1),4212525255(1)()0,0,,;222412124513)0,011,,(0,11),421775(0)()0,0,,2224124x a a x x a a f f a a x a a x x a a f f a -<<-<-+-<∈-+-->+>>--<<--<<<-+-<∈-+-->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007.12:25557111(,)(,),(0,)(,1)()().1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。
2019年广东高考文科数学真题及答案
2019年广东高考文科数学真题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．-2-3B ．-2+3C ．2-3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2019年高考文科数学试题及答案
广东省2019年高考文科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z =A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12． 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长 度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．-2B ．-C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题
密★启用前 试卷类型:A2019年广州市普通高中毕业班综台测试（一）文科数学2019.3本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事顶：1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ），填涂在答题相应置上。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}220A x x x =-<，{}0B x x =>，则A.A B =∅B.A B R =C.B A ⊆D.A B ⊆2. 已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a = A.2- B.12-C.12D.2 3. 已知双曲线222:1y C x b-=的一条渐近线过点(),4b ，则C 的离心率为B.32 D.34. a ，b 为平面向量，己知a =(2,4)，a -2b =(0,8)，则a ，b 夹角的余弦值等于 A.45-B.35-C.35D.455. 若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的是A .sin 2sin 2αβ> B.sin 2sin 2αβ< C.cos 2cos 2αβ> D. cos 2cos 2αβ<6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首 创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼 近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形 的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内段放a 粒豆子， 其中有b 粒豆子落在正十二边形内(,,a b N b a *∈<)，则圆固率的 近似值为 A.b a B.a b C.3a b D.3b a7.在正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是枝AB ，BC 的中点，则直线CE 与1D F 所成角的大小为 A.6π B.4π C.3π D.2π 8.如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小 孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T 。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题附(解析版)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B ={x|x＞0}，则（）A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. −2B. −12C. 12D. 23.已知双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线过点（b，4），则C的离心率为（）A. √52B. 32C. √5D. 34.a⃗，b⃗ 为平面向量，己知a⃗=（2，4），a−-2b⃗ =（0，8），则a⃗，b⃗ 夹角的余弦值等于（）A. −45B. −35C. 35D. 455.若sinα＞sinβ＞0，则下列不等式中一定成立的（）A. sin2α>sin2βB. sin2α<sin2βC. cos2α>cos2βD. cos2α<cos2β6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. ba B. abC. 3abD. 3ba7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则直线CE与D1F所成角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. π28.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A. B. C. D.9.函数f(x)=sin(x+π12)+sin(x+5π12)最大值是（）A. 2B. 32C. √3D. 2√310.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A. 13π2B. 7πC. 15π2D. 8π11.已知F为抛物线C：y2=6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A. 6B. 8C. 10D. 1212.已知函数f（x）=e|x|-ax2，对任意x1＜0，x2＜0，都有（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＜0，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,e2] B. (−∞,−e2] C. [0,e2] D. [−e2,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=x3+a log3x，若f（2）=6，则f(12)=______．14.已知以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则圆C的方程为______．15.已知关于x，y的不等式组{2x−y+1≥0x+m≤0y+2≥0，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，c=3，C=2B，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，且lg a1=0，lg a4=1．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，求k的值及数列{a n+b n}的前n项和．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=√6，cos∠BPD=−√33，求三棱锥A-BCD的体积．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；学时数[5，10）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）男性181299642女性24827134（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计100附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82820.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1，0），点P(23，2√63)在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M的坐标：若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=e x-1+a，g（x）=ln x，其中a＞-2．（1）讨论函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点，设直线y=t与的数y=f（x）和y=g（x）的图象分别交于点P，Q．证明：|PQ|＞a+1．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sin 2t x=cost（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12（a ∈R ）． （1）写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； （2）若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f （x ）=|x +a |-|2x -1|．（1）当a =1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，不等式f （x ）＜1对x ∈R 都成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由x2-2x＜0，得：0＜x＜2，则集合A={x|0＜x＜2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B ，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e===．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：己知=（2，4），-2=（0，8），∴=[-（-2）]=（1，-2），∴•=2-8=-6．设，夹角，又•=||•||•cosθ=2••cosθ=10cosθ，∴10cosθ=-6，∴cosθ=-，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得，夹角的余弦值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β，∵sinα＞sinβ＞0，∴sin2α＞sin2β＞0，-2sin2α＜-2sin2β，则1-2sin2α＜1-2sin2β，即cos2α＜cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则C（0，2，0），E（2，1，0），D1（0，0，2），F（1，2，0），=（2，-1，0），=（1，2，-2），设直线CE与D1F所成角的大小为θ，则cosθ==0，∴θ=．∴直线CE与D1F所成角的大小为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与D1F所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵sin（x+）=sin（+x-）=cos（x-），∴f （x ）=sin （x+）+cos（x-）=sinxcos +cosxsin +cosxcos+sinxsin=（sin +cos ）sinx+（sin +cos）cosx，∵sin+cos=sin（+）=sin =．∴f（x）=sinx+cosx=sin（x+）．∴f（x）的最大值为．故选：C．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f（x）即可得出结论．本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=6x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=-设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+=3（x2+），∴x1=3x2+3∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=，x2=，∴|AB|=（x1+）+（x2+）=8．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的长度．．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12.【答案】A【解析】解：由题意可知函数f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数，且当x＜0时，，据此可得：2axe x+1≥0，即恒成立，令g（x）=xe x（x＜0），则g'（x）=e x（x+1），据此可得函数g（x）在区间（-∞，-1）上单调递减，在区间（-1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则，据此可得：实数a的取值范围是．故选：A．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．13.【答案】178【解析】解：函数f（x）=x3+alog3x，若f（2）=6，则f（2）=8+alog32=6，变形可得alog32=-2，则=（）3+alog3=-alog32=；故答案为：．根据题意，由f（2）的值分析可得f（2）=8+alog32=6，变形可得alog32=-2，则有则=（）3+alog3=-alog32，代入计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．14.【答案】（x-1）2+（y-2）2=5【解析】解：根据题意，设圆C的半径为r，以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则有r==，则圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=5；故答案为：（x-1）2+（y-2）2=5．根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得r==，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15.【答案】（−∞，43]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】15√716【解析】解：∵b=2，c=3，C=2B，∴由正弦定理，可得：，可得：==，∴可得：cosB=，可得：sinB==，∴可得：sinC=sin2B=2sinBcosB=，cosC=cos2B=2cos2B-1=，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==，∴S=bcsinA==．故答案为：．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sinC，cosC的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：（1）数列{a n}是等差数列，设公差为d，且lg a1=0，lg a4=1．则：{a1=1a1+3d=10，解得：d=3所以：a n=1+3（n-1）=3n-2．（2）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，则：a k2=a1⋅a6，整理得：a k=3k-2，解得：k=2；所以：等比数列{b n}的公比为q=4．所以：b n=4n−1．则a n+b n=3n−2+4n−1，故：S n=(1+1)+(4+41)+⋯+(3n−2+4n−1)，=n(3n−1)2+4n−14−1，=32n2−12n+13(4n−1)．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：如图所示，因为△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，所以Rt△ABD≌Rt△BCD，可得AD=CD，又因为点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，又PD∩PB=P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以平面ACD ⊥平面BDP ；（2）设AB =a ，在Rt △ABD 中，BD =√6，则AD =√BD 2−AB 2=√6−a 2；在等边△ABC 中，BP =√32AB =√32a ，在等腰△ACD 中，DP =√AD 2−AP 2=√6−a 2−(12a)2=√6−54a 2； 在△BPD 中，由cos ∠BPD =−√33，得sin ∠BPD =√63；由余弦定理得BD 2=BP 2+DP 2-2•BP •cos ∠BPD ， 即6=34a 2+6-54a 2-2×√32a ×√6−54a 2×（-√33），解得a =2；所以△BPD 的面积为S =12•BP •DP •sin ∠BPD =√22，所以三棱锥A -BCD 的体积为V =13•AC •S △BPD =13×2×√22=√23． 【解析】（1）证明PD ⊥AC ，PB ⊥AC ，得出AC ⊥平面PBD ，从而证明平面ACD ⊥平面BDP ；（2）利用直角三角形以及余弦定理求出AB 的值，计算△BPD 的面积和AC 的值，即可求得三棱锥A-BCD 的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为x −=160（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92； 所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92． （ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A ，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l 0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a ），2人（设为A ，B ）4人，（设为c 1，c 2，c 3，c 4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA ，aB ，ac 1，ac 2，ac 3，ac 4，AB ，Ac 1，Ac 2，Ac 3，Ac 4，Bc 1，Bc 2，Bc 3，Bc 4，c 1c 2，c 1c 3，c 1c 4，c 2c 3，c 2c 4，c 3c 4，共21种，其中事件A 所包含的基本事件为：c 1c 2，c 1c 3，c 1c 4，c 2c 3，c 2c 4，c 3c 4，共6个， 则事件A 发生的概率P =621=27． （3）依题意得2×2列联表如下则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(48×24−16×12)264×36×60×40≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可． （3）完成2×2列联表，计算K 2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可． 本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）由题意可得c =1，点P(23，2√63)在C 上，∴49a +83b =1， 又a 2=b 2+c 2=b 2+1， 解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，（2）假设y 轴上存在点M （0，t ），△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为N （x 0，y 0）， 由{x 24+y 23=1y =x +m ，消去y 可得7x 2+8mx +4m 2-12=0， △=64m 2-28（4m 2-12）=16（21-3m 2）＞0，解得m 2＜7， ∴x 1+x 2=-8m 7，x 1x 2=4m 2−127，∴x 0=-x 1+x 22=-4m 7，y 0=x 0+m =3m 7，∴N （-4m 7，3m 7），依题意有AM ⊥BM ，MN ⊥l ，由MN ⊥l ，可得t−3m 70−(−4m7)×1=-1，可得t =-m7，由AM ⊥BM 可得y 1−t x 1•y 2−t x 2=-1，∵y 1=x 1+m ，y 2=x 2+m ，代入上式化简可得2x 1x 2+2（m -t ）（x 1+x 2）+（m -t ）2=0， 则2(4m 2−12)7-（8m 7）2+（8m 7）2=0，解得m =±√3，当m =√3时，点M （0，-√37）满足题意，当m =-√3时，点M （0，√37）满足题意【解析】（1）先求出c 的值，再根据+=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1，即可得到椭圆的方程，（2）假设y 轴上存在点M （0，t ），△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为N （x 0，y 0），根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM ⊥BM ，MN ⊥l ，即可求出m 的值，可得点M 的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.【答案】解：（1）函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象交点个数即方程e x -1+a =ln x 根的个数，设F （x ）=e x -1+a -ln x ，x ＞0．则F ′(x)=e x−1−1x 在（0，+∞）上单调递增，且F ’（1）=0．当x ∈（0，1）时，F ’（x ）＜F ’（1）=0，则F （x ）在（0，1）上单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ’（x ）＞F '（1）=0，则F （x ）在（1，+∞）上单调递增． 所以，当x =1时，F （x ）min =F （1）=l +a ．当a +1＞0，即a ＞-1时，函数F （x ）无零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象无交点； 当a =-1时，函数F （x ）有一个零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象有一个交点； 当-2＜a ＜-1时，F(e a )=e ea −1＞0．又F （1）=1+a ＜0．F （3）=e 2+a -ln3＞e 2-2-ln3＞e 2-4＞0，所以F （x ）=e x -1+a -ln x 在（e a ，1）和（1，3）上分别有一个零点． 所以，当-2＜a ＜-1时，F （x ）有两个零点，即函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象有两个交点． 综上所述：当a ＞-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为0； 当a =-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为1； 当-2＜a ＜-1时，函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象的交点个数为2． （2）由（1）可知，当函数y =f （x ）与y =g （x ）的图象无交点时，a ＞-1． 设P （m ，t ），Q （n ，t ），由得m =1+In （t -a ），由ln=t 得n =e t ， |PQ |=|n -m |=|e t -ln （t -a ）-1|． 设h （t ）=e t -ln （t -a ）-1，先证明不等式e t ≥1+t ，再证明t -In （t -a ）≥a +1，t ∈（a ，+∞）．设p （t ）=e t -1-t ．则p ’（t ）=e t -1．当t ∈（0，+∞）时，p ’（t ）=e t -1＞0，p （t ）=e t -1-t 在（0，+∞）上单调递增， 当t ∈（-∞，0）时，p ’（t ）=e t -1＜0，p （t ）=e t -1-t 在（-∞，0）上单调递减， 所以p （t ）≥p （0）=0，即e ≥1+t ．设q （t ）=t -ln （t -a ）-a -1．则q ′(t)=1−1t−a =t−a−1t−a．当t ∈（a ，a +1）时，q ’（t ）＜0，q （t ）单调递减： 当t ∈（a +1，+∞）时，q ’（t ）＞0，q （t ）单调递增． 所以q （t ）≥q （a +1）=0，即t -1n （t -a ）≥a +1．所以h （t ）=e t -ln （t -a ）-1≥1+t -ln （t -a ）-1=t -ln （t -a ）≥a +1．因为t =a +1时，t -ln （t -a ）≥a +1中等号成立，t =0时，e t ≥l +t 中等号成立， 而t =a +1＞0，所以等号不能同时成立． 所以h （t ）=e t -ln （t -a ）-1＞a +1． 所以IPQl ＞a +1． 【解析】（1）原问题等价于求解方程e x-1+a=lnx 根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；（2）由（1）可知，当函数y=f （x ）与y=g （x ）的图象无交点时，a ＞-1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）曲线C 1的普通方程为y =1-x 2（-1≤x ≤1），把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=12， 得直线C 2的直角坐标方程为y -ax =12，即ax -y +12=0， （2）由直线C 2：ax -y +12=0，知C 2恒过点M （0，12）， 由y =1-x 2（-1≤x ≤1），当时，得x =±1， 所以曲线C 1过点P （-1，0），Q （1，0）， 则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12，直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=-12，因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点， 所以k 2≤a ≤k 1，即-12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[-12，12]． 【解析】（1）利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C 2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：（1）函数f （x ）=|x +1|-|2x -1|，f （x ）＞0即为|x +1|＞|2x -1|， 可得（x +1+2x -1）（x +1-2x +1）＞0， 即3x （x -2）＜0，解得0＜x ＜2， 则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a ＞0，不等式f （x ）＜1对x ∈R 都成立， 即有1＞f （x ）max ，由f （x ）=|x +a |-|2x -1|=|x +a |-|x -12|-|x -12| ≤|x +a -x +12|-0=|a +12|，可得f （x ）的最大值为|a +12|=a +12，（a ＞0）， 则a +12＜1，解得0＜a ＜12． 【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f （x ）max ，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年广东文数高考试题文档版(含答案解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2－3B ．－2+3C ．2－3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年广东省高考文科数学试题与答案
2019年广东省高考文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512- （512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此． 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-． 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长 度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°=A．-2-3B．-2+3C．2-3D．2+38．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a-b）⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+10．双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试（一）文科数学试题2019.03一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x<0}，B={x|x>0}，则()A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B【答案】D【解析】解：由x2−2x<0，得：0<x<2，则集合A={x|0<x<2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B 的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.已知a为实数，若复数(a+i)(1−2i)为纯虚数，则a=()A. −2B. −12C. 12D. 2【答案】A【解析】解：(a+i)(1−2i)=a+2+(1−2a)i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1−2a≠0，得a=−2且a≠12，即a=−2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.已知双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线过点(b,4)，则C的离心率为()A. √52B. 32C. √5D. 3【答案】C【解析】解：双曲线C：x2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e=ca=√1+4=√5．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.a⃗，b⃗ 为平面向量，己知a⃗=(2,4)，a−−2b⃗ =(0,8)，则a⃗，b⃗ 夹角的余弦值等于()A. −45B. −35C. 35D. 45【答案】B【解析】解：己知a⃗=(2,4)，a−−2b⃗ =(0,8)，∴b⃗ =12[a⃗−(a⃗−2b⃗ )]=(1,−2)，∴a⃗⋅b⃗ =2−8=−6．设a⃗，b⃗ 夹角，又a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosθ=2√5⋅√5⋅cosθ=10cosθ，∴10cosθ=−6，∴cosθ=−35，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得a⃗，b⃗ 夹角的余弦值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.若sinα>sinβ>0，则下列不等式中一定成立的()A. sin2α>sin2βB. sin2α<sin2βC. cos2α>cos2βD. cos2α<cos2β【答案】D【解析】解：∵cos2α=1−2sin2α，cos2β=1−2sin2β，∵sinα>sinβ>0，∴sin2α>sin2β>0，−2sin2α<−2sin2β，则1−2sin2α<1−2sin2β，即cos2α<cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a,b∈N∗,b<a)，则圆固率的近似值为()A. ba B. abC. 3abD. 3ba【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：S正十二边形S圆=ba，所以12×12×2×2×sin3004π=ba，即π=3a b，故选：C ．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：S 正十二边形S 圆=ba ，所以12×12×2×2×sin3004π=ba ，即π=3a b，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则直线CE 与D 1F所成角的大小为( )A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】D【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C(0,2，0)，E(2,1，0)，D 1(0,0，2)，F(1,2，0)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−2)， 设直线CE 与D 1F 所成角的大小为θ，则cosθ=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， ∴θ=π2．∴直线CE 与D 1F 所成角的大小为π2．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE 与D 1F 所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8. 如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数ℎ=f(t)的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】解：函数ℎ=f(t)是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选：B ．根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9. 函数f(x)=sin(x +π12)+sin(x +5π12)最大值是( )A. 2B. 32C. √3D. 2√3【答案】C【解析】解：∵sin(x +5π12)=sin(π2+x −π12)=cos(x −π12)，∴f(x)=sin(x +π12)+cos(x −π12) =sinxcosπ12+cosxsinπ12+cosxcosπ12+sinxsin π12=(sinπ12+cos π12)sinx +(sinπ12+cos π12)cosx ，∵sin π12+cos π12=√2sin(π12+π4)=√2sin π3=√62． ∴f(x)=√62sinx +√62cosx =√3sin(x +π4). ∴f(x)的最大值为√3．故选：C ．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f(x)即可得出结论． 本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.13π2B. 7πC.15π2D. 8π【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：14×4π×12+2×π×12+2π×2=7π．故选：B ．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11. 已知F 为抛物线C ：y 2=6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=6x 的焦点坐标为(32,0)，准线方程为x =−32 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则∵|AF|=3|BF|，∴x 1+32=3(x 2+32)，∴x 1=3x 2+3 ∵|y 1|=3|y 2|，∴x 1=9x 2，∴x 1=92，x 2=12， ∴|AB|=(x 1+22)+(x 2+32)=8．故选：B ．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A ，B 的中点横坐标，即可求出线段AB 的长度..本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12. 已知函数f(x)=e |x|−ax 2，对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]【答案】A【解析】解：由题意可知函数f(x)是(−∞,0)上的单调递减函数， 且当x <0时，f(x)=e −x −ax 2,f′(x)=−1e x−2ax =−2axe x +1e x≤0，据此可得：2axe x +1≥0，即a ≤−12xe x 恒成立， 令g(x)=xe x (x <0)，则，据此可得函数g(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(−1,0)上单调递增，函数g(x)的最小值为g(−1)=−1e ，则(−12xe x )min =e2，据此可得：实数a 的取值范围是(−∞,e2]．故选：A ．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a 的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 3+alog 3x ，若f(2)=6，则f(12)=______． 【答案】178【解析】解：函数f(x)=x 3+alog 3x ，若f(2)=6， 则f(2)=8+alog 32=6，变形可得alog 32=−2， 则f(12)=(12)3+alog 312=18−alog 32=178；故答案为：178．根据题意，由f(2)的值分析可得f(2)=8+alog 32=6，变形可得alog 32=−2，则有则f(12)=(12)3+alog 312=18−alog 32，代入计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．14. 已知以点(1.2)为圆心的圆C 与直线x +2y =0相切，则圆C 的方程为______． 【答案】(x −1)2+(y −2)2=5【解析】解：根据题意，设圆C 的半径为r ，以点(1.2)为圆心的圆C 与直线x +2y =0相切，则有r =√1+4=√5，则圆C 的方程为(x −1)2+(y −2)2=5； 故答案为：(x −1)2+(y −2)2=5．根据题意，设圆C 的半径为r ，由直线与圆的位置关系可得r =|1+2×2|√1+4=√5，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15. 已知关于x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0，表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0)，满足x 0−2y 0=2，则m 的取值范围是______． 【答案】(−∞,43]【解析】解：作出x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0对应的平面如图：交点C 的坐标为(−m,−2)， 直线x −2y =2的斜率为12，斜截式方程为y =12x −1，要使平面区域内存在点P(x 0,y 0)满足x 0−2y 0=2， 则点C(−m,−2)必在直线x −2y =2的下方，即−2≤−12m −1，解得m ≤2，并且A 在直线的上方；A(−m,1−2m)， 可得1−2m ≥−12m −1，解得m ≤43， 故m 的取值范围是：(−∞,43]. 故答案为：(−∞,43].作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P(x 0,y 0)满足x 0−2y 0=2，则平面区域内必存在一个C 点在直线x −2y =2的下方，A 在直线是上方，由图象可得m 的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =2，c =3，C =2B ，则△ABC的面积为______． 【答案】15√716【解析】解：∵b =2，c =3，C =2B ，∴由正弦定理bsinB =csinC ，可得：2sinB =3sinC ，可得：2sinB =3sin2B =32sinBcosB ， ∴可得：cosB =34，可得：sinB =2B =√74，∴可得：sinC =sin2B =2sinBcosB =3√78，cosC =cos2B =2cos 2B −1=18，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√74×18+34×3√78=5√716， ∴S =12bcsinA =12×2×3×5√716=15√716．故答案为：15√716． 由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB 的值，利用二倍角公式可求sinC ，cosC 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是等差数列，且lga 1=0，lga 4=1．(1)求数列{a n }的通项公式(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和． 【答案】解：(1)数列{a n }是等差数列，设公差为d ，且lga 1=0，lga 4=1． 则：{a 1=1a 1+3d =10，解得：d =3所以：a n =1+3(n −1)=3n −2．(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，则：a k 2=a 1⋅a 6，整理得：a k =3k −2， 解得：k =2；所以：等比数列{b n }的公比为q =4． 所以：b n =4n−1．则a n +b n =3n −2+4n−1，故：S n =(1+1)+(4+41)+⋯+(3n −2+4n−1)， =n(3n−1)2+4n −14−1，=32n 2−12n +13(4n −1)．【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(2)利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18. 如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90∘，点P 是 AC 的中点，连接BP ，DP(1)证明：平面ACD ⊥平面BDP ；(2)若BD =√6，cos∠BPD =−√33，求三棱锥A −BCD 的体积．【答案】解：(1)证明：如图所示，因为△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90∘， 所以Rt △ABD≌Rt △BCD ，可得AD =CD ，又因为点P 是AC 的中点，则PD ⊥AC ，PB ⊥AC ， 又PD ∩PB =P ，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 所以平面ACD ⊥平面BDP ；(2)设AB =a ，在Rt △ABD 中，BD =√6，则AD =√BD 2−AB 2=√6−a 2； 在等边△ABC 中，BP =√32AB =√32a ，在等腰△ACD 中，DP =√AD 2−AP 2=√6−a 2−(12a)2=√6−54a 2；在△BPD 中，由cos∠BPD =−√33，得sin∠BPD =√63；由余弦定理得BD 2=BP 2+DP 2−2⋅BP ⋅cos∠BPD ，即6=34a 2+6−54a 2−2×√32a ×√6−54a 2×(−√33)，解得a =2；所以△BPD 的面积为S =12⋅BP ⋅DP ⋅sin∠BPD =√22，所以三棱锥A −BCD 的体积为V =13⋅AC ⋅S △BPD =13×2×√22=√23．【解析】(1)证明PD⊥AC，PB⊥AC，得出AC⊥平面PBD，从而证明平面ACD⊥平面BDP；(2)利用直角三角形以及余弦定理求出AB的值，计算△BPD的面积和AC的值，即可求得三棱锥A−BCD的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d数的平均值为x−=160(7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2)≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．(2)设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5,10)，[l0,15)，[15,20)的女性客户中抽取1人(设为a)，2人(设为A，B)4人，(设为c1，c2，c3，c4)，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P=621=27．则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(48×24−16×12)264×36×60×40≈16.667>10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【解析】(1)根据平均数的公式进行计算即可．(2)利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可． (3)完成2×2列联表，计算K 2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F(1,0)，点P(23,2√63)在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y =x +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M 的坐标：若不存在，说明理由．【答案】解：(1)由题意可得c =1，点P(23,2√63)在C 上，∴49a 2+83b 2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1， 解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，(2)假设y 轴上存在点M(0,t)，△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0)， 由{x 24+y 23=1y =x +m ，消去y 可得7x 2+8mx +4m 2−12=0， △=64m 2−28(4m 2−12)=16(21−3m 2)>0，解得m 2<7， ∴x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127，∴x 0=−x 1+x 22=−4m 7，y 0=x 0+m =3m 7，∴N(−4m 7,3m7)，依题意有AM ⊥BM ，MN ⊥l ， 由MN ⊥l ，可得t−3m 70−(−4m7)×1=−1，可得t =−m7， 由AM ⊥BM 可得y 1−t x 1⋅y 2−t x 2=−1，∵y 1=x 1+m ，y 2=x 2+m ，代入上式化简可得2x 1x 2+2(m −t)(x 1+x 2)+(m −t)2=0， 则2(4m 2−12)7−(8m 7)2+(8m 7)2=0，解得m =±√3，当m =√3时，点M(0,−√37)满足题意，当m =−√3时，点M(0,√37)满足题意 【解析】(1)先求出c 的值，再根据49a 2+83b 2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1，即可得到椭圆的方程，(2)假设y 轴上存在点M(0,t)，△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0)，根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM ⊥BM ，MN ⊥l ，即可求出m 的值，可得点M 的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21. 已知函数f(x)=e x−1+a ，g(x)=lnx ，其中a >−2．(1)讨论函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数；(2)若函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点，设直线y =t 与的数y =f(x)和y =g(x)的图象分别交于点P ，Q.证明：|PQ|>a +1．【答案】解：(1)函数y =f(x)与y =g(x)的图象交点个数即方程e x−1+a =lnx 根的个数，设F(x)=e x−1+a −lnx ，x >0．则F ′(x)=e x−1−1x 在(0,+∞)上单调递增，且F’(1)=0．当x ∈(0,1)时，F’(x)<F’(1)=0，则F(x)在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时，，则F(x)在(1,+∞)上单调递增．所以，当x =1时，F(x)min =F(1)=l +a ．当a +1>0，即a >−1时，函数F(x)无零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点； 当a =−1时，函数F(x)有一个零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象有一个交点；当−2<a <−1时，F(e a )=e e a −1>0.又F(1)=1+a <0．F(3)=e 2+a −ln3>e 2−2−ln3>e 2−4>0，所以F(x)=e x−1+a −lnx 在(e a ,1)和(1,3)上分别有一个零点．所以，当−2<a <−1时，F(x)有两个零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象有两个交点．综上所述：当a >−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为0；当a =−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为1；当−2<a <−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为2．(2)由(1)可知，当函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点时，a >−1．设P(m,t)，Q(n,t)，由得m =1+In(t −a)，由ln =t 得n =e t ，|PQ|=|n −m|=|e t −ln(t −a)−1|．设ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1，先证明不等式e t ≥1+t ，再证明t −In(t −a)≥a +1，t ∈(a,+∞)．设p(t)=e t −1−t.则p’(t)=e t −1．当t ∈(0,+∞)时，p’(t)=e t −1>0，p(t)=e t −1−t 在(0,+∞)上单调递增， 当t ∈(−∞,0)时，p’(t)=e t −1<0，p(t)=e t −1−t 在(−∞,0)上单调递减， 所以p(t)≥p(0)=0，即e ≥1+t ．设q(t)=t −ln(t −a)−a −1.则q ′(t)=1−1t−a =t−a−1t−a ．当t ∈(a,a +1)时，q’(t)<0，q(t)单调递减：当t ∈(a +1,+∞)时，q’(t)>0，q(t)单调递增．所以q(t)≥q(a +1)=0，即t −1n(t −a)≥a +1．所以ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1≥1+t −ln(t −a)−1=t −ln(t −a)≥a +1． 因为t =a +1时，t −ln(t −a)≥a +1中等号成立，t =0时，e t ≥l +t 中等号成立， 而t =a +1>0，所以等号不能同时成立．所以ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1>a +1．所以IPQl >a +1．【解析】(1)原问题等价于求解方程e x−1+a =lnx 根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；(2)由(1)可知，当函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点时，a >−1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sin 2t x=cost (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．【答案】解：(1)曲线C 1的普通方程为y =1−x 2(−1≤x ≤1)，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ(cosθ−asinθ)=12，得直线C 2的直角坐标方程为y −ax =12，即ax −y +12=0，(2)由直线C 2：ax −y +12=0，知C 2恒过点M(0,12)，由y =1−x 2(−1≤x ≤1)，当时，得x =±1，所以曲线C 1过点P(−1,0)，Q(1,0)，则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12， 直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=−12， 因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即−12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[−12,12].【解析】(1)利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程；(2)根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 已知函数f(x)=|x +a|−|2x −1|．(1)当a =1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若a >0，不等式f(x)<1对x ∈R 都成立，求a 的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=|x +1|−|2x −1|，f(x)>0即为|x +1|>|2x −1|，可得(x +1+2x −1)(x +1−2x +1)>0，即3x(x−2)<0，解得0<x<2，则原不等式的解集为(0,2)；(2)若a>0，不等式f(x)<1对x∈R都成立，即有1>f(x)max，由f(x)=|x+a|−|2x−1|=|x+a|−|x−12|−|x−12|≤|x+a−x+12|−0=|a+12|，可得f(x)的最大值为|a+12|=a+12，(a>0)，则a+12<1，解得0<a<12．【解析】(1)运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；(2)由题意可得1>f(x)max，由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年3月广东省广州市2019年普通高中毕业班综合测试一文科数学试题及参考答案广州一模
一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
/ 4．只给整数分数．选择题不给中间分． cn 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 网 . 一项是符合题目要求的.
u 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d 答案 D A C B D C D B C B B A
n (2) 解：设“所抽取的 2 人购买的学时数都不低于 15”为事件 A .依题意按照分层抽样的方
网 .c 式分别在学时数为[5,10)，[10,15)，[15,20)的女性客户中抽取 1 人（设为 a），2 人（设为 b1,b2 ），
du 4 人（设为 c1,c2,c3,c4 ）. e 则从 7 人中随机抽取 2 人所包含的基本事件为:
.
„„„„„„„„„„„„12 分
d 18.（12 分）
e （1）证明: 因为 ABC 是等边三角形， BAD BCD 90 ,
研 . 所以 Rt ABD Rt BCD ,可得 AD CD . „„„„„„„„„„„„„1 分
r 因为点 P 是 AC 的中点，则 PD AC , PB AC . „„„„„„„„„2 分 t 因为 PD PB P ， PD 平面 PBD ， PB 平面 PBD ，
研 .e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
r 17 t 13.
8
14. x 12 y 22 5
15.
,
4 3
15 7
16.
16
教 gz 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考 n 题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. a 17.（12 分）
2019广东高考文科数学试卷及答案
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则UB A =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sincos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+ D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题
密★启用前 试卷类型:A2019年广州市普通高中毕业班综台测试（一）文科数学2019.3本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事顶：1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ），填涂在答题相应置上。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}220A x x x =-<，{}0B x x =>，则A.A B =∅B.A B R =C.B A ⊆D.A B ⊆2. 已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a = A.2- B.12-C.12D.2 3. 已知双曲线222:1y C x b-=的一条渐近线过点(),4b ，则C 的离心率为B.32 D.34. a ，b 为平面向量，己知a =(2,4)，a -2b =(0,8)，则a ，b 夹角的余弦值等于 A.45-B.35-C.35D.455. 若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的是A .sin 2sin 2αβ> B.sin 2sin 2αβ< C.cos 2cos 2αβ> D. cos 2cos 2αβ<6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首 创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼 近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形 的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内段放a 粒豆子， 其中有b 粒豆子落在正十二边形内(,,a b N b a *∈<)，则圆固率的 近似值为 A.b a B.a b C.3a b D.3b a7.在正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是枝AB ，BC 的中点，则直线CE 与1D F 所成角的大小为 A.6π B.4π C.3π D.2π 8.如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小 孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T 。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)
．
故选： A． 由题意将原问题转化为函数单调性的问题， 值范围即可． 本题主要考查导函数研究函数的单调性， 法等知识，属于中等题．
故选： D．
利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．
本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．
6. 刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的 《 九章算术注 》 中首创 “割圆术 ”，所谓 “割圆术 ”，是用圆内接正多边形的面积 去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆 内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机 向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内 ，则圆固率的近似值为
12. 已知函数
，对任意
，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
【答案】 A
【解析】 解：由题意可知函数
是
且当
时，
，
，都有
C.
D.
上的单调递减函数， ，
据此可得： 令 减，在区间
，即 ，则 上单调递增，函数
恒成立， ，据此可得函数 的最小值为
在区间 ，则
上单调递 ，
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据此可得：实数 a 的取值范围是
则双曲线的离心率为
．
故选： C．
求得双曲线的渐近线方程，由题意可得
，再由离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质， 主要是渐近线方程和离心率的求法， 考查方程思想和运
算能力，属于基础题．
4. ， 为平面向量，己知
，
，则 ， 夹角的余弦值等于
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 解：己知
2019年广东高考文科数学试卷及答案解析【word版】
高考数学精品复习资料2019.520xx 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===I 已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A iB iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x xx x x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤Q 在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+Q 若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDF AEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆:几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π= （1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos3sin 333sin ,(0,),32f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴--=+--+=+--+-===∴=∈Q 解由得又6cos 36()3sin()3sin()3cos 3 6.66323f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011(121123412100)25212.62020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 000:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴I I Q Q 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式 (3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a Λ221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣Q Q 解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3):,()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++L 又解法一当时(1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44111111:(),.(1)2(21)(21)(21)22121(:)n n k k a a n n n n a a k k k k k k +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+L 解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=Q 两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈U 已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()322422211111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-解法一2000020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,7214x x a x f x f x x a a a a a a ax x a +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-U U Q Q 若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即000002574811,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)(1212422a a a a a x a a x f x f a x f x <∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭U U U U U 即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().2f =00:0,110,()3,111,(1)()(0,1),111(0,)(,1),()=();222()30,()(0,11),(11,1),5111),()(0,),(,1),422a a i a a f x x f x f ii a f x a a a f x <∴-+->≤--+-≤∈-<<-+--+-=-Q U 解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;512)3,111,,(11,1),4212525255(1)()0,0,,;222412124513)0,011,,(0,11),421775(0)()0,0,,2224124x a a x x a a f f a a x a a x x a a f f a -<<-<-+-<∈-+-->+>>--<<--<<<-+-<∈-+-->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007.12:25557111(,)(,),(0,)(,1)()().1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭U U U U U 时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。
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A.0,1
e B.0, 3
C.0,2e
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上 13.已知向量 a ( 2, 5 ) , b 2 ,若 a b 3 ,则向量 a 和 b 的夹角为__________. 14.在 ABC 中, tan( B C ) tan
18.(12 分) 为了监控一条生产线上的某种零件的生产过程,检验员每隔 30min 从该生产线上随机抽取一 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的 18 个零件的尺寸:
抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸
1 9.27 10 9.36
2 9.26 11 9.42
3 9.94 12 9.77
A , AB 2 , AC 3 ,则 BC _________. 2
2 2
15.若 一 条 倾 斜 角 为 60 ° 且 经 过 原 点 的 直 线 与 圆 x y 4 x 0 交 于 A , B 两 点 , 则
AB _____.
16.已知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 4,侧棱长为 6,动点 M 在棱锥侧面 PAC 上运动, 并且总保持 MB PA ,则动点 M 的轨迹的长度为_____. 三、 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生粮据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17.(12 分) 已知数列 an 满足 a2 3 , an 1 2an 1 1,设 b n an 1 (1)证明: bn 是等比数列; (2)求 a1 a3 a5 a2 n 1
A.{0}
B.{2}
C.{0,1}
D.{1,2}
2.已知 i 是虚数单位,若复数 z i ( 3 i ) ,则 z 的共轭复数为
A. 1 3i
B. 1 3i
C. 3 i
D. 3 i
3.某班统计某次数学测试的平均数与方差,计算完毕才发现有位同学的试卷未登分,只好重 算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为 x , s ,重算时的平均数和方差分别为
2
x1 , s1 ,若此同学的得分恰好为 x ,则 A.x x1 , s 2 s1
2
2
B.x x1 , s 2 s1
2
C.x x1 , s 2 s1
2
D.x x1 , s 2 s1
2
2 x y 6 4.设 x , y 满足约束条件 x y 3 ,则 z x 2 y 的最大值是 y 3 A. 21 2 B.3 C .6B.1,2
C.1,4
D.3,6
9.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅 “勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图” 中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中较 小的锐角 域 2 的概率是
,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在区域 1 和区 12
3 4 7 8
A.
5 8
B.
1 2
C.
D.
10.已知圆柱和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中网格纸上小正方 形的边长为 1,那么组合体的侧视图的面积为
A.
11 2
B.6
C .7
D.8
11. 对于函数 f ( x )
4 9.87 13 9.83
5 9.78 14 9.93
6 9.65 15 9.34
7 9.55 16 9.82
8 9.43 17 9.95
9 9.39 18 9.33
零件尺寸在[9,9.35)内为一级;在[9.35,9.75)内为二级;在[9.75,10]内为超标 (1)求这 18 个数据中不超标数据的中位数; (2)在以上零件为一级的数据中,随机抽取 2 个数据,求其中恰有一个零件尺寸小于 9.3 的概 率; (3)以这 18 个零件尺寸来估计该生产线的情况,若该生产线每日生产 3600 个零件,那么约有 多少个零件超标. 19.(12 分) 如图,在三棱柱 ABC DEF 中, CB CA 2 , EC 3 , AF
cos( ) 3 4 5.已知 sin(5 ) 3 sin( ) ,则 2 sin 2 cos A. 2 2 5 B. 2 5 C. 2 2 D. 2
6. 定义某种运算 m ⊕ n ,它的运算原理如图所示,则式子(1⊕3)+( log 3 ⊕ log 27 )=
广东省 2019 届高三年级百校联考 文科数学
考生注意: 1.本这卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 2.请将各题答案填在答题卡上 3.本试卷主要考试内容:高考全部内容 第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.若集合 A {x | 1 1 x 1}, B {0,1,2} ,则 A B
a ( x 1) 2 sin x ,若 f (5) f ( 5) 4 ,则 a x2 1 D.8
A.1
B.2
C .4
12.设函数 f ( x ) 2 xe
x
2m 3m ,对任意正实数 x , f ( x ) 0 恒成立,则 m 的取值范围为 x D. 0,4e 2
4
8
A.4
B.5
C .8
D.31
7. 在矩形 ABCD 中, AB 4 , AD 2 2 ,以 A , B 为焦点的双曲线经过 C , D 两点,则此 双曲线的离心率为
A.2( 3 1)
B. 3 1
C.
6 2 2
D.
6 2 2
8.已知函数 f ( x ) | log 2 | 在 , m 上的值域为 0,2 , f ( 2m) 的取值范围是