渐开线齿轮的画法

坐标系的介绍

笛卡尔坐标系(Cartesian coordinates），即空间直角坐标系。

柱坐标（Cylindrical coordinate）

如右图所示，柱坐标系中的三个坐标变量是r、ϕ、

z。与直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z变量。各变量的变化范围是： r∈[0,+∞), φ∈[0, 2π] z∈R

柱坐标（Cylindrical coordinate）ANSYS中的柱坐标示意图

ANSY中的柱坐标（X,Y,Z)与上图中的（

r，ϕ，z）相对应。 X相当于柱坐标的半径

r；Y相当于柱坐标中的旋转角度ϕ（顺时针方向旋转为正，逆时针方向转为负）；Z

相当于柱坐标中的高度z

。

渐开线齿轮的画法

渐开线的形成

渐开线的形示意成图

如图所示，当直线BC 沿一圆周作纯滚动的时候，直线BC 上任意一点K 的轨迹AK ，就是该圆的渐开线。这个圆称之为渐开线的基圆，他的半径用表

b r 示；直线BK 称之为渐开线的

发生线，渐开线上K 点的向径OK 与渐开线起始点A 的向径OA 间的夹角i θ称为渐开线AK 段的展角。由渐开线的形成可知BK =BK (弧长）。

渐开线的极坐标方程

如图所示，当渐开线做齿轮的吃苦廓时，齿廓上K 点的速度方向KD 与点K 法线BK 之间所夹的锐角称之为渐开线在K 点的压力角，用i α表示：

i

b

i

r r arccos

=α

根据渐开线的形成方式推导渐开线齿轮的极坐标方程，O 为极点，OA 为极轴，如下建立渐开线方程：

i

b

i

r r αarccos

=

（a ）

i

i

b

i i b b

AB

b

BK

i

r r r r θαθαα+

=

+=

=

=

)

(tan （b ）

由上式（a ）（b ）: i i

i

i

inv αααθ=

-

=

tan

上式称为渐开线的极坐标方程。因为i θ仅随i α的变化而变化，所以上式又称为角i α的

渐开线函数，工程中常用i inv α表示，而且可以根据函数表查取相应的函数值。

ANSYS 接触应力分析中的齿轮的建模方法

【数据错误：从后面的建模数据可知齿顶圆半径（不是直径）为24，齿底圆半径（不是直径）为20。但是模型的建立是建立在一定的渐开线齿轮的建模丝线的基础之上的。】

按照机械原理渐开线齿轮的形成原理，对参数进行验证：

齿顶圆直径： 48)2(2*

=++=

=

a a

a

h z m h d d （1）

齿底圆直径： 40)22(2*

*

=---=

=

c h z m h

d d a f

f

（2）

齿全高8=-=f a d d h （3） 上式中d 为齿轮分度圆的直径；a h 为齿顶高；f h 为齿底高；m 为齿轮的模数（模数的大小决定齿形的大小，影响齿的强度，并且是一组标准化的数据）；z 为齿数（一般齿轮的齿数不小于17，小于17会发生根切，所以这里的齿轮参数并不是标准的）。

根据标准渐开线齿轮的的参数：

侧隙系数： 0.1*

=a

h

顶隙系数： 25.0*

=c

由以上（1）（2）（3）可以计算并按模数m 的标准取值，取75.1=m 。 根据模数的定义pz d =π，π

p

m =

；可求出分度圆的直径5.17==mz d ，很显然分度圆的

直径小于齿底圆的直径f d d <（分度圆直径介于齿顶圆和齿底圆之间，a f d d d <<），所以该参数给定的齿轮并不是标准齿轮。 在齿轮中基圆直径： i b d d αc o s

=

根据确定的5.17==mz d 和题中给定的40=b d ，所以i α不存在，即该题给定的参数并

不能用渐开线方程的计算公式来计算齿轮渐开线上的点。

对题中给定的参数进行分析：

点号 2 3

4 4

5

6 x 方向长度 12.838 13.676

14.513

15.351 16.189 17.027 长度差值 0.838

0.837

0.838

0.838

0.838

长度在x 方向的差值16*3*180

16*838.0π

ϑ=

==∆x ，式中16为基圆的半径，3恰好为坐

标系转过的角度。但是点2不在基圆上，且相距基圆上的一点长度为12。

通过对数据的分析可以确定该齿轮为特殊参数的渐开线齿轮，其形成过程如下：

如图所示，当直线B ’C ’沿一半径为16的圆周作纯滚动的时候，直线BC 上一距离B'长度为12的点K'的轨迹A ’K ’，就是该圆的渐开线。这个圆称之为渐开线的基圆，他的半径用表b r 示；直线B ’K ’称之为渐开线的发生线。

渐开线形成原理在ANSYS中的应用及建模

接触分析案例

在ANSYS中通过坐标的平移和旋转，来实现渐开线的模拟：

WP（工作平面）移动到基圆上建立的的KPS（关键点）上，通过旋转依次取相应的长度（该长度可有渐开线的形成原理计算出来）建立相应的关键点。确定一系列的关键点后，再有关键点建立线，通过镜像和复制的方法建立完整的齿廓线，采用布尔运算将这些线加和，再有封闭的齿廓线框生成齿廓面。